宁夏银川一中2018届高三第二次模拟考试数学(文)试卷(含答案)
3.等差数列a
n
的前11项和S=88,则a3+a9=
2B.2C.3D.5
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
(银川一中第二次模拟考试)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第22~23题为选考题,其它题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试结束后,将本试
卷和答题卡一并交回。
注意事项:
1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。
4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。
5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知A={x|-1 A.(-1,0)B.(-2,-1)C.(-2,0)D.(-2,2) 2.设i是虚数单位,若复数a-1+(a-2)i(a∈R)是纯虚数,则a= A.-1B.1C.-2D.2 {} 11 A.8B.16C.24D.32 4.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点(-2,4),则它的离心率为A.5 5.设 x , y 满足约束条件 ? x + y - 1 ≥ 0, 则目标函数 z = 的取值范围是 ? x ≤ 3, A . ? ,4? B . - ∞, ? ? [4,+∞ ) C . ? - 4,- ? D . ( - ∞,-4] ? ?- ,+∞ ? ? 根据上表可得回归方程y =bx +a 中的b 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 A . 7 B . C . D . AB ? AD = -6 , DM = DC ,则 MA ? MB 的值为 uuuur 1 uuur ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 1 6.已知 MOD 函数是一个求余函数,其格式为 MOD (n, m ) ,其结果为 n 除以 m 的余数, 例如 MOD (8,3) = 2 .右面是一个算法的 程序框图,当输入的值为 25 时,则输出 的结果为 开始 输入 n i = 2 A . 4 C . 6 B . 5 D . 7 MOD(n, i ) = 0? 是 输出 i 7.已知 a, b 都是实数, p :直线 x + y = 0 与 圆 (x - a )2 + ( y - b )2 = 2 相切; q : a + b = 2 , 则 p 是 q 的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 8.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 否 i = i + 1 结束 广告费用 x (万元) 销售额 y (万元) 4 49 2 26 3 39 5 54 ^ ^ ^ ^ A .62.6 万元 C .64.7 万元 B .63.6 万元 D .65.5 万元 9.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 8 8 -π 7 -π 3 3 3 3 10.平行四边形 ABCD 中, AB = 3 , AD = 4 , uuur uuur uuur uuur 3 A .10 B .12 C . 14 D .16 11.已知函数 f ( x ) = 2sin(2 x + ? ) (0 < ? < π ) ,若将函数 f ( x ) 的图象向右平移 π 个单位后关于 y 6 ... 6B.( 12 ,0)是f(x)图象的一个对称中心 6是 f(x)图象的一条对称轴 [] [ 16.设数列{a}的前n项和为S,已知a=1,a 3,3sin B=5sin C. 轴对称,则下列结论中不正确的是 A.?= 5ππ C.f(?)=-2D.x=-π 12.已知不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1,2],y∈2,3恒成立,则a的取值范围是A.1,+∞)B.[-1,4)C.[-1,+∞)D.[-1,6] 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第23题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.函数f(x)=x3-3x的极小值点为___________. 14.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=4x上的点到焦点距离为3,那么该点到y轴的距离为_______. 15.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,有下列正确命题的序号是. (1)若m∥α,n∥α,则m∥n,(2)若m⊥α,m⊥n则n//α (3)若m⊥α,n⊥β且m⊥n,则α⊥β;(4)若m?β,α//β,则m//α n n1n+1=3S-S n n+1 -1(n∈N*), 则S10=________. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 在?ABC中,A= (1)求tan B; π (2)?ABC的面积S=153 4 ,求?ABC的边BC的长. 18.(本小题满分12分) 如图,在四棱锥E-ABCD中,ED⊥平面ABCD,AB//CD,AB⊥AD,1 AB=AD=CD=2. 2 (1)求证:BC⊥面BDE; C B D E A N 若 (2)当几何体 ABCE 的体积等于 4 3 时,求四棱锥. E - ABCD 的侧面积. 19.(本小题满分 12 分) 某水产品经销商销售某种鲜鱼,售价 为每公斤 20 元,成本为每公斤15 元.销 售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖 不出去,未售出的全部降价处理完,平均 每公斤损失 3 元.根据以往的销售情况, 按 [0,100) , [100,200) , [200,300) , [300, 400) , [400,500] 进行分组,得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图计算该种鲜鱼日需求量的平均数 x (同一组中的数据用该组区间中点 值代表); (2)该经销商某天购进了300 公斤这种鲜鱼,假设当天的需求量为 x 公斤 (0 ≤ x ≤ 500) ,利润 为 Y 元.求 Y 关于 x 的函数关系式,并结合频率分布直方图估计利润Y 不小于 700 元的概率. 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C : x 2 y 2 + a 2 b 2 = 1(a > b > 0 )的焦距为 2 3 ,且 C 与 y 轴交于 A (0, -1), B (0,1)两点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 P 点是椭圆 C 上的一个动点且在 y 轴的右侧,直线 PA ,PB 与直线 x = 3 交于 M , 两点. 以 MN 为直径的圆与 x 轴交于 E ,F 两点,求 P 点横坐标的取值范围. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f (x ) = xe x . (1)讨论函数 g (x ) = af (x )+ e x 的单调性; (2)若直线 y = x + 2 与曲线 y = f (x )的交点的横坐标为 t ,且 t ∈[m , m + 1],求整数 m 所有 可能的值. 请考生在第 22-23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以 原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系,已知曲线 C : ?? x = -2 + ρ sin 2θ = 2a cos θ (a > 0) ,过点 P(-2,- 4) 的直线 l 的参数方程为: ? ? 2 t 2 ? y = -4 + 2 t ?? 2 (t 为参数),直线 l 与曲线 C 分别交于 M 、N 两点. (1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (2)若|PM |,|MN |,|PN |成等比数列,求 a 的值. 23.(本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲. 已知函数 f ( x ) =| x | - | x - 1 | . (1)若 f ( x ) ≥| m - 1 | 的解集非空,求实数 m 的取值范围; (2)若正数 x , y 满足 x 2 + y 2 = M , M 为(1)中 m 可取到的最大值,求证: x + y ≥ 2 x y . 3sin B = 5sin C = 5sin - B ? = 5sin cos B - 5cos sin B cos B + sin B ……4 分,所以 sin B = 3 3 2 3 3 银川一中 2018 届高三第二次模拟文科数学试题参考答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分. 题号 答案 1 A 2 B 3 B 4 A 5 A 6 B 7 B 8 D 9 C 10 D 11 C 12 C 二.填空题:13.1 14. 2 15.(3) (4) 16. 三、解答题: 513 2 17.解:(1)由 得, ,由 得, ? 2π ? 2π 2π ? 3 ? 3 3 = 5 3 5 1 5 3 cos B , 2 2 2 2 (2)设角 、 、 所对边的长分别为 、 、 由 由 解 得 和正弦定理得, 得 (负值舍去) 由余弦定理得, 18.(本小题满分 12 分) (1)解:取 CD 的中点 F ,连结 BF , 则直角梯形 ABCD 中, BF ⊥ CD , BF = CF = DF ∴∠CBD = 90? 即: BC ⊥ BD Θ DE ⊥ 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ∴ BC ⊥ DE 又 BD ? DE = D ∴ BC ⊥ 平面BDE (2)解:Θ V ABCE = V E - ABC 1 1 1 2 4 = ? DE ? S = ? DE ? ? AB ? AD = DE = ?ABC ∴ DE = 2 ∴ EA = DE 2 + AD 2 = 2 2 , BE = DE 2 + BD 2 = 2 3 , 又 AB = 2 ∴ BE 2 = AB 2 + AE 2 ∴ AB ⊥ AE ∴ 四棱锥 E - ABCD 的侧面积为 20.解:(Ⅰ)由题意可得, b = 1, c = 3 所以 a = 2 ,, 椭圆 C 的标准方程为 + y 2 = 1. ( x - = y +1 同理得直线 PB 的方程为 y = y 0 - 1 x + 1 , 3 y ? ,线段 MN 的中点 (3, 0 ) , 直线 PB 与直线 x = 3 的交点为 N 3, 0 + 1? x x ? ? = (1- )2 , 因为 0 + y 2 = 1,所以 ( x - 3)2 = - , - > 0 ,又 0 < x ≤ 2 ,解得 x ∈ ( , 2] . 1 1 1 1 ? DE ? AD + ? AE ? AB + ? BC ? BE + ? DE ? CD = 6 + 2 2 + 2 6 2 2 2 2 19. Ⅰ)=50×0.0010×100+150×0.0020×100+250×0.0030×100+350×0.0025×100+450×0.0015×100 =265. (Ⅱ)当日需求量不低于 300 公斤时,利润 Y =(20-15)×300=1500 元; 当日需求量不足 300 公斤时,利润 Y =(20-15)x -(300-x )×3=8x -900 元; ?8x -900,0≤x <300, 故 Y =??1500,300≤x ≤500. 由 Y ≥700 得,200≤x ≤500, 所以 P (Y ≥700)=P (200≤x ≤500) =0.0030×100+0.0025×100+0.0015×100 =0.7. x 2 4 (Ⅱ)设 P( x , y )(0 < x ≤ 2) , A(0, -1) , B(0,1) , 0 0 所以 k 0 x 0 ,直线 P A 的方程为 y + 1 y = 0 x 0 x - 1 , x 0 直线 P A 与直线 x = 3 的交点为 M (3, 3( y + 1) 0 x - 1) , ? 3( y - 1) ? 所以圆的方程为 ( x - 3)2 + ( y - 3 y 0 )2 = (1- x 3 x 0 )2 . 令 y = 0 ,则 ( x - 3)2 + 9 y 2 3 x 2 0 x 2 x 4 0 0 0 13 6 4 x 0 因为这个圆与 x 轴相交,所以该方程有两个不同的实数解, 则 13 6 24 4 x 0 0 13 解法二:直线 AP 的方程为 y = k x - 1(k > 0) ,与椭圆 x 2 + 4 y 2 = 4 联立得:(1+ 4k 2 ) x 2 - 8k x = 0 , 1 1 1 1 1 + 4k 2 1 + 4k 2 由 8k = ,可得 4k k = -1, y = 0 时, ( x - 3)2 + ( 3(k + k ) 1 2 1 = 1 1 1 3 24 1 + 4k 2 1 k ) 单增,在 ( ) 单减,所以 x ∈ ( 13p 若 a > 0 时,函数 g (x )在 -∞, - , +∞ ? 内单调递增; ? 内单调递减,在区间 - a x = 8k 1 , P 1 同理设 BP 直线的方程为 y = k x + 1 可得 x = -8k 2 , 2 P 2 -8k 1 2 1 + 4k 2 1 + 4k 2 1 2 1 2 所以 M (3,3k - 1) , N (3,3k + 1) , MN 的中点为 (3, 1 2 3(k + k ) 1 2 ) , 2 所以 MN 为直径的圆为 ( x - 3)2 + ( y - 3(k + k ) 3(k - k ) - 2 1 2 )2 = ( 1 2 2 2 )2 . 3(k - k ) - 2 (6k - 2)(-6k - 2) 1 2 )2 = ( 1 2 )2 ,所以 ( x - 3)2 = , 2 2 4 因为 MN 为直径的圆与 x 轴交于 E, F 两点,所以 (6k - 2)(-6k - 2) 1 2 4 > 0 , 代入 4k k = -1得: 1 2 (3k 1 - 1)(4k 1 - 3) < 0 ,所以 1 < k < 3 , 4k 3 4 1 所以 x P = 8k 8 1 21.解:(1)由题意,知 g (x ) = af (x )+ e x = axe x + e x ,∴ g ' (x ) = (ax + a + 1)e x . ①若 a = 0 时, g ' (x ) = e x , g ' (x ) > 0 在 R 上恒成立,所以函数 g (x )在 R 上单调递增; ②若 a > 0 时,当 x > - a + 1 a 时, g ' (x ) > 0 ,函数 g (x )单调递增, 当 x <- a + 1 a 时, g ' (x ) < 0 ,函数 g (x )单调递减; ③若 a < 0 时,当 x > - a + 1 a 时, g ' (x ) < 0 ,函数 g (x )单调递减; 当 x <- a + 1 a 时, g ' (x ) > 0 ,函数 g (x )单调递增. 综上,若 a = 0 时, g (x )在 R 上单调递增; ? ? a + 1 ? ? a + 1 ? a ? ? ? 当 a < 0 时,函数 g (x )在区间 -∞, - , +∞ ? 内单调递减. ? 内单调递增,在区间 - a - 1 = 0 ,令 r (x ) = e x - - 1 , - < 0 , r (-2 ) = 3 ??x = -2 + 由 ? 消去参数 ??x = -2 + 的参数方程 ? 代入 t ? ? a + 1 ? ? a + 1 ? a ? ? ? (2)由题可知,原命题等价于方程 xe x = x + 2 在 x ∈[m , m + 1]上有解, 由于 e x > 0 ,所以 x = 0 不是方程的解, 所以原方程等价于 e x - 2 2 x x 因为 r ' (x ) = e x + 2 x 2 > 0 对于 x ∈ (-∞,0 )U (0, +∞)恒成立, 所以 r (x ) 在 (-∞,0 )和 (0, +∞)内单调递增. 又 r (1) = e - 3 < 0 , r (2) = e 2 - 2 > 0 , r (-3) = 1 1 1 e 3 e 2 > 0 , 所以直线 y = x + 2 与曲线 y = f (x )的交点仅有两个, 且两交点的横坐标分别在区间 [1,2]和 [ -3,-2] 内, 所以整数 m 的所有值为 -3 ,1 . 22.(1)解:由 ρ sin 2 θ = 2a cos θ (a > 0) 得: (ρ sin θ )2 = 2a ρ cos θ ∴曲线 C 的直角坐标方程为: y 2 = 2ax (a > 0) ? 2 t 2 ? y = -4 + 2 t ?? 2 t 得直线 l 的普通方程为 y = x - 2 (2)解:将直线 l ? 2 t 2 ? y = -4 + 2 t ?? 2 y 2 = 2ax 中得: t 2 - 2 2 t (4 + a)t + 8(4 + a) = 0 6 分 设 M 、N 两点对应的参数分别为 t 1、t 2,则有 t 1 + t 2 = 2 2 (4 + a),1t 2 = 8(4 + a) 8 分 ∵ | PM | ? | PN |=| MN |2 ,∴ (t - t )2 = (t + t )2 - 4t t =t t 1 2 1 2 1 2 1 2 即 8(4 + a)2 = 40(4 + a) ,解得 a = 1 .或 a = -4 又因为 a = -4 时, ? < 0 ,故舍去,所以 a = 1 . 23.(本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲. 解法一:【命题意图】本题旨在考查绝对值不等式的解法、分析法在证明不等式中的应用,考 查考生的推理论证能力与运算求解能力。 【解题思路】(1)先确定函数 f ( x ) 的最大值,再确定 m 的取值范围;(2)从要证的结论发出, 解:(1)去绝对值符号,可得 f ( x ) = ?2x - 1,0 ≤ x ≤ 1, = 2 ( ? 2 ∴ 1 ≤ t ≤ 2 ) 2 + 一直逆推分析,结合提干信息证明结论的正确性。 ? -1, x < 0, ? ? ? 1, x > 1, 所以 f ( x ) max 1 。 所以 | m -1|≤ 1 ,解得 0 ≤ m ≤ 2 , 所以实数 m 的取值范围为 [0,2]。 (2)由(1)知, M = 2 ,所以 x 2 + y 2 = 2 。 因为 x > 0, y > 0 , 所以要证 x + y ≥ 2xy ,只需证 (x + y ) ≥ 4x 2 y 2 , 即证 2( x y) 2- xy - 1 ≤ 0 ,即证 (2xy + 1) xy -1) ≤ 0 。 因为 2 x y + 1 > 0 ,所以只需证 xy ≤ 1 。 因为 2 x y ≤ x 2 + y 2 = 2 ,∴ xy ≤ 1 成立,所以 x + y ≥ 2xy 解法二:x 2+y 2=2,x 、y ∈R +,x +y ≥2xy 0 ≤ θ ≤ π 2 ? x = 2 sin θ 设: ? ?? y = 2 cos θ π (0 ≤ θ ≤ ) 2 证明:x +y -2xy = 2 sin θ + 2 cos θ - 2 ? 2 sin θ ? cos θ = 2(sin θ + cos θ ) - 4 sin θ ? cos θ 令 sin θ + cos θ = t ∴ 1 + 2 sin θ cos θ = t 2 ,Θ 0 ≤ θ ≤ π 2 sin θ cos θ = t 2 - 1 ∴ 原式= 2t - 2(t 2 - 1) = - 2t 2 + 2t + 2 = - 2(t 2 - 2 2 t ) + 2 = - 2(t - 2 9 4 4 当 t = 2 时, y min = -2 ? 2 + 2 + 2 = 0 ∴ x + y ≥ 2 x y