动态法测量杨氏模量

实验四 动态法测定材料氏模量

氏模量是工程材料的一个重要物理参数，它标志着材料抵抗弹性形变的能力。 氏模量测量方法有多种，最常用的有拉伸法测量金属材料的氏模量，这属于静态法测量，这种方法一般仅适用于测量形变较大、延展性较好的材料，对如玻璃及瓷之类的脆性材料就无法用此方法测量。动态法由于其在测量上的优越性，在实际应用中已经被广泛采用，也是国家标准指定的一种氏模量的测量方法。本实验用悬挂、支撑二种“动态法”测出试样振动时的固有基频，并根据试样的几何参数测得材料的氏模量。

一、实验目的

1．理解动态法测量氏模量的基本原理。

2．掌握动态法测量氏模量的基本方法，学会用动态法测量氏模量。 3．培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。 4．进一步了解信号发生器和示波器的使用方法。

二、实验原理

长度L 远远大于直径d （L>>d ）的一细长棒，作微小横振动（弯曲振动）时满足的动

解以上方程的具体过程如下（不要求掌握）： 用分离变量法：令)()(),(t T x X t x y =

代入方程（1）得： 2

244d d 1d d 1t T T YJ s x X X ρ-=

等式两边分别是x 和t 的函数，这只有都等于一个常数才有可能，设该常数为4

K ，于是得：

0d d 44

4=-X K x

X

0d d 42

2=+T s YJ

K t T ρ

这两个线形常微分方程的通解分别为：

Kx B Kx B shKx B chKx B x X sin cos )(4321+++=

) cos()(?ω+=t A t T

于是解振动方程式得通解为：

) cos()sin cos (),(4321?ω++++=t A Kx B Kx B shKx B chKx B t x y

其中式（2）称为频率公式： 2

1

4

??

?

?

??=s YJ K ρω (2） 该公式对任意形状的截面，不同边界条件的试样都是成立的。我们只要用特定的边界条件定出常数K ，并将其代入特定截面的转动惯量J ，就可以得到具体条件下的计算公式了。 如果悬线悬挂(支撑点)在试样的节点附近，则其边界条件为自由端横向作用力：

033=??-=??-=x

y YJ x M F

弯矩 ： 02

2=??=x

y

YJ M 即

0x d X

d 0

x 3

3== 0x

d X

d l

x 3

3==

0x d X

d 0

x 2

2== 0x

d X

d l

x 2

2==

将通解代入边界条件，得到1cos =KLchKL ，用数值解法求得本征值K 和棒长L 应满足：

420.20 ,279.17 ,137.14 ,9956.10 ,8532.7 ,7300.4 ,0=KL ,

由于其中第一个根“0”对应于静态情况，故将其舍去。将第二个根作为第一个根，

记作L K 1。一般将7300.4 1=L K 所对应的共振频率称为基频（或称作固有频率）。在上述L K n 值中，1，3，5…个数值对应着“对称形振动”, 第2、4、6…个数值对应着“反对称形振动”。图1给出了当4 ,3 ,2 ,1n =时的振动波形。由1n =图可以看出，试样在

作基频振动时，存在两个节点，它们的位置距离端面分别为L 224.0和L 776.0处。理论上悬挂点(支撑点)应取在节点处，但由于悬挂(支撑点)在节点处试样棒难于被激振和拾振，为此，可以在节点两旁选不同点对称悬挂(支撑)，用外推法找出节点处的共振频率。将第一本征值L

7300

.4K =

代入（2）式，得到自由振动的固有频率（即基频）： ()2

1

4

4

7300.4??

?

?

??=s l YJ ρω 解出氏模量： 243

10

9978.1ωρJ

s

L Y -?=

232

10

8870.7f J

m L ??=-

对于圆棒： ?==

2

2)4

d (

s s d y J 式中d 为圆棒的直径。 得到氏模量的表达式为： 2

436067.1f d

m L Y ?= （3）

上式即为（1）式的解。式中L 为棒长，d 为棒的直径，m 为棒的质量。如果在实验中测定出试样（棒）在不同温度时的固有频率f ，即可计算出被测试样在不同温度条件下的氏模量Y 。在国际单位制中氏模量的单位为（2

-Nm

）。

本实验的基本问题是测量试样在一定温度时的共振频率。为了测出该频率，实验时可采用如图2所示装置。

由信号发生器输出的等幅正弦波信号，加在传感器I（激振）上。通过传感器I把电信号转变成机械振动，再由悬线(支撑刀)把机械振动传给试样，使试样受迫作横向振动。试样另一端的悬线(支撑刀)把试样的振动传给传感器II（拾振），这时机械振动又转变成电信号。该信号经放大后送到示波器中显示。当信号发生器的频率不等于试样的共振频率时，试样不发生共振，示波器上几乎没有信号波形或波形很小。当信号发生器的频率等于试样的共振频率时，试样发生共振。这时示波器上的波形突然增大，这时读出的频率就是试样在该温度下的共振频率。根据（3）式，即可计算出该温度下的氏模量。

图3动态氏模量测试台

三、实验仪器

1．FB2729A 型动态氏模量实验仪 1套； 2．通用双踪示波器1台；

3．天平、游标卡尺、螺旋测微计等。 四、实验容

先按图4把实验仪器连接好，通电预热10分钟，再按下述步骤进行实验。

1．测定试样的长度L 、直径d 和质量m ，每个物理量各测5次。 2．在室温下，不锈钢和铜的氏模量参考值分别为：

211102-?Nm 和211102.1-?Nm ，实验前可先按公式（1）估算出共振频率f ，

以便于寻找共振点。

3．“悬挂法”：把试样棒用细棉线挂在测试台上，悬挂点的位置放在

L 9635.0L 0365.0和处

测量一组数据,再分别挂在L 901.0L 099.0和,L 8385.0L 1615.0和,L 776.0L 224.0和，L 7135.0L 2865.0和, L 651.0L 349.0和共测量6组数据,一一记录在表1中。(具体位置金属棒上已用刻度线标注)。

4．把信号发生器的输出与测试台的悬挂法-输入相连，测试台的悬挂法-输出与放大器的输入相接，放大器的输出与示波器的Y 输入相接。

5．把示波器触发信号选择开关设为“置”， Y 轴增益置于最小档（或左边第二档），Y 轴极性置于“AC ”。

6．鉴频与测量：先将两悬线挂在离试样端部mm 30处，待试样稳定后，调节信号发生器频率旋钮，寻找试样棒的共振频率1f 。当示波器荧光屏上出现共振现象时，即正弦波幅度突然变大时，再微调信号发生器频率旋钮，使波形振辐达到极大值。鉴频就是对试样共振模式及振动级次的鉴别，所以它是准确测量操作中重要的一步。在进行频率扫描时，我们发现试棒不只在一个频率处发生共振现象，而我们使用的公式（3）只适用于基频共振的情况。所以我们要确定试样是在基频频率下产生的共振。我们用阻尼法来鉴别：如果用手沿试样棒的长度方向轻触棒的不同部位，同时观察示波器，如果手指触到的是波节处，则示波器上的波形幅度不变，如果手指触到的是波腹处，则示波器上的波形幅度变小，当发现试棒上仅有两个波节时，那么这时的共振就是基频频率下的共振，记下这一频率f 1。 7．因试样共振状态的建立需要有一个过程，且共振峰十分尖锐，因此在共振点附近调节信号频率时，必须十分缓慢地进行，直至示波器的显示屏上出现最大的信号。 8．记录室温下的共振频率f ，求出材料的氏模量Y 。 9．本实验用铜棒和钢棒各做一次。

10. “支撑式”：把试样棒从悬挂线上取下，轻放于测试台支撑式的激、拾振器的橡胶支撑刀上。把信号发生器的输出与测试台的支撑式-输入相连，测试台的支撑式-输出与放大器的输入相接，放大器的输出与示波器的Y 输入相接。 11. 其余同“悬挂法”步骤。

五、数据与结果

将所测各物理量的数值代入公式（3），计算出该试样棒的氏模量Y 。再利用不确定度传递估算相对不确定度Y E 和不确定度Y E Y Y ?=?写出实验结果表达式：

Y Y Y ?±=

1．估算金属棒的长度L 、直径d 、和质量m 的测量值及其不确定度。

)mm (L L ?±；mm)(d d ?±；)g (m m ?±

2．由公式（3）分别求出钢棒和铜棒的氏模量 )(2

-??±m N Y Y （已知信号发生器的频率不确定度为： 当Hz 1.0f ,Hz 1000f =?<，当Hz 1f ,Hz 1000f =?≥

2222)2()()4()3

(f

f

m m d d L L Y Y ?+?+?+?=? 附：铜试样棒的基频共振频率：Hz 780~680

氏模量为：)( 102.1~1211-?≈Nm Y 铜

不锈钢试样棒的基频共振频率： Hz 1100~1000

氏模量为：)( 1010.2~95.12

11-?≈Nm Y 钢

六、注意事项

1．试样棒不可随处乱放，保持清洁，拿放时应特别小心。

2．悬挂试样棒后，应移动悬挂横杆上的振，拾振器到既定位置，使二根悬线垂直试样棒。 3．更换试样棒要细心，避免损坏激振，拾振传感器。 4．实验时，试样棒需稳定之后可以进行测量。

【思考题】

1． 试讨论：试样的长度L 、直径d 、质量m 、共振频率f 分别应该采用什么规格的仪器

测量？为什么？

2． 估算本实验的测量误差。提示：可从以下几个方面考虑： （1）仪器误差限；

（2）悬挂/支撑点偏离节点引起的误差。

七、数据表格

表1 悬挂/支撑点位置与共振频率数据记录(以mm 160L =计算悬挂/支撑点)

表2被测试样的参数与共振基频记录

表3 几种固体材料的氏模量的参考值

【附录】需要说明的二个问题：

1． 当测试样品不满足L d <<时，公式（3）需要乘以一个修正系数1T ，有关容可参考金

属材料的国家标准（912005 T /GB -中说明）。

2． 物体的固有频率固f 和共振频率共f 是两个不同的概念，他们之间的关系是：

2

41

1Q f f +

=共固 式中，Q 为试样的机械品质因素。对于悬挂法测量，一般Q 的最小值为50，把该值代入公式，共共共固f f Q f f 00005.150

41

14112

2≈?+=+

=，可见，共振频率与固有频率相比只相差十万分之五（%005.0）。本实验中只能测量出试样的共振频率，由于相差很小，所以用共振频率代替固有频率是合理的。