2018年度北京春季普通高级中学会考数学试卷

2018年北京市春季普通高中会考数学试卷

一、在每小题给出的四个备选答案中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A={1，2，3}，B={1，2}，那么A∩B等于（）

A．{3}B．{1，2}C．{1，3}D．{1，2，3}

2．（3分）已知直线l经过两点P（1，2），Q（4，3），那么直线l的斜率为（）A．﹣3 B．C．D．3

3．（3分）对任意，下列不等式恒成立的是（）

A．x2＞0 B．C． D．lgx＞0

4．（3分）已知向量，，且，那么x的值是（）A．2 B．3 C．4 D．6

5．（3分）给出下列四个函数①；②y=|x|；③y=lgx；④y=x3+1，其中奇函数的序号是（）

A．①B．②C．③D．④

6．（3分）要得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位

C．向上平移个单位D．向下平移个单位

7．（3分）某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出S的值是（）

8．（3分）设数列{a n}的前项和为S n，如果a1=1，a n+1=﹣2a n（n∈N*），那么S1，S2，S3，S4中最小的是（）

A．S1B．S2C．S3D．S4

9．（3分）等于（）

A．1 B．2 C．5 D．6

10．（3分）如果α为锐角，，那么sin2α的值等于（）A．B．C．D．

11．（3分）已知a＞0，b＞0，且a+2b=8，那么ab的最大值等于（）A．4 B．8 C．16 D．32

12．（3分）cos12°cos18°﹣sin12°sin18°的值等于（）

A．B．C．D．

13．（3分）共享单车为人们提供了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年龄分布进行了统计，得到的数据如表所示：

年龄12﹣20岁20﹣30岁30﹣40岁40岁及以上

比例14%45.5%34.5%6%

为调查共享单车使用满意率情况，线采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取20﹣30岁的人数为（）

A．12 B．28 C．69 D．91

14．（3分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为正方形，俯视图为圆，那么这个几何体的表面积是（）

15．（3分）已知向量满足，，，那么向量的夹角为（）

A．30°B．60°C．120° D．150°

16．（3分）某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，那么某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为（）

A．B．C．D．

17．（3分）函数的零点个数为（）

A．0 B．1 C．2 D．3

18．（3分）已知圆M：x2+y2=2与圆N：（x﹣1）2+（y﹣2）2=3，那么两圆的位置关系是（）

A．内切B．相交C．外切D．外离

19．（3分）如图，平面区域（阴影部分）对应的不等式组是（）

A． B．

C． D．

20．（3分）在△ABC中，，那么sinA等于（）A．B．C．D．

21．（3分）《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里…”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去．已知长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里…”试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为（）

A．1235 B．1800 C．2600 D．3000

22．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出下列四个推断：

①A1C1⊥AD1

②A1C1⊥BD

③平面A1C1B∥平面ACD1

④平面A1C1B⊥平面BB1D1D

其中正确的推断有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

23．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，D在斜边BC上，且CD=2DB，那的值为（）

A．3 B．5 C．6 D．9

24．（3分）为了促进经济结构不断优化，2015年中央财经领导小组强调“着力加强供给侧结构性改革”.2017年国家统计局对外发布报告“前三季度全国工业产能利用率达到五年来最高水平”，报告中指出“在供给侧结构性改革持续作用下，今年以来去产能成效愈加凸显，供求关系稳步改善”．如图为国家统计局发布的2015年以来我国季度工业产能利用率的折线图．

说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，；例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较．

根据上述信息，下列结论中错误的是（）

A．2016年第三季度和第四季度环比都有提高

B．2017年第一季度和第二季度环比都有提高

C．2016年第三季度和第四季度同比都有提高

D．2017年第一季度和第二季度同比都有提高

25．（3分）已知函数f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a在区间[﹣1，3]上的最大值是3，那么实数a的取值范围是（）

A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，﹣1]C．[0，+∞）D．

二、解答题（共5小题，满分25分）

26．（5分）已知函数f（x）=1﹣2sin2x

（1）=；

（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．

27．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点

（1）求证：PB∥平面EFG；

（2）求证：BC⊥EG．

28．（5分）已知数列{a n}是等比数列，且，公比q=2．

（1）数列{a n}的通项公式为a n=；

（2）数列{b n}满足b n=log2a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n的最小值．29．（5分）已知圆M：2x2+2y2﹣6x+1=0．

（1）圆M的圆心坐标为；

（2）设直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D．与圆M在第一象限的部分交于两点B，C．若O为坐标原点，且△OAB与△OCD的面积相等，求直线l的斜率．

30．（5分）同学们，你们是否注意到：在雨后的清晨，沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷上空，横跨深涧的观光索道的电缆．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．下面我们来研究一类与悬链线有关的函数，这类函数的表达式为f（x）=ae x+be﹣x（其中

a，b是非零常数，无理数e=2.71828…）．

（1）当a=1，f（x）为偶函数时，b=；

（2）如果f（x）为R上的单调函数，请写出一组符合条件的a，b值；（3）如果f（x）的最小值为2，求a+b的最小值．

2018年北京市春季普通高中会考数学试卷

参考答案与试题解析

一、在每小题给出的四个备选答案中，只有一项是符合题目要求的.

1．（3分）已知集合A={1，2，3}，B={1，2}，那么A∩B等于（）A．{3}B．{1，2}C．{1，3}D．{1，2，3}

【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={1，2}，

∴A∩B={1，2}．

故选：B．

2．（3分）已知直线l经过两点P（1，2），Q（4，3），那么直线l的斜率为（）A．﹣3 B．C．D．3

【解答】解：直线l的斜率k==，

故选：C．

3．（3分）对任意，下列不等式恒成立的是（）

A．x2＞0 B．C． D．lgx＞0

【解答】解：A．x2≥0，因此不正确；

B.≥0，因此不正确；

C．∵＞0，∴+1＞1＞0，恒成立，正确；

D.0＜x≤1时，lgx≤0，因此不正确．

故选：C．

4．（3分）已知向量，，且，那么x的值是（）A．2 B．3 C．4 D．6

【解答】解：向量，，且，

则6x﹣3×4=0，

解得x=2．

故选：A．

5．（3分）给出下列四个函数①；②y=|x|；③y=lgx；④y=x3+1，其中奇函数的序号是（）

A．①B．②C．③D．④

【解答】解：①满足f（﹣x）=﹣f（x），为奇函数；②y=|x|满足f（﹣x）=f （x），为偶函数；

③y=lgx为对数函数，为非奇非偶函数；④y=x3+1不满足f（﹣x）=﹣f（x），不为奇函数．

故选A．

6．（3分）要得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位

C．向上平移个单位D．向下平移个单位

【解答】解：将函数y=sinx的图象向右平移个单位，可得到函数的图象，

故选：B．

7．（3分）某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出S的值是（）

A．3 B．6 C．10 D．15

【解答】解：模拟程序的运行，可得

i=1，S=0

满足条件i＜4，执行循环体，S=1，i=2

满足条件i＜4，执行循环体，S=3，i=3

满足条件i＜4，执行循环体，S=6，i=4

不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为6．

故选：B．

8．（3分）设数列{a n}的前项和为S n，如果a1=1，a n+1=﹣2a n（n∈N*），那么S1，S2，S3，S4中最小的是（）

A．S1B．S2C．S3D．S4

【解答】解：{a n}的前n项和为S n，如果a1=1，a n+1=﹣2a n（n∈N*），

则数列{a n}为首项为1，公比为﹣2的等比数列，

则S1=a1=1；

S2=1﹣2=﹣1；

S3=1﹣2+4=3；

S4=1﹣2+4﹣8=﹣5．

则其中最小值为S4．

故选：D．

9．（3分）等于（）

A．1 B．2 C．5 D．6

【解答】解：原式===2．

故选：B．

10．（3分）如果α为锐角，，那么sin2α的值等于（）A．B．C．D．

【解答】解：∵α为锐角，，

∴cosα==，

∴sin2α=2sinαcosα=2×=．

故选：A．

11．（3分）已知a＞0，b＞0，且a+2b=8，那么ab的最大值等于（）A．4 B．8 C．16 D．32

【解答】解：a＞0，b＞0，且a+2b=8，

则ab=a?2b≤（）2=×16=8，

当且仅当a=2b=4，取得等号．

则ab的最大值为8．

故选：B．

12．（3分）cos12°cos18°﹣sin12°sin18°的值等于（）

A．B．C．D．

【解答】解：cos12°cos18°﹣sin12°sin18°=cos（12°+18°）=cos30°=，

故选：D．

13．（3分）共享单车为人们提供了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单

车人群的年龄分布进行了统计，得到的数据如表所示：

年龄12﹣20岁20﹣30岁30﹣40岁40岁及以上

比例14%45.5%34.5%6%

为调查共享单车使用满意率情况，线采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取20﹣30岁的人数为（）

A．12 B．28 C．69 D．91

【解答】解：由分层抽样的定义得应抽取20﹣30岁的人数为200×45.5%=91人，故选：D

14．（3分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为正方形，俯视图为圆，那么这个几何体的表面积是（）

A．4πB．5πC．6πD．2π+4

【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是底面半径为r=1，高为2的圆柱，∴这个几何体的表面积：

S=2×πr2+2πr×2

=2π+4π=6π．

故选：C．

15．（3分）已知向量满足，，，那么向量的夹角为（）

A．30°B．60°C．120° D．150°

【解答】解：根据题意，设向量的夹角为θ，

又由，，，

则cosθ==，

又由0°≤θ≤180°，

则θ=60°；

故选：B．

A．B．C．D．

【解答】解：某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，

要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，

基本事件有4个，分别为：

（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四），（星期四，星期五），有一天是星期二包含的基本事件有2个，分别为：（星期一，星期二），（星期二，星期三），

∴某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为p=．

故选：D．

17．（3分）函数的零点个数为（）

A．0 B．1 C．2 D．3

【解答】解：根据题意，对于函数，

其对应的方程为x﹣﹣2=0，

令t=，有t≥0，

则有t2﹣t﹣2=0，

解可得t=2或t=﹣1（舍），

若t==2，则x=4，

即方程x﹣﹣2=0有一个根4，

则函数有1个零点；

故选：B．

18．（3分）已知圆M：x2+y2=2与圆N：（x﹣1）2+（y﹣2）2=3，那么两圆的位置关系是（）

A．内切B．相交C．外切D．外离

【解答】解：圆M：x2+y2=2的圆心为M（0，0），半径为r1=；

圆N：（x﹣1）2+（y﹣2）2=3的圆心为N（1，2），半径为r2=；

|MN|==，

且﹣＜＜+，

∴两圆的位置关系是相交．

故选：B．

19．（3分）如图，平面区域（阴影部分）对应的不等式组是（）

A． B．

C． D．

【解答】解：经过（2，0），（0，2）点的直线方程为+=1，即x+y﹣2=0，

经过（2，0），（0，﹣2）点的直线方程为﹣=1，即x﹣y﹣2=0，

经过（﹣1，0），（0，2）点的直线方程为﹣x+=1，即2x﹣y+2=0，

则阴影部分在x+y﹣2=0的下方，即对应不等式为x+y﹣2≤0

阴影部分在2x﹣y+2=0，的下方，即对应不等式为2x﹣y+2≥0

阴影部分在x﹣y﹣2=0的上方，即对应不等式为x﹣y﹣2≤0，

即对应不等式组为，

故选：A

20．（3分）在△ABC中，，那么sinA等于（）A．B．C．D．

【解答】解：在△ABC中，，

则：，

解得：．

故选：B．

A．1235 B．1800 C．2600 D．3000

【解答】解：∵长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里．

驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里，

∴前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为：

S4=（4×193+）+[4×]=1235．

故选：A．

22．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出下列四个推断：

①A1C1⊥AD1

②A1C1⊥BD

③平面A1C1B∥平面ACD1

④平面A1C1B⊥平面BB1D1D

其中正确的推断有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，

在①中，A1C1与AD1成60°角，故①错误；

在②中，∵A1C1∥AC，AC⊥BD，∴A1C1⊥BD，故②正确；

在③中，∵A1C1∥AC，AD1∥BC1，

A1C1∩BC1=C1，AC∩AD1=A，

A1C1、BC1?平面A1C1B，AC、AD1?平面ACD1，

∴平面A1C1B∥平面ACD1，故③正确；

在④中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1=B1，

∴平面A1C1B⊥平面BB1D1D，故④正确．

故选：C．

23．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，D在斜边BC上，且CD=2DB，那的值为（）

A．3 B．5 C．6 D．9

【解答】解：∵=﹣，∠BAC=90°，AB=3，CD=2DB

∴?=?（+）=?（+）=?（+﹣）

=?（+）=2+?=×9+0=6，

故选：C

24．（3分）为了促进经济结构不断优化，2015年中央财经领导小组强调“着力加

强供给侧结构性改革”.2017年国家统计局对外发布报告“前三季度全国工业产能利用率达到五年来最高水平”，报告中指出“在供给侧结构性改革持续作用下，今年以来去产能成效愈加凸显，供求关系稳步改善”．如图为国家统计局发布的2015年以来我国季度工业产能利用率的折线图．

根据上述信息，下列结论中错误的是（）

A．2016年第三季度和第四季度环比都有提高

B．2017年第一季度和第二季度环比都有提高

C．2016年第三季度和第四季度同比都有提高

D．2017年第一季度和第二季度同比都有提高

【解答】解：由折线图知：

在A中，2016年第三季度和第四季度环比都有提高，故A正确；

在B中，2017年第一季度和第二季度环比都有提高，故B正确；

在C中，2016年第三季度和第四季度同比都下降，故C错误；

在D中，2017年第一季度和第二季度同比都有提高，故D正确．

故选：C．

25．（3分）已知函数f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a在区间[﹣1，3]上的最大值是3，那么实数a的取值范围是（）

A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，﹣1]C．[0，+∞）D．

【解答】解：f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a=|（x﹣1）2﹣1﹣a|，

∵x∈[﹣1，3]，

∴x2﹣2x∈[﹣1，3]，

当a＞3时，x2﹣2x﹣a＜0，

∴f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a=﹣x2+2x+a+a=﹣x2+2x+2a=﹣（x﹣1）2+1﹣2a，当x=1时，取的最大值，即1﹣2a=3，解得a=﹣1，与题意不符；

当a≤﹣1时，x2﹣2x﹣a≥0，

∴f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a=x2﹣2x﹣a+a=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，

当x=﹣1或3时，取的最大值，（3﹣1）2﹣1=3，

综上所述a的取值范围为（﹣∞，﹣1]

故选：B．

二、解答题（共5小题，满分25分）

26．（5分）已知函数f（x）=1﹣2sin2x

（1）=；

（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．

【解答】解：函数f（x）=1﹣2sin2x=cos2x，

（1）=cos（2×）=；

故答案为：；

（2）x∈[﹣，]，

∴2x∈[﹣，]，

∴cos2x∈[0，1]，

∴当x=﹣时，f（x）取得最小值0，

x=0时，f（x）取得最大值1，

∴函数f（x）在区间上的最大值为1，最小值为0．

27．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点

（1）求证：PB∥平面EFG；

（2）求证：BC⊥EG．

【解答】证明：（1）∵点F，G分别为BC，PC，的中点，

∴GF∥PB，

∵PB?平面EFG，FG?平面EFG，

∴PB∥平面EFG．

（2）∵在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，

点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点，

∴EF∥AC，GF∥PB，

∴EF⊥BC，GF⊥BC，

∵EF∩FG=F，∴BC⊥平面EFG，

∵EG?平面EFG，∴BC⊥EG．

28．（5分）已知数列{a n}是等比数列，且，公比q=2．

（1）数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣4；

（2）数列{b n}满足b n=log2a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n的最小值．【解答】解：（1）数列{a n}是等比数列，且，公比q=2，

可得a n=?2n﹣1=2n﹣4；

故答案为：2n﹣4；

（2）b n=log2a n=log22n﹣4=n﹣4，

S n=n（﹣3+n﹣4）=（n2﹣7n）