应用随机过程课程设计-综述

H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y

课程设计（论文）

课程名称：应用随机过程

设计题目：通信系统中的随机过程

院系：电子与信息技术研究院

班级：通信工程一班

设计者：

学号：

指导教师：田波平

设计时间： 2009-12-20

哈尔滨工业大学

摘要

通信系统中用于表示信息的信号不可能是单一的确定的，而是具有不确定性和随机性的。这种具有不确定性，随机性的信号即称为随机信号。

同时通信系统中存在各种干扰和噪声，这些干扰和噪声的波形更具有随机性，是不可预测的。我们称其为随机干扰，或者随机噪声。尽管随机信号和随机噪声都是不可预测的，随机的，，但是它们具有一定的统计规律性。研究随机信号和随机噪声统计规律性的数学工具是随机过程理论，随机过程是随机信号和随机噪声的数学模型。

随机过程是与时间相关的随机变量，在确定的时刻它是随机变量。随机过程的具体取值称作其实现（样函数），是时间函数，所有实现构成的集合称作随机过程的样本函数空间，所有样本函数空间及其统计特性即构成了随机过程。

我们可以对通过研究随机过程的统计特性的探究，来研究随机过程通过线性系统的分析。

关键字：随机过程、通信系统、线性系统

1.通信中研究随机过程的重要性

通信就是互通信息。从这个意义上说，通信在远古时代就已经存在。人之间的对话是通信，用手势表达情绪也可以算通信。以后用烽火传递战事情报是通信，快马与驿站传送文件也是通信。但是现在的通信一般指的是电信，国际上称为远程通信(telecommunication)，即通过电信号或者光信号传送信息。图1是通信系统模型。从信息论的角度来说，通信的过程就是不确定度减小的过程。而不确定性就是过程的随机性，所以从这个角度来说通信过程的研究可以归结到对于随机过程特性的研究过程。

图1 通信系统模型

从图中可以看到，通信系统中用于表示信息的信号不可能是单一的确定的，而是具有不确定性和随机性的。这种具有不确定性，随机性的信号即称为随机信号。

同时通信系统中存在各种干扰和噪声，这些干扰和噪声的波形更具有随机性，是不可预测的。我们称其为随机干扰，或者随机噪声。尽管随机信号和随机噪声都是不可预测的，随机的，，但是它们具有一定的统计规律性。研究随机信号和随机噪声统计规律性的数学工具是随机过程理论，随机过程是随机信号和随机噪声的数学模型。

随机过程整个学科的理论基础，最早是由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定的。这一学科最早源于对物理学的研究，如吉布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。1907年前后，马尔可夫研究了一系列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。1923年维纳给出布朗运动的数学定义，直到今日这一过程仍是重要的研究课题。随机过程一般理论的研究通常认为开始于20世纪30年代。1931年，柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，1934年A·辛饮发表了《平稳过程的相关理论》，这两篇著作奠定了马尔可夫过程与平稳过程的理论基础。1953年，杜布出版了名著《随机过程论》，系统且严格地叙述了随机过程基本理论。

随机过程的概念很广泛，因而随机过程的研究几乎包括概率论的全部。虽然不能给出一个有用而又狭窄的定义，但是概率论工作者在使用随机过程这个术语时，通常想到的是其随机变量具有某种有意义的相互关系的随机过程，例如，独

立性就是这样一种关系。在提出随机过程这个术语之前，独立变量序列就是研究了很长时间的一类随机过程。由于历史上的原因，一般不把这样的序列看做是随机过程。

2.编码过程中随机过程理论的重要作用

在通信系统中，编码过程分为信源编码和信道编码两种，信源编码是为了压缩信息之间的相关性，最大限度提高传信率，目的在于提高通信效率；而信道编码则相反，通过引入相关性，使信息具有一定的纠错和检错的能力从而提高传输信息的可靠性。

对于信源编码，实现降低相关性有两种途径，一种是信源概率分布均匀化，另一种是信源独立化。从概率论和随机过程的角度来说，概率分布均匀化就是每个事件发生的概率大致相同，这样就会使每个信源携带的信息量基本相同，那么不确定性就达到最大，即传输过程中产生的信息量就最大；类似的信源独立化是通过对信源进行扩展达到的，通过信源的高次扩展，是扩展信源中每个符号出现的概率大致相同，这样也实现信息量最大化。

对于信道编码，由于信道中存在随机噪声，或者随机干扰，使得经过信道传输后所接收到的码元与发送码元之间存在差异，这种差异就是传输产生的差错。一般，信道噪声，干扰越大，码元产生差错的概率也就越大。

所以信道编码的任务就是构造出以最小冗余度代价换取最大抗干扰性能的码字组合。从信道编码的构造方法看，其基本思路是根据一定的规律在待发送的信息码中加入一些人为多余的码字。这些码字的引入时信息之间具有相关性，虽然降低了信息所能携带的信息量，但是通过相关性可以克服由于随机噪声引入的误码情况。

3.线性系统中的随机过程

通信的目的在于传输信号，信号和系统总是联系在一起的。通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在以后的讨论中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过系统（或网络）后，输出过程将是什么样的过程？

这里，我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。 随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线性系统的分析原理的基础之上的。我们知道，线性系统的响应v o (t)等于输入信号v i (t)与系统的单位冲激响应h(t)的卷积，即

()()()o i v t v t *h t ()()i v h t d τττ∞

-∞==-? 式（1） 若线性系统是物理可实现的，则

0()()()t i V t v h t d τττ-∞=-? 式（2）

如果把vi(t)看作是输入随机过程的一个样本，则vo(t)可看作是输出随机过

程的一个样本。显然，输入过程ξi(t)的每个样本与输出过程ξo(t)的相应样本之间都满足式（1）的关系。这样，就整个过程而言，便有

()0

o t i h t d ξτεττ∞=-? 式（3） 假定输入ξi(t)是平稳随机过程， 现在来分析系统的输出过程ξo(t)的统计特性。我们先确定输出过程的数学期望、自相关函数及功率谱密度，然后讨论输出过程的概率分布问题。

1） 输出过程ξo(t)的数学期望对式（3）两边取统计平均，有

()()()100E o t E[h i h E t d a h d ξτξτττεεττττ∞∞

=-=-=???［］ 式（4）

化简得：E ［ξo(t)］=a·H(0)

由此可见, 输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与直流传递函数H(0)的乘积，且E ［ξo(t)］与t 无关

2） 输出过程ξo(t)的自相关函数

0110101(,)[

()()]R t t E t t τεετ+=+ 式（5） ()()()1000100Ro t1, t1E o t1o t1()()()()]]()()[()()]]

i i i i i E h a t a da h t d d h a h E t a t d d τξξτεβετβαββεετβαβ∞∞∞∞

∞+=+=-+-=-+-?

????［］ 式（6） 根据平稳性：E ［ξi (t 1-α)ξi (t 1+τ-β)］=R i (τ+α-β)

可有：R o (t 1, t 1+τ)= h(α)h(β)Ri(τ+α-β) d αd β=R o

可见, ξo (t)的自相关函数只依赖时间间隔τ而与时间起点t 1无关。由以上输出过程的数学期望和自相关函数证明，若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的。

所以平稳随机过程通过线性系统之后仍是平稳随机过程，这在通信系统分析中非常重要，例如高斯白噪声通过线性系统后仍旧是高斯噪声。

类似的例子在通信系统中举不胜举。由此观之，随机过程在通信系统中的应用非常广泛，所以学好应用随机过程对于我们通信系统大研究重要性可见一斑。

参考文献

[1]周炯槃：通信原理，北京邮电大学，2005

[2]田波平：应用随机过程讲义，哈尔滨工业大学，2009

[3]胡细宝：概率论、数理统计、随机过程，北京邮电大学，2004