(完整word版)高等数学偏导数第七节方向导数题库精编
【试题内容】求z x y =+，在点2222,?? ?
?
?沿单位圆x y 221+=外法线方向的方向导数。 【试题答案及评分标准】
cos cos αβ==
22
(4分)
????z x
z y
==11 所以
??z n =+=2222
2
(10分)
【090702】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求z x y =+32在点()11
,沿单位圆x y 2
2
2+=外法线方向的方向导数。 【试题答案及评分标准】
cos cos αβ==
2
2
(4分)
????z x
z
y
==32 所以
??z n =?+?=322222522
(10分)
【090703】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数z x y =?+ln()1在点()11
,沿曲线2122x y -=切线（指向 x 增大方向）向量的方向导数。
【试题答案及评分标准】
tan (,)
α=
=42211x y
cos cos αβ==
15
25
(4分)
所以
??ααβz y x
y =+++??????ln()cos cos (,)1111
=?
+?=+ln (ln )21512251
5
21
(10分)
【试题内容】求函数z e y x =+?? ??
?ln 12
在()01,点沿曲线y e x
=切线正向（指向 x 增大方向）的方向导数。
【试题答案及评分标准】
tan cos cos '
ααβ=====
==y e x x
x 0
01
2
2
(4分) ????z x
z y
y y (,)
(,)
(,)
01012
011
211==-
+=-
所以
??z a =?+-?=122122
0() (10分)
【090705】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数z x y =+2
ln arctan 在()11
,点沿?a 方向的方向导数，其中 a ?
为曲线 y x =2在()11,点的切向量，方向为 x 增大的方向。
【试题答案及评分标准】
tan cos cos 'ααβ====
=y x 1
21525
(4分)
????π
z x
x
z y
y y (,)
(,)
(,)
(,)
arctan 1111112
1122
11
12===
?
+=
所以
??πππz a =?+?=+215225225
()
(10分)
【090706】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数z y e x
=-在()1,e 点沿曲线 y e x
=切线正向（ x 增大方向）的方
向导数。
【试题答案及评分标准】
tan '
α=====y e e x x
x 1
1
cos cos αβ=
+=
+1112
2
e
e e
(4分)
????z x
e e
z y
e x
e e (,)
(,)
(,)
1111=-=-=
所以
??z a e e e e
=-?++?+=1111022
(10分)
【090707】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】设()z x y
=cos ，?
l 为曲线y x =+12sin 在 x =0处的切向量（指向 x 增大方向），求
??z
l
(,)
01。
【试题答案及评分标准】
tan cos '
α=====y x
x x 0
222
cos cos αβ=
=
15
25
(4分)
????z x y x x z y
x x y y (,)
(,)
(,)(,)
(cos )(sin )(cos )ln(cos )
0110101010
=-===-
所以
??z
l
=0
(10分)
【090708】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求z xy =arctan 在点()11
,沿曲线232
2
x y +=外法线方向的方向导数。 【试题答案及评分标准】
切线斜率tan '(,)
(,)
α==-
=-y
x
y
111122
法线斜率tan ?=12
所以cos sin ??=
=
25
15
(4分)
????z x y xy z y
x xy (,)
(,)
(,)
(,)
()()112
1111211112112=
+=
=
+= 所以
??z l =?+?=?122512153215
(10分)
【090709】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数z x y
=+22在()11
,点沿?a 方向的方向导数，其中?
a 为曲线
x y x 222+=在 ()1,1点的内法线向量。
【试题答案及评分标准】
切线斜率tan (,)
α=-
-=x y
1011
内法线向量{}n 001=-,，cos cos αβ==-0
1 (4分)
????z x x
z y
y (,)
(,)
(,)
(,)ln ln 1111111122
2222
===?=
所以
??z
n
=?+?-=-2022122ln ()ln
(10分)
【090710】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数z y x =
+sin 在12,π?? ?
?
?点沿?a 方向的方向导数，其中?a 为曲线
x t y t ==22sin ,cos π在t =
π
6
处的切向量（指向t 增大的方向）。 【试题答案及评分标准】
tan d d sin cos αππππ=
=-=-=
=
y x
t t
t t 6
6
222
cos sin απαππ=
+=
-+11
1
2
2
(4分)
????ππππz x x y x z y
y x
(,)(,)(,)(,)cos sin sin 12
12
1212
2012122
=+==
+=
所以
??πππz a =?++?-+011122122()()
=-
+ππ221
2
(10分)
【090711】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数z t t xy =
+?
d 14
2在点（1，-1）处沿
{}?
a =-11,方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
??z x
y x y (,)
(,)
112
48
11112
--=
+=
??z y
xy x y (,)(,)
1148
11211--=+=-
(5分)
cos cos αβ=-
=
12
12
所以
??z a =?-+-?=-?12121123212
()() (10分)
【090712】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数u r r x y z ==++arctan ,222在点（1,1,1）处沿{}?
a =-101,,方
向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
cos cos cos αβγ=
==
-12
012
(3分)
????u x r x r u y
r y r (,,)
(,,)
(,,)
(,,)
1112
1111112111111
43
11143
=
+?
=
=
+?=
??u z
r z
r
(,,)
(,,)
111211111143
=
+?=
(6分)
??u a =+-?? ??
?=143120120
(10分)
【090713】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数u r r x y z ==++sin ,222在点（1,2,-2）处沿{}?
a =111
,,方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
cos cos cos αβγ===
1
3
(3分)
????u x r x r u y
r y
r (,,)
(,,)
(,,)
(,,)
cos cos cos cos 1221221221221
3
32
3
3----=?
==?
=
??u z
r z r
(,,)
(,,)
cos cos 1221222
3
3--=?
=-
(6分)
??u a =133
3cos
(10分)
【090714】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数r x y z =
++222在点M x y z 0000(,,)处沿 0M 到坐标原点 O
方向 M 0的方向导数。 【试题答案及评分标准】
{}M x y z 0000=---,,
cos cos cos αβγ=-
=-
=-
x r y r z r 0
00
(3分)
其中r x y z 002020
2
=
++ ??????r
x
x r r y
y r r z
z r M M M 0
00
00
=
=
=
(7分)
所以??r
a x y z r =-++=-0202020
2
1
(10分)
【090715】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数u x y z
=在点（1,2,-1）处沿{}?
a =-122,,方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
cos cos cos αβγ=
=
=
-13
23
23
(3分)
????u x y x u y
x x zy
z y
y z z
z
(,,)
(,,)(,,)
(,,)
ln 1211
1211211
121120
------=?==?=
??u z
x x y y
y z z
(,,)
(,,)
ln ln 1211210--=?=
(7分) 所以
??u a =?=121316
(10分)
【090716】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数u y x z =+()2
3
在点（2,1,1）处沿该点向径方向的方向导数。 【试题答案及评分标准】
{}?
r =211,,，6
1cos 6
1cos 6
2cos =
γ=
β=
α (3分)
5
)(4
2)1,1,2(32)
1,1,2()
1,1,2()
1,1,2(=+=??==??z x y
u xy
x u
??u z
yz (,,)
(,,)
2112
21133==
(6分)
所以
??u r =?+?+?=426516316166
(10分)
【090717】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数u z y x
=?在点（1,2,1）处沿{}?
a =-332,,方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
cos cos cos αβγ=
=
=-
3
22
322
2
22
(3分) ????u x yz z u y
z x x
(,,)
(,,)
(,,)
(,,)
ln 1211211211210
1
====
??u z
y x z x (,,)
(,,)
1211
1212=??=-
(6分)
所以
??u a =+?-=-3222222122
() (10分)
【090718】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数u z x y =+22
在点（－3,4,1）处沿{}?
a =321,,方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
cos cos cos αβγ=
=
=
314
214
114
(3分)
????u x xz x y u y
yz
x y (,,)
/(,,)
(,,)
/(,,)
()()----=-
+=
=-+=-3412232
3413412
2323413125
4125
??u z
x y
(,,)
(,,)
--=
+=
3412
2
341115
(6分)
所以
??u a =?+-?+?=31253144125214151142612514
()(10分) 【090719】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数u z e x y =?+22
在点（0,1,－2）处沿{}?
a =-012,,方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
5
2cos 5
1cos 0cos -=
γ=
β=α (3分)
????u x xze u y
yze e
x y x
y
(,,)
(,,)
(,,)(,,)
01201201201220
242
2
2
2
-+--+-====-
??u z
e e x
y (,,)
(,,)
0120122
2
-+-==
(6分)
所以
??u a e e e =-?+?-=-()()4152565
(10分)
【090720】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数u x y z xy =++-2
2
2
在点（1,1,2）处沿{}?
a =112,,方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
cos cos cos αβγ=
=
=
1
6
16
26
(3分)
????u x x y u y
y x (,,)
(,,)
(,,)(,,)
()()
11211211211221
21
=-==-=
??u z
z (,,)
(,,)11211224==
(6分)
所以
??u a =++?=1616426106
(10分)
【090721】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数u e xyz
=在点P 0(1，0，－1)处沿10P P 方向的方向导数，其中P
1的坐标为 （2，1，－1）。
【试题答案及评分标准】
{}P P 011101
2
12
0==
=
=,,,
cos cos cos αβγ (4分)
????u x yze u y
xze
P xyz P P xyz
P 0
00
1
====-
??u z
xye P xyz
P 0
0==
(7分)
所以
??u l =-12
(10分)
【090722】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数2
2
2
2z y x u ++=在点 0P (1，1，1)处沿 O P 0方向的方向导数，其中 O 为坐标原点。
【试题答案及评分标准】
{}P O 011113
=---===
-,,,cos cos cos αβγ (3分)
????u x
x
u y
y
P P P P 0
22
22====
??u z
z
P P 0
44==
(6分)
所以
??u l =?-+?-+?-=-21321341383
(10分)
【090723】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数u xyz =2
在点 0P (1，2，－1)处沿1
0P P 方向的方向导数，其中 P 1213(,,)-。
【试题答案及评分标准】
{}P P 01134126326426=-==-=,,,cos ,cos ,cos αβγ (3分)
????u x
yz u y
xz P P P P 0
2
2
2
1====
??u z
xyz
P P 0
24==-
(6分)
所以
??u l =?-+-?=-212632644261726
() (10分)
【090724】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数u a r
r
=????在点 P 0(1，－2，2)处沿 r 0→
方向的方向导数，其中
{}?r x y z =,,， ?
a 为常向量 ，r OP 00→
=。
【试题答案及评分标准】
{}
?
a a a a u a x a y a z x y z
x y z x y z ==
?+?+?++,,,222 {}r 0
132323→==-????
??
cos ,cos ,cos ,,αβγ
(4分)
????u x a y a z a xy a xz
x y z a a a u y
a x a z a xy a yz
x y z a a a P x x y z P x y z
P y y x z P y x z
2222232
2
2
22232
8222752427
=+--++=+-=
+--++=
++()()//
??u z
a y x a xz a yz
x y z a a a P z x y P z x y
2222232
52427
=
+--++=
-+()()/
所以
??u r a a a a a a x y z y x z 01
81
8222524=+--++[()() +-+=25240()]a a a z x y
(10分)
【090725】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数u xy yz zx =+-3在点（1，2，0）处沿与直线x y z
-=--=12213
平行方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
{}?
μa =±-=±==±213214114314,,,cos ,cos ,cos αβγ (4分)
????u
x
y z u y
x z (,,)(,,)(,,)(,,)
()
()
1201201201202
31=-==+=
??u z
y x (,,)
(,,)()12012035=-=
所以
??u a =±?+?-?? ???+???
????221411145314
=±
18
14
(10分)
【090726】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数u x y z =+2
3ln()在点（1，2，2）处沿平面51x y z --=法线方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
{}?
μμn =±--=±==511527127127
,,,cos ,cos ,cos αβγ
(4分)
????u
x
x y z u y
x y z
(,,)
(,,)
(,,)
(,,)
ln()
ln 12212212221222328
318
=+==
+=
??u z
x y z
(,,)
(,,)
12221223338
=
+=
所以
??u n =±?+?-?? ???+?-?? ?????
????285271812738127ln =±
-127
1081
2(ln )
(10分)
【090727】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数u x xy x z =-++2
8在点（0，1，1）处沿平面3541x y z +-=法线方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
{}?
μn =±-=±=±=35435212452,,,cos ,cos ,cos αβγ (4分)
????u
x
x y u y
x
(,,)(,,)(,,)(,,)
()
011011011011287
0=-+==-=
??u z
(,,)
0111=
所以????????? ??-?+?+?±=??25412102
537n u =±1752 (10分) 【090728】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数u z y x =-?? ??
?arctan 在点（1，1，2）处沿平面323x y z +-=法线方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
{}?
μn =±-=±=±=321314214114
,,,cos ,cos ,cos αβγ
(5)
????u
x
y x y u y
x x y (,,)
(,,)
(,,)
(,,)
11222
11211222
1121212
=
+=
=-
+=-
??u z
(,,)
1121=
所以
??u n =±?+-?+?-?? ???????
??
12
314122141114()=μ1214 (10) 【090729】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数z x y =+ln()2
2
在点M x y 000(,)沿过该点的等值线的外法线方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
等值线方程为x y x y 2
2
02
02
+=+，外法线向量x y ={,}00，所以
cos ,cos αβ=
+=
+x x y
y x y
00
20
200
20
2 (5分)
??αβz
n x x y y x y x y
=+++=+222002020020
20
2
2cos cos (10分)
【090730】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数z e x y =+22
在点M x y 000(,)沿过该点的等值线外法线方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
等值线方程为x y x y 2
2
02
02
+=+
cos cos αβ=
+=
+x x y
y x y
00
2
200
20
2 (5分)
??z n e x x x y e y y x y x y x y =??++??
+++0202020
22200020200020
2 =?++20202
020
2e x y x y (10分)
【090731】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数z x y =+2249在点（2，3）沿曲线x y 22
49
2+=切线方向（指向 x 增大方向）与外法线方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
2429
03
2
23x yy y +==-
'
'
(,)
切向量{}
?
a =-=
=-
23213313
11,cos sin αα 法向量{}
?
n ==
=
32313213
22,cos sin αα
(5分)
????z x
x z y
y (,)
(,)
(,)(,)
232323232
1
29
23
=
===
所以
??z a =-?=21323313
0 ??z n =+?==313232131331313
13
(10分)
【090732】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数z x y =+22
2在点（2，1）沿曲线x y 2
2
26+=外法线方向的方向导
数。
【试题答案及评分标准】
法向量{}{}?
n x y ==,,(,)22221
cos cos αβ==
22
(5) ??αβz
n
x y =?+=244200cos cos (10)
【090733】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数u xy z =2
3
在点（1，1，1）处方向导数的最大值与最小值。 【试题答案及评分标准】
()
??αβγu
l
y z xyz xy z =++2332211123cos cos cos (,,)
=++cos cos cos αβγ23
(4分)
设{}
{}?
g l ==→1230
,,cos ,cos ,cos αβγ
则???u l g l g =?=→??0cos ，其中?为?g 与l 0→的夹角。 当{}3,2,11410=l ρ时，??u l 取最大值?
g =14；
当{}3,2,114
10=l ρ时，??u l 取最小值-=-?
g 14。
(10分)
【090734】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数u xyz =在点（1，－2，2）处方向导数的最大值与最小值。 【试题答案及评分标准】
()??αβγu
l
yz xz xy =++-cos cos cos (,,)122 =-+-422cos cos cos αβγ (4分)
设{}
{}?
g l =--=→4220
,,cos ,cos ,cos αβγ
则???u l g l g =?=→??0
cos ，其中?为?g 与l 0→的夹角。所以 当{}1,1,2610-=l ρ时，??u l 取最大值，?
g =26；
当{}1,1,26
10-=l ρ时，??u l 取最小值-=-?
g 26。
(10分)
【090735】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数u z x y =--2
2
2在点（1，－2，1）处沿与直线34
52
x z x y z +=+-=???平行
的向量 ?
a 方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
{}a =±-183,,
cos cos cos αβγ==±
=±
μ
174
874
3
74
(5分)
1
8422)
1,2,1()
1,2,1()1,2,1()
1,2,1()
1,2,1(=??=-=??-=-=??-----z
u y y u x x u
??u n
(,,)
()()1212174887413746974-=±-?-+?+??
?
????
=± (10分)
【090736】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数u x y z =+-2
2
32在点（1，0，1）处沿与直线x y y z +=+=???
11平行的向量
?
a 方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
{}a =±-111,
cos cos cos αβγ=±
==±
1
3
13
13
μ
(5分)
3
5cos 4cos 3cos 2μ=γ-β+α=??a u
(10分)
【090737】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数z x y =+22
在点0p (,)333处沿曲线ρθ=+41(cos )在点0p 处切线
方向的的方向导数。 【试题答案及评分标准】
[]
[]
tan d d sin (cos )cos sin cos (cos )(sin )(,)
αθθθ
θθθθθπ=
=
-++-++-==
y
x
33323
41410
cos cos αβ=±=10
(5分)
????z x
x z y
y (,)(,)
(,)
(,)
33333
333333
326
263====
??z
l
=±6
(10分)
【090738】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数z x y =+在点(,)11处沿曲线ρθ=2cos 在该点处切线方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
tan d d (,)
α=
=y x
110
cos cos αβ=±=1
(5分) ??z
l
=±1
(10分)
【090739】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求由x y z xyz 3
3
3
320++++=确定的隐函数在点（1，1，－1）处沿 x 轴反向的方向导数
【试题答案及评分标准】
0)
1,1,1(2
2)1,1,1(=++-=??--xy
z yz
x x
z （5分）
0)
1,1,1(=??-
=??-x
z
l
z （10分） 【090740】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求由x y z axyz 3
3
3
30++-=确定的隐函数z z x y =(,)在点（0，－4）处沿
{}?
a =-79,方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
解：当x =0，y =-4，得z =4 （2分）
1)
4.0(2
2)4,0()4.0(2
2)4,0(-=---=??-=---=??----axy
z axz
y y
z a axy z ayz
x x z （6分）
130
97130
9cos ,1307
cos +-=??∴-=
β=αa a
z （10分）
【090741】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求由e xyz e z
-=确定的隐函数z z x y =(,)在点（0，1）处沿{}?
a =-35,方向
的方向导数。
【试题答案及评分标准】
解：当x y 0001==,时，z 01= （2分）
1))
1.0()1.0())
1.0()1.0(=-=
??=
-=
??xy
e xz y
z e
xy e yz x z z z
（6分）
e
z ?=?α?∴
-
=α=α343
34
5sin 343cos
（10分）
【090742】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求由z xyz a
a 3
3
30-=≠()确定的隐函数z z x y =(,)在点（0，0）处沿
{}?
a =--12,方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
解：当x y ==00,时，z a 00=≠ （2分）
))
0.0(2)0.0())
0.0(2)0.0(=--
=??=-=
??xy
z xz y
z xy
z yz x z
（8分）
0=??∴
a
z
（10分） 【090743】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数z e t y
t x
=
+?
2
2
d 在点（0，0）处沿{}?
a =-12,方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
)
d 2(1
))
0,0(0
)
0,0()
0,0()0,0(2
2
2
2==??==???
x
t y
x
y t e ye y
z e
e x z
（6分）
5
15
2sin 5
1cos -=??=
α-=
αl z
答：-
1
5
（10分） 【090744】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】函数z xy =2
在点（1，2）沿{}?
a =11,方向的方向导数是——— 。
【试题答案及评分标准】
8
2
10分 【090745】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】函数z x y =sin 在点（2，
π3
）沿{}?
a =21,方向的方向导数是——— 。 【试题答案及评分标准】
31
5
+ 10分 【090746】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】函数z x y =+ln()2
在点（1，3）沿{}?
a =-11,方向的方向导数是——— 。
【试题答案及评分标准】
1
52
10分 【090747】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】函数f x y x y x y (,)=+-+22在点（3，4）沿{}?
a =-43,方向的方向导数
是—— 。
【试题答案及评分标准】-15
10分
【090748】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】函数z x y
=在点（1，2）沿{}?
a =11,方向的方向导数是—— 。
【试题答案及评分标准】2 10分
【090749】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】函数z xe y
y =2在点（2，1）沿{}?
a =12,方向的方向导数是—— 。
【试题答案及评分标准】-
35
e
10分 【090750】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】函数z x y =+ln(ln )在点（e ，1）沿{}?
a =-21,方向的方向导数是—— 。
【试题答案及评分标准】
15
e 10分
【090751】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】函数z x y xy
=+-arctan
1在点（－1，2）沿{}?
a =-13,方向的方向导数是—— 。 【试题答案及评分标准】
-1
1010
10分
【090752】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】函数z y x
=arctan
在点（1，1）沿{}?
a =11,方向的方向导数是—— 。 【试题答案及评分标准】0 10分 【090753】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】函数z x y
=+()
12在点（0，1）沿{}?
a =01,方向的方向导数是 ——— 。
【试题答案及评分标准】 0 10分 【090754】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】函数z e
xe y
=在点（1，0）沿{}?
a =-32,方向的方向导数是 ——— 。
【试题答案及评分标准】
e
13
10分 【090755】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】函数z xy =arcsin 在点（1，
1
3
）沿 x 轴正向的方向导数是 ——— 。 【试题答案及评分标准】
122
10分
【090756】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】函数z y
x
=ln 在点（1，1）处沿 x 轴反向的方向导数是 ——— 。
【试题答案及评分标准】0 10分 【090757】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】函数f x y e x y x
(,)sin()=+-2在点（0，
π
4
）处沿 y 轴负向的方向导数是 ——— 。
【试题答案及评分标准】0 10分 【090758】【选择题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】若z f x y =(,)在(,)x y 00处沿x 轴反方向的方向导数A ，则f x y (,)在该点对
x 的偏导数
(A) 为A
(B) 为-A
(C)不一定存在 (D) 一定不存在
答（ ）
【试题答案及评分标准】C 10分 【090759】【选择题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】函数z x y =+2在点（1，2）沿各方向的方向导数的最大值为：
(A) 3
(B) 0
(C)
5
(D) 2
答（ ）
【试题答案及评分标准】C 10分 【090760】【选择题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】函数z x y =+2
2
在（1,1）点沿{}?
l =--11,方向的方向导数为：
(A) 最大 (B) 最小 (C) 0 (D) 1
答（ ）
【试题答案及评分标准】B 10分
高等数学偏导数第一节题库
【090101】【计算题】【较易0.3】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】设z y x y x y =++arctan 122 ，求该函数的定义域。 【试题答案及评分标准】x ≠0为该函数的定义域。 10分 【090102】【计算题】【较易0.3】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】求函数u x y z =+?? ? ? ??arcsin 22的定义域。 【试题答案及评分标准】-≤+≤1122 x y z 10分 【090103】【计算题】【较易0.3】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】设z xf y x =()，其中x ≠0，如果当 x =1时，z y =+12，试确定f x ()及z 。 【试题答案及评分标准】 x =1时，z f y y ==+()12，所以f x x ()=+12 5分 z x y x x x x y =+?? ???= +12 22 10分 【090104】【计算题】【较易0.3】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】设z x y f x y =++-()，已知y =0时， z x =2，求f x ()和z 。 【试题答案及评分标准】y =0时，z x =2，得x f x x +=()2 所以f x x x ()=-2 5分
所以z x y x y x y x y y =++---=-+()()()222 10分 【090105】【计算题】【中等0.5】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】设z y f x =+-()1，其中x y ≥≥00,，如果y =1时z x =，试确定函数f x ()和z 。 【试题答案及评分标准】 y =1时，z f x x =+-=11() 所以f x x ()-=-11 3 分 令x t x t -==+112,()所以 f t t t t f x x x ()(),()=+-=+=+1122222 7分 所以()z y x x y x x y =+-+-=+-≥≥()(),1211002 10分 【090106】【计算题】【较易0.3】【多元函数的极限】【极限的计算】 【试题内容】求极限lim sin x y y x xy →→+-0 211 。 【试题答案及评分标准】 解：lim sin x y y x xy →→+-0 211 =?++→→lim sin () x y y x xy xy 00 211 6分 = 4 10分 【090107】【计算题】【较易0.3】【多元函数的极限】【极限的计算】
高数偏导数复习
1. 偏导数求解方法： 例题：求22z=3x xy y ++在(1,2)处的偏导数. 解：把y 看作常量，得 23z x y x ?=+? 把x 看作常量，得 32z x y y ?=+? 将（1,2）带入上述结果，就得 1 2|21328x y z x ==?=?+?=? 1 2|31227x y z y ==?=?+?=? 2. 高阶偏导数求解方法. 设函数z (x,y)f =在区域D 内具有偏导数 (x,y)x z f x ?=? (x,y)y z f y ?=? 按照对变量求导次序不同有下列四个二阶偏导数： 22()(x,y)xx z z f x x x ???==???, 2()(x,y)xy z z f y x x y ???==???? 2()(x,y)yx z z f x y y x ???==????, 22()(x,y)yy z z f y y y ???==???
3. 全微分.(求偏导数后加上,dx dy ) 函数(x,y)z f =的全微分： z z dz dx dy x y ??= +??. 例题：计算函数xy z e =在点(2,1)处的全微分. 解： ,x y x y z z ye xe x y ??==?? 222211 |,|2x x y y z z e e x y ====??==?? 所以 222dz e dx e dy =+ 4. 多元复合函数求导法则(先求偏导数，再对复合函数求偏导数). 例题1：设z uv sin t =+，而t u e =，cos v t =，求全导数dy dt 。 解：sin cos t dz z du z dv z ve u t t dt u dt v dt t ???=++=-+??? cos sin cos (cos sin )cos t t t e t e t t e t t t =-+=-+ 例题2：求2 2 (xy ,x y)z f =的22z x ??（其中f 具有二阶连续偏导数）. 解： 22'' 122'2'1 222'''''2''2''1112221224''3''22''111222 ()(2)2() (y 2)2(2) y 44z z y f f yx x x x x f y y f x x x y f xyf y f xy f x yf f xy f x y f ????==+??????=+??=++++=++ 5. 隐函数求导公式.
高等数学偏导数
授课单元7教案 课题1 偏导数 一、复习 x处的导数，y=f(x)的导数 一元函数y=f(x)在 二、偏导数的概念、 我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率。
例如，一定量的理想气体P ，体积V ，热力学温度T 的关系式为常数）R V RT P (,= （1）当温度不变时（等温过程），压强P 关于体积V 的变化率为2T V RT )(-=为常数dV dP （2）当体积V 不变时（等容过程），压强P 关于温度T 的变化率为 V R dT dP V = =常数)( . 这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如下定义。 1、z=f(x,y)在),(00y x 处的偏导数 （1） z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某一邻域内有定义, 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量?x 时, 相应地函数有增量 f (x 0+?x , y 0)-f (x 0, y 0). 如果极限 x y x f y x x f x ?-?+→?) ,(),(lim 00000 存在, 则称此极限为函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数, 记作 ),(00y x x z ??, ) ,(00y x x f ??, ) ,(00y x x z ' , 或),(00y x f x '. 即 x y x f y x x f y x f x x ?-?+=' →?) ,(),(lim ),(00000 00 （2）z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对y 的偏导数 ) ,(00y x y z ??= ) ,(00y x y f ??=) ,(00y x y z ' =),(00y x f y '=y y x f y y x f y ?-?+→?) ,(),(lim 00000 2、偏导函数（简称偏导数） (1)z =f (x , y )对自变量x 的偏导函数 如果函数z =f (x , y )在区域D 内每一点(x , y )处对x 的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x 、y 的函数, 它就称为函数z =f (x , y )对自变量x 的偏导函数, 记作 x z ??= x f ??= 'x z =),(y x f x 'x y x f y x x f x ?-?+=→?),(),(lim 0. (2) z =f (x , y )对y 的偏导函数 y z ??=y f ??= 'y z =),(y x f y '=y y x f y y x f y ?-?+→?),(),(lim 0 说明 （1）由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法求 x z ??时，把y 视为常数
高等数学教案ch82偏导数
§8.2 偏导数 一、偏导数的定义及其计算法 对于二元函数z =f (x ,y ),如果只有自变量x 变化,而自变量y 固定,这时它就是x 的一元函数,这函数对x 的导数,就称为二元函数z =f (x ,y )对于x 的偏导数. 定义 设函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)的某一邻域内有定义,当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量?x 时,相应地函数有增量 f (x 0+?x ,y 0)-f (x 0,y 0). 如果极限 x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000 存在,则称此极限为函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处对x 的偏导数,记作 00y y x x x z ==??,00 y y x x x f ==??,00y y x x x z ==,或),(00y x f x . 例如： x y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?),(),(lim ),(00000 00. 类似地,函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处对y 的偏导数定义为 y y x f y y x f y ?-?+→?),(),(lim 00000, 记作 00y y x x y z ==??,00y y x x y f ==??,00y y x x y z ==,或f y (x 0,y 0). 偏导函数:如果函数z =f (x ,y )在区域D 内每一点(x ,y )处对x 的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x 、y 的函数,它就称为函数z =f (x ,y )对自变量x 的偏导函数,记作 x z ??,x f ??,x z ,或),(y x f x . 偏导函数的定义式:x y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?),(),(lim ),(0 . 类似地,可定义函数z =f (x ,y )对y 的偏导函数, 记为 y z ??,y f ??,z y ,或),(y x f y .
热力学一般关系(热学-高等数学-偏微分)
第二部分工质的热力性质 六热力学函数的一般关系式 由热力学基本定律引出的一些基本热力学状态函数（如内能U、熵S ）及其为某一研究方便而设的组合函数（如焓H、自由能F、自由焓G等）许多都是不可测量，必须将它们与可测量（如压力p、体积V、温度T等）联系起来，否则我们将得不到实际的结果，解决不了诸如上一章讲的最大功计算等一些具体的问题。 这就需要发展热力学的数学理论以将热力学基本定律应用到各种具体问题中去。 热力学函数一般关系式全微分性质+基本热力学关系式 6.1 状态函数的数学特性 对于状态参数，当我们强调它们与独立变量的函数关系时，常称它们为状态函数。从数学上说，状态函数必定具有全微分性质。这一数学特性十分重要，利用它可导出一系列很有实用价值的热力学关系式。下面我们扼要介绍全微分的 一些基本定理。
设函数z f(x,y)具有全微分性质 则必然有 (1)互易关系 N(x,y) N (6-2) x y 而且是充分条件。因此，可反过来检验某一物理量是否具有 全微分。 (2)循环关系 ，亠 z y x “ 故有 1 (6-3) dz — dx — dy x y y x (6-1) 令式 (6-1 )中 M(x,y), 互易关系与门dz 0等价 它不仅是全微分的必要条件， 当保持 z 不变，即 dz 0时，由式(6-1)，得
y x x z z y 此式的功能是：若能直接求得两个偏导数，便可确定第三个偏导数。结果也很容易记忆，只需将三个变量依上、下、外次序，即(zyx)(yxz)(xzy)循环就行了。 (3)变换关系 将式(6-1)用于某第四个变量不变的情况，可有 dz z dx z dy X y y x 两边同除以dx，得 z z z y x x y y x x (6-4) 式中：z x 是函数z(x,y)对x的偏导数；疋以(x, x 独立变量时，函数z(x,)对x的偏导数。上面的关系可用于它们之间的变换。这一关系式对于热力学公式的推导十分重
高等数学偏导数第二节题库
【090201】【计算题】【较易0.3】【偏导数】【偏导数的定义】 【试题内容】求曲线z x y y =+=???226 上的点(,,)1637处的切线的斜率。 【试题答案及评分标准】 k z x x x y x ======16 1 22 10分 【090202】【计算题】【较易0.3】【偏导数】【偏导数的定义】 【试题内容】 设f x y xy x y x y x y x y (,)(,)(,)(,)(,) =-++≠=?????332 2 000 00，根据偏导数定义求f f x y (,),(,)0000。 【试题答案及评分标准】 解：lim (,)(,)lim ??????x x f x f x x x →→+-=-=-0 000001 f x (,)001=- 5分 lim (,)(,)lim ??????y y f y f y y y →→+-=-=-0 000001 f y (,)001=- 10分 【090203】【计算题】【较易0.3】【偏导数】【偏导数的定义】 【试题内容】设??? ??=≠++=) 0,0(),(0 )0,0(),(2),(2 2y x y x y x y x y x f ，根据偏导数定义求 )0,0(),0,0(y x f f 。 【试题答案及评分标准】 lim (,)(,)lim ??????x x f x f x x x →→+-==0 000001 f x (,)001= （5分） lim (,)(,)lim ??????y y f y f y y y →→+-==0 0000022 f y (,)002= 10分 【090204】【计算题】【较易0.3】【偏导数】【偏导数的定义】
高等数学偏导数第一节题库
【试题答案及评分标准】x ≠0为该函数的定义域。 10分 【090102】【计算题】【较易】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】求函数u x y z =+?? ? ? ??arcsin 22的定义域。 【试题答案及评分标准】-≤ +≤1122 x y z 10分 【090103】【计算题】【较易】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】设z xf y x =()，其中x ≠0，如果当 x =1时，z y =+12，试确定f x ()及z 。 【试题答案及评分标准】 x =1时，z f y y ==+()12，所以f x x ()=+12 5分 z x y x x x x y =+?? ? ??= +12 22 10分 【090104】【计算题】【较易】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】设z x y f x y =++-()，已知y =0时， z x =2，求f x ()和z 。 【试题答案及评分标准】y =0时，z x =2，得x f x x +=()2 所以f x x x ()=-2 5分 所以z x y x y x y x y y =++---=-+()()()2 2 2 10分 【090105】【计算题】【中等】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】设z y f x =+-()1，其中x y ≥≥00,，如果y =1时z x =，试确定函 数f x ()和z 。 【试题答案及评分标准】 y =1时，z f x x =+-=11() 所以f x x ()-=-11 3分 令x t x t -==+112 ,()所以 f t t t t f x x x ()(),()=+-=+=+1122222 7分 所以()z y x x y x x y = +-+-=+-≥≥()(),1211002 10分 【090106】【计算题】【较易】【多元函数的极限】【极限的计算】