山西省名校2013-2014学年高三第四次四校联考数学(理科)试卷及答案

山西省忻州一中 长治二中 临汾一中 康杰中学2013-2014

学年高三第四次四校联考数学试题（理科）A 卷

命题： 康杰中学 临汾一中 长治二中 忻州一中

【满分150分，考试时间120分】

一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)

1．集合A={x|x 2-2x>0},B={y|y= 2 x ,x>0}，R 是实数集，则(C R B)∪A 等于（ ） A ．R B ．(-∞,0)∪1,+∞) C ．(0,1 D ．(-∞,1∪(2,+∞)

2. 已知z 是复数z 的共轭复数, z+z + z ·z =0，则复数z 在复平面内对应的点的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线

3．设公比 错误！未找到引用源。的等比数列{错误！未找到引用源。}的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。 （ ） A ．错误！未找到引用源。 B ．错误！未找到引用源。 C ．错误！未找到引用源。 D ．错误！未找到引用源。 4.命题p ：?x ∈R,sinx-cosx< 2

命题q ：“a=1”是“直线l 1：ax+2y-1=0与直线l 2：x+(a+1)y+4=0平行”的充分条件 则下列命题中，真命题是

A ．(?q)∨p

B ．p ∧q

C ．(?p)∧(?q)

D ．(?p)∨ (?q) 5．某一个班全体学生参加物理测试，成绩的频率

分布直方图如图，则该班的平均分估计是 A ．70 B ．75 C ．68 D ．66

6．在长为8的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，

邻边长分别等于AC 、BC 的长，则该矩形面积大于

15的概率 ( )

A ．16

B ．14

C ．23

D ．45

7．右图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有 ( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

8．把函数f(x)=sin 2x-2sinxcosx+3cos 2x 的图像沿错误！未找到引用源。轴向左平移m(m>0)个单位，所得函数

g(x)的图像关于直线x= π

8

对称，则m 的最小值为

/分

频率

试题类型：A

（ ）

Ａ．错误！未找到引用源。 Ｂ．错误！未找到引用源。 Ｃ．错误！未找到引用源。 Ｄ．错误！未找到引用源。 9．已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是

（ ）

A ．233

B ．236

C ．113

D ．103

10．已知四边形ABCD ，∠BAD=120o，∠BCD=60o，AB ＝AD ＝２，则AC 的最大值为（ ） A ．４33 B ．４ C ．８33

D ．８

11．已知双曲线x 2a 2 ? y 2

b 2=1(a>0,b>0)，右焦点F 到渐近线的距离小于等于a,则该双曲线离心

率的取值范围为( )

A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．

D ．错误！未找到引用源。

12．若f(x)满足x 2f '(x)—2xf(x)=x 3e x ，f(2)= —2e 2.则x>0时，f(x) ( )

Ａ．有极大值，无极小值 Ｂ．有极小值，无极大值 Ｃ．既有极大值，又有极小值 Ｄ．既无极大值，也无极小值

二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)

13．(2x+1x )6

展开式中的常数项等于________

14．?ABC 中，|CB →|cos ∠ACB=|BA →|cos ∠CAB=3，且AB →·BC →

=0，则AB 长为 _ 15．已知直线x+y+2a-b=0(b ∈R,0≤a ≤2)与圆x 2+y 2=2有交点，则a+b 的最大值为 16．四棱锥P-ABCD 底面是一个棱长为2的菱形，且∠DAB=60o，各侧面和底面所成角均为60o，则此棱锥内切球体积为

三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)

17．在等差数列{a n }错误！未找到引用源。中，a 1=3，其前n 项和为S n 错误！未找到引用源。，等比数列{b n }错误！未找到引用源。的各项均为正数，b 1=1错误！未找到引用源。，公比为

q ，且b 2+S 2=12错误！未找到引用源。， q=S 2

b 2错误！未找到引用源。．

（1）求a n 错误！未找到引用源。与b n ；

（2）求1S 1+1S 2+…+1

S n

错误！未找到引用源。的取值范围．

18．为了普及环保知识增强环保意识，某校从理工类专业甲班抽取60人，从文史类乙班抽取50人参加环保知识测试 ⑴ 根据题目条件完成下面2×2列联表，并据此判断你是否有99%的把握认为环保知识与专业有关

⑵为参加上级举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，预选赛答卷满分100分，优秀的同学得60分以上通过预选，非优秀的同学得80分以上通过预选，若每位同学得60分以上的概率为12，得80分以上的概率为1

3，现已知甲班有3人参加预选赛，其中1人为优秀学生，若

随机变量X 表示甲班通过预选的人数，求X

的分布列及期望E （X ）. 附: k 2

=n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

, n=a+b+c+d

19．（本题满分１２分）

如图，四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，在?PAD 中PA →+PD →=2PE →

，且AD=2PE

(1)求证：平面PAB ⊥平面PCD ；

(2)如果AB=BC,∠PAD=60o，求DC 与平面PBE 的正弦值

20．已知点P 在圆x 2

+y 2

=1上运动，DP ⊥y 轴，垂足为D,点M 在线段DP 上，且|DM||DP|=2

2 （Ⅰ）求点M 的轨迹方程；

（Ⅱ）直线l 与y 轴交于点Q(0，m)(m≠0)，与点M 的轨迹交于相异的两点A,B ，且AQ →=λQB →

,若OA →+λOB →=4OQ →

.求m 的取值范围.

B

P A

C

D

E

21.已知函数错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。为自然对数的底），错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。为常数），错误！未找到引用源。是实数集错误！未找到引用源。上的奇函数.

⑴ 求证：错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。；

⑵ 讨论关于错误！未找到引用源。的方程：错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。的根的个数；

请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作

答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B 、C ，∠APC 的平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ，

（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED ； （Ⅱ）若AC=AP ，求PC

PA

的值。

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知直线l 的参数方程是???x=22t y=2

2t+4

2

(t 是参数)，圆C 的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π

4

)．

（1）求圆心C 的直角坐标；

（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．

P

试题类型：A

2013-2014学年第四次四校联考

数学试题答案（理）A 卷

命题： 康杰中学 临汾一中 长治二中 忻州一中

【满分150分，考试时间120分】

一、选择题

D A AD C B D ＡD B C B 【答案】 二、填空题:

13．60 14． 6 15．8 16．π

6 三、解答题

17．解：（1）设｛a n ｝的公差为d ， ∵b 2+S 2=12错误！未找到引用源。， q=S 2b 2

∴???q+6+d=12q 2=6+d

，解得q=3或q=-4(舍)，d=3. 故a n =3n,b n =3n-1 ……………4分 （2）S n =n(3+3n)2=3n(n+1)2,∴1S n =23n(n+1)=23(1n -1

n+1

)

∴1S 1+1S 2+…+1S n =23(1-12+12-13+…+1n -1n+1)=23(1-1

n+1) ……………8分

∵n≥1,∴0<1n+1≤12, 12≤1-1n+1<1

∴13≤23(1-1n+1)<23

,

即13≤1S 1+1S 2+…+1S n <2

3 ……………12分 18．解（1）2×2

由错误！未找到引用源。算得，

错误！未找到引用源。，所以有99%的把握认为环保知识与专业有关 （4分）

（2）不妨设3名同学为小王，小张，小李且小王为优秀，记事件M,N,R 分别表示小王，小张，小李通过预选，则P （M ）=12， P （N ）=P （R ）= 1

3 （5分）

∴随机变量X 的取值为0，1，2，3 （6分）

所以P(x=0)=P(M ˉN ˉR ˉ)=12×23×23 = 29, P(x=1)=P(MN ˉR ˉ+M ˉNR ˉ+M ˉN ˉR)= 12×23×23+12×23×13+12×

2

3×13= 49, P(x=2)=P(MNR ˉ+M ˉNR+MN ˉR)= 12×23×13+12×23×13+12×13×13 = 5

18, P(x=3)=P(MNR)= 12×13×13 = 1

18 （10分） E(X) =0×29+1×49+2×518+3×118 = 7

6 （12分）

19．解：（1）∵四棱锥P-ABCD 的底面是矩形

所以CD ⊥AD ，

又∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面PAD∩底面ABCD=AD ， 所以CD ⊥PA ， 因为在?PAD 中，PA →+PD →=2PE →

，且AD=2PE

所以PD ⊥PA 而CD ∩PD=D

所以PA ⊥平面PCD ， ∵PA ?平面PAB

所以平面PAB ⊥平面PCD ……………………………………4分

（2）如图，以AB 为x 轴，AD 为y 轴建立空间直角坐标系A-XYZ ， 设AB=4,

则A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,4,0),D(0,4,0)E(0,2,0)

在Rt ?APD 中AD=4, ∠PAD=60o,∴P(0,1,3) ……………6分 ∴BP →=(-4,1,3),BE →

=(-4,2,0)

设平面PBE 的一个法向量为n →

=(x,y,z) 由???n →·BP →=0

n →·BE →=0，得???-4x+y+3z=0-4x+2y=0. 令y=2得

x=1,z=233,∴ n →=(1,2, 233)…………10分

而DC →

=(4,0,0),

∴cos

>= DC →·n →|DC →|·|n →

| = 5719

∴DC 与平面PBE 的正弦值为

57

19

……………12分 20．解：（Ⅰ）设M(x,y )，P(x 0,y 0)，

则?????x x 0

= 2

2y=y 0

得???x 0=2x y 0=y

又P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=1上 ∴y 2+2x 2=1

∴点M 的轨迹方程为y 2+2x 2=1 ………4分

（Ⅱ）设直线l 与点M 的轨迹交于相异的两点A(x 1,y 1,B(x 2,y 2).把y=kx+m 代入y 2+2x 2=1得(k 2+2)x 2+2kmx+m 2-1=0,∴?=4(k 2-2m 2+2)>0 ………6分 x 1+x 2 = -2km k 2+2, x 1?x 2=m 2-1

k 2+2

∵AQ →=λQB →,∴OA →+λOB →=(1+λ)OQ →

, 又OA →+λOB →=4OQ →.∴λ=3,即AQ →=3QB →，

∴x 1=-3x 2, ………8分 由

?

????x 1+x 2 =

-2km k 2+2

x 1?x 2= m 2-1k 2

+2x 1= -3x 2

得4k 2m 2+2m 2-k 2-2=0 ………10分 当m 2= 14时，4k 2m 2+2m 2-k 2-2= - 3

2

<0，不合题意

当m 2

≠ 14时，k 2= 2-2m 24m 2-1,由①得k 2>2m 2

-2，∴2-2m 24m 2-1>2m 2-2，解得m ∈(-1,-12)∪(12

,1)

∴m 的取值范围为(-1,-1

2)∪(12

,1) ………12分

21.⑴ 证明：设错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，

∵当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，∴F(x)min =F(0)=0

∴F(x)≥0,即错误！未找到引用源。； ………6分

⑵ 解：∵错误！未找到引用源。是实数集错误！未找到引用源。上的奇函数，∴错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，

∴方程为错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。.

设错误！未找到引用源。，则由错误！未找到引用源。得，x=e ， ………8分 又∵当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，

∴错误！未找到引用源。，

设错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，………10分 ∴① 当错误！未找到引用源。时，原方程无解；

② 当错误！未找到引用源。时，方程有且只有一根错误！未找到引用源。； ③ 当错误！未找到引用源。时，方程有两根； ………12分 请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22．解：(1)∵PA 是切线，AB 是弦，∴∠BAP=∠C 又∵∠APD=∠CPE,∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE. ∵∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE.

∴∠ADE=∠AED ……………5分 (2)由(1)知∠BAP=∠C,又∠APC=∠BPA,∴?APC ∽?BPA,PC PA =AC AB ,

∵AC=AP , ∠BAP=∠C=∠APC,

由三角形的内角和定理知：∠C+∠APC+∠PAC=180o,

∵BC 是圆O 的直径,∴∠BAC=90o,∴∠C+∠APC+∠BAP=90o,∴∠C=∠APC=∠BAP=30o, 在Rt ?ABC 中, AC AB =3,∴PC

PA = 3 ……………10分

23.解：(1)∵ρ=2cos(θ+π

4

)

∴ρ=2 cos θ-2sin θ,∴ρ2

=2ρcos θ-2ρsin θ …………(2分) ∴圆C 的直角坐标方程为x 2

+y 2-2x+2y=0 …………(3分) ∴圆心C 的直角坐标为(

22,- 2

2

) …………(5分) (2)法一： 由直线l 上的点向圆C 引切线长为

(

22t-22)2+(22t+ 22

+42)2-1=t 2+8t+40=(t+4)2

+24≥26, ∴直线l 上的点向圆C 引切线长的最小值为26 …………（10分） 法二：直线l 的普通方程为x-y+42=0, …………(6分)

圆心C 到l 直线距离是

52

|2422

22|

=++， …………(8分)

∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是621522=- …………（10分） 24．解：（1）∵a 2+b 2≥2ab, c 2+d 2≥2cd

∴a 2+b 2+c 2+d 2≥2(ab+cd), 当且仅当a=b=c=d=

2

2

时取“=” …………（2分） 又∵a 2+b 2=1, c 2+d 2=1

∴2(ab+cd)≤2 …………（4分） ∴ab+cd ≤1 …………（5分） （2）设m →=(a,b),n →

=(1,3),

∵|m →?n →|≤|m →|?|n →

|, …………（8分） ∴|a+3b|≤2a 2+b 2=2 ∴-2≤a+3b ≤2

∴a+3b 的取值范围为-2，2 …………（10分）