2020届广东省东莞市高三上学期期末调研测试数学试题(理)(解析版)
广东省东莞市2020届高三上学期期末调研测试
数学试题（理）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1.已知集合{}
{}2
|230,|10A x Z x x B x x =∈--≤=->，则集合A
B =（ ）
A. {2,3}
B. {1,1}-
C. {1,2,3}
D. ?
【答案】A
【解析】由()()2
23310x x x x --=-+≤，解得13x -≤≤，所以{}1,0,1,2,3A =-.
{}|1B x x =>.，所以{2,3}A B =.
故选：A. 2.己知
()2i
i ,i
m n m n -=+∈R ，其中i 为虚数单位，则m n +=（ ） A. 1- B. 1
C. 3
D. 3-
【答案】D
【解析】由题,1i 2i m n -=-,所以1
2m n =-??=-?
,则123m n +=--=-,
故选：D.
3.已知向量a ,b 满足1a =，27a b +=,且a 与b 的夹角为60?，则b =（ ）
A. 1
B. 3
C.
D.
【答案】A
【解析】由题,2
22
2
244441cos 607a b a a b b b b +=+?+=+????+=,
解得1b =, 故选：A.
4.已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A. 42
B. 21
C. 7
D. 3
【答案】B
【解析】由等差数列的性质可得6354553a a a a a a +-=+-=，
()174
7772732122
a a a S +?∴=
==?=. 故选：B.
5.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图（90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生），则下列结论中不一定正确的是（ ） 整个互联网行业从业者年龄分布饼状图 90后从事互联网行业者岗位分布图
A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上
B. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
C. 互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多
D. 互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10% 【答案】B
【解析】对于选项A,由饼状图可得90后占56%50%>,故A 正确； 对于选项B,互联网行业中从事技术岗位的人数90后占总体的
56%39.6%22.176%41%?=<,故B 错误；
对于选项C,互联网行业中从事设计岗位的人数90后占总体的
56%12.3% 6.888%3%?=>,故C 正确；
对于选项D,互联网行业中从事市场岗位的90后占总体的56%13.2%7.392%10%?=<,故D 正确, 故选：B.
6.函数()()
31
e e 1x x
f x x +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题,()f x 的定义域为{}|0x x ≠,
因为()()()
()33e 1e 1
e 1e 1x x x x
f x f x x x --++-=
==---,所以()f x 是偶函数,图象关于y 轴对称,故排除A 、C ；
又因为()()()
333112
1e 1e e x x x
f x x x x +==+--,则当x →+∞时,3x →+∞,e 1x -→+∞, 所以()0f x →, 故选：D.
7.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()2x
f x =，那么()2lo
g 3f 的值
为（ ） A.
1
3
B. -3
C. 3
D. 13
-
【答案】D
【解析】由题,2log 30>,
因为()f x 是定义在R 上的奇函数,
所以()21log 32211log 3log 233f f ?
?=-=-=- ??
?,
故选：D.
8.如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，至少含有一颗上珠的概率为（ ）
期末考试数学试题
A
57
B.
47
C.
27
D.
17
【答案】A
【解析】由题,则3537C 25
11C 77
P =-=-=,
故选：A.
9.已知函数()2sin(2)6
f x x π=+
，将()f x 的图象上所有点向右平移(0)θθ>个单位长度，得到的图象关于直线6
x π
=
对称，则θ的最小值为（ ） A.
6
π B.
3
π C.
2
π D. π
【答案】C
【解析】将函数()2sin(2)6
f x x π
=+
图象上所有点向右平移(0)θθ>个单位长度 得到函数()2sin 2sin 2266y x x θθ??
?=-+
=-+? ??π?
π???的图象， 令6
x π
=
， 得sin 213
6y θπ
π??=-+=±
???，
2,22
k k θ∴-+ππ
π=∈Z ， ,()2
k
k θπ∴=-∈Z ，
0θ>
则θ的最小值为2
π， 故选：C.
.
10.设α是给定的平面，A B ，是不在α内的任意两点．有下列四个命题： ①在α内存在直线与直线AB 异面；②在α内存在直线与直线AB 相交； ③存在过直线AB 的平面与α垂直；④存在过直线AB 的平面与α平行． 其中，一定正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③
C. ①④
D. ③④
【答案】B
【解析】由题,对于②,当直线//AB 平面α时,②不成立； 对于④,当直线AB ⊥平面α时,④不成立； 对于①③,根据直线与平面的位置关系,显然成立, 故选：B.
11.已知圆O 的半径是点P 是圆O 内部一点（不包括边界），点A 是圆O 圆周上一点，且2OA OP ?=，则()2
OA OP +的最小值为（ ）
A.
23
2
B. 12
C.
252
D. 13
【答案】C
【解析】由题,因为cos ,22cos 2OA OP OA OP OA OP OP POA ?=??=∠=,
所以21
2cos OP POA
=
∠,
则当cos 1POA ∠=,即0POA ∠=时,min
OP =, 因为()
()
2
2
22
22
222
2212OA OP
OA OP OA OP OP OP +=++?=++?=+,
所以当OP 取得最小值时,()
2
2min
25
1222OA OP ??+=+= ? ???
, 故选：C.
12.已知球O 是正四面体A BCD -的外接球，2BC =，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是（ ） A.
8
9
π B.
1118
π
C.
512
π D.
49
π
【答案】A
【解析】由题,设平面α为过E 的球O 的截面,则当OE ⊥平面α时,截面积最小, 设截面半径为r ,球的半径为R ,则222r R d =-,
因为正四面体棱长为a ,设过点A 垂直于平面BCD 的直线交平面BCD 于点M ,则
3
DM a =
,令AM h =,OM x =,则x h R =-,
在Rt AMD 中,222AM DM AD +=,即2
22
h a a ?+=????
,则3h a =,
在Rt OMD 中,222
DM OM R +=,即2
22x R ?+=????,则2
2213a R R ?+-=????
,
解得R =
,则x ==, 在Rt OED △中,222OE OM EM =+,
因为点E 在线段BD 上,3BD BE =,设BC 中点为N ,则2DM MN =, 所以211333
EM BN BC a =
==,
在Rt OED △中,222OE OM EM =+,即2
2
2
211112372d a a a ????=+= ? ? ???
??,
所以2
2
22
1124729r a a a
??=-= ? ???
, 因为2a BC ==, 所以2
89
r =
, 所以截面面积为2
89
S r =π=π, 故选：A.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.“角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2；如此循环，最终都能够得到1．右图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n 的值为6，则输出i 的值为_______．
【答案】8
【解析】当6n =时,是偶数,则6
32
n =
=,011i =+=； 当3n =时,不是偶数,则33110n =?+=,112i =+=； 当10n =时,是偶数,则10
52
n =
=,213i =+=； 当5n =时,不是偶数,则35116n =?+=,314i =+=； 当16n =时,是偶数,则16
82
n ==,415i =+=； 当8n =时,是偶数,则8
42n =
=,516i =+=； 当4n =时,是偶数,则4
22n ==,617i =+=；
当2n =时,是偶数,则2
12
n ==,718i =+=
故答案为：8. 14.已知2cos(2)65απ+=-，则sin(2)3
απ
-=___________ 【答案】
25
【解析】sin(2)sin(2)cos(2)3665
22αααππππ-=+-=-+=， 故答案为：
25
. 15.若()()4
31ax x ++展开式中x 的系数为13，则展开式中各项系数和为______（用数字作答）． 【答案】64
【解析】由题,x 的系数为10
4431213C aC a +=+=,则1a =,
所以原式为()()431x x ++,令1x =,则展开式中各项系数和为()()4
311164+?+=,
故答案为：64.
16.已知函数()111
211
x x e e x f x x x --?-≤?=?-->??，，（其中e 为自然对数的底数），则不等式
()()10f x f x +-<的解集为_____．
【答案】72?
?-∞ ???
，
【解析】由题,欲解()()10f x f x +-<,即()()1f x f x -<-,
()22,2131,2x x e e x f x x x --?-≤?-=?-->??
,()111
211x x
f e x x e x x --?-≤??--+>?+=?-，，,
当2x ≤时,()1f x -单调递增,()()max 120f x f -==,
()f x -在(],1-∞单调递减,在(]1,2上单调递减,则()()min 10f x f -==????,
所以满足()()1f x f x -<-,
当2x >时,()f x -单调递减,()1f x -在()2,3上递减,在()3,+∞上递增, 则另()()1f x f x -=-,即3121x x --=--+,解得7
2
x =, 所以当7
2
2x 时,()()1f x f x ->-, 综上,72x ??∈-∞ ??
?
，,
故答案为：72??-∞ ???
，.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：本大题共5小题，每小题12分，共60分．
17.已知数列{}n a 中，11a =且()
*
12621n n a a n n N +=+-∈
（1）求证：数列2n n a ??
+
????
为等比数列；
（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．
（1）证明：∵()12621N*n n a a n n +=+-∈,∴1132
n n a a n +=+-
, ∴
11113
3322223222n n n n n n n n a a n a n n n n a a a ++++
+-++===+++
, 11131222a +=+=,
∴2n n a ??+
??
??为等比数列,首项为3
2
,公比为3 （2）解：由（1）得,13133222n n n n a -+
=?=?,∴1322
n n n
a =?-, 123n n S a a a a =++++……()()12311
333312322
n n =++++-++++…………
()()()23133311112132244
n n n n n n --++=-=-
-12
334n n n +---= 18.如图，在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且2cos 2a C c b -=．
（1）求角A 的大小； （2）若6
ABC ∠=
π
，AC 边上的中线BD 的长为7，求ABC 的面积． 解：（1）因为2cos 2a C c b -=,
根据正弦定理,得2sin cos sin 2sin A C C B -=, 即()2sin cos sin 2sin A C C A C -=+,
所以2sin cos sin 2sin cos 2sin cos A C C A C C A -=+, 整理得sin 2sin cos C C A -=,
因为sin 0C ≠,所以1cos 2
A =-,
又因为()0,A π∈,则23
A π= （2）由（1）知23A π
=,又因为6ABC π∠=,所以6
C π=,所以
AC AB =, 因为D 是AC 中点,
设AD x =,则2AB x =,
在ABD △中,根据余弦定理,得2222cos BD AB AD AB AD A =+-?, 即()2
2
2
27222cos 3
x x x x π=+-???
即2749x =,解得x =
故ABC 的面积2112sin 4sin 223
S AB AC A x π=
??=??=
19.如图，在四棱锥S ABCD -中，已知四边形ABCD 的正方形，点S 在底面
ABCD 上的射影为底面ABCD 的中心点O ，点P 在棱SD 上，且SAC 的面积为1．
（1）若点P 是SD 的中点，求证：平面SCD ⊥平面PAC ；
（2）在棱SD 上是否存在一点P 使得二面角P AC D --？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由．
解：（1）∵点S 在底面ABCD 上的射影为点O ,∴SO ⊥平面ABCD ,
∵四边形ABCD 的正方形,∴2AC =,
∵三角形SAC 的面积为1,∴1
212
SO ??=,即1SO =,∴SC =
∵CD =
,点P 是SD 的中点,
∴CP SD ⊥,同理可得AP SD ⊥, 又因为AP
CP P =,,AP CP ?平面PAC ,
∴SD ⊥平面PAC , ∵SD ?平面SCD , ∴平面SCD ⊥平面PAC （2）存在,
如图,连接OB ,易得,,OB OC OS 两两互相垂直,
分别以,,OB OC OS 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系O xyz -,
则()()()()0,1,0,0,1,0,0,0,1,1,0,0A C S D --,假设存在点P 使得二面角P AC D --
, 不妨设SP SD λ=,
∵点P 在棱SD 上,∴ 01λ≤≤, 又()1,0,1SD =--, ∴(),0,SP λλ=--, ∴(),0,1P λλ--,
(),1,1AP λλ=-∴-,()0,2,0AC =,
设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =,则00n AP n AC ??=??
?=??,∴()10
20
x y z y λλ?-++-=?=?, 令z λ=,可得1x λ=-,∴平面PAC
一个法向量为()1,0,n λλ=-,
又平面ACD 的一个法向量为()0,0,1OS =,二面角P AC D --
, ∴
(cos ,1OS n OS n OS n
λ?==
=
?-即23210λλ+-=, 解得
1
3
λ=
或1-（舍） 所以存在点P 符合题意,点P 为棱SD 靠近端点S 的三等分点
20.东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便，越来越多的市民选择乘坐轻轨出行，很多市
民都会开汽车到离家最近的轻轨站，将车停放在轻轨站停车场，然后进站乘轻轨出行，这给
轻轨站停车场带来很大的压力．某轻轨站停车场为了解决这个问题，决定对机动车停车施行收费制度，收费标准如下：4小时内（含4小时）每辆每次收费5元；超过4小时不超过6小时，每增加一小时收费增加3元；超过6小时不超过8小时，每增加一小时收费增加4
的
元，超过8小时至24小时内（含24小时）收费30元；超过24小时，按前述标准重新计费．上述标准不足一小时的按一小时计费．为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车的停留时间（假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次），得到下面的频数分布表：
以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率．（1）现在用分层抽样的方法从上面1000辆车中抽取了100辆车进行进一步深入调研，记录并统计了停车时长与司机性别的22
?列联表：
完成上述列联表，并判断能否有90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关？（2）（i）X表示某辆车一天之内（含一天）在该停车场停车一次所交费用，求X的概率分布列及期望()
E X；
（ii）现随机抽取该停车场内停放的3辆车，ξ表示3辆车中停车费用大于()
E X的车辆数，求()2
Pξ≥的概率．
参考公式：
()
()()()()
2
2
n ad bc
k
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++
解：（1）由题,不超过6小时的频率为100100200
0.41000
++=,则100辆车中有40辆不超过6
小时,60辆超过6小时, 则22?列联表如下：
根据上表数据代入公式可得()2
21002030104050079427063070604063
K ??-?==≈
所以没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关 （2）（i ）由题意知：X 的可取值为5,8,11,15,19,30,则
()()()()1111
5,8,11,15,101055P X P X P X P X ==
====== ()()71
19,302020P X P X ====
所以X 的分布列为：
∴()111171581115193014.651010552020
E X =?
+?+?+?+?+?= （ii ）由题意得()171314.65520205P X >=
++=,所以3~3,5B ξ??
???
, 所以()()()2
3
2
3
3239227812233555255125125P P P C ξξξ??????≥==+==+=?? ? ? ???????
+= 21.已知函数()()20x
f x e
mx x =+∈+∞，，（其中e 为自然对数的底数）．
（1）求()f x 的单调性；
（2）若()222
x
a m g x x e =-=，，对于任意()01a ∈，，是否存在与a 有关的正常数0x ，使
得()0012x f g x ??
->
???
成立？如果存在，求出一个符合条件的0x ；否则说明理由． 解：（1）()2'2x
f x e
m =+,
①当0m ≥时,()'0f x >恒成立,所以()f x 在0,
上单调递增；
②当20m -≤<时,()0x ∈+∞，
,()'0f x >,所以()f x 在0,上的单调递增；
③当2m <-时,令()'0f x =,得1ln 022m x ??
=
-> ???
, 当10,ln 2
2m x ??
??∈-
? ????
?
时,()'0f x <,()f x 单调递减； 当1ln ,22m x ??
??∈-+∞ ?
?????
时,()'0f x >,()f x 单调递增； 综上所述：当2m ≥-时,()f x 在0,上的单调递增；
当2m <-时,()f x 在10,
ln 22m ????- ? ?????上单调递减,()f x 在1ln ,22m ??
??-+∞ ? ?????
上单调递增 （2）存在,
当2m =-时,()22x
f x e
x =-,
设存在与a 有关的正常数0x 使得()0012x f g x ??->
???
,即0
020012x x a e x x e -->
02
00112x x a x e +∴-
>, ()0200110*2x x a
x e +∴+-< 需求一个0x ,使()*成立,只要求出()21
12x a x t x x e
+=+-的最小值,满足()min 0t x <, ∵()1'x t x x a e ?
?
=-
???
,∴()t x 在()0,ln a -上单调递减,在()ln a -+∞，上单调递增, ∴()()()2
min ln ln ln 112
a t x t a a a a =-=+-+-, 只需证明
()2
ln ln 1102
a a a a +-+-<在()0,1a ∈内成立即可, 的
令()()2
ln ln 12a a a a a ?=
+-+, ()21
'ln 02
a a φ∴=>,
∴()a ?在()0,1a ∈单调递增, ∴()()()2
11ln 1ln11102
a ??<=
+?-+-=, 所以()min 0t x <,故存在与a 有关的正常数()0ln 01x a a =-<<使()*成立
（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的普通方程为22
4650x y x y +--+=．在以坐标原点为极
点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l
的极坐标方程为4sin πρθ?
?
+= ?
?
?． （1）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）设点P 在C 上，点Q 在l 上，求PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标． 解：（1）圆C 的方程可化为()()2
2
238x y -+-=,圆心为()2,3C ,
半径为,
∴圆C
的参数方程为23x y α
α
?=+??=+??（α为参数）,
直线l 的极坐标方程可化为sin cos 3ρθρθ+=-,
∵cos sin x
y
ρθρθ=??
=?,∴直线l 的直角坐标方程为30x y ++=
（2）法一：设曲线C
上的点()
2,3P αα++, 点P 到直线l ：30x y ++=的距离：
2
4d πα?
?=
=
=++ ??
?,
当54
π
α=
时
,)min 12PQ =-+= 此时点P
坐标为0,1,所以min PQ =此时点P 的坐标为0,1
法二：曲线C 是以()2,3C 为圆心,
半径为, 圆心()2,3C 到直线:30l x y ++=
的距离d ==
所以min PQ ==,
此时直线PQ 经过圆心()2,3C ,且与直线:30l x y ++=垂直,
1PQ l k k ?=-,所以1PQ k =,PQ 所在直线方程为32y x -=-,即1y x =+,
联立直线和圆的方程22
14650y x x y x y =+??
+--+=?,解得01x y =??=?或4
5x y =??=?
, 当PQ 取得最小值时,点P 的坐标为0,1,
所以min PQ =此时点P 的坐标为0,1 23.已知函数()12f x x x =+--． （1）解不等式()1f x ≤；
（2）记函数()f x 的最大值为s
()0s a b
c =>，，
，证明：3+≥． 解：（1）由题,()3,1
21,123,2x f x x x x -≤-??
=--<
,
①当1x ≤-时,31-≤恒成立,所以1x ≤-；
②当12x -<<时,211x -≤即1x ≤,所以11x -<≤； ③当2x ≥时,31≤显然不成立,所以不合题意： 综上所述,不等式的解集为(],1-∞
（2）由（1）知()max 123f x x x s =+-+==,
3=,
6++≥=,
当且仅当1a b c ===时取等,3
≥