北大版高等数学课后习题答案完整版

习题 1.1

22222222222222

223.

33,,.3,3.3,

,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,.

,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p p a a p a b p a pb b b

====+=+=++=++======证明为无理数若不是无理数,则为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数证明是无理数设为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,,

.,..,:

(1)|||1| 3.\;(2)|3| 2.

0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-?数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解 (1)222(1,3/2).

(2)232,15,1||5,1||5,(1,5)(5,1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ?-<-<<<<<<<=?--+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.,| 1.(1)|6|0.1;(2)||.

60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,).

1,01,.

1, 1.11n n

n n x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a a n n a a b a a ++>->+>+<->-<-=-∞-?-+∞>=++∞?-∞-=≠<=-∞+∞-><-<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若显然解(1)证5.:

6.120000(1)(1)(1).

(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|},

{|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n n n a b b n a a b a b n b a m

A A m A a b A

C B A x x b C A x x a B m m C b a m m ---+++>-<-=∈?=?=?=?≥=?≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数满足考虑有理数集合

= 若则中有最小数-=证7.(,),(,).1/10.{2|}.10n n n

n a b a b m

n b a A m <-=+

∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数满足考虑无理数集合以下仿8题.8.证习题1.2

642

6426426

613.1(1,)(1)(1)11

1(1).

1121

13.(,).13||13,||1,3,11||3,(,).y x x x x x x y x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x

y y x =+-+∞+-++=+-=

=<>+++++++=-∞+∞+++++≤≤>≤=++=≤∈-∞+∞证明函数在内是有界函数.

研究函数在内是否有界时,时证解习题 1.4

221.-(1)lim

(0);(2)lim ;(3)lim ;(4)lim cos cos .

|-||-||-|

1)0,||,,

,||.,||,||,lim

.(2)0x a x a

x a

x a x a a x a e e x a x a x a x a x a x a x a a

x a x a a a x a x a x a a

εδεεεεδεδεε→→→→→=>===?>-=

<<-+-<-<=-<-<=

?>直接用说法证明下列各极限等式:要使由于只需

取则当时故证(

222222,|| 1.||||||,|||||2|1|2|,1|2|)||,||.min{,1},||,

1|2|1|2|

||,lim (3)0,.||(1),01),1x a

x a a x a x a a

x a x a x a x a x a x a a a a x a x a x a a a x a x a x a e e e e e e

εεε

εδδεε

εε→---<-=+-<+≤-+<++-<-<=-<++-<=?>>-=-<<-<

<不妨设要使由于

只需(取则当时故设要使即(.

0ln 1,min{,1},0,||,

1|2|lim lim lim 0,|cos cos |2sin

sin 2sin sin ||,2222

,|,|cos cos x a a

x a a x a x a x a x a x a x a

e e x a x a e e e a e e e e e e x a x a x a x a

x a x a x a x a ε

εεδδεεδεδ-→+

→-

→<+

?<-<+=<-<-< ?+?

?===+-+-?>-==≤-=-<-取则当时故类似证故要使取则当|时. ..

(4)20

|,lim cos cos .

2.lim (),(,)(,),().

1,0,0|-|,|()|1,|()||()||()|||1||.(1)1(1)lim

lim 2x a

x a

x x x a f x l a a a a a u f x x a f x l f x f x l l f x l l l M x x εδδεδδ→→→→<==-?+==><<-<=-+≤-+<+=+-=故设证明存在的一个空心邻域使得函数在

该邻域内使有界函数对于存在使得当时从而求下列极限证 3.:2002

2220000

2212202lim(1) 1.22

2sin sin 1cos 11122(2)lim lim lim 1.22221(3)lim

lim

(0).

()

2(4)lim .223

(5)lim 22x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x a a

a x

x x a a a

x x x x x x x x →→→→→→→→+=+=?????? ? ? ?-???? ?==== ?

???+-

>++

---=

-------2.33

201030

30300

022********(23)(22)2(6)lim 1.(21)2112(7)lim

lim 1.(11)1

3132(8)lim lim lim 11(1)(1)(1)(1)(1)(2)lim lim (1)(1)x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→→→-→-→-→--+==++--==++--+---??-== ?+++-++-+?

?+-==+-+214

442

100(2)3

1.(1)3123(123)(2)(123)

(9)lim

lim 2(2)(2)(123)

(28)(2)244

lim

(4)(123)(1)1(1)12(10)lim lim lim .

1(11)lim x x x n

n n x y y x x x x x x x x x x x x x x x x n n ny y y x y n x y y

x →-→→→→→→→∞--==--++-+-+++=--+++-+===-++-+

+-+-===-()

22221011001

001

0100101

422

11lim 0.

(12)lim (0)./,(13)lim

(0)0, , .818(14)lim lim 1x m m m m

n n x n n m m m n n x n

x x x x x a x a x a a b b x b x b b a b m n

a x a x a a

b n m b x b x b m n x x →∞

--→--→∞→∞→∞+--==++-+++≠=+++=?+++?

≠=>?+++?∞>?

++=+4

/ 1.

11/x x =+

3202

333

233332

333322033331312(15)lim

(1312)(13131212)

lim

()(13131212)

5lim

(1)(13131212)

lim .3(1)(13131212)(16)0,l x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x a →→→→+--++--+++-+-=++++-+-=++++-+-==++++-+->22220001im lim ()()1lim ()x a x a x a x a x a

x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a →+→+→+??-+--=+ ? ?+--??

-+=+ ?

?+-++?

00()1lim ()11lim .()2x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a a →+→+??-=+ ?+-++????-=+= ? ?+++??

000222200000sin 14.lim 1lim 1sin sin (1)lim lim lim cos .tan sin sin(2)sin(2)2(2)lim lim lim 100323tan 3sin 2tan 3sin 2(3)lim lim lim sin 5sin 5x

x x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x x

x x x x x αααββββ→→∞→→→→→→→→→??=+= ???=====-=-利用及求下列极限:

00()1/0

321.sin 5555

(4)lim lim 2.1cos 2sin

2cos sin

sin sin 22(5)lim lim cos .2(6)lim 1lim 1lim 1.

(7)lim(15)

x x x a x a k

k k

k k x x x y

y x x x x

x x a x a x a a x a x a

k k k e x x x y →+→+→→----→∞

→∞

→∞→=-===-+--==--??????????+=+=+= ? ? ???????

????-=5

1/(5)50100

100

lim(15).

111(8)lim 1lim 1lim 1.5.lim ()lim ().

lim ():0,0,0|-|().

lim (y y x x

x x x x a

x x a x y e e x x x f x f x f x A x a f x A f x δδ--→+→∞→∞

→∞→→-∞

→→-∞

??-=????

??????+=++= ? ? ???????????

=+∞=-∞=+∞>><<>给出及的严格定义对于任意给定的存在使得当时):0,0,().

A x f x A =-∞>?><-?<-对于任意给定的存在使得当时

习题1.5

2222

22222221.(1)10(2)sin 5.(1)0,|110|.,11

,||,,|||110|,10555()

(2)(1)0,|sin 5sin 5|2|cos ||sin |.

x x x x a x x x x x x x x x x x x x a x a x a εδεεεεδεδεεε-+==?>+-+=

<≤++++<<=<+-+<+=+-?>-=<试用说法证明在连续在任意一点连续要使由于

只需

取则当时有故在连续.

要使由于证000000555()2|cos ||sin |5||,5||,||,

225,|||sin 5sin 5|,sin 55

()()0,0||()0.(),()/2,0||(x a x a x a x a x a x a x a x x a y f x x f x x x f x f x x f x x x f x ε

εε

δδεδδεδδ+-≤--<-<=-<-<==>>-<>=>-<只需取则当时有故在任意一点连续.2.设在处连续且证明存在使得当时由于在处连续对于存在存在使得当时证000000000000)()|()/2,()()()/2()/20.

3.()(,),|()|(,),?(,),.0,0|||()()|,||()||()|||()()|,||.f x f x f x f x f x f x f x a b f x a b x a b f x x x f x f x f x f x f x f x f x εδδεε-<>-=>∈>>-<-<-≤-< 于是设在上连续证明在上也连续并且问其逆命题是否成立任取在连续任给存在使得当时

此时故在连续其证 220001,,(),()|11,ln(1), 1,1,0,

(1)()(2)()arccos , 1. 0;

lim ()lim 11(0),lim ()(0)x x x x f x f x x a x x x x f x f x a x x a x x f x x f f x f π→-

→-

→+

?=≡?-?

?+≥??+<==??

<+≥???=+====逆命题是有理数

不真例如处处不连续但是|处处连续.

是无理数4.适当地选取,使下列函数处处连续:

解(1)0111122

sin 2lim

sin30

(2)lim ()lim ln(1)ln 2(1),lim ()lim arccos (1)ln 2,

ln 2.

5.3:11(1)lim cos

cos lim cos 0 1.

(2)lim 2.(3)lim x x x x x x x x

x x x

x a f x x f f x a x a f a x x x x

x x x

π→→+

→+

→-

→+∞

→+∞→→==+====-===-+-+-=====利用初等函数的连续性及定理求下列极限sin 22sin33

4422.

88(4)lim arctan arctan lim arctan1.114

x x x e x x x x π

→∞→∞=++===++

22222222()()(ln ())()(5)lim (12)||lim (12)||3||33lim lim .21211/12/6.lim ()0,lim (),lim)().

lim)()lim)x x x x g x b x x x x x x g x f x g x x x x x x x x x x x x x x x x f x a g x b f x a f x e →∞→∞→∞→∞→→→→→??+--=+--??????===????++-++-????=>====设证明证0

lim [(ln ())()]

ln 22.

7.,,(1)()cos ([]),,(2)()sgn(sin ),,,,1,(3)()1,1/2, 1.

1(4)()x x f x g x b a b e e a f x x x n f x x n n x x f x x x x f x ππ→===-∈=∈?≠==?=?+=Z Z 指出下列函数的间断点及其类型若是可去间断点请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:

间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.

,011,sin

,12,11

,01,2(5)(),12,2,1,2 3.1x x x x x x f x x x x x x

?≤≤?

=?<≤?-??≤≤?-?

=<≤=???<≤-?间断点第二类间断点.间断点第一类间断点.

0000008.(),(),()()()()()()()()()()(()())()()()()()0,()().

y f x y g x x h x f x g x x f x g x x h x f x g x x x g x f x g x f x x x f x g x x f x g x D x ??===+==+=+-=≡=R R 设在上是连续函数而在上有定义但在一点处间断.问函数及在点是否一定间断?在点一定间断.因为如果它在点连续,

将在点连续,矛盾.而在点未必间断.例如解

习题1.6

00001.:()lim (),

lim (),,,,()0,()0,[,],,(,),()0.

2.01,,sin ,.(x x P x P x P x A B A B P A P B P A B x A B P x y y x x f x εε→+∞

→-∞

=+∞=-∞<<>∈=<<∈=-R 证明任一奇数次实系数多项式至少有一实根.

设是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则存在在连续根据连续函数

的中间值定理存在使得设证明对于任意一个方程有解且解是唯一的令证证000000000000000212121212121)sin ,(||1)||1||,

(||1)||1||,[||1,||1],,[||1,||1],().,

()()(sin sin )||0,.3.()(,x x f y y y y f y y y y f y y x y y f x y x x f x f x x x x x x x x x f x a b εεεεε=---=--+<-≤+≥+->≥--+∈--+=>-=---≥--->在连续由中间值定理存在设故解唯一设在1212112212

1211211211122122212121212

12),,(,),0,0,(,)()()

().

()(),.()(),()()()()()()

()(),

[,]x x a b m m a b m f x m f x f m m f x f x x f x f x m f x m f x m f x m f x m f x m f x f x f x m m m m m m x x ξξξ∈>>∈+=

+==<+++=

≤≤=+++连续又设证明存在使得如果取即可设则在上利用连续函数的中间值定理证.

4.()[0,1]0()1,[0,1].[0,1]().

()(),(0)(0)0,(1)(1)10.,01.,,(0,1),()0,().

5.()[0,2],(0)(2).y f x f x x t f t t g t f t t g f g f t t g t f t t y f x f f =≤≤?∈∈==-=≥=-≤∈====即可设在上连续且证明在存在一点使得

如果有一个等号成立取为或如果等号都不成立则由连续函数的中间值定理存在使得即设在上连续且证明证12121212[0,2],||1,()().()(1)(),[0,1].

(0)(1)(0),(1)(2)(1)(0)(1)(0).(0)0,(1)(0),0, 1.(0)0,(0),(1),,(0,1)()(1x x x x f x f x g x f x f x x g f f g f f f f g g f f x x g g g g f ξξξ-===+-∈=-=-=-=-====≠∈=+在存在两点与使得且令如果则取如果则异号由连续函数的中间值定理存在使得证12)()0,, 1.

f x x ξξξ-===+取

第一章总练习题

221.:

581 2.

3|58|1422.|58|6,586586,.

3552

(2)33,

333,015.

(3)|1||2|

(1)(2),2144,.

2|2|,.

2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式（）或或设试将表示成的函数当时当时解解解2.解22231231

2,4,(2).

2,41

(2), 4.3

3.11.

1. 212,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)

2.22222

121

1,.22

123222n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x x x n n n n ->=--≤??=?->??+<+≥-+<++<++>≥-≠+++++=-+==++求出满足不等式的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则

解证1231111

112

2211231222222

2124(1)(1)3222,2222

1..1(1)(2)123(1).(1)

1(11)1(1)1,(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x x nx

x x x x x n x x ++++++-+++++=++++++++-+++=-+=-=-+-+++++

+=≠--++-===--即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,12

1(1)123(1)(1)(1)n n n n

n n x nx x x nx

n x n x

x +--+++++

+++=++-等式成立设等式对于成立,则

12212211221122122

1(1)(1)(1)(1)1(1)(12)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(2)(1),(1)

1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x n x x n x nx x x n x x n x nx x x x n x n x nx x x x n x n x n x x n ++++++++++-+++-+=

--+++-++=

--+++=-+即等式对于成立.,.

|2|||2

5.()(1)(4),(1),(2),(2);(2)();(3)0()(4)224211222422

(1)(4)1,(1)2,(2)2,(2)0.41224/,2(2)()x x f x x

f f f f f x x f x x f f f f x x f x +--=

---→→----------=

=--==-====----≤-=由归纳原理等式对于所有正整数都成立设求的值将表成分段函数当时是否有极限:当时是否有极限?解000222222

22;2,20;

0,0.(3).lim ()2,lim ()0lim ().

(4).lim ()lim (4/)2,lim ()lim 22lim (),lim () 2.

6.()[14],()14(1)(0),x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x f x f x f x f x x f x x f →-

→+

→-

→--

→-+

→--

→-??

-<≤??>?==≠=-======--无因为有设即是不超过的最大整数.求0

0223,(2);

2(2)()0?(3)()2?

391(1)(0)[14]14,1467.(2)[12]12.

244(2).lim ()lim[14]14(0).

(3).lim ()12,lim ()x y x x f f f x x f x x f f f f x y f f x f x →→+

→+

→-

???

==?????

?=-=-=-=-+=-=-=- ??????????

?=-=-==-的值在处是否连续在处是否连续连续因为不连续因为解111111.

7.,0,,:(1)(1);(2)(1).

n n n n n n a b a b n b a b a n b n a b a b a

++++=-≤<--<++<--设两常数满足对一切自然数证明

111111

()()

(1),

(1).

118.1,2,3,,1,1.

:{},{}..11

1,1,7,111n n n n n n n n n n n n n

n n n n n n n b a b a b b a a b b b b n b b a b a b a n a b a

n a b n n a b a b a b n n

n ++--+++--+++=

<+++=+--->+-????

==+=+ ? ?????

<+=++?+ ?类似有对令证明序列单调上升而序列单调下降,并且令则由题中的不等式证证=1

1111(1)1,

111111111(1)11(1)

1111111,

11111.

1111(1)11n n n

n n n

n n

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++???-+? ?+??

??<++ ???-

+???

???

+-+<++ ? ? ?

++????

???????

?+-+<+ ? ? ?+??

????

???

?+<+ ? ?+????

??+ ????++< ?+??1

1111111111(1)1111(1)11111111111111111.

1111111.

111n n n

n n n

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n

n n n n n +++++++?

?-+? ?+??-

+????

?++<+-+ ? ?

?+++??????

????

?+<+-+ ? ? ?++????

??????+++<+ ? ? ?

++???????

?++>+ ?++???我们证明2

1211111(1)11..(1)(1)1111,1,1,11.

n n n n n n n n n n n e e e n n n n ++++>+++++?>++????

????

→∞+→+→+<<+ ? ?

? ?

????

最后不等式显然成立当时故

9.求极限

2222 2222

1111

lim1111

234

1111

234

1324351111

().

22334422

10.()lim(0

()lim

n n n

f x a

nx a

f x

nx a

→∞

????????

----

????? ?

????????

----

????? ?

????????

==→→∞

=≠

作函数)的图形.

解

1/,0.

x x

≠

11.?,()[,]

|()|,[,].

,(),[,],max{||,||}1,

|()|,[,].

,|()|,[,],(),[,].

12.

f x a b

M f x M x a b

M N f x N x a b M M N

f x M x a b

M f x M x a b M f x M x a b

≤≤?∈=+

在关于有界函数的定义下证明函数在区间上为有界函数的充要条件

为存在一个正的常数使得

设存在常数使得M取则有

反之若存在一个正的常数使得则

证

121212

:()()[,],()()()()

[,].

,,|()|,|()|,[,].|()()||()||()|, |()()||()||()|,[,].

13.:()cos0

y f x y g x a b f x g x f x g x

a b

M M f x M g x M x a b f x g x f x g x M M f x g x f x g x M M x a b

f x x

x x

==+

证明若函数及在上均为有界函数则及

也都是上的有界函数

存在

证明在的任一

证

,0().

(,),00,,,(),

()(,)0,()(21/2)cos(21/2)0,

21/2

0().

x f x

M n n M f n M

n n

f x f x n n

x f x

δδδδ

δδπ

→

->><>=>

-=→=++=→∞

→

邻域内都是无界的但当时不是无穷大量任取一个邻域和取正整数满足和则

故在无界.但是x

故当时不是无穷大量

证

0001

14.lim (1)ln (0).

1ln 1,ln ln(1),.lim lim 10.

ln(1)ln(1)

lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1,

ln (1)ln ().

ln(1)

15.()()n

n n

n n n n n y y y y y n n

n n x x x x

x y x y n y x n y y y y e y y x

n x x n y f x g x →∞

→∞

→∞→→→-=>-==+==-=++=+=+==-=

→→∞+证明令则注意到我们有设及在实轴上有证0000202

22220000.:()(),,()lim ()lim ()().

1cos 1

16.lim

2sin 1cos 2sin 1sin 12lim lim lim lim 1422n n n n n x x x y y f x g x x x x f x f x g x g x x x x x y y x x y y →∞

→∞

→→→→→→===-=??-==== ???定义且连续证明若与在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等.

任取一个无理数取有理数序列证明证证001

000000001.2

ln(1)17.:(1)lim 1;(2)lim .

ln(1)

(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1.

(1)11(2)lim lim lim lim ln(1)ln(1)lim

x a x

a y x y y y y y x a a a x x a

a a

x x x y y a a y e e e y x y y y e y

e e e e e y e e e y x x x y y

e e +→→→→→+→→→→→=+-==+=+=+==---====++==证明证0111018.()lim ()0,()lim ()()0.

|()|,0||.0,0,0|||()|/.min{,},0||,|()()||()||()|,li x a

x a

y f x a f x y g x a f x g x g x M x a x a f x M x a f x g x f x g x M M

δεδδεδδδδεε→→====<<-<>><-<<=<-<=<

=设在点附近有定义且有极限又设在点附近有

定义,且是有界函数.证明设对于任意存在使得当时令则时故证m ()()0.

x a

f x

g x →=19.()(,),,()()|()|() () ()(),()(,).

y f x c g x f x f x c g x c f x c

c f x c g x g x =-∞+∞≤??

=>??-<-?-∞+∞设在中连续又设为正的常数定义如下当当当试画出的略图并证明在上连续

0000000000000|()|,0,||lim ()lim ()()().

(),0,||()lim ()lim ().

(),().0,,0,x x x x x x x x f x c x x g x f x f x g x f x c x x f x c g x c c g x f x c g x c c δδδδεεδ→→→→<>-<===>>-<>=====><>一若则存在当时|f(x)|

若则存在当时,g(x)=c,

若则对于任意不妨设存在使证()0000121212|||()|.||.(),()(),|()()||()|,(),(),|()-()|0.

()()min{(),}max{(),}().max{(),()}(|()()|()())/2.min x x f x c x x f x c g x f x g x g x f x c f x c g x c g x g x g x f x c f x c f x f x f x f x f x f x f x δεδεε-<-<-<≤=-=-<>==<=+--=-++得当时设若则若则二利用证121212123123123111123{(),()}(|()()|(()())/2.1

20.()[,],[()()()],

,,[,].[,],().()()(),(),.

()min{(),(),()},f x f x f x f x f x f x f x a b f x f x f x x x x a b c a b f c f x f x f x f x c x f x f x f x f x f ηηη=--++=++∈∈======设在上连续又设其中证明存在一点使得若则取即可否则设证31231313000000()min{(),(),()},

()(),[,],,[,],().

21.()(),()g(),,.

0()g()()g()x f x f x f x f x f x f x x c a b f c y f x x g x x x kf x l x x k l l kf x l x x kf x l x x ηη=<<∈==+=+≠+在连续根据连续函数的中间值定理存在一点使得设在点连续而在点附近有定义但在不连续问是否在连续其中为常数如果在连续;如果在解,l 0,0

00000||

()[[()lg()]()]/.22.Dirichlet .

.,()1;,()0;lim (),()11(1)lim 0;(2)lim (arctan )sin 12n n n n x x x x x g x kf x x kf x l x x x x D x x x D x D x D x x x x x →→∞→+∞=+-''→→→→+??

= ?+??

不连续,因否则将在连续证明函数处处不连续任意取取有理数列则取无理数列则故不存在在不连续.

23.求下列极限:

证222001

1/11

12132100;2tan 5tan 5/5

(3)lim lim 5.ln(1)sin [[ln(1)]/]sin /1(4)lim()

lim(1).

24.()[0,),0().0,(),(),

,().{x x y x x y n n x x x x x x x x x x x x y e y f x f x x a a f a a f a a f a π→→-→→+=====++++=+==+∞≤≤≥===设函数在内连续且满足设是一任意数并假定一般地试证明11},lim .

lim ,(),().

(),{}()0(1,2,),{}n n n n n n n n n n n n a a l a l f x x f l l a f a a a a f a n a →∞

→∞

++====≤=≥=单调递减且极限存在若则是方程的根即单调递减.又单调递减有下界,

证

111lim ,lim lim ()(lim )().

25.()(,),:(0)1,(1),()()().()((,)).()()().()()n n n n n n n n n x n n a l a l a f a f a f l y E x E E e E x y E x E y E x e x E x x E x E x E nx E x +→∞

→∞

======-∞+∞==+==?∈-∞+∞++==故有极限.设则设函数在内有定义且处处连续并且满足下列条件证明用数学归纳法易得于是证1

)(11)(1).

1(0)(())()()(),().().

1111,(1)()()()(),().

11()()().,n n n n n n n

n m

m n n n E n E E e E E n n E n E n e E n E n e E n e n E E n E n E e E E e n n n n m E E m E e e r E n n n -=++====+-=-=--======????

==== ? ?????

设是正整数则于对于任意整数

对于任意整数即对于所有有理数lim ().,,(),

()lim ()lim ().

n r x x x x n n n r e x x E x E x E x e e

e e →∞

→∞

=→====n 对于无理数取有理数列x 由的连续性的连续性

习题2.1

201.,.,.()2(0)(1),;(2),?(3)lim ,?

x l O x x m x x x l x x m m

x m

x ?→=≤≤??????设一物质细杆的长为其质量在横截面的分布上可以看作均匀的现取杆的左端点为坐标原点杆所在直线为轴设从左端点到细杆上任一点之间那一段的质量为给自变量一个增量求的相应增量求比值

问它的物理意义是什么求极限问它的物理意义是什么

2222222000(1)2()22(2)22(2).2(2)(2)2(2).(3)lim lim 2(2)4.lim x x x m x x x x x x x x x x x m x x x m x x x x x x x x m m

x x x x x x

?→?→?→?=+?-=+?+?-=?+???+??==+?+??????=+?=??是到那段细杆的平均线密度.是细杆在点的线密度.解

333

032233

222000002.,:(1);(2)2,0;(3)sin 5.

()

(1)lim

(33)lim lim (33)3.2()2(2)lim 2lim

(2lim x x x x x x y ax y px p y x a x x ax y x

x x x x x x x a a x x x x ax x

p x x px x x x

y p x x

x p ?→?→?→?→?→?→==>=+?-'=?+?+?+?-==+?+?=?+?-+?-'==??+?=根据定义求下列函数的导函数解00

00000)()2lim

()()21

2lim

25(2)52cos

sin sin 5()sin 522(3)lim

lim

55(2)552cos sin sin

5(2)2

222lim 5lim cos lim 552

2x x x x x x x x x x x x x

p x x x x x x x x p p x x x x

x x x

y x

x x x x x x x ?→?→?→?→?→?→?→-+?+?=?+?+?+?+==+?++??+?-'==??+???+?==??5cos5.2

x x =

00223.()(,()):(1)2,(0,1); (2)2,(3,11).

(1)2ln 2,(0)ln 2,1ln 2(-0),(ln 2) 1.

(2)2,(3)6,:116(3).

4.2(0)(,)(0,0)x x y f x M x f x y M y x B y y y x y x y x y y x y px p M x y x y ===+''==-==+''==-=-=>>>求下列曲线在指定点处的切线方程切线方程切线方程试求抛物线上任一点处的切线斜率解,0,.

2p F x ??

???

并证明:从抛物线的焦点发射光线时其反射线一定平行于轴

0002

22,,().

(),.

,2222,.

222,.

p p p

y px y M PMN Y y X x y

y px p y x N X y X x X x x y p p p p FN x FM x y x px

p p p x px x x FN FNM FMN M PQ x PMQ FNM FMN '==

=-=--=-=-=-???

?=+=-+=-+ ? ????

????

?=++=+=+=∠=∠ ? ????

?∠=∠=∠过点的切线方程：切线与轴交点(,0),故过作平行于轴则证

2005.2341,.

224,1,6,4

112564(1),4 2.:6(1),.

444y x x y x y x x y k y x y x y x y x =++=-'=+====??

-=-=+-=--=-+ ???

曲线上哪一点的切线与直线平行并求曲线在该点的切线和法线方程切线方程:法线方程解

23226.,,;(),,, (1)():(2)();

(3)().

()lim ()lim

lim ()lim

r R r R r R r R r g r GMr

r R R g r R M G GM r R r

g r r g r g r r GMr GM

r R g r g r R R

GM g r r →-

→-→+

→+?

其中是地球的半径是地球的质量是引力常数.

问是否为的连续函数作的草图是否是的可导函数明显地时连续.解,2lim (),()r R GM

g r g r r R R

→-==在连续.

(2)

33(3)()2(),()(),().r R g r GM GM

g R g R g R g r r R R R

+-≠'''==-≠=时可导.

在不可导

227.(),:(1,3)(),(0)3,(2) 1.3(),()2.3

411111

3,,3(),()3.

2222

P x y P x P P a b c P x ax bx c P x ax b b a b b a c a b P x x x ''===++=??

'=++=+=??+=?==-=-+==-++求二次函数已知点在曲线上且解

3222222222228.:(1)87,24 1.

(2)(53)(62),5(62)12(53)903610.(3)(1)(1)tan (1)tan ,(2)tan (1)sec .9(92)(56)5(9)51254(4),56(56)y x x y x y x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y x x '=++=+'=+-=-++=+-'=+-=-=+-+++-+++'===++求下列函数的导函数22

(56)122(5)1(1),.

11(1)x x y x y x x x ++'==-+≠=---

332

22222

26(6)(1),.1(1)

1(21)(1)1(7),.(8)10,1010ln1010(1ln10).sin cos sin (9)cos ,cos sin .

(10)sin ,sin cos (s x x x x x

x x x x x x x x x y x y x x x x x e e x x x x y y e e e

y x y x x x x x x

y x x y x x x x x y e x y e x e x e -'=≠=--+++-++-+-'==='==+=+-'=+=-+'==+=in cos ).

x x +

00000001001100009.:()()()(),()0

().()()(1)(2).

()()(),()0()()()()()

()(()()())()(),(m k k k k k P x P x x x g x g x x P x m x P x k x P x k k P x x x g x g x P x k x x g x x x g x x x kg x x x g x x x h x h x ---=-≠'->=-≠''=-+-'=-+-=-定义若多项式可表为则称是的重根今若已知是的重根,证明是的重根证00)()0,()(1)kg x x P x k '=≠-由定义是的重根.

000000010.()(,),()(),().()(0),(0)0.

()(0)

()(0)()(0)(0)lim lim

lim (0),(0)0.()()

11.(),lim

22x x x x f x a a f x f x f x f x f f f x f f x f f x f f f f x

x x f x x f x x f x x f x

→→→?→--=''=-----'''==-=-=-+?--?'=?若在中有定义且满足则称为偶函数设是偶函数,且存在试证明设在处可导证明证=000000000000000000000().()()()()()()1lim lim 22()()()()1lim 2()()()()11lim lim [()22

x x x x x x f x x f x x f x x f x f x x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x ?→?→?→?→?→+?--?+?--?-??

=-???????+?--?-??

=+???-???

+?--?-?

?'=

+=+???-???证002()]().12.,(0/2)()((),()):.f x f x y x t t P t x t y t OP x t t π''==<<=一质点沿曲线运动且已知时刻时质点所在位置满足直线与轴的夹角恰为求时刻时质点的位置速度及加速度.

222222422222()()

()tan ,()tan ,()()(tan ,tan ),()(sec ,2tan sec ),

()(2sec tan ,2sec 4tan sec )2sec (sec ,2tan ).

y t x t x t t y t t x t x t t t v t t t t v t t t t t t t t t ===='=''=+=位置解

y =x 2

1/1/1/1/1/000013.,0()10, 00.

1111(0)lim lim 1,(0)lim lim 0.1114.()||(),()()0.().

()lim

x x x x x x x x x x

x f x e

x x x x e e f f x e x

e f x x a x x x a a f x x a f a ???→-→-→+→+-→?≠?=+??=?=++''======++=-=≠='=求函数

在的左右导数设其中在处连续且证明在不可导-+

解证()()()()

(),()lim ()().

a x a a x x x a x a a a f a x a x a

????-→---''=-==≠--+-f

习题2.2

()()

()(

)()(

)

2222222222

1.,:sin (1)(cos )sin ,.(cos )sin .2111(2)[ln(1)],.[ln(1)](1).111

(3)112,.

111121121x

x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x '''=-=-=-'''-=-=-=---'''??+=+=?

?+'

??+=+++=++??+=++

下列各题的计算是否正确指出错误并加以改正错错错33

22()2223.

111(4)ln |2sin |(14sin )cos ,.

2sin 1ln |2sin |(14sin cos ).2sin 2.(())()|.() 1.(1)(),(0),(),(sin );

(2)(),(sin );

(3)u g x x x x

x x x x x x x x x x x x f g x f u f x x f x f f x f x d d f x f x dx dx

=+=++'??+=+??+'??+=+??+''==+''''错记现设求求[]()[][]2222223(())(())?.(1)()2,(0)0,()2,(sin )2sin .(2)

()()224.(sin )(sin )(sin )2sin cos sin 2.(3)(())(()),(())(())().

f g x f g x f x x f f x x f x x d

f x f x x x x x dx

f g x f g x f g x f g x g x ''''''====''===''==='''''=与是否相同指出两者的关系与不同解

()()

()22

2233312232323.2236(1),.111(2)sec ,(cos )(cos )(cos )(cos )(sin )tan sec .(3)sin 3cos5,3cos35sin 5.

(4)sin cos3,3sin cos cos33sin sin 33sin x x y y x x x y x y x x x x x x x y x x y x x y x x y x x x x x ---'==-=----'''===-=--='=+=-'==-=求下列函数的导函数:

2(cos cos3sin sin 3)3sin cos 4.

x x x x x x x -=