迭代法

题目：Newton-Raphson 迭代法 （1）计算原理 （2）编出计算机程序 （3）给出算例（任意题型） (1)计算原理：

牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法也称为牛顿迭代法，它是数值分析中最重要的方法之一，它不仅适用于方程或方程组的求解，还常用于微分方程和积分方程求解。

用迭代法解非线性方程时，如何构造迭代函数是非常重要的，那么怎样构造的迭代函数才能保证迭代法收敛呢？牛顿迭代法就是常用的方法之一，其迭代格式的来源大概有以下几种方式：

1设()[]2,f x C a b ∈，对()f x 在点[]0,x a b ∈，作泰勒展开：

略去二次项，得到()f x 的线性近似式：()()()()000f x f x f x x x '≈+- 由此得到方程()0f x =的近似根(假定()00f x '≠)，()

()

000f x x x f x =-' 即可构造出迭代格式(假定()00f x '≠)：()

()

1k k k k f x x x f x +=-

' 这就是牛顿迭代公式，若得到的序列{}k x 收敛于α，则α就是非线性方程的根。

2 牛顿迭代法

牛顿切线法，这是由于()f x 的线性化近似函数()()()()000l x f x f x x x '≈+-是曲线()y f x =过点()()00,x f x 的切线而得名的，求()f x 的零点代之以求()

l x !2))((''))((')()(2

0000x x f x x x f x f x f -+

-+=

ξ

的零点，即切线与x 轴交点的横坐标，如左图所示，这就是牛顿切线法的几何解释。实际上，牛顿迭代法也可以从几何意义上推出。利用牛顿迭代公式，由

k x 得到1k x +，从几何图形上看，就是过点()(),k k x f x 作函数()f x 的切线k l ，切线k l 与x 轴的交点就是1k x +，所以有()()

1

k k k k f x f x x x +'=-，整理后也能得出牛顿迭

代公式：

3 要保证迭代法收敛，不管非线性方程()0f x =的形式如何，总可以构造：

作为方程求解的迭代函数。因为： 而且

在根附近越小，其局部收敛速度越快，故可令：

若0(即根不是0的重根)，则由得：

，

因此可令

，则也可以得出迭代公式：

。 4 迭代法的基本思想是将方程改写成等价的迭代形式，但随之而来的问题却是迭代公式不一定收敛，或者收敛的速度较慢。运用前述加速技巧，对于简单迭代过程

，其加速公式具有形式：

，其中 记，上面两式可以合并写成：

这种迭代公式称作简单的牛顿公式，其相应的迭代函数是：

。

需要注意的是，由于是的估计值，若取，则实际上便是的估计值。假设，则可以用代替上式中的，

就可得到牛顿法的迭代公式：

。

)(')(1k k k k x f x f x x -

=+)()()(x f x k x x x -==?)0)((≠x k )(')()()('1)('x f x k x f x k x --=?)

('x ?α0)('=α?≠)('αf α=)(x f 0)('=α?)('1

)(ααf k =

)('1

)(x f x k =

)(')(1k k k k x f x f x x -

=+0)(=x f )(x x ?=)(1n n n x f x x +=+θθ?--=

+1)(1n n n x x x )

(111n n n x x x --+=++θθ

)(1

n n x x ?=+1-=θL L x f x x n n n )(1-

=+L x f x x )()(-

=?L )('x ?)()(x f x x +=?)('x ?)('x f 0)('≠x f )('x f L )(')(1n n n n x f x f x x -

=+

牛顿迭代法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程逐步归结为某种线性方程来求解。 牛顿迭代法的收敛性

牛顿迭代公式可以看成是由

而获得的不动点迭代格式。这

样就可以应用不动点迭代的收敛原则，只须证明在根附近的迭代函数是一个

压缩映象。由于：

， 这里的根是单根，即且，于是：

。

那么由的连续性可知，存在一个邻域，对这个邻域内的一切

，有：，其中O ＜＜1，因此为区间上的一个压

缩映象，于是有以下结论：

定理3.4.1设

，是的精确解，且，则存在的邻域，对于任何迭代初值，迭代序列

收敛于。

牛顿迭代法具有较高的收敛速度，它的收敛阶数为＝2；而牛顿迭代法的局部收敛性较强，只有初值充分地接近，才能确保迭代序列的收敛性。为了放宽对局部收敛性的限制，必须再增加条件建立以下收敛的充分条件。

定理3.4.2设，且满足：在区间上，

⑴；⑵；

⑶不变号；⑷，满足条件：

则牛顿迭代序列，单调地收敛于方程的唯一解。

由条件⑴至条件⑷可归结为四种情形： ①，，，；

②，，，；

)(')

()(x f x f x x -

=?α22

2)]('[)

(")()]('[)(")()]('[1)('x f x f x f x f x f x f x f x =--=?α0)(=αf 0)('≠αf 0

)]('[)

(")()('2

==

αααα?f f f )('x ?),(δαδα+-x q x <)('?q )(x ?),(δαδα+-],[)(2

b a C x f ∈*x 0)(=x f 0*)('≠x f *x δ)*,*(δδ+-x x )*,*(0δδ+-∈x x x }{n x *x p *x ],[)(2

b a C x f ∈],[b a 0)()(

b a x ∈0)(")(00>x f x f }{n x 0)(=x f *x 0)(b f 0)('>x f 0)(">x f 0)(b f 0)('>x f 0)("

③，，，； ④，，，。

对定理的几何意义作如下说明：条件⑴保证了根的存在性；条件⑵表明函数单调变化，在区间内有惟一的根；条件⑶表示函数图形在区间上的凹向不变。条件⑶和条件⑷一起保证了每一次迭代值都界于区间内。

在不满足上述收敛充分条件时，有可能导致迭代值远离所求根的情况或死循环的情况(如下图所示)。

0)(>a f 0)(x f 0)(>a f 0)(

a

（2）牛顿迭代法 matlab 程序）

1、本程序采用牛顿法，求实系数高次代数方程

()1011=a a a a 0n n n n f x x x x --++++=K （a 0n ≠ ）的在初始值0x 附近的一个根。 2.使用说明

a 函数语句

Y=NEWTON_1(A,N,X0,NN,EPS1) 调用M 文件newton_1.m 。 b 参数说明

A n+1元素的一维实数组，输入参数，按升幂存放方程系数。 N 整变量，输入参数，方程阶数。 X0 实变量，输入参数，初始迭代值。 NN 整变量，输入参数，允许的最大迭代次数。 EPS1 实变量，输入参数，控制根的精度。 3．方法简介

解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数

取其线性部分，作为非线性方程f(x)=0的近似方程，则有 f(x0)+f ˊ(x0)(x －x0)=0 设f ˊ(x0)≠0则其解为 x1=x0－f(x0)/f ˊ(x0)

再把f(x)在x1附近展开成泰勒级数，也取其线性部分作f(x)=0的近似方程。若f(x1)≠0，则得 x2=x1－f(x1)/f ˊ(x1)

这样，得到牛顿法的一个迭代序列 xn+1=xn －f(xn)/f ˊ(xn) 4．newton_1.m 程序

function y=newton_1(a,n,x0,nn,eps1) x(1)=x0；

!2))((''))((')()(2

0000x x f x x x f x f x f -+

-+=ξ

b=1；

i=1；

while(abs(b)>eps1*x(i))

i=i+1；

x(i)=x(i-1)-n_f(a,n,x(i-1))/n_df(a,n,x(i-1))；

b=x(i)-x(i-1)；

if(i>nn)error(ˊnn is fullˊ)；

return；

end

end

y=x(i)；

i

程序中调用的n_f.m和n_df.m文件如下：

function y=n_df(a,n,x)%方程一阶导数的函数

y=0.0;

for i=1:n

y=y+a(i)*(n+1-i)*x^(n-i);

end

function y=n_df(a,n,x)

y=0.0；

for i=1:n

y=y+a(i)*(n+１-i)*x?(n-i)；

end

5．程序附注

（1）程序中调用n_f.m和n_df.m文件。n_f.m是待求根的实数代数方程的函数,n_df.m是方程一阶导数的函数。由使用者自己编写。

（2）牛顿迭代法的收敛速度：如果f(x)在零点附近存在连续的二阶微商，ξ是f(x)的一个重零点，且初始值x0充分接近于ξ，那么牛顿迭代是收敛的，其收

敛速度是二阶的，即平方收敛速度。

(3)算例：

f1[x, y] = x*x + y*y - 5 = 0

f2[x, y] = (x + 1)*y - (3*x + 1) = 0

用牛顿法求在(x0, y0) = (1, 1)附近的解

1．程序清单：

Clear[x, y, x0, y0]

n = 4;

f1[x_, y_] := x*x + y*y - 5;

f2[x_, y_] := (x + 1)*y - (3*x + 1);

(*定义矩阵*)

g1[x_, y_] := Det[{{D[f1[x, y], x], D[f1[x, y], y]}, {D[f2[x, y], x], D[f2[x, y], y]}}];

g1[x, y];

j1[x_, y_] := Det[{{D[f1[x, y], y], f1[x, y]},

{D[f2[x, y], y], f2[x, y]}}];

j2[x_, y_] := Det[{{f1[x, y], D[f1[x, y], x]},

{f2[x, y], D[f2[x, y], x]}}];

x0 = 1 // N;

y0 = 1 // N;

for [i = 1,i<= n,i ++,

x0=(x0+j1(x,y)/g1(x,y))/.{x → x0,y → y0};

y0=(y0+ j2(x,y)/g1(x,y))/.{x → x0,y → y0};

Print [“x [“,i ,”]=”,x0, “y[“,i,”]=”,y0]

]

print [“The root is :”,{x0, y0}];

2．运行结果：

x[1]=1.25 y[1]=2.15584

x[2]=1.00294 y[2]=2.0028

x[3]=1 y[3]=2

x[4]=1 y[4]=2

The root is : {1,2}