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上海海洋大学试卷标准答案

姓名：学号：专业班名：

一、[/

30103=?'] 选择：将您认为正确的答案代号填入下列表格内。

1、设5)2(,3)2(,1)0(/===f f f ，则

dx x xf ?

2

//)(的值为（ ）

A ）12

B ）8

C ）7

D ）6 2、设定积分?=

e

xdx I 1

1ln ，?=e

xdx I

1

22

ln ，则（）

A ）12I I <

B ）122I I <

C ）122I I >

D ）12I I > 3、定积分

dx e x ?

1

的值为（ ）

A ）e

B ）2

1

C ）21

e D ）2

4、由1,,===-x e y e y x

x 所围成的平面图形的面积是（ ） A ）e

e 1+

B ）e e 1-

C ）21-+e e

D ）21+-e e

5、曲边梯形b y a y f x ≤≤≤≤≤0),(0绕y 轴旋转所形成的旋转体的体积为（ ） A ）

dy y f

b

a

?)(2

π B ）dy y f b a

?)(π C ）dy y yf b a

?)(π D ）dy y yf b

a

?)(2π

6、函数)1ln(

y x z --=的定义域为（） A ）{}1,1),(<

1

),(≤+y x y x ；

C ）{}

1),(<+y x y x ； D ）在xOy 平面上处处无定义。 7、二元函数 ),(y x f z = 在点),(00y x 处可导与可微的关系为（ ）

A ）可导必可微；

B ）可导一定不可微；

C ）可微必可导；

D ）可微不一定可导 8、

??

=D

dxdy ( ) 其中 2

22:a y x D ≤+ A ）2a B ）π C ）2 a π D ）不能求

9、级数∑∞

=--1

1

)1(n p

n n 当（ ） A ）1>p 时条件收敛 B ）10≤

10、求方程0)(2//=-y yy 的通解时，可令（）

A ）p y =/，则///p y =

B ）p y =/，则dy

dp

p

y =//

C ）p y =/，则dx dp p

y

=//

D ）p y =/

，则dy

dp p y ///= 二、[8163'=?'] 填空： 1、函数2

2),(y

x xy y x f +=

，则=),1(y x f 22xy x y +； 2、

=++→→2

2

1)ln(lim

y

x e x y y x ln 2；

3、设)23ln(z y x u +-=，则=

du 3232dx dy dz

x y z

-+-+；

4、交换积分秩序：

dy y x f dx x

e

),(ln 0

1

?

?

=1

(,)y e

e

dy f x y dx ??；

5、若级数

∑∞

=1n n

u

收敛，则

)(1

n n n

u u

+∑∞

=绝对收敛（填绝对收敛、条件收敛或发散）

6、02/

//

=+-y y y 的通解为x

e x C C y )(+=；

三、[//4058=?]计算：

1、设v u z ln 2=，而y x v y x u 23,-==

，求y

z x z ????,； 解：22

22

1232ln 3ln(32)(32)z z u z v u x x u v x y x u x v x y v y y x y ?????=+=+?=-+?????-（4分） 222

232

222ln ()(2)ln(32)(32)

z z u z v x u x x u v x y y u y v y y v y y x y ?????=+=-+?-=---?????-（8分） 2、),(2

2

xy

e y x

f z -=,其中f 具有连续二阶偏导数,求 22x

z ??；

解：设22u x y =-，xy

v e =，(,)z f u v =

122xy z z u z v xf ye f x u x v x

?????''=+=+?????（3分） 因此2122()(2)xy z z xf ye f x x x x

????

''=

=+???? 2121222xy xy f f f x

y e f ye x x

''

??''=+++??（4分） 而

11111

122xy f f f u v

xf ye f x u x v x

'''?????''''=+=+????? 22221

222xy f f f u v

xf ye f x u x v x

'''?????''''=+=+?????（7分） 所以2212

12222xy xy f f z f x y e f ye x x x

''???''==+++???

2111

122212222(2)(2)xy xy xy xy f x xf ye f y e f ye xf ye f ''''''''''=+++++ 2222111

12222244xy xy xy f x f xye f y e f y e f ''''''''=++++（8分） 3、

??

+dxdy y x )(，D 是由2

y x =，2-=x y 所围成的闭区域；

解：

22222

21121()()2y y D

y x y dxdy dy x y dx x xy dy y +--+??+=+=+?????????（5分） 2

243131

(42)22

y y y y dy -=++--? 9.45=（8分）

4、

??+D

dxdy y x 2

22)(，D 是由x y 3

3

=，x y =，122=+y x 及422=+y x （0,0≥≥y x ）所围成的闭区域；

解：令θθsin ,cos r y r x ==，则积分区域D 可表示为?????<<<

<2

146r πθπ

（2分）

所以，

2

2

22

44

1

6

()D

x y dxdy d r rdr π

πθ+=????（6分） 62

1()1

466r ππ

??=-????? 637

728

ππ=

=（8分） 5、求微分方程y y x '''=+的通解； 解：令,/p y =则,///p y = 原方程化为：x p p +=/（2分）

因为)(111?

+??=---C dx xe e p dx

dx

)(1

?+=-C dx xe e x x

x e C x 11+--=（6分）

从而212

1)1(C e C x x dx e C x y x x

++--=+--=?，即为所求通解。（8分）

四、[21']讨论下列级数的收敛性,若收敛指出绝对收敛还是条件收敛。

1、∑∞

=-+-1

1

)1ln()1(n n n

解：因为

11

1(1)1

ln(1)ln(1)

n n n n n -∞

∞

==-=++∑

∑

而1

ln(1)

1ln(1)lim lim n n n n n n

→∞→∞+==∞+（1分）

而级数11

n n

∞

=∑是发散的，因此11ln(1)n n ∞

=+∑也发散。（3分）

又因为对于交错级数∑∞

=-+-1

1

)1ln()1(n n n 来说

满足：

11

ln(1)ln(11)

n n ≥+++，即1n n u u +≥

1

0ln(1)lim n n →∞=+，即0lim n n u →∞

=（5分） 根据莱布尼茨定理，交错级数∑∞

=-+-11)1ln()1(n n n 收敛，因此∑∞

=-+-11

)1ln(

)1(n n n 条件收敛。（6分）

2、2

)11(2)1(1

n n n

n n +-∑∞

= 因为

22

1

1

(1)111(1)(1)22n n n n n

n n n n ∞

∞

==-+=+∑

∑，（1分）

而

11(1)122lim n n n e

n →∞

→∞=+=>（5分）因此绝对值级数2111(1)

2

n n n n ∞

=+∑发散，又为根值判别法,因此原级数2

)11(2

)1(1n n n

n n +-∑∞

=发散。（6分）

上海海洋大学试卷

姓名：学号：专业班名：

一、填空(每空3分，总计33分)

（1）设2

22,y x x y xy f +=???

? ??，则

=???

?

??xy x y f ,2__________。

（2）=+-→→xy xy y x 4

2lim

0__________。

（3）=+?202

1x dt t dx

d ______________。 （4）19

2

2

=-y x 在空间解析几何中表示的曲面类型为______________。 （5）以下关于多元函数描述正确的是_________。 A 、函数()y x f z ,=在点()00y x 处连续，则在点()00y x 处可微。

B 、函数()y x f z ,=在点()00y x 处一阶偏导存在，则在点()00y x 处连续。

C 、函数()y x f z ,=在点()00y x 处一阶偏导存在，则在点()00y x 处可微。

D 、函数()y x f z ,=在点()00y x 处可微，则在点()00

y x 处一阶偏导存在。

（6）yz e y

y x u ++=2

sin 32，则____________

=du 。 （7）

dx e

x

?∞

+-0

=__________。

（8）改变积分次序：________。 （9）x y sin =关于x 的幂级数展开式为________。

=

+?

?

??-2

280

2

2

2

20

2

d ),(d d ),(d x x y y x f x y y x f x

（10）幂级数的收敛半径为_________。

（11）已知31=y ，223x y +=，x

e x y ++=233都是微分方程()()()x

f y x Q y x P y =+'+''的解，

则此方程的通解是_________。

二、计算（每题5分，总计50分） （1）

（2）2

cos 1

2

lim

x dt

e

x

t x ?-→

（3）dx x x e

?

1

ln

∑

∞=+1

2)11(n n n x n

.d 1

22

40

x x x ?

++

（4）计算由椭圆122

22=+b

y a x 所围图形绕x 轴旋转而成的椭球体的体积。

（5）设y

x e

z 2+=，求x

y z

2

3???。

（6）设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+，求

x

z ??。

（7）计算σd xy D

??，其中D 是由x y =2

，2-=x y 围成。

（8）解微分方程

（9）求解初值问题：???

????-===++==2,40200

2

2t t dt ds s s dt ds

dt

s d 的解。

（10）判断级数的敛散性，并指出是绝对收敛还是条件收敛。

∑

∞

=+-11

ln

)1(n n n n .)1(1

2d d 25+=+-x x y

x y

三、（9分）求幂级数。

四、(8分)生产某种产品所用两种原料甲、乙的数量x 、y 之间有关系式：

y x y x P 2005.0),(=，

用 150元购料，已知甲、乙原料的售价分别为1元、2元，求购进甲、乙原料各多少时，可使生产的数量最多？

的和函数

120!)12(1

)1(+∞

=∑

++-n n n x n n

上海海洋大学试卷

姓名：学号：专业班名：任课教师 一、选择题（,47'?共28分）

1、由曲线y =，直线4x =及0y =所围成的图形的面积为（）

A.103

B.4

C.16

3

D.6 2、

=+-?

-dx x x )1(1

1

2（）

A.π

B.

2

π

C.1+π

D.1-π 3、设是由方程确定，则（）

； A. B. C.

D.

4、极限

2

2

)

0,0(),(lim

y

x xy y x +→＝（ ）。

A )∞；

B )

2

2

； C )0； D )不存在。.

5、设是微分方程的两特解且常数≠)

()(21x y x y ，则下列（ ）

是其通解（为任意常数）。

A ．

B ．

C ．

D ．

6、累次积分改变积分次序为（）

(A)

（B ）

（C ）

（D ）

(,)z f x y =33

3z xyz a -=z x ?=?2yz xy z -2yz z xy -2xz xy z -2

xy z xy -)(),(21x y x y 0)()(=+'+''y x q y x p y 21,c c )()(211x y x y c y +=)()(221x y c x y y +=)()(21x y x y y +=)()(2211x y c x y c y +=10

(,)dx f x y dy

?110

(,)dy f x y dx

??1

(,)dy f x y dx

?210

(,)y dy f x y dx

?

?

211

(,)y

dy f x y dx

?

?

7、y

x

x y y x f arcsin

)2(),(2-+=，则)1,2(y

f '=（） A ．1 B ．2C ．5D ． 0

二、填空题（,45'?共20分）

1、

2

1

48

dx x x +∞

=++?

； 2、函数

)

1ln(4222

y x y x z ---=

的定义域是_________；

3、设积分区域D ：x 2+y 2≤1, x ≥0, 则二重积分

??D

ydxdy =；

4、已知函数，则在

处的全微分；

5、级数是绝对收敛还是条件收敛？ .

三、计算（,83'?，共24分）

1、已知

，求，

2、设

，求

xy

z e =(2,1)dz =∑

∞

=-1)1(n n n 22

(,)z f xy x y =z

x ??z y ??22

{(,)4}

D x y x y =+≤2

D

x dxdy ??

3、计算二次积分?

?

=

2

2

sin π

π

y

dx x

x

dy I .

四、求解下列微分方程（,62'?共12分）

1、求方程满足

的特解。

2、二阶方程032=-'-''y y y ，求满足1)0(,0)0(='=y y 的特解

五、求幂级数∑∞

=?13

n n

n

n x 的收敛域、和函数，并求级数∑∞

=?131n n n 的和（10分） x

dy

y e dx -=0

1

x y

==

六、（6分）某公司通过电视台和报纸两种方式作某商品的销售广告。据统计，销售收入R （万元）与投入的电视台广告费用1x （万元）及报纸广告费用2x （万元）之间有

如下关系式：22

2121211028321415x x x x x x R ---++=。若广告费用不限，求最优广告策略。

课程考试标准答案和评分标准

一、选择题（,47'?共28分）

1、C

2、B

3、B

4、C

5、D

6、D

7、B

二、填空题（,45'?共20分） 1、

8

π

2、(){}222,4,01x y y x x y ≤<+<

3、0

4、222e dx e dy +

5、条件收敛

三、计算（,83'?，共24分）

1、已知

，求， 解：

2122xyf f y x

z

+=?? 2212f x xyf y

z

+=?? 2、设

，求

22

(,)z f xy x y =z

x ??z y ??22

{(,)4}

D x y x y =+≤2D

x dxdy ??

原式=2223220

cos 4cos 4d r dr d π

π

θθθθ

π

==???

3、计算二次积分??

=2

2

sin π

π

y

dx x

x

dy I 解：交换积分次序

???

===20

20

1

sin sin ππ

xdx dy x x

dx I x

四、求解下列微分方程（,62'?共12分）

1、求方程满足

的特解。

解：原方程为一阶线性微分方程，通解为：

()

C x e C dx e e e y x dx

x dx +=??????+??=---?)1()1( 由

得：C=1。

故所求特解为：[]1+=x e y x

2、二阶方程032=-'-''y y y ，求满足1)0(,0)0(='=y y 的特解 解：特征方程为：0322=--r r ，解得：1,

321-==r r ，通解为：

x x e C e C y -+=231

由定解条件得：13,02121=-=+C C C C 。解得：4

1,4121-==

C C

故所求特解为：x x e e y --=4

1413 x

dy

y e dx -=0

1

x y

==0

1

x y

==