(整理)高中物理奥赛光学例题解析

光学例题补充

一、光的直线传播、光的反射、光的折射、光的色散

例题1：（23分）封闭的车厢中有一点光源S ，在距光源l 处有一半径为r 的圆孔，其圆心为O 1，光源一直在发光，并通过圆孔射出．车厢以高速v 沿固定在水平地面上的x 轴正方向匀速运动，如图所示．某一时刻，点光源S 恰位于x 轴的原点O 的正上方，取此时刻作为车厢参考系与地面参考系的时间零点．在地面参考系中坐标为x A 处放一半径为R （R >r ）的不透光的圆形挡板，板面与圆孔所在的平面都与x 轴垂直．板的圆心O 2 、S 、、O 1都等高，起始时刻经圆孔射出的光束会有部分从挡板周围射到挡板后面的大屏幕（图中未画出）上．由于车厢在运动，将会出现挡板将光束完全遮住，即没有光射到屏上的情况．不考虑光的衍射．试求：

1．车厢参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻． 2．地面参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻． 解析：

1．相对于车厢参考系，地面连同挡板以速度v 趋向光源S 运动．由S 发出的光经小孔射出后成锥形光束，随离开光源距离的增大，其横截面积逐渐扩大．若距S 的距离为L 处光束的横截面正好是半径为R 的圆面，如图所示。 根据几何关系，得

L

R

l r = 解得：

r

Rl

L =

(1) 设想车厢足够长，并设想在车厢前端距S 为L

处放置一个半径为R 的环，相对车厢静止，则光束恰好从环内射出．当挡板运动到与此环相遇时，挡板就会将光束完全遮住．此时，在车厢参考系中挡板离光源S 的距离就是L ．在车厢参考系中，初始时，根据相对论，挡板离光源的距离为：

x =()21c x A v -(2)

故出现挡板完全遮住光束的时刻为： r R

l

L

S

()v

v L

c x t A

--=2

1(3) 由（1）、（3）式，得

()v

v v r Rl

c x t A --=2

1

(4)

2．相对于地面参考系，光源与车厢以速度v 向挡板运动．光源与孔之间的距离缩短为：

()2

c 1'v -=l l (5)

而孔半径r 不变，所以锥形光束的顶角变大，环到S 的距离即挡板完全遮光时距离应为：

22

1c

r Rl r Rl'L'v -==

(6)

初始时，挡板离S 的距离为x A ，出现挡板完全遮住光束的时刻为：

2

21c

r Rl x L'x t A A v v v v --=-=' (7)

例题2：（20分）内半径为R 的直立圆柱器皿内盛水银，绕圆柱轴线匀速旋转（水银不溢，皿底不露），稳定后的液面为旋转抛物面。若取坐标原点在抛物面的最低点，纵坐标轴z 与圆柱器皿的轴线重合，横坐标轴r 与z 轴垂直，则液面的方程为22

2r g

z ω=

，式

中ω为旋转角速度，g 为重力加速度（当代已使用大面积的此类旋转水银液面作反射式天文望远镜）。

观察者的眼睛位于抛物面最低点正上方某处，保持位置不变，然后使容器停转，待液面静止后，发现与稳定旋转时相比，看到的眼睛的像的大小、正倒都无变化。求人眼位置至稳定旋转水银面最低点的距离。

解析：旋转抛物面对平行于对称轴的光线严格聚焦，此抛物凹面镜的焦距为：

2

2g f ω=

（1）

由（1）错误！未找到引用源。式，旋转抛物面方程可表示为：

2

4r z f

=（2） 停转后液面水平静止，由液体不可压缩性，知液面上升，以下求抛物液面最低点上升的高度．

抛物液面最低点以上的水银，在半径R 、高24R f 的圆柱形中占据体积为M 的部分，即附图中左图阴影部分绕轴线旋转所得的回转

体；其余体积为V 的部分无水银．体M 在高度z 处的水平截面为圆环，利用抛物面方程，得z 处圆环面积：

()()()222ππ4M S z R r R fz =-=-（3）

将体V 倒置，得附图中右图阴影部分绕轴线旋转所得的回转体Λ，相应抛物面方程变为：

22

4R r z f

-=

（4） 其高度z 处的水平截面为圆面，面积为：

()()()22ππ4M S z r R fz S z Λ==-=（5）

由此可知：

2

21π24R M V R

f

Λ===（6） 即停转后抛物液面最低点上升：

2

2π8M R h R f

==

（7） 因抛物镜在其轴线附近的一块小面积可视为凹球面镜，抛物镜的焦点就是球面镜的焦点，故可用球面镜的公式来处理问题.两次观察所见到的眼睛的像分别经凹面镜与平面镜反射而成，而先后看到的像的大小、正倒无变化，这就要求两像对眼睛所张的视角相同． 设眼长为0y ，凹面镜成像时，物距u 即所求距离，像距v 与像长y 分别为：

f

-u fu

v =

（8）

00y u

f f y y -=-

=u v （9） 平面镜成像时，由于抛物液面最低点上升，物距为：

2

8R u u h u f

'=-=-（10） 像距v '与像长y '分别为：

u -v '='（11）

00y y y ='

'-='u v （12）

两像视角相同要求：

v -u v '

''

=-y u y （13） 即：

22

11

224u u f u R f

=--（14） 此处利用了(8)—(12)诸式． 由（14）式可解得所求距离：

2

R

u =

（15） 评分标准：本题20分.

(1)式1分，(7)式4分，(8)、(9)式各2分，(10) 、(11)、 (12)式各1分，(13)式6分，(15)式2分．

二、透镜成像规律的应用

1.透镜成像作图 （1）三条特殊光线

①通过光心的光线，方向不变； ②平行主轴的光线，折射后过焦点； ③通过焦点的光线，折射后平行主轴。

（2）一般光线作图：对于任一光线SA ，过光心O 作轴OO '平行于SA ，OO '与焦平面 M M '交于P 点，连接AP 或AP 的反向延长线即为SA 的折射光线。

（3）*像与物的概念：发光物体上的每个发光点可视为一个“物点”即“物”。一个物点上发出的光束，经一系列光学系统作用后，若成为会聚光束，则会聚点为物的实像点；若成为发散光束，则其反向延长线交点为物的虚像点；若为平行光束则不成像。

2.薄透镜成像公式

薄透镜成像公式是：

f u 111=

+υ

式中f 、u 、v 的正负仍遵循“实正、虚负”的法则。若令x u f =-，x v f '=-，则有：

2

f x x ='

该式称为“牛顿公式”，式中x 是物到“物方焦点”的距离，x '是像到“像方焦点”的距离。从物点到焦点，若顺着光路则x 取正，反之取负值；从像点到焦点，若逆着光路则x '取正值，反之取负值，该式可直接运用成像作图来推导，请读者自行推导，从而弄清x ，x '的意义。下面用牛顿公式讨论一个问题。

例题3：一个光源以v=0.2m/s 的速度沿着焦距f=20cm 的凸透镜向光心运动，当它经过距光心130u cm =和215u cm =的两点时，求像所在的位置及速度。

解析：

cm f u x 1011=-=，cm f u x 522-=-=

代入牛顿公式，得

cm x 401

='，cm x 802-='，cm f x 6011=+'=υ，cm f x 6022-=+'=υ， 上述1x ，2x ，1x '，2x '的意义，如图1-5-2所示。

设在△t 时间内，点光源的位移为△x ，像点的位移为x '?，得

22

22)

(x x x x f x x f x x ?-?+=?-='?+' 当△t→0时△x→0，略去△x 的二阶小量，得

2

2222x x

f x x x f x f x x ?+'=?+='?+' x x x x x f x ??'=??='?2

2

υ

υ?'=???'=?'?='x x t x x x t x

将1x ，2x ，1x '，2x '的值代入，求得10.8/v m s '=，2 3.2/v m s '=。

像移动方向与物移动方向相反。

*“实正、虚负”法则：凸透镜焦距取正值，凹透镜焦距取负值；实像像距取正值，虚像像距取负值。实物物距取正值，虚物物距取负值。

*实物与虚物：发散的入射光束的顶点（不问是否有实际光束通过此顶点）是实物；会聚的入射光束的顶点（永远没有实际光束通过该顶点）是虚物。

2

S '1S '1

S 2S 1F 2

F O

01

>'x 02

>'x 01>x 0

2>x 图1-5-2

例题4：如图1-4-10所示，一个双凸薄透镜的两个球面的曲率半径均为r ，透镜的折射率为n ，考察由透镜后表面反射所形成的实像。试问物放于何处，可使反射像与物位于同一竖直平面内（不考虑多重反射）。

解析: 从物点发出的光经透镜前表面（即左表面）反射后形成

虚像，不合题意，无须考虑。

从物点发出的光经透镜前表面折射后，再经透镜后表面反射折

回，又经前表面折射共三次成像，最后是实像，符合题意。

利用球面折射成像公式和球面反射成像公式，结合物与像共面

的要求。就可求解。

球面反射的成像公式为：

111

u v f

+=，其中反射面的焦距为2

R

f =

（R 为球面半径），对凹面镜，f 取正值，对凸面镜，f 取负值。 球面折射的成像公式为：

R n n v n u n 1)(2121-=+

当入射光从顶点射向球心时，R 取正值，当入射光从球心射向顶点时，R 取负值。 如图1-4-11甲所示，当物点Q 发出的光经透镜

前表面折射后成像于Q '，设物距为u ，像距为v ，根据球面折射成像公式：

R n n v n u

n 1

)(2121-=+ 这里空气的折射率11n =，透镜介质的折射率2n n =，入射光从顶点射向球心，R=r 取正值，得

r n v n u 11-=+ （1）

这是第一次成像。

对凸透镜的后表面来说，物点Q 经透镜前表面折射所成的像点Q '是它的物点，其物距1u v =-（是虚物），经透镜后表面反射后成像于1Q '，像距为1v -（如图1-4-11乙所示），由球面反射成像公式，得

r f v u 2

11121

1=

=+ 将前面数据代入，得

r v v 2111=

+-

（2）

这是第二次成像。

由透镜后表面反射成的像点1Q '又作为透镜前表面折射成像的物点2Q ，其物距物像

图1-4-10

u v

Q Q '

n 1图1-4-11甲

1

u 1

1v u -=1Q '

)

(Q 'n 1

1Q 图1-4-11乙

21u v =-（是虚物），再经过透镜前表面折射成像于2Q '，像距为2v ，（见图1-4-11丙所示），

再由球面折射成像公式，得

R n n v n u

n 1

)(2121-=+ 这时入射光一侧折射率n ，折射光一侧折射率1（是空

气），入射光由球心射向顶点，故R 值取负值。所以上式可表示为：

r n v u n --=+1

)

1(12

2 代入前面得到的关系，得

r n v u n 1

121-=+-

（3）

这是第三次成像。 由（1）、（2）两式可解得：

r n v n u 1311-=+ （4）

再把（4）式和（3）式相加，得

r n v u )12(2112-=+ （5）

为使物点Q 与像点2Q '在同一竖直平面内，这就要求： 12v u -=

代入（5）是可解得物距为： 21

r

u n =

- 说明：由本题可见，观察反射像，调整物距，使反射像与物同在同一竖直平面内，测出物距P ，根据上式就可利用已知的透镜折射率n 求出透镜球面的半径r ，或反过来由已知的球面半径r 求出透镜的折射率n 。 例题5：（23分）有一种被称为直视分光镜的光谱学仪器。所有光学元件均放在一直长圆筒内。筒内有：三个焦距分别为1f 、2f 和3f 的透镜1L ,2L ,3L ，321f f f >=；观察屏P ，它是一块带有刻度的玻璃片；由三块形状相同的等腰棱镜构成的 分光元件（如图1所示），棱镜分别用折射率不同的玻璃制成，两侧棱镜的质料相同，中间棱镜则与它们不同，棱镜底面与圆筒轴平行。圆筒的一端有一与圆筒轴垂直的狭缝，它与圆筒轴的交点为S ，缝平行于棱镜的底面．当有狭缝的一端对准筒外的光源时，位于圆筒另一端的人眼可观察到屏上的光谱。 2P '

12P P '

=-n

12

Q ')(12Q Q '图1-4-11丙

已知：当光源是钠光源时，它的黄色谱线（波长为589.3 nm ，称为D 线）位于圆筒轴与观察屏相交处。制作棱镜所用的玻璃，一种为冕牌玻璃，它对钠D 线的折射率D n ＝1.5170；另一种为火石玻璃，它对钠D 线的折射率D n '=1.7200。

1.试在图2中绘出圆筒内诸光学元件相对位置的示意图并说出各元件的作用。

2.试论证三块棱镜各应由何种玻璃制成并求出三棱镜的顶角α的数值。 解析：

1． 圆筒内光学元件的相对位置如图1所示．各元件的作用如下：

狭缝S ：光源的光由此进入分光镜，观察到的谱线就是狭缝的像．

透镜L 1：与狭缝的距离为f 1，使由狭缝射来的光束经L 1后成为与圆筒轴平行的平行光束．

分光棱镜：使由L 1射来的平行光束中频率不同的单色光经棱镜后成为沿不同方向出射的平行光束．

透镜L 2：使各种单色平行光束经L 2 成像在它的焦平面上，形成狭缝的像（即光谱线）． 观察屏P ：位于L 2焦平面上，光源的谱线即在此屏上．

透镜L 3：与P 的距离≤f 3，是人眼观察光谱线所用的放大镜（目镜）．

2．已知钠黄光的谱线位于P 的中央，S 的像位于L 2 的焦点上，由此可知，对分光棱镜系统来说，钠黄光的入射光束和出射光束都与轴平行，由于棱镜系统是左右对称，因此钠黄光在棱镜内的光路应该是左右对称的，在中间棱镜中的光路应该与轴平行，分光元件中的光路图如图2所示，左半部的光路如图3．用i 1、r 1、i 2、r 2分别表示两次折射时的入射角和折射角，用n 1、n 2分别表示两块棱镜对D 线的折射率，由图3可以看出，在两棱镜界面上发生折射时，22i r >，表明21n n >，即中间的棱镜应用折射率较大的火石玻璃L 2

L 1

L 3

狭缝

S

P

圆筒轴

图1

制成，两侧棱镜用冕牌玻璃制成，故有D n n =1=1.5170，D n n '=2=1.7200．

由几何关系可得

122

i r α

==

（1）

12r i α+= （2）

由折射定律可得

111s i n s i n i n r = （3）

1222s i n s i n n i n r = （4） 从以上各式中消去1i 、2i 、1r 和2r 得

2221221121sin 1sin 12sin 222n n n ααα?????

?----= ? ? ??????

? （5）

解（5）式得

()(

)

2

2

12

22124

142s i n n n n n -+-=??

?

??

α （6）

以5170.11=n ，7200.12=n 代入，得

123.6α= （7） 3.组合透镜成像

如果由焦距分别为1f 和2f 的A 、B 两片薄透镜构成一个透镜组（共主轴），将一个点光源S 放在主轴上距透镜为u 处，在透镜另一侧距透镜v 处成一像S '（图1-5-4）所示。对这一成像结果，可以从以下两个不同的角度来考虑。

因为A 、B 都是薄透镜，所以互相靠拢地放在一起仍可看成一个薄透镜。设这个组合透镜的焦距是f ，则应有： A B S

S '

u v

图1-5-4

图2

r 1

i 2

r 2

i 1

α

n 2 2

αn 1

图3

f u 111=

+υ ①

另一个考虑角度可认为S '是S 经A 、B 两个透镜依次成像的结果。如S 经A 后成像1S ，设1S 位于A 右侧距A 为1v 处，根据透镜成像公式，得

11111f u =+υ ②

因为1S 位于透镜B 右侧1v 处，对B 为一虚物，物距为1v ，再经B 成像2S ，所以：

11111f u =+υ ③

由②、③，得

211

11f =+-υυ ④

比较①、④两式，可知

211

111f f u +

=+υ

如果A 、B 中有凹透镜，只要取负的1f 或2f 代入即可。

例题6：(20分)目前，大功率半导体激光器的主要结构形式是由许多发光区等距离地

排列在一条直线上的长条状，通常称为激光二极管条．但这样的半导体激光器发出的是很多束发散光束，光能分布很不集中，不利于传输和应用．为了解决这个问题，需要根据具体应用的要求，对光束进行必需的变换（或称整形）．如果能把一个半导体激光二极管条发出的光变换成一束很细的平行光束，对半导体激光的传输和应用将是非常有意义的．为此，有人提出了先把多束发散光会聚到一点，再变换为平行光的方案，其基本原理可通过如下所述的简化了的情况来说明．

如图，S 1、S 2、S 3 是等距离（h ）地排列在一直线上的三个点光源，各自向垂直于它们的连线的同一方向发出半顶角为α =arctan ()41的圆锥形光束．请使用三个完全相同的、焦距为f = 1.50h 、半径为r =0.75 h 的圆形薄凸透镜，经加工、组装成一个三者在同一平面内的组合透镜，使三束光都能全部投射到这个组合透镜上，且经透镜折射后的光线能全部会聚于z 轴（以S 2为起点，垂直于三个点光源连线，与光束中心线方向相同的射线）上距离S 2为 L = 12.0 h 处的P 点．（加工时可对透镜进行外形的改变，但不能改

变透镜焦距．）

1．求出组合透镜中每个透镜光心的位置．

2．说明对三个透镜应如何加工和组装，并求出有关数据．

解析： z L

S 1 S 3 P

α

α S 2

α h

h