第11章思考题解

《大学物理学》（下册）思考题解

第11章

11-1 在真空中两个点电荷之间的相互作用力是否会因为其他一些电荷被移近而改变

答：不会。两个点电荷之间的相互作用只与它们自己的电荷呈正比与它们之间的距离平方成反比，与其它物质无关。

11-2 有四个点电荷，电量均为q +，分别放在正方形的四个顶点。问在正方形的中心应该放一个怎样的点电荷'q ，才能使每个电荷处于平衡

解：设边长为1，取一个顶点为坐标原点。

如果其他三个顶点的电荷在原点产生的电场，与'q 在原点产生的电场的矢量和为零，则由对称性

知，每个电荷都可处于平衡。如图。123q q q q ===，'q 待定。

10

()4q E i πε=

-， 20

()4q E i j πε=

--， 30

()4q E j πε=

-， 0'

11

'()422q E i j πε=

-- 平衡时要求 123'0E E E E +++=，其X 分量和Y 分量都要求1'02

q q q ---=，

于是得：'4q q =-。

11-3 关于电场强度，请回答下列问题： ；

（1）电场中某一点电场强度的定义为0

F

E q =，若该点未放试验电荷0q ，则该点是否有场强，为什么

（2）电荷在电场中某点受到的电场力很大，该点的场强是否也一定很大 （3）有一带正电荷的金属球，其附近某点的场强为1E ，今在该点放一个

?

O

X

3

E 1

E 'E

带正电的点电荷1q ，测得1q 所受的力为1F ，若考虑到电量1q 不是足够小，则1

1

F q 是大于，等于还是小该点的场强1E

答：（1）电场中某一点的电场强度是电场的固有性质，与该点是否存在其它物质没有关系。试验电荷0q 仅仅是为了测试该点的电场而放置的，如果试验电荷0q 足够小，它不会影响该点的电场强度的大小和方向。

（2）电荷在电场中某点受到的电场力的大小既与该点的电场性质有关，也与该电荷的大小有关。如果该点电场数值很小，但放置的电荷数值很大，该电荷在该点受到的电场力也会很大。

（3）正电荷1q 的存在会导致金属球上原有的正电荷重新分布，它们会尽可能的远离1q 。原先场强为1E 的那个点的新场强1'E 将会小于1E 。而1

11

'F E q =

。 11-4 根据点电荷的场强公式 2

04r q E e r

πε=

当所考察的场点与点电荷的距离0r →时，场强E →∞，这是没有物理意义的，对这似是而非的问题应该如何解释

答：“距离0r →时，场强E →∞”，这是宏观规律的数学解释。而在物理世界里，当场点与点电荷的距离很小以至于进入了微观世界，即接近原子尺度时，宏观电磁规律不再适用，而要用量子电动力学的规律，测不准原理开始发挥作用。

】

11-5 真空中有A 、B 两块平板，两块平板间的距离为（很小），平板面积为S ，其所带电量为q +和q -，对于该两块平板间的相互作用力F ，下面两种结

果是否正确为什么

（1）2

2

04q F d

πε=

（2）2

00q F qE q S

σεε===

答：两个都不对。（1）中把两块平板当作两个点电荷来处理；（2）中的0

E σε=是两块平板共同产生的场强。

正确答案应该是20022q F qE q S

σεε===

。 11-6 若通过一闭合曲面的电场强度通量为零，则在此闭合曲面上的场强是否一定处处为零若通过一闭合曲面的电场强度通量不为零，则在此闭合曲面上的场强是否一定处处不为零

答：都不一定。“一闭合曲面的电场强度通量为零”，是指各面元上的电场强度通量的代数和为零，曲面某些局部区域的电场强度通量可正，也可负，也可以为零。

11-7 关于高斯定理有下面几种说法，其中正确的是： （1）如果高斯面上的E 处处为零，则该高斯面内必无电荷； （2）高斯面上各点的电场强度仅由面内所包围的电荷提供；

&

（3）如果高斯面内有净余电荷，则穿过高斯面的电场强度通量必不为零。

（4）高斯定理仅适用于具有高度对称性的电场。 答：正确的是（3）。

11-8 如题图所示，闭合曲面S 有一点电荷q ，P 为S

面

?

'

q A

上一点，在S面外A点有一点电荷'q，若将'q移至B点，则下列说法中正确的是：（1）穿过S面的电场强度通量改变，P点的电场强度不变；

（2）穿过S面的电场强度通量不变，P点的电场强度改变；

（3）穿过S面的电场强度通量和P点的电场强度都不变；

（4）穿过S面的电场强度通量和P点的电场强度都改变。

答：正确的是（2）。

11-9 下列几个带电体能否用高斯定理来计算电场强度为什么作为近似计算应如何考虑呢

$

（1）电偶极子；

（2）长为l的均匀带电直线；

（3）半径为R的均匀带电圆盘。

答：这几个带电体都不能用高斯定理计算电场强度。电场强度E是未知量，若它在面积分区域高斯面上无均匀性，将无法提取出积分号外。

求解电偶极子可以用两个点电荷的场叠加。

长为l的均匀带电直线，如果很长，忽略边沿效应，当作无限长处理。靠近l中段，可以用高斯定理求得近似解。

如果均匀带电圆盘的半径很大，忽略边沿效应，当作无限大平板处理。在靠近盘中心，可用高斯定理求得近似解。

11-10 一点电荷放在球形高斯面的球心处，试讨论下列情形下电场强度通量的变化情况。

（1）若此球形高斯面被一与它相切的正立方体表面所替代；

（2）点电荷离开球心，但仍在球面内；

#

（3）有另一个电荷放在球面外；

（4）有另一个电荷放在球面内。

答：电场强度通量（1）不变化；（2）不变化；（3）不变化；（4）变化。 11-11 有一带电球体，已知其电荷是球对称分布的，在下列两种情况中，此球表面上的E 是否大于球内各点的E 。

（1）电荷体密度是均匀的； （2）电荷体密度与球半径r 成反比。

解：（1）在球内半径r 处做一高斯球面，由高斯定理 230443r E r ρππε=

，求得该处的电场强度 0

3E r ρ

ε= ()r R ≤； 在球面上 0

3R E R ρ

ε=

。 可见R E E >。 （2）设k r

ρ= 在球内半径r 处做一高斯球面，由高斯定理

`

2320044433k r E r r ρπππεε=

= 求得 0

43r k

E e πε= ()r R ≤；

球内是一个匀强电场，直至球面。R E E =。

11-12 比较下列几种情况下电场中两点电势的高低： （1）正电荷由A 移到B 时，外力克服电场力做正功； （2）正电荷由A 移到B 时，电场力做正功； （3）负电荷由A 移到B 时，外力克服电场力做正功； （4）负电荷由A 移到B 时，电场力做正功； （5）电荷顺着电场线方向由A 移到B ； （6）电荷逆着电场线方向由A 移到B 。

答：（1）B 高；（2）A 高；（3）A 高；（4）B 高；（5）A 高；（6）B 高。

？

11-13 有人说：“电场线描述空间各点电场的方向，并不表示质量为m ，电量为q 的质点在电场中受力运动的轨迹。只有当质点初速度为零时，其运动轨迹才和电场线重合。”这种说法对吗请分析。

解：电量为q 的质点在电场中受力为qE ，它的动力学方程为qE ma =

即 22(',',')d r qE x y z m dt

=

分量式 22(',',')x m d x E x y z q dt =，22(',',')y m d y E x y z q dt =， 22

(',',')z m d z

E x y z q dt

=， 这里只有(,,)x y z 与时间有关，而(',',')x y z 与时间无关。因为电场强度不随时间发生变化，电场线是固定的。

要从上面三个式子中消去时间参数t 才能得到质点轨道方程。这里(',',')x y z 与(,,)x y z 无关。问题就是要求证消去时间参数t 以后，质点关于(,,)x y z 的轨道是否与电场关于(',',')x y z 的轨迹是否一致。

这是一个加速度（22d r qE

dt m =）与时间无关但是与位置有关的运动。

求解22d r qE

dt m

=，

积分 2200

t t

t t qE d r

dt m dt ===?

?，0qE t v v m =-； ;

再积分0000000

()()t

t

t

t t t qE dr

tdt v v dt dt v t r r v t m dt ====-=-=-+??? 得：

2

00()2qE t r r v t m

=-+，设初速度00v =，初始位置也取为原点00r =，

则质点运动方程为 2

2qE r t m

=

，写成分量式： 22x qE x t m =，22y qE y t m =，22z qE

z t m

= 轨道方程为

222x y z m m m x y z qE qE qE ==，或：x y z

x y z E E E ==。这是一个直线方程。它与从原点出发的那根电场线的轨迹不一定一致。可见，只有当电场线为直线时（例如，匀强电场、点电荷产生的电场）才有可能与该质点轨道一致。一般情况下电场线是曲线。

11-14 已知无限长带电直线的电场强度为2

02r E e r λ

πε=

。我们能否选择无限远处的电势为零（0V ∞=），并利用A A

V E dl V ∞

∞=+?来计算“无限长”带电直线附

近点A 的电势

答：任何情况下，只有电势的差值才有物理意义。谈到某点的电势值，前提是定义了零电势参考点。只有当电荷分布在有限区间时，定义无限远处为零电势点才具有意义。对于无限长带电直线，只能定义某定点为零电势参考点。

11-15 回答下列问题：

（1）电势高的地方电场强度是否大电场强度大的地方电势是否高 （2）电场强度为零的地方，电势是否为零电势为零的地方，电场强度是否为零 :

（3）电场强度大小相等的地方，电势是否相等等势面上的电场强度是否相等

（4）电势为零的物体是否不带电带正电的物体的电势是否为正的

答：（1）某点的电场强度与该点及其邻域的电势随坐标的变化率成正比，而与该点的电势值没有关系。

（2）某点电场强度为零，该点及其邻域的电势是一个常数，不一定为零。电势为零的地方，电场强度可能为任何值。

（3）电场强度大小相等的地方，电势的变化趋势相等，电势值不一定相等。等势面上处处电场强度相等。

（4）零电势点仅仅是坐标参考点，可以任意指定，因此电势的正负值也是相对的。电势是否为零与物体是否带电毫无关系，带正电的物体的电势值也可能为任何值。

11-16 一个人站在绝缘地板上，用手紧握静电起电机的金属电极，同时使电极带电产生5

10V的电势，试问此人是否安全这时，如果另一人去接触已带电的电极，是否按全为什么

答：站在绝缘地板上的人如果独自接触电极是安全的，此时他的电势值与电极相同，他和电极之间没有电流，电场不做功。

#

11-17 电场中两点电势的高低是否与试验电荷有关电势差的数值是否与试验电荷的电量有关

答：所谓试验电荷，就是用于测试场中某点电场值的外加电荷。试验电荷必须足够小。理想情况下，电场中两点电势的高低与试验电荷无关，它取决于电场本身性质，以及零电势参考点的选择。两点电势差的数值取决于电场的分布，与试验电荷的电量无关。但实际操作中，如果试验电荷不是足够小，当然要影响到被测电场的数值和方向，甚至使原有电荷重新分布。

11-18 将初速度为零的电子放在电场中时，在电场力的作用下，这电子将向电场中高电势处还是向低电势处移动为什么

答：电场线总是从高电势指向低电势，这个性质与外来试验电荷无关。若试验电荷是初速度为零的正电荷，在电场力的做用下，它将沿着电场线指向运动；初速度为零的负电荷，将逆着电场线指向运动。所以，电子在电场力的作用下逆着电场线指向运动，从电场中低电势点向高电势点运动。

11-19 （1）已知电场中某点附近的电势分布，能否计算出该点的电势 （2）已知电场中某点附近的电势分布，能否计算出该点的场强 答：（1）研究该电势分布的变化趋势，利用插值法拟合该点的电势。 （2）某点电场强度等于该点电势梯度的负值。 11-20 试利用场强和电势梯度的关系式 l dV

E dl

=-

:

来分析下列问题：

（1）在电势不变的空间内，电场强度受否为零 （2）在电势为零处，场强是否一定为零 （3）场强为零处，电势是否一定为零

答：（1）在电势不变的空间内，电场强度为一常数。 （2）在电势为零处，场强不一定为零，可能为任何值。 （3）场强为零处，电势不一定为零，可能为任何值。 11-21 在静电学中，有下面几种常见的场强公式 F

E q

=

；2

014q E r πε=；A B V V E l -=

（1）各式中q 的意义是否相同 （2）各场强公式适用的范围怎样 答：（1）前两式中的q 的意义不相同。F

E q

=式中的q 是置放在电场E 中的外来试验电荷；2

01

4q

E r πε=式中的q 是产生电场E 的源电荷。但是，两式中的q 都适用于点电荷。

（2）F

E q

=

用来定义、测量、计算场。把某个外来试验点电荷q 置入场中，如果它受到的库仑力是F ，则该点电场的场强为E 。

2

01

4q

E r πε=

是点电荷q 在距它r 处产生的场。 A B

V V E l

-=

是已知两点电势A V 和B V 求该区域的匀强电场。