合理下料问题

摘要

节省原材料，提高材料的利用率，减少废料，降低成本，提高经济效益，对各工业领域来说都是一项有意义的事情。本文提出了下料问题的一种使用数学模型，来研究钢管最合理的切割方法。

关键字：最优化线性规划LINGO 软件

一、问题重述

某钢管零售商从钢管厂进货，然后将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货

时，每根钢管的长度都是19米

① 现在有一客户需要50根4米、20根6米、15根8米的钢管，应如何下料最节

省？

② 零售商如果采用的不同切割方式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产

和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割方式不能超过 3种。此外，该客户除需要①中的三种钢管外，还需要 10根5米的钢管，应如何下料最省？

1、现在的目标是确定一个合理的方案使得下料最省，获利最多。

2、 ①从题目给出的数据可知，客户所需要的三种不同长度的钢管都是由钢

管厂19米长的钢管切割而来的，具体的切割方式有以下 7种：

方式 4m 钢管 /根 6m 钢管 /根 8m 钢管

/根

余料/米

-一一 4 0 0 3

二——二 3 1 0 1

三 2 0 d 1 3

四 1 2 0 3

五 1 1 1 1

六 0 3「 0 1

七 0 0 2 3

②从题目给出的数据可知，客户所需要的四种不同长度的钢管都是由钢管厂米长的钢管切割而来的，具体的切割方式有以下 16种：

方式 4m 钢管 /根 5m 钢管 /根 6m 钢管 /根 8m 钢管

/根余料/米

-一一 4 0 0 0 3

_ 二 3 1 0 0 2

______ k

3 0 1 0 P 1 四 2 0 0 1 3

五 2 2 0 0 1

六 2 1 1 0 0

七 1 0 2 0 3

八 1 3 0 0 0

九 1 1 0 1 P 2

十 1 0 1 1 1

十一 0 0 3 0 1

十二「 0 0 0 2 3

十三 0 1 2 0 2

十四 0 1 1 1 0

十五: 0 2 0 1 1

十六 0 2 1 0 3

三、模型假设

问题分析

(1)假设切割不损失钢管。

四、符号说明

Xn表示采用方式n的次数；

Z表示切割总根数。

五、模型的建立

①目标函数：切割余料最少，故有

min Z=X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7 约束条件：满足客户所需的钢管数目，故有

4X1+3X2+2X3+X4+X5 > 50

X2+2X4+X5+3X蓉20

X3+X5+2X 淳15

非负约束：

X1, X2,…,X7 > 0

②目标函数：切割余料最少，故有

min Z=X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14+X15+X16 约束条件：满足客户所需的钢管数目，故有

4X1+3(X2+X3)+2(X4+X5+X6)+X7+X8+X9+X10A 50

3X8+2(X5+X15+X16)+X2+X6+X9+X13+X14> 10

3X11+2(X7+X13)+X3+X6+X10+X14+X16> 20

2X12+X4+X9+X10+X14+X15> 15

X1 , X2,…,X16 > 0

六、模型的求解

利用LINGO软件求解得

①X1=0, X2=0, X3=20, X4=10, X5=0, X6=0, X7=0b

②X1=8,X3=5,X10=13,X14=3,其余都为0.

七、模型的推广

应用组合各种方式得到最合理的下料方案，使下料问题上的线性规划问题得以解决，初步实践证明是切实可行的。在各种不同规格的一维下料问题上都可以考虑用此方法解决。