大学文科高等数学习题
一、极限
1.根据极限定义证明：
(1)0n 1lim 2n =∞→
(2)11n n lim n =+∞→ (3)2
31n 21n 3lim
n =-+∞→ (4)11
n n 5n n lim 2
2n =-++-∞→ (5)1n a n lim 2
2n =+∞→
(6))1a (1
a lim n
1n >=∞
→
2.根据极限定义证明：
11
n 1
n u n →+-=
. 问n 应从何值开始，使
4n 10u 1-<-？
3.设n
2n cos
u n π
=
，问=∞
→n n u lim ？n 从何值开始，才能使
n u 与其极限之差的绝对值小于正数ε？当001.0=ε时，n 应为何值？
4.根据极限定义证明：
(1)42
x 4x lim
4
x =--→
(2)53x 6
x x lim 23x =---→ (3)63x 29x 4lim 22
3x =--→ 5.证明：x x
lim 0x →不存在.
6.证明：当0x →时，2x 4-+与3x 9-+是同阶无穷小量.
7.证明：1x 1-+～
)0x (2
x →.
8.当1x →时，两无穷小
x
1x 1+-和x 1-中哪一个是高阶的？
9.当1x →时，无穷小x 1-和下列无穷小是否同阶？是否等价？
(1)3x 1-; (2))x 1(2-.
10.设当0x →时，x cos 1-～
2
x
sin a 2
，求a 的值. 11.求极限：
(1)232x )2x (2x lim ++-→
(2)4x 5x 3
x 2lim 21x +--→ (3)1
x x
1x 3lim 21x -++-→ (4)x
x
sin lim
x ∞→
(5)x 1
sin x lim 0x → (6)x
x arctan lim x ∞→
(7)x
cos x 2x cos x lim x -+∞→ 12.求极限： (1)1x x 21
x lim 22x ---∞→ (2)3x 5x 1x lim 43x +--∞→ (3)???? ??+--∞→1x 2x 1x 2x lim 223x (4)3
3
2x 1
x 3x lim
+-+∞→
(5)1
n 1n n
n n 3232lim ++∞→++ (6)??? ?
?-+++++∞→2n 2n n 321lim n (7)n
n n 319131121
41211lim ++++++++
∞→ (8)()
)
1n (21n 21lim n -+++-+++∞
→
(9)??????+-++?+?+?∞→)1n 2)(1n 2(1
751531311lim n (10)x x 1
x 2x lim 321x -+-→ (11)??? ??---→x 11x 13
lim 31x (12))N n (1
x 1x lim
n 1x +→∈-- (13)x
2x 3x x 2x 4lim 2230x ++-→
(14)4
x 5x 8x 6x lim 22
4x +-+-→
(15)x cot )x cos 1(lim 2
0x -→ (16)1
x x
1x 3lim
2
1
x -+--→ (17)22
0x x 11x lim +-→
(18)x
x
1x 1lim
x --+→
(19)()
x x x
lim
2
x -++∞
→
(20)()
x 1x x lim 2x -++∞
→ (21)()1
x 1x lim 2
2x --+∞
→
(22)()
x x x x
lim
2
2
x --++∞
→
(23)1
x 1x lim
3
1
x --→
(24)3
8
x x 23
x 1lim
+---→ (25)1
x 11
x 1lim 30
x -+-+→ *13.若
0b ax 1x 1x lim 2
x =????
??--++∞→，求a ，b 的值.
*14.求下列极限： (1)
?????
?++++∞→222n )n 2(1)1n (1n 1lim (2)
???
? ?
?
++++++∞→n n 12n 11n 1lim 2
22n (3)
???
?
?+++++++++∞→n n n n 2n n 21n n 1lim 222n
*15.利用极限存在准则证明： (1)1n
1
1lim n =+
∞
→ (2)
1n n 12n 1n 1n lim 222n =???
??π+++π++π+∞→ *16.利用极限存在准则证明数列
2 ，22+，
222++，…
的极限存在，并求出该极限.
17.求下列极限：
(1)x
sin x 1
sin x lim
20
x ?→
(2)??? ??→3x sin x lim 22
0x
(3)x 5sin x 2tan lim 0x → (4)x 3cot x lim 0
x ?→ (5)x
sin x cos 1lim 20x -→ (6)x 3x arcsin 2lim 0x →
(7)x cos 1x lim 0x -+→ (8)n n
n 2
x sin 2lim ∞→ (9)x sin x sin x tan lim
30x -→ (10)????
???++∞→x 2sin 3x 55x 3lim 2x (11)x
sin x 1x 1lim
x --+→
(12)x
x x 11lim ??
?
??-∞
→
(13)x
20
x )x 1(lim -→ (14)x
21
x )x 31(lim -→
(15)x
x x 11lim ?
??
??-+∞
→
(16)x
x x 1x lim ??
?
??+∞→
(17)x
2x x 21lim ??
?
??+∞
→
(18)1
2x
x x 21lim -∞
→??
? ??-
(19)x 20
x 2x 2lim ??? ??-→ (20)x
x 1x 1x lim ??? ??+-∞→ (21)1
x x a x a x lim +∞→??
?
??-+ (22)1
x x 1x 23x 2lim +∞→??
?
??++
(23)x 22x 1x x lim ???
?
??-∞→ (24)x sec 32
x )x cos 1(lim +π
→
(25)()x 10
x x sin 1lim +→ (26)x cot 20
x 2
)x tan 31(lim +→
18.已知4a x a x lim x
x =??? ??-+∞→，求常数a .
*19.求下列极限：
(1)5030
20x )
1x 5()2x 3()3x 2(lim ++-∞→ (2))
x cos 1(x x cos 1lim
0x --+
→
(3)333lim n ∞
→(n 重根号)
(4)()x
3x x x x 532lim +++∞
→ (5)∑=∞
→+++n
1k n
k 211
lim
(6)2
x 3x 3x 663x lim -∞→??
? ??-+
(7)e x 1x ln lim e x --→ (8))0a (x 1
a lim
x
0x >-→ (9)x
11
1
x x
lim -→
(10)π
-π
→
+x 212
x )x cos 1(lim
二、连续函数
20.设函数1t )t (3+=?，求
)t (2?，[]2
)t (?.
21.设x
1x
1)x (f +-=
，求)x (f -，)x 1(f -，??
?
??x 1f .
22.设1
x x
)x (f -=，求)1x (f -，
??
? ??-1x x f . 23.设??
???>=<=0
x ,10x ,00x ,1)x (f ，求)1x (f ,)1x (f 2--.
24.设??
?>≤=1
.x ,
01
x ,1)x (f ，求[])x (f f .
25.设
??
?≤<≤≤=+?2x 1,x 21
x 0,x )1x (2，求)x (?. 26.设函数)y x (f y x z -++=，
当0y =时，2x z =，求)x (f 及z .
27.设???≤<-≤≤=2x 1,21
x 0,1)x (f ，
求函数)3x (f +的定义域.
28.设)x (f 为定义在)
a ,a (-上的奇函数，且)x (f 在)a ,0[上单调减少. 试证明：)x (f 在]
0,a (-上也单调减少.
29.设函数)x (f 在),(+∞-∞内单调增加，且对一切x 有
)x (g )x (f ≤. 证明：
[][])x (g g )x (f f ≤.
30.证明任一定义在区间
)a ,a (-)0a (>上的函数可表示为一个奇函数与一个偶函数之和.
31.求下列各函数的定义域：
(1)2x x 11y 2
++-= (2)2
1
x arcsin y -=
(3)1
x )x 3lg(y --=
(4)4
x x 5lg y 2
-=
(5)2x )
x 1lg(1
y ++-=
(6)x sin x 16y 2+-=
(7))x x 2ln(x
x 1y 22
-+-= 32.求函数2
x
1x
2arccos y +=的定义域与值域.
33.求下列函数的反函数： (1)1
22
y x
x
+=
(2)1101010
10y x
x x
x
+-+=
--
(3)1
e 1
e y x x +-=
(4)5x 23y +=
(5))2x lg(1y ++=
(6)x 411x
411y +++-=
34.已知x sin )x (f =，[]2x 1)x (f -=?，求)x (?及其定义
域.
35.设函数)x (f 的定义域为
[]0,1-，求下列各函数的定义域： (1))x (f 3
(2))x 2(sin f
(3))a x (f )a x (f -++ )0a (> 36.设一矩形面积为A ，是将周长s 表示为宽x 的函数，并求其定义域.
37.在半径为r 的球内嵌入一圆柱，试将圆柱的体积表示为其高的
函数，并确定此函数的定义域.
38.用铁皮做一个容积为V 的圆柱形罐头筒，试将它的全面积表示成底半径的函数，并确定此函数
的定义域.
39.拟建一个容积为V的长方体水池，设它的底为正方形，如果池底所用材料单位面积的造价是
四周单位面积造价的2倍，试将总造价表示成底边长的函数，并确定此函数的定义域.
40.设生产与销售某产品的总
效益R是产量x的二次函数，经统计得知：当产量0
x=、2、4时，总效益0
R=、6、8，试确定总效益R与产量x的函数关系.
41.某商品供给量Q对价格p
的函数关系为
p
c
b
a
)p(
Q
Q?
+
=
=
今知当2
p=时30
Q=；3
p=时50
Q=；4
p=时90
Q=. 求供给量9
Q=对价格p的函数关系.
42.某化肥厂生产某产品1000吨，每吨定价为130元，销售量在700吨以内时，按原价出售，超过700吨时超过的部分需打9折出售，试将销售总收益与总销售量的函数关系用数学表达式表出.
43.在区间2
x
0≤
≤上有3克重的物质均匀分布着. 此外又有1克重的物质集中在3
x=处. 设x在
)
,
(∞
+
-∞内变化，试将区间
)x
,
(-∞一段的质量M表为x的函数.
44.求函数x
2
1
x
y2+
-
=当1
x=，5.0
x=
?时的增量.
45.求函数x
1
y+
=当3
x=，
2.0
x-
=
?时的增量.
46.若x2
cos
)x(f=，求
x
)x(f
)x
x(f
lim
x?
-
?
+
→
?
.
47.下列函数)x(f在0
x=处是否连续？为什么？
(1)
?
?
?
?
?
?
?
=
≠
=
x
,1
x
,
x
x
sin
)x(f
(2)
?
?
?
?
?
?
?
=
≠
=
x
,0
x
,
x
1
sin
x
)x(f
2
(3)????
???>≤=0x ,x
x
sin 0x ,e )x (f x
48.讨论函数
?
????
??
?
?
π<<≤<π-=x 0,x
sin x 1sin x 0x ,1)x (f 2 在0x =处的连续性.
49.设
?????>++=<+=0x ),x x b ln(0x ,10x ,x a )x (f 22，已知
)x (f 在0x =处连续，试确定a ，b
的值.
50.设???
?
???≤+>=0x ,x a 0x ,x 1sin x )x (f 2，
要使)x (f 在),(∞+-∞内连续，应当怎样选择a ？
51.求极限：
(1)1
x 5
x 2x lim 221x +++→ (2)2
21
x x
11x lim
+-→
(3))x 1arcsin(x
cos e lim 2
x 0x +?→ (4)x
)
x 1ln(lim
0x +→
(5)x
)
x 1ln(lim
0x α+→
(6))
x 1ln()x cos 1(x 1
cos
x x sin 3lim
20x +++→ 52.求证：当0x →时，
x sin sin ～)x 1ln(+.
53.求函数3
22
x 3x 1
)x (f +-=
的连续区间，并求)x (f lim 0
x →.
*54.若43x k
x 2x lim
23x =-+-→，求k 的值.
*55.若5x
1b
ax x lim
21x =-++→，求a ，b 的值.
56.根据连续函数的性质，验证方程1x 3x 5=-至少有一个根介于
1和2之间.
57.证明方程01x x sin =++在
开区间??
?
??ππ
-2,
2
内至少有一个根. 58.试证方程12x x =?至少有一个小于1的正根.
59.试证方程b x sin a x +=，其中0b ,0a >>，至少有一个正根，并且它不超过a b +.
60.证明方程
03x x 3x 23=+--在区间
)4,2(,)2,0(,)0,2(-内各有一个实根.
61.证明曲线
10x 7x 3x y 24-+-=在1x =与
2x =值之间至少与x 轴有一个交
点.
*62.若函数)x (f 在闭区间
[]b ,a 上连续，a )a (f <，b )b (f >.
证明：至少有一点)b ,a (∈ξ，使得ξ=ξ)(f .
三、导数与微分
63.按照导数定义，求下列函数
的导数：
(1)1x 3x y 2-+= (2))1x 3sin(y +=
64.一物体的运动方程为
10t s 3+=，求该物体在3t =时的瞬
时速度.
65.求在抛物线2x y =上点
3x =处的切线方程.
66.求曲线3x 3)1x (y -?+=在点)0,1(A -处的切线方程.
67.曲线1e y x +=上哪一点处的切线与直线01y x 2=+-平行？
68.试求曲线2x y +-=在它与直线x y =的交点处的切线方程和法线方程.
69.求曲线5
3)1x 2()2y 5(+=+在点??? ?
?
-51,0处的切线方程和法
线方程.
70.确定a ，b 之值，使曲线
b ax x y 2++=与直线x 2y =相切于点)4,2(.
71.设曲线ax x )x (f 3+=与
c bx )x (g 2+=都通过点)0,1(-，
且在点)0,1(-有公共切线，求a ，
b ，
c 的值.
*72.设函数)x (f 可导，且
0)x (f ≠，证明曲线)x (f y 1=与曲
线x sin )x (f y 2=在交点处相切.
73.设3)x (f 0-='，求
x )
x 3x (f )x x (f lim
000x ??--?+→?.
74.设2)3(f ='，求
h
2)
3(f )h 3(f lim
0h --→.
75.设)x (f 在a x =处可导，求
h
)
mh a (f )nh a (f lim
0h --+→.
*76.证明：(1)可导的偶函数的导数是奇函数；
(2)可导的奇函数的导数是偶函数；
(3)可导的周期函数的导函数是具有相同周期的周期函数.
77.设函数1
x 1x )x (f ++=
，证
明：)x (f 在0x =处右连续，但右导数不存在.
78.函数
??
?≤-<≤+=x
1,1x 31
x 0,1x )x (f 2在点1x =处是否可导？为什么？
79.讨论函数x x y =在点
0x =处的可导性.
80.2x )x (f -=在点2x =处的导数是否存在？
81.设
??
?<<--+≤<-+=1x 0,x 1x 10x 1,
)x 1ln()x (f ，讨论)x (f 在0x =处的连续性与可导性.
82.设函数
???
?
??
?
<≥π+=0x ,x 1arctan 0x ,2x sin )x (f ，试问)x (f 在0x =处是否可导？
83.讨论函数
????
???=≠=0x ,00x ,x 1arctan x )x (f 2
在
0x =处的连续性与可导性.
84.设???>≤+=0x ,ax sin 0
x ,b e )x (f x ，
试确定a ，b 的值，使)x (f 在0x =处可导，并求)0(f '.
*85.设
???
?
??
?=≠=0x ,00x ,x sin x 1)x (f 2
，求)0(f '，??
?
??π'2f .
*86.设
???
?
??
?=≠=0x ,00x ,x 1cos x )x (g 2
，又)x (f 在0x =处可导，求
[]0x )x (g f dx
d
=. *87.设函数)x (f 在1x =处连
续，且21
x )
x (f lim
1x =-→，求)1(f '. 88.求下列函数的导数：
(1)x x 1y 3
-=
(2)(
)
??
?
??-+=
1x 11x y
(3)22x 51)x 32(y ++= (4)2
x
1x y -=
(5)x
1x 1y -+=
(6)x log y a =
(7)x ln x ln y +=
(8)x
x 1x ln y 2
-+=
(9)x
1x
1ln
y -+= (10)x tan ln 5y =
(11)x cos e y x -= (12)2
x arcsin
y = (13)x arcsin y = (14)x
1cot
arc y = (15)2
x
1x
2arctan y -= (16)2
x
1x arccos y -=
(17)22x arcsin y ??? ?
?=
(18)x sin e y 2x ?= (19))x 21ln(cos y +=
(20)x ln ln y =
(21)x arcsin x 1x y 2+-= (22)x arccos x arcsin y +=
(23)x tan ln x cos 2
x tan ln y ?-=
(24)x
sin x x cos x
cos x x sin y +-= (25)2
x
csc 2x sec y 22+= (26))
x 2(tan 1
y 2=
*(27)
n
21a n a 2a 1)a x ()a x ()a x (y ---=
(28)x x y =
(29)()
n 2x 1x y ++=
(30)n
1x 2x y ???
??+=
(31)x sec 2)x 1(y +=
(32)x
1x 1x y +-?= (33)b
x 2a
x 3x y 3
++?= (34)32
2)x 3(x
3x 1x y +-?
-= 89.求下列隐函数的导数（其中ａ，ｂ为常数）：
(1)1xy y x 22=-+
(2)0b axy 2y 2
=+-
(3)y ln x y +=
(4)y xe 1y += (5)x )y x arctan(
=+ 90.方程x
y
arctan y x ln 22=+确定y 是x 的函数，求y '.
91.方程0a y x =-+确定y 是x 的函数，求y '.
92.求下列函数的导数：
(1))x (f x e )e (f y =
(2))x
1
(arcsin f y = (3))x e (f y e x += (4))x (cos f )x (sin f y 22+=
93.已知x 1x x 1f +=???
??，求)x (f '.
94.求下列函数的二阶导数：
(1))3x 5sin(x y 2
-= (2))x 1ln(y 2+=
(3)x ln x y = (4)x arctan )x 1(y 2+=
(5)2
x xe y = (6)x ln x cos y 2?= 95.求下列函数的二阶导数（其中函数)x (f 二阶可导）：
(1))e (f y x =
(2))x ((f y = 0)x (f >
(3))x (f e )x (f y =
(4))x (f )x (ln y 2=
(5))x (f ln )x (f y 2+=
0)x (f >
96.设函数)x (y y =由方程
e xy e y
=+确定，求)0(y ''.
97.设函数)x 3arctan(y -=，当
04.0x ,2x =?=时，求dy .
98.求下列函数的微分： (1)2
x
1x y -=
(2)x cos e y x
-=
(3)x arcsin y =
(4)2x 1ln y -=
(5)2x x )e e (y -+= (6)x 2
e x 1arccos y -???? ?
?= (7)()x
cos x sin y =
99.求函数x
e y =当x 由9变
到99.8的微分.
100.求由x sin y 2=，
)1t 3ln(x +=复合而成的复合函数
的微分.
101.正方体的棱长10x =米，
如果棱长增加0.01米，求此正立方体体积增加的精确值与近似值.
102.证明当x 很小时，下列各近似公式成立：
x 1e )
1(x +≈；
n
x
1x 1)
2(n
+
≈+； x x sin )3(≈；
x )x 1l n ()4(≈+.
四、中值定理·导数的应用
103.证明：
x 1
x ln )x 1ln(1x 1<-+<+，)0x (>. 104.证明：
)b a (pa b a )b a (pb 1p p p 1p -<-<---，
其中0
105.设)x (f 在[]1,0内具有二阶导数，0)1(f =，又)x (f x )x (F 2=. 证明在)1,0(内至少存在一点ξ，使0)(F =ξ''.
106.求极限：
(1)1
x x x 2
x 3x lim 23231x +--+-→ (2)1
x 1x lim n 1x --→ (3)x
1)x 1(lim a
0x -+→（a 为任何实数）
(4)1
x x x lim
2
1
x --→ (5)a
x a x a a a x lim --λ
λ→ (6)x
sin e e lim x
x 0x -→- (7)x x 1
e lim 2x
0x --→ (8)1x cos 1
e lim 2
x 0x --→ (9)2
0x x )x 1ln(lim +→ (10)x tan 2x ln lim 2
x ?
?? ?
?
π-π→
(11)x
ln )1x (x
ln x 1x lim
1x ---→
(12)x 3sin )
x 21ln(lim
0x +→
(13)x sin x x x tan lim 0x --→ (14)ax n
x e
x lim +∞→ （n 为正整数，0a >） (15)x
sin x x 2e e lim x x 0x ----→
(16)2
x x x
1)e 1ln(lim
+++∞
→
(17)x
3tan x
tan lim 2
x π
→ (18)x 2tan ln x 7tan ln lim 0x +→ (19)x cos x sec )
x 1ln(lim 20x -+→
(20)x
sin x
arcsin x lim 30x -→
(21)x
cot arc x 11ln lim x ?
?? ??++∞→ (22)x
arcsin x x
arctan x lim 0x --→
(23)20x x x 3cos x cos lim -→ (24))
e e ln()a x ln(x cos lim
a x a x --?+→ (25)2x
tan )x 1(lim 1x π-→
(26)2
x 1
20
x e x lim →
(27)x ln x lim 3
0x +→ (28))0m (x
ln x lim m 0x >+
→
(29)??? ??--→1e 1x 1lim x 0x (30)??? ?
?--→x ln 11x x
lim 1x (31)???? ??-+→x 1)x 1ln(1lim 0x (32)??
? ??-→x tan x 1x 1
lim 20x (33)???
????????? ??-∞
→1e x lim x 1x (34)??
?
??-π+∞
→x arctan 2x lim x (35)???
???-+∞
→x e )x 2(lim x
1
x
(36)x
10
x )x sin 1(lim +→
(37)x 11
1
x x lim -→
(38)x
tan 0x x 1lim ???
??+→
*(39)()x
20
2x x cos lim -π
-π→
*(40)1
x 12
1x 2x x lim -→???
?
??+
*(41))
1e
ln(1
0x x lim -+
→
*(42)()x cos 11x 20
x e x 1lim -→+ *(43)x
ln 1
x x arctan 2lim ?
?
?
??-π+∞→
*(44)nx x 1n x 12x 11x n a a a lim ????
? ??+++∞→ 107.证明函数2x x 2y -=在区间)1,0(上单调增加，而在区间)2,1(上单调减少.
108.求下列函数的单调区间： (1)5x 18x 12x 2y 23++-=
(2)5x 2x y 24--=
(3)45)1x 2()2x (y +-=
(4))x 1ln(x y +-=
109.证明不等式： (1))1x (x
13x 2>->
(2))0x ()
x 1ln(x >+>
(3))0x (x
1arctgx
)x 1ln(>+>
+
(4)x )x 1ln(2
x
x 2
<+<-
)0x (>
(5)2
x
1x sin e 2
x +
<+- )1x 0(<<
(6)x x arctan ≤ )0x (≥，
x x arctan ≥ )0x (≤.
110.求下列函数的极值：
(1)23x 3x 2y -= (2)42x x 2y -=
(3)7x 18x 6x 2y 23+--=
(4)234x x 3
1
x 41y --=
(5)32)2x ()1x (y --=
(6)x
ln x
y =
(7)32x )1x (y ?-= (8)32x 3x 2y ?+=
(9)1
x x 4x 4x 3y 2
2++++= (10)2x x 2y -+=
111.试问a 为何值时，函数
x 3sin 31x sin a )x (f +=在3
x π
=处
具有极值？它是极大值还是极小
值？并求此极值.
112.求下列函数在所给区间的最大值与最小值：
(1)
]2,1[,1x 5x 5x y 345-++-=
(2)]4,0[,x 2x y +=
(3)]1,0[,x
x 1x x 1y 22
-++-= 113.求函数x
1x y 2
+=的单调区
间，并求该函数在区间??
?
???-1,21上
的最大值与最小值. 114.试证方程01x x 3=-+只有一个正实根.
115.讨论方程)0a (a xe x >=-有几个实根.
116.欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法所用材料最省？
117.欲用围墙围成面积为216平方米的一块矩形土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大的尺寸，才能使所用建筑材料最省？
118.欲做一个容积为300立方米的无盖圆柱形蓄水池，已知池底单位造价为周围单位造价的2倍. 问蓄水池的尺寸应怎样设计才能使总造价最低？
五、不定积分
119.求下列不定积分： (1)
dx 1x x 1x sin 22x ???
?
??++++ (2)dx x
)x 1(3
2
?
-
(3)?
-+-dx 2
x 2x 22x 2
(4)???
? ??
-dx x x x 112
(5)?
-+dx x
1x 14
2
(6)?++dx )
x 1(x x 212
22
(7)?+dx x 1x 2
4
(8)dx 32532x
3
x ?
?-? (9)dx e b bx
x ?
(10)????
?
?+dx 2x cos 2x sin 2
(11)?
-dx x
sin 1
x sin 423 (12)?dx 2
x
sin 22
(13)?
-dx x
sin x cos x
2cos (14)?
++dx x
2cos 1x
cos 12 120.求下列不定积分：
(1)?'dx )x (f
(2)?'dx )x 2(f
(3)[]dx )x (f x )x (f ?'+
121.设
()()1x x
cos x sin f 22<='，求
)x (f .
122.已知一个函数的导函数为
2
x
11)x (f -=
，并当1x =时，这
个函数值等于π2
3
，求这个函数
)x (F .
123.已知曲线)x (f y =上任一点的切线的斜率为6x 3ax 2--，且
1x -=时，2
11
y =
是极大值，求)x (f 和)x (f 的极小值.
124.已知)x (f 的图形过点
)3,0(，
)x (f '的图形是过点)0,1(且不平行于坐标轴的直线，2是
)x (f 的极值，求)x (f .
125.求下列不定积分：
(1)?+dx )bx a (k )0b (≠
(2)?-dx )
x 21(3
2
(3)dx x 23dx 3
?-
(4)?
-++1
x 1x dx
(5)?
+dx x
1x 2
3
(6)?+-dx xe 1x 22
(7)?β-αdx
)x cos(
(8)xdx sin x cos 2
2?
(9)?dx x
x cos
(10)?
+dx x
cos 11
(11)?
+-dx x cos x sin 21x
sin x cos (12)?
+dx x
x
ln 2 (13)?+???
??+dx
)1x (x x 11ln
(14)xdx sin 4
?
(15)xdx
cos 3
?
(16)xdx cos x sin 5
3?
(17)?xdx 5tan
(18)?dx x
sin x cos 4
3 (19)dx x
sin x
cos 3?
(20)?xdx sec 4
(21)xdx tan 4
? (22)?+dx
)x tan x (tan 4
2 (23)???
? ??+dx x tan 1x sec 2
(24)dx x 321
2?
+
(25)?+4
x 2xdx
(26)dx 25x 8x 1
2
?+- (27)?-2x arcsin x 4dx
2 (28)?
-2
x
x dx
(29)?
+++dx 1
x x 1
x 2 (30)?+-+dx 13x 6x 5
x 2
(31)?+?dx )x 1(x 32
35
(32)dx x
sin 2x tan
ln ? (33)?-dx x 9412
(34)?
-dx e
11
x
(35)?
+dx e
11
x
(36)?+-dx 1e 1
e x
x 126.求下列不定积分：
(1)
?-dx )x 1(x 1002 (2)?+dx )x 1(x 13
(3)?++x
11dx (4)?+1
e dx x
(5)?
-2
3
)
x 1(dx 2
(6)?-2
2
2x a dx x
(7)?
+2
2a
x dx
(8)?
+dx )
a x (12
322
(9)?+dx x 941
2
(10)?
-dx 1
x x 12
(11)?-9
x x dx 22
(12)?
-dx 2
x 312
(13)dx x a x 22?
-
127.求下列不定积分：
(1)dt te t
2?-
(2)dx
e x x
2? (3)dx 2
x cos x ?
(4)xdx cos x 2
? (5)dx x cos x sin x ? (6)xdx
tan x 2
? (7)
?dx x cos x 2sin 1 (8)?xdx
sec 3
(9)xdx ln 2
? (10)xdx arctan x 2
?
(11)?+xdx arctan x
1x 2
2
(12)dx 2
x sin
e
x
2?- (13)?xdx ln sin
(14)?dx )x (arcsin 2
(15)?+dx )x 1ln(x 2 (16)?+dx )x 1ln(x 2
(17)dx x x ln 2
???? ??
(18)?
dx x
sin x sin ln 2 (19)?dx x x arcsin 2
(20)?-dx 1e xe x x
(21)?+dx )x ln x 1(x
e x
(22)?-dx e arctan e x x
*(23)?xdx sin xe x
128.设)x (f 的原函数为x
x sin ，
求?'dx )x (f x .
129.设x 1)e (f x +='，求)x (f . 130.求下列不定积分：
(1)dx )2x )(1x (1x ?--+ (2)dx
x
x 41
x 33?--
不定积分练习题及答案
不定积分练习题一、选择题、填空题： 1、(1 sin2X )dx 2 2、若e x是f(x)的原函数，贝x2f(l nx)dx ___________ 3、sin(ln x)dx _______ 2 4、已知e x是f (x)的一个原函数，贝V f (tanx)sec2xdx ___________ : 5、在积分曲线族dx 中，过(1,1点的积分曲线是y _______________ 6、F'(x) f(x)，则f '(ax b)dx ____________ ; 、1 7、设f (x)dx 2 c,则 x 8、设xf (x)dx arcs in x c,贝V ---------- dx f(x) 9、f '(lnx) 1 x,则f (x) _______ ; 10、若f (x)在(a,b)内连续，则在(a,b)内f (x) _________ (A)必有导函数(B)必有原函数(C)必有界(D)必有极限 11、若xf (x)dx xsin x sin xdx,贝Vf (x) _____ 12、若F'(x) f(x), '(x) f(x),贝V f (x)dx ______ (A)F(x) (B) (x) (C) (x) c (D)F(x) (x) c 13 、 下列各式中正确的是：(A) d[ f (x)dx] f (x) (B)引 dx f (x)dx] f (x)dx (C) df(x) f(x) (D) df(x) f (x) c 14 、设f (x) e x,则： f(lnx) dx x 1 c x (A) 1 c x (B) lnx c (C) (D) ln x c ◎dx
不定积分练习题及答案
不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题：、（ 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族 中，过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则：
统计西安交大期末考试试题(含答案)
西安交大统计学考试试卷 一、单项选择题（每小题2 分，共20 分） 1.在企业统计中，下列统计标志中属于数量标志的是（C） A、文化程度 B、职业 C、月工资 D、行业 2.下列属于相对数的综合指标有（B ） A、国民收入 B、人均国民收入 C、国内生产净值 D、设备台数 3.有三个企业的年利润额分别是5000 万元、8000 万元和3900 万元，则这句话中有（B）个变量？ A、0 个 B、两个 C、1 个 D、3 个 4.下列变量中属于连续型变量的是（A ） A、身高 B、产品件数 C、企业人数 D、产品品种 5.下列各项中，属于时点指标的有（A ） A、库存额 B、总收入 C、平均收入 D、人均收入 6.典型调查是（B ）确定调查单位的 A、随机 B、主观 C、随意 D 盲目 7.总体标准差未知时总体均值的假设检验要用到（A ）： A、Z 统计量 B、t 统计量 C、统计量 D、X 统计量 8.把样本总体中全部单位数的集合称为（A ） A、样本 B、小总体 C、样本容量 D、总体容量 9.概率的取值范围是p（D ） A、大于1 B、大于－1 C、小于1 D、在0 与1 之间 10.算术平均数的离差之和等于（A ） A、零 B、1 C、－1 D、2 二、多项选择题（每小题2 分，共10 分。每题全部答对才给分，否则不计分） 1.数据的计量尺度包括（ABCD ）： A、定类尺度 B、定序尺度 C、定距尺度 D、定比尺度 E、测量尺度 2.下列属于连续型变量的有（BE ）： A、工人人数 B、商品销售额 C、商品库存额 D、商品库存量 E、总产值 3.测量变量离中趋势的指标有（ABE ） A、极差 B、平均差 C、几何平均数 D、众数 E、标准差 4.在工业企业的设备调查中（BDE ） A、工业企业是调查对象 B、工业企业的所有设备是调查对象 C、每台设备是 填报单位D、每台设备是调查单位E、每个工业企业是填报单位 5.下列平均数中，容易受数列中极端值影响的平均数有（ABC ） A、算术平均数 B、调和平均数 C、几何平均数 D、中位数 E、众数 三、判断题（在正确答案后写“对”，在错误答案后写“错”。每小题1 分，共10 分） 1、“性别”是品质标志。（对）
定积分典型例题20例答案(供参考)
定积分典型例题20例答案 例1 求2 1lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 故321(1)3f x x -= ，令3126x -=得3x =，所以1(26)27 f =．
不定积分例题及答案
第4章不定积分
习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?
思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?
(整理)西安交通大学口腔医学本科期末考试试题
西安交通大学口腔医学本科期末考试试题 课程 系别考试日期年月日 专业班号 姓名学号期中期末 一、A1型题（每题1分，共50分） 1、口腔中的主要致龋菌为 A放线菌菌株 B乳杆菌 C变形链球菌 D以上全不对 E以上都对 2、关于继发龋，以下哪种叙述是正确的 A继发龋是在原来龋坏基础上又发生龋坏 B继发龋是龋病治疗后，由于充填物边缘与牙体组织之间形成缝隙而产生龋病C继发龋的可能原因充填物边缘或窝洞周围牙体组织之间破裂不密合或龋坏病变组织未去除干净，形成菌斑滞留区 D B和C正确 E以上全对 3、引起楔状缺损的主要原因是 A牙颈部结构薄弱 B酸的作用
C牙体材料疲劳 D刷牙 E以上全不对 4、后牙浅龋制洞洞深以达釉牙本质界下---为宜？ A 0.1-0.2mm B 0.2-0.5mm C 0.5-1mm D 1.0-2.0mm E以上都不对 5、牙隐裂最常发生于 A下颌磨牙 B上颌磨牙 C下颌前牙 D上颌前牙 E上颌尖牙 6、目前公认的龋病致病因素包括 A酸、微生物、宿主、即牙齿健康状况 B微生物、饮食、年龄 C微生物、饮食、遗传 D微生物、饮食、宿主即牙齿健康状况 E细菌、蔗糖、时间 7、深龋充填术后出现自发疼痛应
A对症处理 B调牙合 C照牙髓炎的治疗原则处理 D取出原充填物，垫底后重新充填 E服消炎药或止痛药 8、银汞合金充填窝洞时其固位形主要依靠 A其与牙体组织间的粘结性 B侧壁固位 C倒凹固位 D密合的摩擦力和洞口小于洞底的机械力 E以上全不对 9、下列叙述中，哪一项不正确 AⅡ类洞为发生于后牙邻面的龋损所制备的洞形 BⅢ类洞为发生于前牙邻面未损伤切角的龋损所制备的洞形 CⅣ类洞为发生于前牙唇面并损伤切角的龋损所制备的洞形 DⅤ类洞为发生于所有牙唇(颊)龈1/3牙面的龋损所制备的洞形EⅠ类洞为发生于所有牙齿的发育窝沟内的龋损所制备的洞形10、洞形制备的一般原则不包括 A尽量去净病变组织 B保存健康组织 C了解患者的健康状况 D失活牙髓，减轻疼痛
不定积分例题及答案 理工类 吴赣昌
第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！
★(1) ? 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+? ??? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
西安交通大学管理学期末考试试题1
西安交通大学管理学期末考试试题二 一、选择题（每小题1.5分，共15分） 1（）的目的能使管理人员全面了解整个组织的不同工作内容，得到各种不同的经验，为其今后在更高层次上任职打好基础 A提升B职务轮换C在副职上培训D理论培训 2在管理方格理论中，确定领导行为的两个因素是（） A对人的关心B对生产的关心C正式结构D体谅 3决策是计划工作的（） A基础B重心C核心D目标 4决策树是（）的一种，受到广泛的使用 A博弈论法B效用方法C线性规划法D期望值法 5狭义的决策就是（）方案 A筹备B拟定C选择D执行 6组织工作就是为了使组织有效运作而进行的一种（）的设计和维持 A职位结构B人员群体C分工协作D组织框架 7管理层次的划分主要是解决组织的（）问题 A横向结构B纵向结构C横向分工D总想协调 8按（）划分部门是最普遍采用的一种划分方法 A地区B职能C产品D时间 9一般的，集权或分权的程度，常根据各管理层次拥有的（）来确定 A组织权B决策权C计划权D领导权 10根据激励的公平理论（）能得到激励 AOp>oo Bop/ip>oo/io Cop/ip 第五章 不定积分 习题 5－1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函 数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是 的原函数. 解 2 2 22[()]' [()]'=2() x x x x x x e e e e e e - --+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -，并且当x = 1时, 该函数值是3 2π，求这个函数. 解 设所求函数为f (x ), 则由题意知 '()f x = '(arcsin )x 因为 '()()d arcsin f x f x x x C ===+?所以 又当x = 1时， 3 (1)2f π =，代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍，求此曲线的方程. 解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知'' ()2y f x x == 因为 2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为 第五章 定积分 (A) 1．利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所 围成的图形的面积。 2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ? =1 12)1xdx 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0sin ) 3xdx ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3．估计下列各积分的值 ? 33 1arctan ) 1xdx x dx e x x ?-0 2 2)2 4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ?2 1 ln )1xdx 与dx x ?2 1 2)(ln dx e x ?10)2与?+1 )1(dx x 5．计算下列各导数 dt t dx d x ?+20 2 1)1 ?+32 41)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6．计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7．当x 为何值时，函数? -=x t dt te x I 0 2 )(有极值？ 8．计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+? ? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ，其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1>≤x x 9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题： ?- =π π 0cos )1kxdx πππ =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0sin cos )3lxdx kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx 第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式 加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34 134（ -+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-? ????34134（ -+-）2 ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ?? ★★ (9) 思路 =？ 看到1117248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? 3x x e dx ? 高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 ：求下列不定积分1.知识点：。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析：！利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数，由积分表中的公式（2）可解。 解： (2)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (3)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。：解． (4)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (5)思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： (6)★★思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解： (8)★思路:分项积分。 解： (9)★★思路:？看到，直接积分。 解： (10)★★思路: 裂项分项积分。解： (11)★解： (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然。 解： (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解： (14)★★思路:被积函数，积分没困难。 解： (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。 解： (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。 解： () 17★思路:不难，关键知道“”。 ：解． ()18★思路:同上题方法，应用“”，分项积分。 解： ()19★★思路:注意到被积函数，应用公式(5)即可。 解： ()20★★思路:注意到被积函数，则积分易得。 解： 、设，求。2★知识点：。考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：：。即可1直接利用不定积分的性质解：：等式两边对求导数得 、，。求的原函数全体设的导函数为3★知识点：。仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：。连续两次求不定积分即可解：，由题意可知：。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点：。考查原函数（不定积分）与被积函数的关系思路分析：。只需验证即可解：，而、，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为，由题意可知：，； 又点在曲线上，适合方程，有， 所以曲线的方程为 、，：问6一物体由静止开始运动，经秒后的速度是★★（1）在秒后物体离开出发点的距离是多少？ 4830--西安交通大学操作系统原理期末备考题库4830奥鹏期末考试题库合集 单选题： （1）在一单处理机系统中，若有5个用户进程，在非管态的某一时刻，处于阻塞态的用户进程最多有（）个。 A.1 B.2 C.3 D.5 正确答案：D （2）缺页中断率与哪个因素无关 A.分配给作业的主存块数 B.页面的大小和调度算法 C.程序编制方法 D.作业的逻辑地址 正确答案：D （3）以下有关可变分区管理中采用的主存分配算法说法中错误的是（） A.可变分区管理采用的主存分配算法包括最先适应、最佳适应、最坏适应等算法 B.最先适应算法实现简单，但碎片过多使主存空间利用率低 C.最佳适应算法是最好的算法，但后过的较大作业很难得到满足 D.最差适应算法总是选择最大的空闲区用于分割，使得余下的分区仍可使用 正确答案：C （4）对于记录型信号量，在执行一次P操作时，信号量的值应当为减1；当其值为( )时，进程应阻塞。 A.大于0 B.小于0 C.大于等于0 D.小于等于0 正确答案：B （5）下面（）种页面置换算法会产生Belady异常现象？ A.先进先出页面置换算法（FIFO） B.最近最久未使用页面置换算法（LRU） C.最不经常使用页面置换算法（LFU） D.最佳页面置换算法（OPT） 正确答案：A （6）在页式存储管理中，假定地址用m个二进制位表示，其中页内地址部分占用了n个二进制位，那么最大的作业允许有（）个页面。 A.2n B.2(m-n) C.2m D.2(m+n) 正确答案：B （7）操作系统中，进程与程序的重要区别之一是（）。 A.程序有状态而进程没有 B.进程有状态而程序没有 不定积分 （Ａ） １、求下列不定积分 １）?2 x dx ２） ? x x dx 2 ３） dx x ?-2)2 ( ４） dx x x ? +2 2 1 ５）??- ? dx x x x 3 2 5 3 2 ６） dx x x x ?2 2sin cos 2 cos ７） dx x e x) 3 2(?+ ８） dx x x x ) 1 1( 2 ?- ２、求下列不定积分（第一换元法） １） dx x ?-3)2 3( ２） ? - 33 2x dx ３） dt t t ?sin ４） ? ) ln(ln ln x x x dx ５）? x x dx sin cos６） ?- +x x e e dx ７） dx x x) cos(2 ? ８） dx x x ? -4 3 1 3 ９） dx x x ?3 cos sin 10） dx x x ? - - 2 4 9 1 11）? -1 22x dx 12） dx x ?3 cos 13)?xdx x3 cos 2 sin 14) ?xdx x sec tan3 15) dx x x ? +2 3 916) dx x x ? +2 2sin 4 cos 3 1 17) dx x x ? -2 arccos 2 1 10 18) dx x x x ? +) 1( arctan 3、求下列不定积分（第二换元法） １） dx x x ? +2 1 1 ２） dx x ?sin ３） dx x x ?-4 2 ４） ?> - )0 (, 2 2 2 a dx x a x ５）? +3 2)1 (x dx ６） ? +x dx 2 1 ７）? - +2 1x x dx ８） ? - +2 1 1x dx ４、求下列不定积分（分部积分法） １） inxdx xs ? ２） ?xdx arcsin ３）?xdx x ln 2 ４） dx x e x ?- 2 sin 2 ５）?xdx x arctan 2 ６） ?xdx x cos 2 ７）?xdx 2 ln ８） dx x x 2 cos2 2 ? ５、求下列不定积分（有理函数积分） １） dx x x ? +3 3 ２）? - + + dx x x x 10 3 3 2 2 3）? +)1 (2x x dx （Ｂ） 1、一曲线通过点 )3, (2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的 方程。 2、已知一个函数 ) (x F的导函数为2 1 1 x -，且当1 = x时函数值为 π 2 3 ，试求此函数。 3052--西安交通大学离散数学期末备考题库3052奥鹏期末考试题库合集单选题：（1） 每个非平凡的无向树至少有（）片树叶。 A.1 B.2 C.3 D.4 正确答案：B （2） A.A B.B C.C D.D 正确答案：C （3）下列公式中，（）是可满足式。 A.A B.B C.C D.D 正确答案：D （4） A.A B.B C.C D.D 正确答案：D （5） 设半序集(A,≤)关系≤的哈斯图如下所示，若A的子集B = {2,3,4,5},则元素6为B的 ( )。 A.下界 B.上界 C.最小上界 D.其他答案都不对正确答案：B （6）设集合 A = {1,2,3,4}, A上的关系R＝{(1,1),(2,3),(2,4),(3,4)}, 则R具有( )。 A.自反性 B.传递性 C.对 称性 D.其他答案都不对正确答案：B （7）设G是一个12阶循环群，则该群一定有（） 个不变子群。 A.2 B.4 C.6 D.8 正确答案：C （8） 下列图中，（）是平面图。 A.A B.B C.C D.D 正确答案：C （9） 如果命题公式G=P∧Q，则下列之一哪一个成立（）。 A.A B.B C.C D.D 正确答案：B （10）在任意n阶连通图中，其边数（）。 A.至多n-1条 B.至少n-1条 C.至多n条 D.至少n条正确答案：B （11） A.A B.B C.C D.D 正确答案：B （12）函数的复合运算“ο”满足（） A.交换律 B.结合律 C.幂等律 D.消去律正确答案：B （13）设 上海第二工业大学 不定积分、定积分 测验试卷 姓名： 学号： 班级： 成绩： 一、选择题：（每小格3分，共30分） 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则()f ax dx a ?应等于（ ） （A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ） （A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx =?，2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-，则（ ） （A ）123s s s <<； （B ）213s s s <<； （C ）312s s s <<； （D ）231s s s << 西安交通大学管理学期末考试试题三 一、选择题（每小题1.5分，共15分） 1根据激励的公平理论（）能得到激励 AOP>OO BOP/IP>OO/IO COP/IP 不定积分-定积分复习题及答案-精品 不定积分、定积分 测验试卷 姓名： 学号： 班级： 成绩： 一、选择题：（每小格3分，共30分） 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则() f ax dx a ?应等于（ ） （A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ） （A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx = ? ，2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-，则（ ） （A ）123s s s <<； （B ）213s s s <<； （C ）312s s s <<； （D ）231s s s << 二、填空题：（每小格3分，共30分） 不定积分练习题 一、选择题、填空题： 1、 ((1—sin 2 X )dx = 2 ------------- 2、 若 e x 是f (x)的原函数，贝x 2f(lnx)dx = ________ 3、sin (I n x)dx 二 __ 12、若 F '(x)工 f(x), ? '(x)工 f (x),则 f(x)dx = _______________________________________________ (A)F(x) (B) ： (x) (C) ： (x) - c (D)F(x) (x) c 13、下列各式中正确的是： (A) d[ f(x)dx]二 f(x) (B) —[ f(x)dxp f(x)dx dx L (C) df(x)二 f(x) (D) df(x)二 f(x) c 14、设 f(x)=e ：则： f(lnx) dx = _____________ 2 已知e 公是f (x)的一个原函数，贝V f (tan x)sec xdx 二__ 在积分曲线族(卑中，过(1,1点的积分曲线是y=_ 'x\!x F'(x)= f (x),贝》J f'(ax+b)dx = ________ ; 设 [f (x)dx =丄 + c ，贝叮 "号)dx = _________ ; e 「dx= ____ ; "f(x) f '(ln x) =1 x,则f (x)二 ______ ; 10、 若 f (x)在(a, b)内连续，则在(a, b)内 f (x) ___ ; (A)必有导函数 (B)必有原函数 (C)必有界(D)必有极限 11、 ______________________________________________ 若 Jxf (x)dx = xs in x — [sin xdx,贝 V f (x) = ________ ; 4、 5、 6、 7、 9、 设 xf (x)dx =arcsin x c,贝V经济数学(不定积分习题及答案)
§_5_定积分习题与答案
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