平面向量知识点及方法总结总结
平面向量知识点小结及常用解题方法
一、平面向量两个定理
1.平面向量的基本定理
2.共线向量定理。 二、平面向量的数量积
1.向量b 在向量a 上的投影：||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0.
2.a b ?的几何意义：数量积a b ?等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积. 三坐标运算：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则
（1）向量的加减法运算：1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--. （2）实数与向量的积：1111(,)(,)a x y x y λλλλ==.
（3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这
个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
（4）平面向量数量积：1212a b x x y y ?=+.（5）向量的模：
222222||||a a x y a x y ==+?=+. 四、向量平行(共线)的充要条件
221212//(0)()(||||)0a b a b b a b a b x y y x λ?=≠??=?-=. 五、向量垂直的充要条件
12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥??=?+=-?+=. 六．12121122222
1
(,),(,)cos
,.a x y b x y a b x y x ===
+七、向量中一些常用的结论
1.三角形重心公式
在ABC △中，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则重心坐标为1
23123(,)
33
x x x y y y G ++++. 2.三角形“三心”的向量表示
（1）0GA GB GC G ++=?为△ABC 的重心.
（2）PA PB PB PC PC PA P ?=?=??为△ABC 的垂心.
（3）||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?为△ABC 的内心；
3.向量,,PA PB PC 中三终点,,A B C 共线?存在实数,αβ，使得PA PB PC αβ=+且
1αβ+=． 4.在ABC △中若D 为BC 边中点则1
()2
AD AB AC =+ 5.与AB 共线的单位向量是||
AB AB ±
七．向量问题中常用的方法
（一）基本结论的应用
1.设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，2
16,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,则AM ∣∣=
（A ）8（B ）4（C ）2（D ）1
2.已知ABC ?和点M 满足0MA MB MC --→--→--→+=+.若存在实数m 使得AB AC AM m --→--→--→
+=成立，则m=A ．2B ．3 C ．4D ．5
3.设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，能使||||
a b
a b =
成立的条件是（） A 、a b =-B 、//a b C 、2a b =D 、//a b 且||||a b =
4.已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为____________
5.平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =（）A 、2-B 、1-C 、1D 、2
6.ABC ?中13AN NC =,P 是BN 上一点若2
11
AP AC mAB =
+则m=__________ 为ABC ?平面内一点，若2
2
2
2
2
2
oA BC oB CA oC AB +=+=+则o 是ABC ?____心 8.（2017课标I 理）已知向量b a ,的夹角为1,2,600==b a ，则=+b a 2. （二）利用投影定义
9.如图，在ΔABC 中，AD AB ⊥
，3BC =BD ，1AD =，则
AC AD ?=（A ）23（B ）
32
（C ）33
（D
3
10.已知点()1,1A
-.()1,2B .()2,1C --.()3,4D ,则向量AB 在CD 方向上的投影为
A ．322
B ．3152
C ．322
-
D ．3152
-
11设0,P ABC ?是边AB 上一定点,满足AB B P 4
1
0=
,且对于边AB 上任一点P ,恒有C P B P PC PB 00?≥?则
A ．090=∠ABC
B ．090=∠BA
C C ．AC
AB =
D ．BC AC =
（二）利用坐标法 12.
已
知
直
角
梯
形
ABCD
中，
AD BC 0
90ADC ∠=2,1AD BC ==P DC 3PA PB +13．（2017课标II 理）已知ABC ?是
边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，
()PA PB PC ?+的最小值是（）2.-A 23.-
B 3
4
.-C 1.-D （三）向量问题基底化
14.在边长为1的正三角形ABC 中,设
2,3,BC BD CA CE ==则AD BE ?=____________．
15.（2017天津理）在ABC ?中，60A =?∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，
()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ?=-，则λ的值为___________.
16.见上第11题
（四）数形结合代数问题几何化，几何问题代数化
例题1.ABC ?中13AN NC =,P 是BN 上一点若2
11
AP AC mAB =+则m=__________ 2.（2017课标I 理）已知向量b a ,的夹角为1,2,600==b a ，则=+b a 2
3、如图，在ΔABC
中，
AD AB ⊥，3BC =BD ，1AD =，
则
AC AD ?=（A ）23（B ）
3
（C ）3（D
3
17.设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b =12-，
,a c b c --=060，则c 的最大值等于
A ．2
B ．3
C ．2
D ．1
18.若a ，b ，c 均为单位向量，且0=?b a ，0)()(≤-?-c b c a ，则||c b a -+的最大值为
（A ）12- （B ）1
（C ）2
（D ）2
19.已知,a b 是单位向量,0a
b =.若向量
c 满足1,c a b c --=则的取值范围是
A ．2-1,2+1????，
B ．2-1,2+2????，
C ．1,2+1????，
D ．1,2+2????，
20.已知两个非零向量a ，b 满足|a +b |=|a -b |，则下面结论正确的是
(A)a ∥b (B)a ⊥b (C)(D)a +b =a -b （五）向量与解三角形
21．在△ABC 中，AB=2，AC=3，AB BC =1则___BC =.
22.已知平面向量,,(0,0)αβαβ≠≠满足,,(0,0)αβαβ≠≠01,-120βαβαα=与夹角，求取值
范围_______
23.锐角三角形ABC 中0,30oA oB oC A ===若
cos cos ..2sin sin B C
AB AC moA m C B
+=求