高等数学考研真题含答案
1.
..
sin 12lim
1.4/1/0
+++→x x
e e x
x x 求=+∞-∞+=-∞→,0)(lim ,),()(2.a x f e a x
x f x bx
、则常数
且内连续在设函数00数一考研题
??
?>≤=1(B)0(A)).
(
)]}([{,
1,0,
1,1)(3.x f f f x x x f 等于则设01数二考研题
b 满足00数二考研题
).
(
<≥>≤>><<0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(b a D b a C b a B b a A [
]
;;
.
;;;
考研真题一
.
,}{),,2,1()3(,307.).(,00,,0,2
arcsin 1)(6.112tan 并求此极限的极限存
证明数列设则处连续在设函数n n n n x x
x n x x x x a x x ae x x
e x
f Λ=-=<<==??
???
??≤>-=+02数二考研题
02数二考研题
8.,
lim ,1lim ,0lim }{},{},{9.则必有均为非负数列设n n n n n n n n n c b a c b a ∞
→∞
→∞
→===且,03数一考研题
)(.
(D)(C)(B)(A);成立对任意n n n b a <;成立对任意n n n c b <;
lim 不存在极限n n n c a ∞
→.
lim 不存在极限n n n c b ∞
→.
_____sin 1)1(,04
1
2=--
→a x x ax x 是等价无穷小与时若则,03数二考研题
.
4)(3)(2)(1)(,)1(sin ,sin )1ln )cos 1(,05.2
13lim
4.221
2等于
则正整数高阶的无穷小是比而高阶的无穷小是比时设当x n n x D C B A n e x x x x x x x x x x
x -+-→=-++--→(01数二考研题
01数二考研题
;
;
;
在__________.
∞>≤>≤.1
,11
,0(D)1
,01,1(C)x x ???x x ??
?;
2.
..
_________)(,1
)1(lim
)(10.2=+-=∞
→x x f nx x n x f n 的间断点为则设04数二考研题
12.设函数,1
1
)(1
-=
-x x
e x
f 则( ).(A)1,0==x x 都是)(x f 的第一类间断点;(B)1,0==x x 都是)(x f 的第二类间断点;
(C)0=x 是)(x f 的第一类间断点,1=x 是)(x f 的第二类间断点;(D)0=x 是)(x f 的第二类间断点,1=x 是)(x f 的第一类间断点.05数二考研题
11.当0→x 时, 2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无
, 则.
________=k 穷小05数二考研题
13.=
-+→x
x x x cos 1)1ln (lim
.
06数一、二考研题
14.当+→0x 时,与x 等价的无穷小量是( ).
(A)x
e -1; x
x
-+11ln
; 11-+x ; x cos 1-.
(B)(C)
(D)07数一、二考研题
15.函数)(tan )()(1/1/e e x x
e e x
f x x -+=在],[ππ-上的第一类间断点是=x ( ).
(A)2
π
-
; 2
π.(D)
(C) (B)0; 1; 07数二考研题
16.设函数)(x f 在),(+∞-∞内单调有界}{n x 是( ).
(A)若收敛)}({n x f 收敛(B)若单调收敛;(C)若收敛(D)若收敛.
为数列下列命题正确的则则收敛则单调则,,,,,,;;}{n x }{n x )}({n x f )}({n x f )}({n x f }{n x }{n x 08数一、二考研题
17.设函数,sin 1
ln )(-=
x x x
x f 则( ).(A)(B);;
,,08数二考研题
)(x f 有一个可去间断点一个跳跃间断点一个可去间断点一个无穷间断点
3.
.(D)(C);.
两个无穷跳跃间断点两个跳跃间断点18.当0→x 时,ax x x f sin )(-=与)1ln()(2bx x x g -=为等价无穷小,则( ).
(A)61,1-==b a (B)61
,1==b a (C)6
1,1-=-=b a (D)61
,1=-=b a ;;
;.
19.函数x
x x x f πsin )(3
-=的可去间断点的个数,则( ).
(A)3无穷多个(B)(C)21(D) ;;;.
09数一、二考研题
09数二考研题4.
.考研真题二
)3)0(0)1ln )(2.)(,2)(1.)
(20
≥=+==+===n f
n x x x x f d y
y x x y y n x xy
阶导数处的在求则所确定由方程设函数填空
.
((.
00数二考研题
00数二考研题
0,5)(3.的某个邻域内满足关系式
它在的连续函数是周期为已知=x x f )(8)sin 1(3)sin 1(α+=--+x x x f x f ,
:0)(,0)0(5.)(
)1,0()(,1)cos )(4..
)6(,6()(,1)(,0)(,2可导的充要条件为在点则设处的法线方程为在点则曲线
所确定由方程设函数填空
处的切线方程在点求曲线处可导在且高阶的无穷小时比是当其中α===-=-===→+(D)(C)(B)(A)x x f f x f y e xy e x f y f x f y x x f x x x y x )(.
;cos 1(1
lim
2
存在-→f h h h );sin (1
lim 2
0存在-→h f h h h );)1(1
lim 0
存在-→e f h
h h .)()2([1
lim
存在-→h f h f h
h ]00数二考研题
01数二考研题01数一考研题
)(
)1(,1.0,1.01)(,)(7.).
(
)0(,016)(6.22则的线性主部为相应的函数增量时处取得增量在当自变量可导设函数则所确定由方程设函数填空='?-=?-===
''=-++=(D)(C)(B)(A)f y x x x x f y u f y x xy e x y y y .
02数一考研题
02数二考研题
;
1-;
1.0;
1.
5.06
,cos 18.求该曲线上对应于已知曲线的极坐标方程是π
θθ=-=r 处的.
切线与法线的直角坐标方程02数二考研题
03数二考研题
.
______________)1,1()(,ln 2)(9.4处的切线方程是在点则曲线所确定由方程设函数x f y y x xy x f y ==+=.________1ln 10.垂直的切线方程为与直线曲线=+=y x x y 04数一考研题.
),2()(),4()(,]2,0[,),()(11.2为常数其中都满足若对任意的上在区间上有定义在设函数+=-=+∞-∞k x kf x f x x x x f x f 04数二考研题
;
)0,2[)((1)上的表达式在写出-x f
5...0)(,(2)处可导在为何值时问=x x f k 13.设,)sin 1(x x y +=则.
__________|==πx d y 05数二考研题
14.设函数)(x y y =由参数方程?????+=+=)
1ln(22
t y t
t x 确定, 则曲线)(x y y =在
3=x 处的法线与x 轴交点的横坐标是( ).
(A)
32ln 8
1
+;32ln 8
1
+-
;32ln 8+-;32ln 8+.
(B)(C)(D)05数二考研题
12.设函数,||1lim )(3n n n x x f +=∞
→则)(x f 在),(+∞-∞内(A) 处处可导;
恰有一个不可导点;(C)恰有两个不可导点;
至少有三个不可导点.
( ).
(B)(D)05数一、二考研题
15.设函数)(x y y =由方程y xe y -=1确定则
,0
=x d x
d y =.
16.设函数)(x g 可微2,1(1),)()(1='='=+g h e x h x g 则(1),,g 等于(1)).
(
(A)13ln -;
(B)13ln --;
(C)12ln --(D)12ln -.
;
06数二考研题
06数二考研题
17.设函数)(x f 在0=x 处连续,下列命题错误的是( ).(A)若x
x f x )
(lim 0→存在,则0)0(=f ;
(C)若x
x f x )
(lim 0
→存在,则)0(f '存在;
若x
x f x f x )
()(lim
--→存在,则)0(f '存在.
(D)若x x f x f x )
()(lim 0
-+→存在,则0)0(=f ;
(B)07数一、二考研题
18.曲线???+=+=t y t t x sin 1cos cos 2上对应于4π
=t 的点处的法线斜率为________.
19.设函数3
21
+=
x y ,则=)0()(n y ____________.已知函数)(u f 具有二阶导数,且1)0(='f ,函数)(x y y =由方程
20.07数二考研题
07数二考研题
6.
.11
=--y xe
y 所确定.设)sin (ln x y f z -=,求
.
,
2
20
==x x d x z d d x
d z 07数二考研题
21.设函数?+=20
)2ln()(x d t t x f 则)(x f '的零点个数( ).
0;
1;(B)2;
(C)3(D).
(A)22.曲线x x y xy =-+)ln()sin(在点)1,0(处的切线方程为_________.24.设),2)(1()(2--=x x x x f 求)(x f '的零点个数(A)0;
1;
2; 3.
( ).(B)(C)(D),08数一考研题
08数一、二考研题
08数二考研题
微分方程0)(2=-+-x d y d x e x y x 的通解是_________.23.08数二考研题25.设)(x y y =是方程1+=+x e xy y 确定的隐函数,则
2
2=x d x y d =________.
09数二考研题
7..考研真题三
时有且是恒大于零的可导函数设b x a x g x f x g x f x g x f <<<'-',0)()()()(,)(),(3.);()()()(x g a f a g x f (B)>);()()()(x g b f b g x f (A)>00数二考研题
填空x x
x x =+-→.)21ln(arctan lim
1.3000数二考研题
???????填空
2.曲线的斜渐近线方程为.
???????)(x y =-21e 1/x 00数二考研题
则当出其类型求该函数的间断点并指
记此极限为求极限.
),(,sin sin lim
8.sin sin -→x f x t
x
t x
x t 01数二考研题)
(,1)1()1(,)(,)1,1()(6.)3()1(5.22(A)f f x f x f x x y ='='+---=则
且严格单调减内有二阶导数在区间已知函数的拐点个数为曲线δδ;
0(A);
1(B);
2(C).
3(D);)()1,1()1,1(x x f <+-内均有和在δδ01数二考研题
01数二考研题
).((D)(C)(B);)()1,1()1,1(x x f >+-内均有和在δδ;)(,)1,1(,)(,)1,1(x x f x x f >+<-内在内在δδ.)(,)1,1(,)(,)1,1(x x f x x f <+>-内在内在δδ[]成立使存在唯一的内的任一对试证内具二阶连续导数且在设.
2/1)(lim (2);
)()0()(),1,0()(,0)1,1((1):,0)()1,1()(7.0
='+=∈≠-≠''-=→x x x f x f x f x x x f x f y x θθθ01数一考研题
).
3)(0(0)1ln()(4.)
(2n f n x x x x f n ≥=+=阶导数处的在求);
()()()(b g b f x g x f (C)>).
()()()(a g a f x g x f (D)>00数二考研题少则内具界且可导在设函数,),0()(9.+∞=x f y ;
0)(lim ,0)(lim ='=+∞
→+∞
→x f x f (A)x x 必有时当02数一考研题
( ).
8.
..
1
ln ln 2,011..
,,0)0()2()(,0)0(,0)0(0)(10..0)(lim ,)(lim ;
0)(lim ,0)(lim ;
0)(lim ,)(lim 220
<--<+<<→-+≠'≠=='='=='='+
++
+→→→→+∞
→+∞
→ab
a b a b b a a b a b a h h f h bf h af f f x x f x f x f (D)x f x f (C)x f x f (B)x x x x x x 证明不等式
设试确定高阶的无穷小时是比在若的某个邻域内具有一阶连续导数且在设函数必有存在时当必有时当必有存在时当02数一考研题02数二考研题
的值'0)(),()1(>x f b a 内在;;
)
(2)(,),()2(2
2?=-b
a
f dx
x f a b b a ξξξ使
内存在点在)2(),()3(b a ηξ使
相异的点中内存在与在)(),()(13两个极小值点和一个极大值点一个极小值点和两个极大值点有则内连续在设函数(B)(A)x f x f +-.∞其导
,,∞)
(03数一考研题
数的图形如图所示.
2高阶的无穷小是比h 02数二考研题
;;三个极小值点和一个极大值点两个极小值点和两个极大值点(D)(C)14.03数一考研题
;.
.
______=lim 0
→x cos x )(ln()1x 2+1
O
x
y
.
ln 4ln 44的交点个数与讨论曲线x x y k x y +=+=15.,),(,],[)(b a b a x f 且
在开区间上连续在闭区间设函数16.内可导03数二考研题
03数二考研题
,)
2(lim .0)('-->+
→a
x a
x a x f x f 证明：
存在若极限,0)0(,0)(12.≠=f x x f 且的某邻域内具有二阶连续导数在设函数)
0()3()2()(,
0,,,.0)0(,0)0(321321时使得当证明存在唯一的一组实数f h f h f h f h f f -++→≠''≠'λλλλλλ
9..).0()()0,((D));0()(),0((C);)0,()((B);),0()((A)( ).,0,0)0(,)(17.f x f x f x f x x f x f f x f >-∈>∈->>'有对任意的有对任意的内单调减少在内单调增加在使得则存在且连续设函数δδδδδ04数一、二考研题
).(4
ln ln ,18.2
222a b e a b e b a e ->
-<<<证明设04数一、二考研题
.
)(2))(('22?-=
-b
a
dx x f a a b f ξξη;)(,)(0;)()0,0(,)(0的拐点是曲线但的极值点不是的拐点不是曲线但的极值点是x f y x f x x f y x f x ====(B)(A))0,0(0;)()0,0(,)(0不是的拐点是曲线且的极值点是x x f y x f x ===(D)(C),)(的极值点x f .
)()0,0(的拐点也不是曲线x f y =.
13
cos 21
lim
21.3
0-+→x
x x x 求极限(
)[]04数二考研题
.
_________)(,131
3)(19.23取值范围为向上
则曲线确定由参数方程设函数x x y y t t y t t x x y =???+-=++=04数二考研题|,)1(|)(20.则设x x x f -=( ).
04数二考研题
凸的22.曲线1
22
+=x x y 的斜渐近线方程为_________.
05数一考研题
24.曲线x
x y 2
/3)1(+=
的斜渐近线方程为__________.
05数二考研题23.已知函数)(x f 在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 且.1(1),0)0(==f f 证明:(1) 存在),1,0(∈ξ使得;
1)(ξξ-=f (2) 存在两个不同的点),1,0(,∈ζη使得.1)()(=''ζηf f 05数一、二考研题
25. 设函数)(x f y 具有二阶导数,且0)(,0)(>''>'x f x f ,x ?为自变量x 在0
x 处的增量,y ?与d y 分别为)(x f 在点0x 处对应的增量与微分,若0>?x ,则(A)y d x ?<<0;(B)d y y
=06数一考研题
(C)0
(D)0
<10.
.26. 设数列}{n x 满足),2,1(sin ,011K ==<<+n x x x n n π(1)证明1lim +n x 存在, 并求极限;(2)计算2
1
1lim n x n n n x x ???
? ??+∞→.27. 曲线x
x x
x y cos 25sin 4-+=
的水平渐近线方程为
.
28.证明:当π<<
a a a a B
b b b ππ++>++cos 2sin cos 2sin .
06数一、二考研题
06数一、二考研题
06二考研题
29.曲线)1ln 1
x e x y ++=渐近线的条数为( ).
(A)0;
1;
2;
3.
(B)(C)(D)(07数一、二考研题
30.设函数)()(x g x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内具有二阶导数且存在相等的最大值),()(),()(b g b f a g a f ==证明:存在),(b a ∈ξ使得)()(ξξg f ''=''.
,,31.=-→3
0sin arctan lim
x x
x x .07数一、二考研题
07二考研题
32.求极限.sin )]sin(sin [sin lim 4
0x x
x x x -→33.)(x f 连续,1)
()1()
cos(1lim 0=--→x f e xf x x 则._________)0(=f ,34.求函数3
2
)5()(x
x x f -=的拐点__________.
08数一、二考研题
08数二考研题
08数二考研题
设2)(x 35.(1)证明拉格朗日中值定理:若函数)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,导,则存在()b a ,∈ξ使得
()()a b f a f b f -'=-ξ)()(.
证明:若函数)(x f 在0=x 处连续,在()()0,0>δδ内可导,且
()A x f x ='+
→0lim 则()0+'f 存在,且()A f ='+0.
(2),
36.曲线?????-==?
--)
2ln(22102t t y d u
e x t
u ,在)0,0(处的切线方程为________ .
37.函数x x y 2=在区间]1,0(上的最小值为________.
可
09数一、二考研题
09数二考研题
09数二考研题
11..38.若)(x f ''不变号,且曲线)(x f y =在点()11上的曲率圆为2,则在
(1,内( ).
(A)有极值点,无零点(B)无极值点,有零点(C)有极值点,有零点(D)无极值点,无零点,;;;.39.求极限x
x x x x 40
sin )]
tan 1ln()[cos 1(lim
+--→.
区间2)09数二考研题
09数二考研题
12.
.,)()(lim ,1)(lim ,0)(,),0()(13.?,87
3,.0,,12..
1
)12(11..arctan :10..)(,)
1ln()(ln 9.1
1
00222e x f hx x f x f x f x f r K S x x d x
d x
e e d x x
f x
x x f x h
h x x
x
且满足
内可导在已知函数问雪堆全部融化需要多少小时小时内融化了其体积的
堆在开始融化的的雪已知半径为假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状例常数比成正比其体积融化的速率与半球面面积一个半球体状的雪堆求
求不定积分计算设=??
????+=>+∞>+++=
→+∞
→00数二考研题
01数一考研题
01数二考研题
01数二考研题
02数二考研题
[]:7.:6.:5.:4..)(,ln )(,2ln )1(3.:2.22
2d x x x x f x x x f =-=-计算不定积分计算不定积分计算不定积分计算不定积分求且设计算不定积分
?
?
.
d x .
.
d x .
d x 94数一考研题
95数二考研题
96数二考研题
96数二考研题
97数二考研题
98数二考研题
考研真题四
:1.计算不定积分.32
d x
e x x 94数二考研题
.
:8.计算不定积分.
d x 99数二考研题
.
13..).
(x f 求+.
)1(23/2arctan d x x xe x
计算不定积分14.03数二考研题
.
________)(,0)1(,
)
(15.===
'-x f f xe e f
x x 则且已知04数一考研题
16.求
d x
.
06数二考研题
17.计算不定积分).0(11ln >???
? ?
?++
x d x x x
09数二考研题
14.
.考研真题五
2.1.填空
填空
2
)7(2
=-+∞+x x d x
??????.
2210=-d x x x ??????.00数一考研题
00数二考研题
,,0)(3.x f π且
上连续在设函数,0)(0
=d x x f π,
0cos )(0
=x d x x f π,)().0(:10,10),(4..0)()(,,),0(2121l D t S t t y x l y x y x D xOy f f 试求
左下方部分的面积位于直线表示正方形若及直线平面上有正方形设使内至少存在两个不同的点试证在≥=+≤≤≤≤===ξξξξπ).
0()(0
x d t t S x ≥00数一考研题
00数二考研题
[]{});1(2)(2,)1((1),
cos )(5.0
n x S n n x n n d t t x S x 证时为正整数且当设函数+<≤+<≤=
ππ.
/)(lim (2)x x S x 求+∞
→00数二考研题
cos )sin (6.22322
x d x x x 填空
=+-π
π???????.
01数二考研题
).
(.)().(,0)0(,,0)(7.2)(0
x f e x d t t g x g f x f x x f 求若
且其反函数为上可导在设函数==+∞;)((1),0)0(,)0(,)(8.=>-x f f a a a x f 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式写出上有二阶连续导数在区间设01数二考研题
01数二考研题
[)[]ln 9.2=∞+x
x d x
e
填空
???????.02数一考研题
.
)(3)(,,(2)3=''--d x x f f a a a a a
使上至少存在一点证明在ηη[]cos 12cos 1cos 11lim
10.=?
???
????++++++∞
→n n n n n n 填空πππΛ02数二考研题
???????.