高考数学考点归纳之 二项式定理

高考数学考点归纳之 二项式定理

一、基础知识

1.二项式定理

(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －

1b ＋…＋C k n a n －

k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)?； (2)通项公式：T k ＋1＝C k n a

n －

k b k

，它表示第k ＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C 0n ，C 1n ，…，C n n ?.

2.二项式系数的性质

(1)项数为n ＋1.

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .

(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .

二项式系数与项的系数的区别

二项式系数是指C 0n ，C 1n ，…，C n n ，它只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项

的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有

关.如(a ＋bx )n 的二项展开式中，第k ＋1项的二项式系数是C k n ，而该项的系数是C k n a

n －

k b k

.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.

考点一 二项展开式中特定项或系数问题

考法(一) 求解形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例1] (1)(2018·全国卷Ⅲ)????x 2＋2

x 5的展开式中x 4的系数为( ) A.10 B.20 C.40

D.80

(2)(2019·合肥调研)若(2x －a )5的二项展开式中x 3的系数为720，则a ＝________. (3)(2019·甘肃检测)已知?

??

?x －

a x 5

的展开式中x 5的系数为A ，x 2的系数为B ，若A ＋B ＝11，则a ＝________.

[解析] (1)????x 2＋2x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·???

?2x r ＝C r 5·2r ·x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2.故展开式中x 4的系数为C 25·22

＝40.

(2)(2x －a )5的展开式的通项公式为T r ＋1＝(－1)r ·C r 5·(2x )5－

r ·a r ＝(－1)r ·C r 5

·25－

r ·a r ·x 5－

r ，令5－r ＝3，解得r ＝2，由(－1)2·C 25

·25－

2·a 2＝720，解得a ＝±3. (3)?

???x －

a x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r ·?

???－a x r ＝C r 5(－a )r x 5－32r .由5－32r ＝5，得r ＝0，由5－32r ＝2，得r ＝2，所以A ＝C 05×(－a )0＝1，B ＝C 25×(－a )2＝10a 2，则由1＋10a 2＝11，解得a ＝±1.

[答案] (1)C (2)±3 (3)±1 [解题技法]

求形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤

第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r n a

n －

r b r

，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；

第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r ；

第三步，把r 代入通项公式中，即可求出T r ＋1，有时还需要先求n ，再求r ，才能求出T r ＋1或者其他量.

考法(二) 求解形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例2] (1)(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数是( ) A.－4 B.－3 C.3

D.4

(2)(2019·南昌模拟)已知(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，则正实数a ＝________.

[解析] (1)法一：(1－x )6的展开式的通项为C m 6·(－x )m ＝C m 6(－1)m x m 2，(1＋x )4的展开式的通项为C n 4·(x )n ＝C n 4x n 2

，其中m ＝0,1,2，…，6，n ＝0,1,2,3,4. 令m 2＋n

2

＝1，得m ＋n ＝2， 于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数等于C 06·(－1)0·C 24＋C 16·(－1)1·C 14＋C 26·(－

1)2·C 04＝－3.

法二：(1－x )6(1＋x )4＝[(1－x )(1＋x )]4(1－x )2＝(1－x )4(1－2x ＋x ).于是(1－

x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数为C 04·1＋C 14·(－1)1

·1＝－3.

(2)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为C 46a 2，含x 项的系数为C 56a ，由(x －1)(ax ＋1)6

的展开式中含x 2项的系数为0，可得－C 46a 2＋C 56a ＝0，因为a 为正实数，所以15a ＝6，所以

a ＝25

. [答案] (1)B (2)2

5

[解题技法]

求形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，根据二项式定理把(a ＋b )m 与(c ＋d )n 分别展开，并写出其通项公式； 第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a ＋b )m 与(c ＋d )n 的展开式中的哪些项相乘得到；

第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 考法(三) 求形如(a ＋b ＋c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例3] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式中x 5y 2的系数为( ) A.10 B.20 C.30

D.60

(2)将???

?x ＋4

x －43展开后，常数项是________. [解析] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－

r ·y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25

(x 2

＋x )3y 2，又(x 2＋x )3的展开式的通项为T k ＋1＝C k 3(x 2)3－k ·x k ＝C k 3x 6－

k ，令6－k ＝5，则k ＝1，所以(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为C 25C 1

3＝30.

(2)????x ＋4x －43＝????x －2x 6展开式的通项是C k 6

(x )6－k ·????－2x k ＝(－2)k ·C k 6x 3－k . 令3－k ＝0，得k ＝3.

所以常数项是C 36(－2)3＝－160.

[解析] (1)C (2)－160 [解题技法]

求形如(a ＋b ＋c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，把三项的和a ＋b ＋c 看成是(a ＋b )与c 两项的和； 第二步，根据二项式定理写出[(a ＋b )＋c ]n 的展开式的通项； 第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a ＋b )n

－r

的展开式中的哪些项和

c r 相乘得到的；

第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.

[题组训练]

1.(2018·洛阳第一次统考)若a ＝∫π0 sin x d x ，则二项式????a x －1

x 6的展开式中的常数项为( )

A.－15

B.15

C.－240

D.240

解析：选D 由a ＝∫π0 sin x d x ＝(－cos x )|π

0＝(－cos π)－(－cos 0)＝1－(－1)＝2，得

????2x －1x 6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ????－1x r ＝(－1)r C r 6

·26－r ·x 3－32r ，令3－32

r ＝0，得r ＝2，故常数项为C 26·24

＝240.

2.(2019·福州四校联考)在(1－x 3)(2＋x )6的展开式中，x 5的系数是________.(用数字作答)

解析：二项展开式中，含x 5的项是C 562x 5－x 3C 2624x 2＝－228x 5，所以x 5

的系数是－228.

答案：－228

3.???

?x 2＋1

x ＋25(x ＞0)的展开式中的常数项为________. 解析：????x 2＋1x ＋25(x ＞0)可化为? ????x 2

＋1x 10，因而T r ＋1＝C r 10

????1210－r (x )10－2r ，令10－2r ＝0，得r ＝5，故展开式中的常数项为C 510·

???

?125＝632

2.

答案：632

2

考点二 二项式系数的性质及各项系数和

[典例精析]

(1)若?

????x ＋13x n

的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的

项是( )

A.63

x B.4x C.4x 6x

D.4x

或4x 6x (2)若????x 2－1

x n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________.

(3)若(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.

[解析] (1)令x ＝1，可得? ????x ＋13x n

的展开式中各项系数之和为2n ，即8＜2n

＜32，解

得n ＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C 24(x )2? ??

??13x 2

＝63x .

(2)????x 2－1x n 的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n (x 2)n －r ·????－1x r ＝C r n (－1)r x 2n －3r ， 因为含x 的项为第6项，所以r ＝5,2n －3r ＝1，解得n ＝8， 在(1－3x )n 中，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝(1－3)8＝28， 又a 0＝1，所以a 1＋…＋a 8＝28－1＝255.

(3)设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5，② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，

即展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.

[答案] (1)A (2)255 (3)3

[解题技法]

1.赋值法的应用

二项式定理给出的是一个恒等式，对于x ，y 的一切值都成立.因此，可将x ，y 设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如：

(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可.

(2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可. 2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中 (1)各项系数之和为f (1).

(2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)

2.

(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)

2

.

[题组训练]

1.(2019·包头模拟)已知(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝( )

A.1

B.243

C.121

D.122

解析：选B 令x ＝1，得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝1，① 令x ＝－1，得－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝－243，② ①＋②，得2(a 4＋a 2＋a 0)＝－242， 即a 4＋a 2＋a 0＝－121.

①－②，得2(a 5＋a 3＋a 1)＝244， 即a 5＋a 3＋a 1＝122.

所以|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝122＋121＝243.

2.若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3

＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________.

解析：令x ＝0，则(2＋m )9＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝－2，则m 9＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9， 又(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2

＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝39， ∴(2＋m )9·m 9＝39，∴m (2＋m )＝3， ∴m ＝－3或m ＝1. 答案：－3或1

3.已知(1＋3x )n 的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________.

解析：由已知得C n －2n ＋C n －1n ＋C n n ＝121，则12

n ·(n －1)＋n ＋1＝121，即n 2

＋n －240＝0，解得n ＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T 8＝C 715(3x )7和T 9＝C 815(3x )8

.

答案：C 715(3x )7和C 815(3x )8

考点三 二项展开式的应用

[典例精析]

设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 018＋a 能被13整除，则a ＝( ) A.0 B.1 C.11

D.12

[解析] 由于51＝52－1，

512 018＝(52－1)2 018＝C 02 018522 018－C 12 018522 017＋…－C 2 0172 018

521＋1， 又13整除52， 所以只需13整除1＋a ，

又0≤a ＜13，a ∈Z ， 所以a ＝12. [答案] D

[解题技法]

利用二项式定理解决整除问题的思路

(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.

(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：

①余数的范围，a ＝cr ＋b ，其中余数b ∈[0，r )，r 是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；

②二项式定理的逆用.

[题组训练]

1.使得多项式81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1能被5整除的最小自然数x 为( ) A.1 B.2 C.3

D.4

解析：选C ∵81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1＝(3x ＋1)4，∴上式能被5整除的最小自然数为3.

2.1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数为________. 解析：∵1－90C 110＋902C 210＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910， ∴8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 910

88＋1， ∵前10项均能被88整除，∴余数为1. 答案：1

[课时跟踪检测]

A 级

1.(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)??

?

?2x 2

－x 43

的展开式中的常数项为( )

A.－32

B.32

C.6

D.－6

解析：选D 通项T r ＋1＝C r 3

?

??

?2x 2

3－r

·(－x 4)r ＝C r 3(2)

3－

r ·(－1)r x －6＋6r

，当－6＋6r ＝0，即r

＝1时为常数项，T 2＝－6，故选D.

2.设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＋a 4

a 1＋a 3的值为( )

A.－6160

B.－122121

C.－34

D.－90121

解析：选C 由二项式定理，得a 1＝－C 1524＝－80，a 2＝C 2523＝80，a 3＝－C 3522

＝－40，

a 4＝C 452＝10，所以a 2＋a 4a 1＋a 3

＝－34. 3.若二项式????x 2＋a

x 7的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( ) A.560 B.－560 C.280

D.－280

解析：选A 取x ＝1，得二项式????x 2＋a

x 7的展开式的各项系数之和为(1＋a )7，即(1＋a )7＝－1,1＋a ＝－1，a ＝－2.二项式????x 2－2x 7的展开式的通项T r ＋1＝C r 7·(x 2)7－r ·????－2x r ＝C r 7·(－2)r ·x 14

－3r

.令14－3r ＝2，得r ＝4.因此，二项式?

???x 2－2x 7的展开式中含x 2项的系数为C 47·(－2)4＝560.

4.(2018·山西八校第一次联考)已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )

A.29

B.210

C.211

D.212

解析：选A 由题意得C 4n ＝C 6

n ，由组合数性质得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为

2n －

1＝29.

5.二项式????1

x －2x 29的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( ) A.－671 B.671 C.672

D.673

解析：选B 令x ＝1，可得该二项式各项系数之和为－1.因为该二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 9???

?1x 9－r ·(－2x 2)r ＝C r 9(－2)r ·x 3r －9，令3r －9＝0，得r ＝3，所以该二项展开式中的常数项为C 39(－2)3

＝－672，所以除常数项外，各项系数的和为－1－(－672)＝671.

6.(2018·石家庄二模)在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( ) A.－5 B.－15 C.－25

D.25

解析：选B 由题意含x 4项的系数为－2C 35＋C 4

5＝－15.

7.(2018·枣庄二模)若(x 2－a )????x ＋1

x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( ) A.1

3 B.12 C.1

D.2

解析：选D ????x ＋1x 10的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·???

?1x r ＝C r 10·x 10－2r ，令10－2r ＝4，解得r ＝3，所以x 4项的系数为C 310.令10－2r ＝6，解得r ＝2，所以x 6项的系数为C 210

.所以(x 2－a )???

?x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为C 310－a C 210

＝30，解得a ＝2. 8.若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( ) A.1或3 B.－3 C.1

D.1或－3

解析：选D 令x ＝0，得a 0＝(1＋0)6＝1.令x ＝1，得(1＋m )6＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6.∵a 1

＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，∴(1＋m )6＝64＝26，∴m ＝1或m ＝－3.

9.(2019·唐山模拟)(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)

解析：(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项是第四项，系数是C 3623(－1)3＝－160.

答案：－160

10.(2019·贵阳模拟)????x ＋a

x 9的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________.

解析：二项展开式的通项T r ＋1＝C r 9x 9－r ????a x r ＝a r C r 9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，所以a 3C 39

＝－84，解得a ＝－1，所以二项式为????x －1

x 9，令x ＝1，则(1－1)9＝0，所以展开式的各项系数之和为0.

答案：0

11.???

?x ＋1

x ＋15展开式中的常数项为________. 解析：????x ＋1x ＋15展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·???

?x ＋1x 5－r .令r ＝5，得常数项为C 55＝1，令r ＝3，得常数项为C 35·2＝20，令r ＝1，得常数项为C 15·C 24＝30，所以展开式中的常数项为

1＋20＋30＝51.

答案：51

12.已知?

????x ＋124x n 的展开式中，前三项的系数成等差数列.

(1)求n ；

(2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中系数最大的项.

解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C 0n ，12C 1n ，14C 2

n ， 由已知得2×12C 1n ＝C 0

n ＋14

C 2

n ，解得n ＝8(n ＝1舍去). (2)? ????x ＋124x 8的展开式的通项T r ＋1＝C r 8(x )8－r ·? ????124x r ＝2－r C r 8x 4－3r 4(r ＝0,1，…，8)， 要求有理项，则4－3r 4必为整数，即r ＝0,4,8，共3项，这3项分别是T 1＝x 4，T 5＝358x ，

T 9＝1

256x 2

.

(3)设第r ＋1项的系数a r ＋1最大，则a r ＋1＝2－

r C r 8，

则a r ＋1a r ＝2－

r C r

82－(r －1)C r －18

＝9－r 2r ≥1， a r ＋1a r ＋2＝2－

r C r 8

2－(r ＋1)C r ＋18＝2(r ＋1)8－r ≥1， 解得2≤r ≤3.

当r ＝2时，a 3＝2－

2C 28＝7，当r ＝3时，a 4＝2－

3C 38＝7，

因此，第3项和第4项的系数最大，

B 级

1.在二项式????x －1

x n 的展开式中恰好第五项的二项式系数最大，则展开式中含有x 2项的系数是( )

A.35

B.－35

C.－56

D.56

解析：选C 由于第五项的二项式系数最大，所以n ＝8.所以二项式???

?x －1

x 8展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8x 8－

r (－x －

1)r ＝(－1)r C r 8

x 8

－2r

，令8－2r ＝2，得r ＝3，故展开式中含有x 2项

的系数是(－1)3C 38＝－56.

2.已知C 0n －4C 1n ＋42C 2n －43C 3n ＋…＋(－1)n 4n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2

n ＋…＋C n n 的值等于( )

A.64

B.32

C.63

D.31

解析：选C 因为C 0n －4C 1n ＋42C 2n －43C 3n ＋…＋(－1)n 4n C n n ＝729，所以(1－4)n ＝36，所以n ＝6，因此C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n －1＝26

－1＝63.

3.(2019·济南模拟)????x －a x ????2x －1

x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x 4项的系数为________.

解析：令x ＝1，可得????x －a x ????2x －1

x 5的展开式中各项系数的和为1－a ＝2，得a ＝－1，则????x ＋1x ????2x －1x 5展开式中含x 4项的系数即是????2x －1

x 5展开式中的含x 3项与含x 5项系数的和.又????2x －1x 5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(－1)r ·25－r ·x 5－2r ，令5－2r ＝3，得r ＝1，令5－2r ＝5，得r ＝0，将r ＝1与r ＝0分别代入通项，可得含x 3项与含x 5项的系数分别为－80与32，故原展开式中含x 4项的系数为－80＋32＝－48.

答案：－48

4.设复数x ＝2i 1－i (i 是虚数单位)，则C 12 019x ＋C 22 019x 2＋C 32 019x 3＋…＋C 2 0192 019x 2 019＝( ) A.i B.－i C.－1＋i

D.－i －1

解析：选D 因为x ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )

＝－1＋i ，所以C 12 019x ＋C 22 019x 2＋C 32 019x 3＋…＋C 2 0192 019

x 2 019＝(1＋x )2 019－1＝(1－1＋i)2 019－1＝i 2 019－1＝－i －1. 5.已知(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6

＋8a 8)2的值为( )

A.39

B.310

C.311

D.312

解析：选D 对(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9两边同时求导，得9(x ＋2)8＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋8a 8x 7＋9a 9x 8，令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9＝310，令x ＝－1，得a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9＝32.所以(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2＝(a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9)(a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9)＝312.

6.设a ＝??0

12x d x ，则二项式?

???ax 2－1

x 6展开式中的常数项为________. 解析：a ＝??0

1 2x d x ＝x 2???

1

0＝1，则二项式????ax 2－1x 6＝????x 2－1x 6，其展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·???

?－1x r ＝(－1)r C r 6x 12－3r

，令12－ 3r ＝0，解得r ＝4.所以常数项为(－1)4C 46＝15. 答案：15