中考数学压轴题第8部分抛物线等腰直角

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是y轴右侧的抛物线上一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线CD于点F．若点P的横坐标为m，设线段PF的长度为y，求y与m之间的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使∠PCF=45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

9．如图，抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．

5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．

11．如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．）求该抛物线的解析式；

（2）若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE=S△ABC时，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP=∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

12．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+2xa+c经过A（﹣4，0），B（0，4）两点，与x轴交于另一点C，直线y=x+5与x轴交于点D，与y轴交于点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是第二象限抛物线上的一个动点，连接EP，过点E作EP的垂线l，在l上截取线段EF，使EF=EP，且点F在第一象限，过点F作FM⊥x轴于点M，设点P的横坐标为t，线段FM的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，过点E作EH⊥ED交MF的延长线于点H，连接DH，点G为DH的中点，当直线PG经过AC的中点Q时，求点F的坐标．

13．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣6，0）、B（2，0）和C（0，3），点D是该抛物线的顶点．AC、OD相交于点M．

（1）求点D的坐标；

（2）在x 轴下方的平面内是否存在点N，使△DBN与△ADM全等？若存在，请求出该点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在抛物线的对称轴上求点P的坐标，使∠DOP=45°（直接写出结果）．

14．如图，已知抛物线y=x2+bx与直线y=2x交于点O（0，0），A（a，12）．点B是抛物线上O，A之间

的一个动点，过点B分别作x轴、y轴的平行线与直线OA交于点C，E．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）若点C为OA的中点，求BC的长；

（3）以BC，BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），求出m，n之间的关系式．

（4）将射线OA绕原点旋转45°并与抛物线交于点P，求出P点坐标．

15．如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5，且=，以O 为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=﹣x2+x+c经过点E，且

与AB边相交于点F．

（1）求证：△ABD∽△ODE；

（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD；

（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．

16．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，﹣2），交x轴于A、B两点，其中A（﹣1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D．

（1）求二次函数的解析式和B的坐标；

（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；

（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

17．如图，二次函数y=ax2+bx（a＜0）的图象过坐标原点O，与x轴的负半轴交于点A，过A点的直线与y 轴交于B，与二次函数的图象交于另一点C，且C点的横坐标为﹣1，AC：BC=3：1．

（1）求点A的坐标；

（2）设二次函数图象的顶点为F，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点D和点E，若△FCD与△AED相似，求此二次函数的关系式．

18．如图，抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0）．与y轴交于点C，顶点为D．

（1）求顶点D的坐标．（用含a的代数式表示）；

（2）若△ACD的面积为3．

①求抛物线的解析式；

②将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P，且∠PAB=∠DAC，求平移后抛物线的解析式．

19．如图，△ABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，BC∥x轴，AB平分∠CAO．抛物线y=ax2﹣5ax+4经过△ABC的三个顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）正方形EFGH的顶点E在线段AB上，顶点F在对称轴右侧的抛物线上，边GH在x轴上，求正方形EFGH的边长；

（3）设直线AB与y轴的交点为D，在x轴上是否存在点P，使∠DPB=45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

20．已知：如图1，抛物线经过点O、A、B三点，四边形OABC是直角梯形，其中点A在x轴上，点C在y轴上，BC∥OA，A（12，0）、B（4，8）．

（1）求抛物线所对应的函数关系式；

（2）若D为OA的中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t秒．几秒钟后线段PD将梯形OABC的面积分成1﹕3两部分？并求出此时P点的坐标；

（3）如图2，作△OBC的外接圆O′，点Q是抛物线上点A、B之间的动点，连接OQ交⊙O′于点M，交AB 于点N．当∠BOQ=45°时，求线段MN的长．

21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（1，0），直线y=2x﹣1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点A到直线CD的距离；

（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标．

22．如图1所示，已知抛物线y=﹣x2+4x+5的顶点为D，与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，E为对称轴上的一点，连接CE，将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90°后，点C的对应点C′恰好落在y轴上．（1）直接写出D点和E点的坐标；

（2）点F为直线C′E与已知抛物线的一个交点，点H是抛物线上C与F之间的一个动点，若过点H作直线HG与y轴平行，且与直线C′E交于点G，设点H的横坐标为m（0＜m＜4），那么当m为何值时，S△HGF：S△BGF=5：6？

（3）图2所示的抛物线是由y=﹣x2+4x+5向右平移1个单位后得到的，点T（5，y）在抛物线上，点P是抛物线上O与T之间的任意一点，在线段OT上是否存在一点Q，使△PQT是等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

23．如图，平行四边形ABCD的顶点A（﹣12，0），B（0，9），C（0，），抛物线y=ax2+bx+c经过点A、

B．

（1）求点D的坐标．

（2）关于x的方程ax2+bx+c﹣=x有且只有一个解，求抛物线的解析式．

（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上y=ax2+bx+c上一动点（不与A、B重合），过点P作x轴垂线交线段CD于Q，若∠AQD=45°﹣∠BQC，直接写出点P的横坐标．

24．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的

顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．

（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；

（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．

（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；

（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

25．如图1，点A是x轴正半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E，点D是点A关于直线CF的对称点，连结AC，BC，CD，设点A的横坐标为t．

（1）当t=2时，求CF的长；

（2）①当t为何值时，点C落在线段BD上；

②设△BCE的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

（3）如图2，当点C与点E重合时，将△CDF沿x轴左右平移得到△C′D′F′，再将A，B，C′，D′为顶点的四边形沿C′F′剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合上述条件的点C′的坐标．

8．方法一：

解：（1）在直线解析式y=x+2中，令x=0，得y=2，∴C（0，2）．

∵点C（0，2）、D（3，）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，

∴，解得．∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．

（2）①P在CD上面，点P的坐标为（m，﹣m2+m+2），点F的坐标为（m，m+2），

线段PF的长度为y=﹣m2+m+2﹣m﹣2=﹣m2+3m（0＜m＜3）；

②P在CD下面，点P的坐标为（m，﹣m2+m+2），点F的坐标为（m，m+2），

线段PF的长度为y=m+2+m2﹣m﹣2=m2﹣3m（m≥3）；

（3）存在．

理由：如答图2所示，过点C作CM⊥PE于点M，则CM=m，EM=2，

∴FM=y F﹣EM=m，∴tan∠CFM=2．

在Rt△CFM中，由勾股定理得：CF=m．

过点P作PN⊥CD于点N，则PN=FN?tan∠PFN=FN?tan∠CFM=2FN．

∵∠PCF=45°，∴PN=CN，

而PN=2FN，∴FN=CF=m，PN=2FN=m，

在Rt△PFN中，由勾股定理得：PF==m．

∵PF=y P﹣y F=（﹣m2+m+2）﹣（m+2）=﹣m2+3m，

∴﹣m2+3m=m，整理得：m2﹣m=0，

解得m=0（舍去）或m=，∴P（，）；同理求得，另一点为P（，）．

方法二：（1）略．

（2）设P（m，﹣m2+m+2），则F（m，m+2），

∴PF=||=．

（3）过P点作CD的垂线，垂足为N，

∵∠PCF=45°，∴△PCN为等腰直角三角形，点P可视为点C绕点N顺时针旋转90°而成，∵N点在直线CD上，∴设N（t，t+2），C（0，2），

将N点平移至原点，N（0，0），则C′（﹣t，﹣t），

将C′点绕原点顺时针旋转90°，则P′（﹣t，t），

将N′点平移至N点，则P平移后即为P（t，t+2），

把P点代入抛物线，∴，∴t1=0（舍），t2=1，

∴符合条件的点P的坐标为（，）或（，）．

9．方法一：

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，∴，

解得，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4；

（2）∵点D（m，m+1）在抛物线上，

∴m+1=﹣m2+3m+4，

即m2﹣2m﹣3=0

∴m=﹣1或m=3

∵点D在第一象限

∴点D的坐标为（3，4）

由（1）知OC=OB

∴∠CBA=45°

设点D关于直线BC的对称点为点E

∵C（0，4）

∴CD∥AB，且CD=3

∴∠ECB=∠DCB=45°

∴E点在y轴上，且CE=CD=3

∴OE=1

∴E（0，1）

即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）；

（3）方法一：作PF⊥AB于F，DE⊥BC于E，

由（1）有：OB=OC=4

∴∠OBC=45°

∵∠DBP=45°

∴∠CBD=∠PBA

∵C（0，4），D（3，4）

∴CD∥OB且CD=3

∴∠DCE=∠CBO=45°

∴DE=CE=

∵OB=OC=4

∴BC=4

∴BE=BC﹣CE=

∴tan∠PBF=tan∠CBD=

设PF=3t，则BF=5t，OF=5t﹣4

∴P（﹣5t+4，3t）

∵P点在抛物线上

∴3t=﹣（﹣5t+4）2+3（﹣5t+4）+4

∴t=0（舍去）或t=

∴P（，）；

方法二：过点D作BD的垂线交直线PB于点Q，过点D作DH⊥x轴于H，过Q点作QG⊥DH于G，∵∠PBD=45°，

∴QD=DB，

∴∠QDG+∠BDH=90°，

又∵∠DQG+∠QDG=90°，

∴∠DQG=∠BDH，

∴△QDG≌△DBH，

∴QG=DH=4，DG=BH=1

由（2）知D（3，4），

∴DH=4，

∴HG=3，QF=1，

∴Q（﹣1，3）

∵B（4，0）

∴直线BQ的解析式为y=﹣x+

解方程组

得，

∴点P的坐标为（，）．

方法二：

（1）略．

（2）∵点D（m，m+1）在抛物线上，

∴m+1=﹣m2+3m+4，

即m2﹣2m﹣3=0

∴m=﹣1或m=3

∵点D在第一象限

∴点D的坐标为（3，4）

∵B（4，0），C（0，4），∴l BC：y=﹣x+4，

D，E关于BC对称，

∴DE⊥BC，DE与BC的交点F为DE的中点，

K DE×K BC=﹣1，

∵K BC=1，∴K DE=﹣1，

l DE：y=x+1，l BC：y=﹣x+4，

∴l DE与l BC的交点F（，），

∵F X=，F Y=，

∴E（0，1）．

（3）过点D作直线BF的垂线，垂足为H，设点H（a，b），

∵∠DBP=45°，

∴△DHB为等腰三角形，点B可视为点D绕点H顺时针旋转90°而成，

将点H平移至原点得点H′，则点D（3，4）平移后为D′（3﹣a，4﹣b），

将点D′顺时针旋转90°，则点B′（4﹣b，a﹣3），将H′平移至H，则B′平移后即为点B（4+a﹣b，a+b﹣3），∵B（4，0），

∴4+a﹣b=4，a+b﹣3=0，

∴a=b=，H（，），

∵P在直线BH上，K BH=，

∴l BH：y=﹣x，

∴?，

∴点P的坐标为（，）．

10．解：（1）∵直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，

∴A（0，﹣3），

∵B（﹣4，﹣5），

∴，

∴，

∴抛物线解析式为y=x2+x﹣3，

（2）存在，

设P（m，m2+m﹣3），（m＜0），

∴D（m，m﹣3），

∴PD=|m2+4m|

∵PD∥AO，

∴当PD=OA=3，故存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，

∴|m2+4m|=3，

①当m2+4m=3时，

∴m1=﹣2﹣，m2=﹣2+（舍），

∴m2+m﹣3=﹣1﹣，

∴P（﹣2﹣，﹣1﹣），

②当m2+4m=﹣3时，

∴m1=﹣1，m2=﹣3，

Ⅰ、m1=﹣1，

∴m2+m﹣3=﹣，

∴P（﹣1，﹣），

Ⅱ、m2=﹣3，

∴m2+m﹣3=﹣，

∴P（﹣3，﹣），

∴点P的坐标为（﹣2﹣，﹣1﹣），（﹣1，﹣），（﹣3，﹣）．（3）方法一，如图，

∵△PAM为等腰直角三角形，

∴∠BAP=45°，

∵直线AP可以看做是直线AB绕点A逆时针旋转45°所得，

设直线AP解析式为y=kx﹣3，

∵直线AB解析式为y=x﹣3，

∴k==3，

∴直线AP解析式为y=3x﹣3，

联立，

∴x1=0（舍）x2=﹣

当x=﹣时，y=﹣，

∴P（﹣，﹣）．

方法二：如图，

∵直线AB解析式为y=x﹣3，

∴直线AB与x轴的交点坐标为E（6，0），

过点A作AF⊥AB交x轴于点F，

∵A（0，﹣3），

∴直线AF解析式为y=﹣2x﹣3，

∴直线AF与x轴的交点为F（﹣，0），

∴AE=3，AF=，

过点A作∠EAF的角平分线交x轴于点G，与抛物线相较于点P，过点P作PM⊥AB，∴∠EAG=45°，

∴∠BAP=45°，

即：△PAM为等腰直角三角形．

设点G（m，0），

∴EG=6﹣m．FG=m+，

根据角平分线定理得，，

∴，

∴m=1，

∴G（1，0），

∴直线AG解析式为y=3x﹣3①，

∵抛物线解析式为y=x2+x﹣3②，

联立①②得，x=0（舍）或x=﹣，

∴y=﹣，

∴P（﹣，﹣）．

11．解：

（1）把A、B两点坐标代入解析式可得，解得，

∴抛物线解析式为y=x2+x﹣5；

（2）在y=x2+x﹣5中，令x=0可得y=﹣5，

∴C（0，﹣5），

∵S△ABE=S△ABC，且E点在x轴下方，

∴E点纵坐标和C点纵坐标相同，

当y=﹣5时，代入可得x2+x=﹣5，解得x=﹣2或x=0（舍去），

∴E点坐标为（﹣2，﹣5）；

（3）假设存在满足条件的P点，其坐标为（m，m2+m﹣5），

如图，连接AP、CE、AE，过E作ED⊥AC于点D，过P作PQ⊥x轴于点Q，

则AQ=AO+OQ=5+m，PQ=|m2+m﹣5|，

在Rt△AOC中，OA=OC=5，则AC=5，∠ACO=∠DCE=45°，

由（2）可得EC=2，在Rt△EDC中，可得DE=DC=，

∴AD=AC﹣DC=5﹣=4，

当∠BAP=∠CAE时，则△EDA∽△PQA，

∴=，即=，

∴m2+m﹣5=（5+m）或m2+m﹣5=﹣（5+m），

当m2+m﹣5=（5+m）时，整理可得4m2+5m﹣75=0，解得m=或m=﹣5（与A点重合，舍去），当m2+m﹣5=﹣（5+m）时，整理可得4m2+11m﹣45=0，解得m=或m=﹣5（与A点重合，舍去），∴存在满足条件的点P，其横坐标为或．

12．解：（1）把A（﹣4，0），B（0，4）代入y=ax2+2xa+c得，解得，

所以抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+4；

（2）如图1，分别过P、F向y轴作垂线，垂足分别为A′、B′，过P作PN⊥x轴，垂足为N，

由直线DE的解析式为：y=x+5，则E（0，5），

∴OE=5，

∵∠PEO+∠OEF=90°，∠PEO+∠EPA′=90°，

∴∠EPA′=∠OEF，

∵PE=EF，∠EA′P=∠EB′F=90°，

∴△PEA′≌△EFB′，

∴PA′=EB′=﹣t，

则d=FM=OB′=OE﹣EB′=5﹣（﹣t）=5+t；

（3）如图2，由直线DE的解析式为：y=x+5，

∵EH⊥ED，

∴直线EH的解析式为：y=﹣x+5，

∴FB′=A′E=5﹣（﹣t2﹣t+4）=t2+t+1，

∴F（t2+t+1，5+t），

∴点H的横坐标为：t2+t+1，

y=﹣t2﹣t﹣1+5=﹣t2﹣t+4，

∴H（t2+t+1，﹣t2﹣t+4），

∵G是DH的中点，

∴G（，），

∴G（t2+t﹣，﹣t2﹣t+2），

∴PH∥x轴，

∵DG=GH，

∴PG=GQ，

∴=t2+t﹣，

t=±2，

∵P在第二象限，

∴t＜0，

∴t=﹣2，

∴F（1，3）．

13．方法一：

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣6，0）、B（2，0）和C（0，3），

∴，

解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+3，

∵y=﹣（x+2）2+4，

∴顶点D的坐标为（﹣2，4）；

（2）设对称轴与x轴相交于点E，

∵A（﹣6，0）、B（2，0）、C（0，3）、D（﹣2，4），

∴OA=6，OC=3，OE=2，DE=4，

∵==2，∠AOC=∠DEO=90°，

∴△AOC∽△DEO，

∴∠OAC=∠EDO，

又∵∠DOE=∠AOM，

∴∠AMO=∠DEO=90°，

在Rt△AOC中，AC===3，

∵cos∠OAC==，

∴=，

解得AM=，

在Rt△ADE中，AD===4，

在Rt△ADM中，DM===，

∵∠DAM+∠ADM=180°﹣90°=90°，

∠BDO+∠ADM=90°，

∴∠DAM=∠BDO，

∴点N在DO的延长线上，

∵△DBN≌△ADM，

∴BN=DM=，

过点N作NF⊥x轴于F，

∵∠ODE+∠DOE=90°，∠OBN+∠BON=90°，

∴∠ODE=∠OBN，

在Rt△ODE中，OD===2，

∴NF=BN?sin∠OBN=×=，

BF=BN?cos∠OBN=×=，

∴OF=OB﹣BF=2﹣=，

∴点N的坐标为（，﹣）；

（3）∵DE=4，BE=2﹣（﹣2）=4，

∴△BDE是等腰直角三角形，

∴∠ABD=45°，

∵∠DOE=∠BDO+∠ABD，

∠DOE=∠DOP+∠EOP，

∠ABD=∠DOP=45°，

∴∠EOP=∠BDO，

∴PE=OE?tan∠EOP=2×=，

∴点P的坐标为（﹣2，）．

方法二：

（1）略．

（2）设对称轴与x轴相交于点E，

∵A（﹣6，0）、B（2，0）、C（0，3）、D（﹣2，4）、O（0，0），

∴K OD==﹣2，K AC==，

∴K OD×K AC=﹣1，∴OD⊥AC，

K AD==1，K BD==﹣1，

∴K AD×K BD=﹣1，

∴AD⊥BD，

∴∠BDO+∠ADM=∠DAC+∠ADM=90°，

∴∠DAC=∠BDO，

∵D为线段AB垂直平分线上一点，∴AD=BD，

∴欲使△DBN≌△ADM，只需过点B作DO垂线交DO延长线于N，∵∠BND=∠AMD=90°，∠DAC=∠BDO，AD=BD，

∴△DBN≌△ADM，

∵BN⊥DN，∴K BN×K DN=﹣1，

∵K DN=﹣2，

∴K BN=，

∵B（2，0），

∴l BN：y=x﹣1，

∵l DN：y=﹣2x，

∴l BN与l DN的交点N（，﹣）．

（3）过点P作DO的垂线，垂足为H，

∵D（﹣2，4），

∴l OD：y=﹣2x，

∴设H（a，﹣2a），O（0，0），

∵∠DOP=45°，

∴△PHO为等腰直角三角形，

∴点P可视为点O绕点H顺时针旋转90°而成，

将H点平移至原点，H′（0，0），则O′（﹣a，2a），

将O′点绕原点顺时针旋转90°，则P′（2a，a），

将H′点平移至H点，则P′平移后即为P（3a，﹣a），