搜索算法在经典问题中的运用

搜索算法在经典问题中的运用

表中所列大部分都是图论中的基础问题，很多题目都以其为基本模型而出。可见，搜索算法早已成为选手必须掌握的基本功，而它广泛的灵活性和实用性则是以下我们所要探讨的关键。

3.1.2常用的搜索算法

一迭代加深搜索

先限定搜索树的最大深度MaxDeep再搜索。如果无解就加大MaxDeep继续搜。虽然这样进行了很多重复的工作，但是由于搜索的工作量与深度成指数关系，因此上一次（重复的）工作量比起当前的搜索量来是较小的。这种方法适用于搜索树较宽且深、但可行解较浅的题目。这样的题目用一般的深度优先搜索可能陷入很深又没有解的死胡同，而用广度优先搜索空间规模又难以承受。

[例一] 埃及分数（OIBH练习赛试题）

在古埃及，人们使用单位分数的和(形如1/a的，a是自然数)表示一切有理数。如：2/3=1/2+1/6，但不允许2/3=1/3+1/3，因为加数中有相同的。对于一个分数a/b,表示方法有很多种，但是哪种最好呢？首先，加数少的比加数多的好，其次，加数个数相同的，最小的分数越大越好。如：19/45=1/3 + 1/12 + 1/180，19/45=1/3 + 1/15 + 1/45 19/45=1/3 + 1/18 + 1/30，19/45=1/4 + 1/6 + 1/180，19/45=1/5 + 1/6 + 1/18。

最好的是最后一种，因为1/18比1/180，1/45，1/30，1/180都大。给出a，b(0

分析

本题由于搜索层数不明，用深搜极易陷入死胡同，用广搜空间又吃不消，这时迭代加深搜索就成了考虑的对象。确定了搜索模式之后，我们容易得到以下两个基本思路： 1 枚举对象——分母

a/b = 1/a1 + 1/a2 + … + 1/a n n

不妨设a1 ＜ a2 ＜…＜ a n。

2剪枝手段——定分母的上下界

设限定的搜索层数为D ，当前搜到第C层，当前正要枚举分母a k ，还需枚举总和

为x/y的分数。answer[D]表示当前最优解中的第D个分母，如果还没有得到解则

表示正无穷。则必然有：

Max( ?y / x?，a k-1) + 1 ≤ a k ≤Min ( ?(D-C+1) * y / x?，?Maxlongint / x?，answer[D]-1 )

枚举的初值容易得出，但终值的确定则要用到我们一开始对分母有序性的假设了。

值得注意的是，直接限界避免了搜索过程中屡次使用可行性剪枝，一定程度上提高了程序的运行速度。

实际上本题还有一种剪枝手段——借助动态规划预见后续搜索是否有意义。这一点将在下一节“搜索的基本优化手段”中的“最优性和可行性剪枝”一栏的例题“彩票问题”中得到详尽的分析。

至此，本题已得到较好的解决。在编程过程中我们可以发现，迭代加深搜索具有以下特点：

1空间耗费小

这是它最大的优点。

2时间效率不低

虽然它确实做了一些重复的工作，但是正如前面所分析的那样，之前的搜索

量与当前的搜索量比起来是“小巫见大巫”的。

3便于剪枝

4实现方便，易于调试

也正是基于以上优点，迭代加深的思想才被广泛应用于各类模型当中。

二记忆化搜索

记忆化搜索可以说是动态规划的搜索实现方式。基于有些动态规划的规划方程不好用简单的式子描述，记忆化搜索就以其简洁清晰省事的语言，代替了传统的规划模式。

虽然说记忆化搜索的本质是动态规划——目标明确没有重复，但是与后者相比，它还是存在占用栈空间过多、时间效率较低的缺点。因此高级选手不到万不得已是很少使用记忆化搜索的。

[例一] 选课问题（经典问题）

有N（N≤1000）门功课，第i门功课有Si个学分，每门功课可能有一门直接选修课（即必须选完它的直接选修课才能选这门功课），求选M门功课所得的最大学分。

分析

这是一道树形结构的动态规划试题，我们可以用循环实现，也可以用递归实现。后者称之为记忆化搜索，本题中相对于前者可读性更高。下面我们来介绍它的实现方式。

1建模

增设虚课程γ为所有无直接选修课程的功课的直接选修课，其学分为0。

本题的模型是一棵多叉树，为了降低规划方程的维数，先用儿子~兄弟法将其转化成二叉树。

设F[i,j]表示在以节点i为根节点的子树中选j个节点所能得到的最大分数，

其中节点i必选。lc为i的左儿子节点，rc为i的右儿子节点，mark[i]为第i

门功课的学分。则：

F[i,j] = Max (F[lc,k] + F[rc,j-k-1]) + mark[i]

2 实现

从根节点开始递归求解，直至找到叶子节点后回溯，自底向上依次求得F函数值。在求某节点的F函数值时，若它的儿子节点的F函数值已经求出，则直接运

算，不再深入递归。

从这道题目可以看出，记忆化搜索的思路的确非常清晰，编起来也很容易。但是由于牵涉到递归，在时间上多少会有些损失，这在较复杂或者规划方程本身时间复杂度较高的题目中体现的越发明显。而空间上的开销也是一个不可回避的问题。

三产生式系统

产生式系统是用来扩展搜索树节点所遵循的一套程式，像经典的八数码问题就用到了产生式系统。不同的节点扩展方式通常会对算法的效率产生较大的影响，下面我们将通过一道例题来了解并深入分析一种新的节点扩展方式及其所带来的实际效果。

[例一] 新型导弹防御系统（原创试题）

X国研究出了一种先进的防御系统，该系统在外敌入侵时将通过发电厂提供电能展开一道隔离层。这套隔离层具有以下特点：一，隔离层覆盖的目标必须是连在一起的，即包括发电厂在内的一个连通的区域；二，因为该系统的能量消耗相当大，所以其覆盖的区域面积十分有限，包括电厂在内仅能覆盖T个防御目标。正因为该系统存在以上两个缺点，所以X国必须对防御的目标有所取舍，使得防御目标的价值总和尽可能大。防御目标抽象为矩形方格。

分析

为了方便进行最优性剪枝，我们把求最大值改成求最小值——用一个较大的值γ（不妨设为电厂的价值，它一定是所有防御目标里面价值最大的）减去其它所有防御目标的价值作为各个防御目标的新价值，最后再用γ* T减去所得结果即为所求。

下面我们来看看本题是如何扩展节点的：

图

图2

给发电厂标上0号，扩展节点0周围的4个节点，分别标上1、2、3、4。在待扩展节点（即节点1、2、3、4）中选一个比当前节点（即节点0）编号大的节点，如节点3，继续依据上述规则扩展3周围未被访问的区域。

算法正确性的证明留给读者自己思考。

实现方式上，基于本题节点扩展的有序性，直接用数组做就足矣。

用这种无重复的节点扩展方式加上一开始提出的最优性剪枝，已可以使程序在理想的时间内通过所有测试数据。