2020年江苏省高考数学考前最后押题试卷(一)
2020年江苏省高考数学考前最后押题试卷（一）
一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）
1. 已知集合A ={1,3}，B ={x|x 2?2x <0}，则集合A ∩B =______．
2. 已知复数z 满足
3+4i z
=i(i 为虚数单位)，则|z|=______．
3. 某工生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产量之比为1：2：3.现用分层抽样的方法抽取1个容量为n
的样本，若样本中A 种型号的产品有8件，则样本容量n 的值为______． 4. 如图是某算法的伪代码，输出的结果S 的值为______．
5. 由于新冠肺炎疫情，江苏紧急抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄冈两市，每市分配2名医生，
则甲、乙两人恰好分配在同一个城市的概率为______． 6. 已知双曲线
x 23
?y 2
b 2=1的两条渐近线与直线x =√3围成正三角形，则双曲线的离心率为______．
7. 若函数y =sin(ωx +φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则ω的值为
______．
8. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n =pn 2?2n +q(p,q ∈R,n ∈N ?)，若a 1与a 5的等差中项为8，则p +
q =______．
9. 如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，
该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为______． 10. 若cosα=2cos(α+π
4)，则tan(α+π
8)=______．
11. 长为2的三个全等的等边三角形摆放成如图形状，其中B ，D 分别为AC ，
CE 的中点，N 为GD 与CF 的交点，则AN ?????? ?EG ????? =______．
12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：(x +4)2+(y ?a)2=16上
两个动点，且AB =2√11，若直线l ：y =2x 上存在唯一的一个点P ，使得PA ????? +PB ????? =OC ????? ，则实数a 的值为______．
13. 已知函数f(x)=x 3?ax +1，g(x)=3x ?2，若函数F(x)={f(x),f(x)≥g(x)g(x),f(x) 有三个零点，则实数a 的取值范围是______． 14. 在△ABC 中，若tanA tanB +tanA tanC =3，则sin A 的最大值为______． 二、解答题（本大题共11小题，共142.0分） 15.如图，在△ABC中，已知sin2A?√2sinA?sinC=sin2(A+C)?sin2C. )的值； (1)求cos(B+π 3 (2)若D是BC边上一点，AD=5，AC=7，DC=3，求AB的长． 16.如图，在三棱锥P?ABC中，PC⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=PC，E，F 分别是PA，PC的中点．求证： (1)AC//平面BEF； (2)PA⊥平面BCE． 17.如图，在市中心有一矩形空地ABCD，AB=100m，AD=75m.市政府欲将它改造成绿化景观带，具体 方案如下：在边AD，AB上分别取点M，N，在三角形AMN内建造假山，在以MN为直径的半圆内建造喷泉，其余区域栽种各种观赏类植物． (1)若假山区域面积为400m2，求喷泉区域面积的最小值； (2)若MN=100m，求假山区域面积的最大值． 18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ： x 2a 2 + y 2b 2 =1(a >b >0)， 其右焦点F 到其右准线的距离为1，离心率为√2 2 ， A ， B 分别为椭圆Γ的上、下顶点，过点F 且不与x 轴重合的直线l 与椭圆Γ交于 C ， D 两点，与y 轴交于点P ，直线AC 与BD 交于点Q ． (1)求椭圆Γ的标准方程； (2)当CD =8 5√2时，求直线l 的方程； (3)求证：OP ????? ?OQ ?????? 为定值． 19. 设f(x)=a(x ?1)2?e x +ex ，g(x)=e x (x ?1)+1 2ax 2?(a +e)x ，a ∈R ，其中e 为自然对数的底 数(e =2.7182…)． (1)当a =e 时，求g(x)在(1,g(1))处的切线方程； (2)设F(x)=f(x)+g(x)，求F(x)的单调区间； (3)当x ≥1时，f(x)≤0恒成立，求a 的取值范围． 20. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，b n =S n a n ?(n ∈N ?).若{b n }是公差不为0的等差数列，且b 2b 7=b 11． (1)求数列{b n }的通项公式； (2)证明：数列{a n }是等差数列； (3)记c n =S n 2a n ，若存在k 1，k 2∈N ?(k 1≠k 2)，使得c k 1=c k 2成立，求实数a 1的取值范围． 21. 已知矩阵A =[ 2a 2b ]，点P(3,?1)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P′(3,5)． (1)求a 和b 的值； (2)求矩阵A 的特征值． 22. 已知直线l 的参数方程为{x =2+1 2t y =m +√3 2t ，点P(1,2)在直线1上． (1)求m 的值； (2)以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 1： ρ=4与直线l 交于两点A 、B ，求|PA|?|PB|的值． 23. 设a ，b ，c 都是正数，求证： (b+c)2 a + (c+a)2 b + (a+b)2 c ≥4(a +b +c)． 24. 已知直四棱柱ABCD ?A 1B 1C 1D 1的棱长均相等，且∠BAD =60°，M 是侧棱DD 1的中点，N 是棱C 1D 1上 的点． (1)求异面直线BD 1与AM 所成角的余弦值； (2)若二面角M ?AC ?N 的大小为π 4，试确定点N 的位置． 25.已知(1?x)2020=a0+a1x+a2x2+?+a2020x2020． (1)求a1+a2+?+a2020的值； (2)求1 a0+1 a1 +1 a2 +?+1 a2020 的值． 答案和解析 1.【答案】{1} 【解析】解：∵A={1,3}，B={x|0 ∴A∩B={1}． 故答案为：{1}． 可以求出集合B，然后进行交集的运算即可． 本题考查了列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】5 【解析】解：∵3+4i z =i，∴z=3+4i i =(3+4i)(?i) ?i2 =4?3i， 则|z|=√42+(?3)2=5． 故答案为：5． 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 3.【答案】48 【解析】解：设出样本容量为n， ∵由题意知产品的数量之比依次为1：2：3， ∴1 1+2+3=8 n ， ∴n=48， 故答案为：48． 设出样本容量，根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等得到比例式，解出方程中的变量n，即为要求的样本容量． 本题主要考查分层抽样的应用，抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样． 4.【答案】18 【解析】解：模拟算法的运行过程，如下； i=1，S=2， S=2+1=3，i=3， S=3+3=6，i=5， S=6+5=11，i=7， S=11+7=18，i=9； 终止循环，输出S=18． 故答案为：18． 模拟算法的运行过程，即可得出程序运行后输出的S值． 本题考查了程序的运行问题，是基础题． 5.【答案】1 6 【解析】解：抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄冈两市，每市分配2名医生，基本事件总数n=C42A22=12， 甲、乙两人恰好分配在同一个城市包含的基本事件个数m=C22C22A22=2， 甲、乙两人恰好分配在同一个城市的概率为p=m n =2 12 =1 6 ． 故答案为：1 6 ． 基本事件总数n=C42A22=12，甲、乙两人恰好分配在同一个城市包含的基本事件个数m=C22C22A22=2，由此能求出甲、乙两人恰好分配在同一个城市的概率． 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6.【答案】2√3 3 【解析】 【分析】 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题． 求出双曲线的渐近线方程，利用两条渐近线与直线x=√3围成正三角形，求出渐近线的倾斜角，然后求解离心率即可． 【解答】 解：双曲线x2 3?y2 b2 =1的两条渐近线与直线x=√3围成正三角形， 所以双曲线的渐近线的倾斜角为30°和150°， 所以 √3=√3 3 ，所以b=1， 所以c=2， 所以双曲线的离心率为：e=c a = √3 =2√3 3 ． 故答案为：2√3 3 ． 7.【答案】ω=4 【解析】解：根据函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象， 知A(5π 24,y0)，C(11π 24 ,?y0)，设x=a是其中一条对称轴，(b,0)是B，C的对称中心， 则A关于x=a对称的点为B(2a?5π 24 ,y0)， 同时2a?5π 24 +11π 24 2 =b，即2a+6π24=2b， 即2b?2a=π 4，则b?a=π 8 ， 则T 4=b?a=π 8 ，即T=π 2 ， 则2π ω=π 2 ，则ω=4， 故答案为：4． 根据三角函数的对称性，利用对称轴和对称中心的关系建立方程，求出与周期的关系进行计算即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键．8.【答案】2 【解析】解：∵a1与a5的等差中项为8，故a3=8， 设公差为d，则S n=n(a1+a n) 2=n[a3?2d+a3+(n?3)d] 2 =n[16?(n?5)d] 2=?1 2 n2d+1 2 (16+5d)n， ∵S n=pn2?2n+q， ∴{?1 2 d=p 1 2 (16+5d)=?2 q=0 ，解得p=2，q=0，∴p+q=2． 故答案为：2． 根据等差数列的前n项和S n，建立方程关系即可求p，q的值； 本题主要考查数列通项公式的应用以及等差数列的前n项和S n的计算，要求熟练掌握相应的公式．9.【答案】2√3 【解析】解：∵某种螺帽是由一个半径为R=2的半球体挖去一个正三棱 锥P?ABD构成的几何体， 该正三棱锥P?ABCD的底面三角形ABC内接于半球底面大圆，顶点P 在半球面上， 设BC中点为D，连结AD，过点P作P⊥平面ABC，交AD于O， 则AO=PO=R=2，AD=3， ∴AB=BC=2√3， ∴S△ABC=1 2 ×2√3×3=3√3， ∴被挖去的正三棱锥体积： V=1 3×PO×S△ABC=1 3 ×2×3√3=2√3． 故答案为：2√3． 设BC中点为D，连结AD，过点P作P⊥平面ABC，交AD于O，则AO=PO=R=2，AD=3，AB=BC=2√3，由此能求出被挖去的正三棱锥体积． 本题考查正三棱锥体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题． 10.【答案】3(√2+1) 【解析】解：∵cosα=2cos(α+π 4)，∴cos(α+π 8 ?π 8 )=2cos(α+π 8 +π 8 )， ∴cos(α+π 8)cosπ 8 +sin(α+π 8 )sinπ 8 =2cos(α+π 8 )cosπ 8 ?2sin(α+π 8 )sinπ 8 ， 化为：cos(α+π8)cos π8=3sin(α+π8)sin π 8， ∴tan(α+π 8)= 3tan π8 ， ∵tan π 4 = 2tan π81?tan 2 π 8 =1，解得tan π 8=√2?1． ∴tan(α+π 8 )= 3 √2?1 =3(√2+1)， 故答案为：3(√2+1)． cosα=2cos(α+π 4)，可得cos(α+π 8?π 8)=2cos(α+π 8+π 8)，利用和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式即可得出． 本题考查了和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11.【答案】7 2 【解析】解：由图可知∠FCD =∠GDC =60°，所以△NCD 为等边三角形， 则ND =CD =NC ，即N 为GD 中点， 连接GC ，则GC ⊥AE ， 则AN ?????? ?EG ????? =(AC ????? +CN ?????? )?(EC ????? +CG ????? ) =AC ????? ?EC ????? +AC ????? ?CG ????? +CN ?????? ?EC ????? +CN ?????? ?CG ????? =2×2×1+0+1×2×cos120°+1×√3×cos30° =3?1+3 2 =7 2 ， 故答案为：7 2． 结合等边三角形性质得到N 为GD 中点，进而利用平面向量数量积的运算性质计算即可得到答案 本题考查平面向量数量积的运算，涉及等边三角形性质，数形结合思想，属于中档题． 12.【答案】2或?18 【解析】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，AB 的中点M( x 1+x 22 , y 1+y 22 )， 圆C ：(x +4)2+(y ?a)2=16的圆心C(?4,a)，半径r =4， 圆心C(?4,a)到AB 的距离|CM|=√16?11=√5， 直线l ：y =2x 上存在唯一的一个点P ，使得PA ????? +PB ????? =OC ????? ， 设P(x,2x)，则(x 1?x,y 1?2x)+(x 2?x,y 2?2x)=(?4,a)， ∴{x 1+x 2?2x =?4y 1+y 2?4x =a ，∴{x 1+x 2 2 =x ?2y 1+y 22=2x ? a 2 ，∴M(x ?2,2x +a 2)， ∴|CM|=√(x +2)2+(2x ?a 2)2=√5， 整理，得5x 2+(4?2a)x + a 24 ?1=0， ∵直线l ：y =2x 上存在唯一的一个点P ，使得PA ????? +PB ????? =OC ????? ， ∴△=(4?2a)2 ?20(a 2 4?1)=0， 整理，得a 2+16a ?36=0， 解得a =2或a =?18． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，圆C ：(x +4)2+(y ?a)2=16的圆心C(?4,a)，半径r =4，求出圆心C(?4,a)到AB 的距离为√5，设P(x,2x)，则(x 1?x,y 1?2x)+(x 2?x,y 2?2x)=(?4,a)，AB 中点M(x ?2,2x +a 2)，|CM|=√(x + 2)2 +(2x ? a 2 )2=√5，从而5x 2 +(4?2a)x + a 24 ?1=0，由直线l ：y =2x 上存在唯一的一 个点P ，使得PA ????? +PB ????? =OC ????? ，△=(4?2a)2?20(a 2 4?1)=0，由此能求出a ． 本题考查实数值的求法，考查点到直线的距离公式、直线与圆相切、中点坐标公式等基础知识，考查运用 求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 13.【答案】a >35 18 【解析】解：由题意可得f′(x)=3x 2?a ， 当a ≤0时，函数f(x)在R 上单调递增，F(x)至多两个零点，不满足题意， 当a >0时，令f′(x)=3x 2?a =0，解得x =±√a 3， 易得函数f(x)在(?∞,?√a 3)，(√a 3,+∞)上单调递增，在(?√a 3,√a 3)上单调递减， 在同一坐标系中，分别作出函数f(x)，g(x)的图象， 根据图象可知： 当f(√a 3)>0时，F(x)有且仅有一个零点；当f(√a 3 )=0时，F(x)有且仅有一个零点； f(√a 3)<0时，要使得F(x)有三个不同的零点，则f(23)<0，或者{f(2 3)≥0√a 3<23，解得a >3518． 故答案为：a >35 18． 求导可得f′(x)=3x 2?a ，当a >0时，令f′(x)=3x 2?a =0，解得x =±√a 3，在同一坐标系中，分别作出 函数f(x)，g(x)的图象，根据图象可知：f(√a 3)<0时，要使得F(x)有三个不同的零点，则f(2 3)<0，或者 {f(2 3)≥0 √a 3<23 ，进而解得a 的范围． 本题主要考查了导数的性质及其应用，考查了分类讨论思想，属于中档题． 14.【答案】√21 5 【解析】 【分析】 本题考查三角函数的切化弦，及两角和的正弦公式和诱导公式的运用，同时考查正弦定理和余弦定理的运用，属于中档题． 运用切化弦和两角和的正弦公式及诱导公式，再由正弦定理、余弦定理，即可得答案． 【解答】 解：在△ABC 中，tanA tanB +tanA tanC =3， ∴sinAcosB cosAsinB +sinAcosC cosAsinC =3． ∴ sinA(cosBsinC+cosCsinB) cosAsinBsinC =3，即sinAsin(C+B) cosAsinBsinC =3， ∴sin 2A cosAsinBsinC =3． 根据正弦定理得： a 2bccosA =3． ∴a 2=3bccosA ． 又根据余弦定理得：a 2=b 2+c 2?2bccosA ， ∴b 2+c 2?2bccosA =3bccosA ． ∴cosA = b 2+ c 25bc ≥2bc 5bc =2 5． 当且仅当b =c 时等号成立， ∴cos 2A ≥4 25． ∴1?sin 2A ≥4 25，即sin 2A ≤21 25， ∴sinA ≤ √21 5 ． 故答案为：√21 5 ． 15.【答案】解：(1)因为A+B+C=π，sin2A?√2sin A?sin C=sin2(A+C)?sin2C，所以由正弦定理可知BC2?√2BC?AB=AC2?AB2，BC2+AB2?AC2=√2BC?AB， cos B=BC2+AB2?AC2 2BC?AB =√2 2 ． 因为在△ABC中，B∈(0,π)，所以B=π 4 ． 所以cos(B+π 3)=cos B cos π 3 ?sin B sin π 3 =√2 2 ×1 2 ?√2 2 ×√3 2 =√2?√6 4 ． (2)由余弦定理可知，在△ACD中，cos C=DC2+AC2?AD2 2AC?DC =32+72?52 2×7×3 =11 4 ， 因为C∈(0,π)，所以sin C>0，sin C=√1?cos2C=5√3 14 ． 由正弦定理可知，在△ABC中，AB sinC =AC sinB ，所以5√3 14 = √2 2 ， 所以AB=5√6 2 ． 【解析】(1)由已知结合正弦定理及余弦定理可求cos B，进而可求B，然后结合和差角公式即可求解；(2)由已知结合余弦定理可求cos C，然后结合同角平分关系可求sin C，然后结合正弦定理可求． 本题主要考查了一下定理，正弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题． 16.【答案】证明：(1)∵E，F分别是PA，PC的中点， ∴EF//AC， ∵EF?平面BEF，AC?平面BEF， ∴AC//平面BEF． (2)∵PC⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PC⊥BC， ∵AC⊥BC，AC∩PC=C，∴BC⊥平面PAC， ∵PA?平面PAC，∴PA⊥BC， ∵AC=PC，E是PA中点，∴CE⊥PA， ∵CE∩BC=C，∴PA⊥平面BCE． 【解析】(1)推导出EF//AC，由此能证明AC//平面BEF． (2)推导出PC⊥BC，AC⊥BC，从而BC⊥平面PAC，进而PA⊥BC，推导出CE⊥PA，由此能证明PA⊥平面BCE． 本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间思维能力，属于中档题． 17.【答案】解：(1)设∠ANM=θ，θ∈(0?, π 2 )， 半圆的直径MN=2r，半圆的圆心为O． 在直角三角形AMN中，∠MAN=π 2 ， ∴AM=2rsinθ，AN=2rcosθ． ∵假山区域面积为400m2， ∴1 2AM?AN=1 2 ×2rsinθ×2rcosθ=r2sin2θ=400， ∴r2=400 sin2θ ， ∴喷泉区域面积S=π 2r2=200π sin2θ ≥200π， 当且仅当sin2θ=1，即θ=π 4 时取等号，此时r=20． ∵点O到CD的距离d1=AD?1 2AM，点O到BC的距离d2=AB?1 2 AN， ∴d1=75?rsinθ=75?10√2>20=r，即d1>r， d2=100?rcosθ=100?10√2>20=r，即d2>r． ∴以MN为直径的半圆区域一定在矩形广场内． ∴当θ=π 4 时，喷泉区域面积取得最小值200πm2． 答：喷泉区域面积的最小值为200πm2． (2)由(1)知，若MN=100m， 则2r=100，AM=100sinθ，AN=100cosθ． ∴点O到CD的距离d1=75?rsinθ=75?50sinθ，点O到BC的距离d2=100?50cosθ，∵以MN为直径的半圆区域在矩形广场内， ∴{d1≥r d2≥r，即{ 75?50sinθ≥50 100?50cosθ≥50， ∴sinθ≤1 2 ． 又∵θ∈(0?, π 2 )， ∴θ∈(0?, π 6 ]． ∴假山区域面积S=1 2AM?AN=1 2 ×100sinθ×100cosθ=2500sin2θ， ∵θ∈(0?, π 6 ], ∴2θ∈(0?, π 3 ], ∴当θ=π 6 时，假山区域面积的最大值为1250√3m． 答：假山区域面积的最大值为1250√3m． 【解析】(1)设∠ANM=θ，θ∈(0?, π 2 )，半圆的直径MN=2r，半圆的圆心为O.可得AM=2rsinθ，AN= 2rcosθ.由假山区域面积列式求得r2=400 sin2θ，得到喷泉区域面积S=π 2 r2=200π sin2θ ≥200π，此时θ=π 4 ，r=20. 求出点O到CD的距离与点O到BC的距离均大于r.可得以MN为直径的半圆区域一定在矩形广场内．得到 当θ=π 4 时，喷泉区域面积取得最小值200πm2． (2)由(1)知，若MN =100 m ，则2r =100，AM =100sinθ，AN =100cosθ.分别求出点O 到CD 的距离d 1与点O 到BC 的距离d 2，由题意得{d 1≥r d 2≥r ，由此列式求得θ的范围，写出假山区域面积S ，利用三角函数求得 最大值． 本题考查根据实际问题选择函数模型，考查利用三角函数求最值，考查计算能力，是中档题． 18.【答案】(1)解：由题意可知{ a 2 c ?c =1 e =c a =√22a >0 所以a =√2， c =1，所以b 2=a 2?c 2=1， 所以椭圆的标准方程为 x 22 +y 2=1； (2)解：因为直线l 不与x 轴重合，所以斜率不为0． 因为l 过点F(1,0)，所以设直线l 的方程为x =my +1． 由{x =my +1x 22 +y 2 =1 得(m 2+2)y 2+2my ?1=0． 设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，则y 1+y 2=?2m m 2+2，y 1y 2=?1 m 2+2， 则CD 2 =(m 2 +1)(y 1?y 2)2 =(m 2 +1)[(y 1+y 2)2 ?4y 1y 2]=(m 2 +1)[(?2m m 2+2 )2 ?4?( ?1 m 2+2 )]= 8(m 2+1)2(m 2+2)2 ． 因为CD =8 5√2，所以8(m 2+1)2 (m 2+2)2= 128 25 ，得m 2 =3，所以m =±√3， 所以直线l 的方程为x =±√3y +1； (3)证明：在x =my +1中令x =0得y =?1m ，所以P(0,?1 m )，由(1)可得A(0,1)，B(0,?1)， 而直线AC 的方程为y ?1= y 2?1x 2 x ，直线BD 的方程为y +1= y 1+1x 1 x. 由此得到y Q =x 2y 1+x 2+x 1y 2?x 1x 2y 1 +x 2 ?x 1y 2 +x 1 =(my 2+1)y 1+(my 2+1)+(my 1+1)y 2?(my 1 +1) (my 2 +1)y 1 +(my 2 +1)?(my 1 +1)y 2 +(my 1 +1) = 2my 1y 2+y 1+y 2+m(y 2?y 1)m(y 1+y 2)+(y 1?y 2)+2 (?)． 不妨设y 1>y 2，则y 1=?m+√2√m 2+1 m 2+2①，y 2=?m?√2√m 2+1 m 2+2 ②， 所以y 1?y 2=2√2√m 2+1 m 2 +2 ③. 将①②③代入(?)式，得 y Q = 2m( ?1m 2+2)+?2m m 2+2?m?2√2√m 2+1 m 2+2 m?(?2m m 2+2)+2√2√m 2+1 m 2+2 +2 = √2m√m 2+1 2√2√m 2+1+4 =?m ， 所以OP ????? ?OQ ?????? =(0,?1m )?(x Q ,y Q )=?y Q m =??m m =1为定值． 【解析】(1)由右焦点F 到其右准线的距离为1，离心率为√2 2 ，及a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而 求出椭圆的方程； (2)设直线l 的方程，与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，进而求出弦长|CD|的表达式，由题意可得参数的值，进而写出直线l 的方程； (3)由(2)令x =0，可得P 的坐标，设直线AC ，BD 的方程，两式联立求出交点Q 的纵坐标，进而求出数量积OP ????? ?OQ ?????? 的值． 本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及数量积的求法，属于中难题． 19.【答案】解：(1)当a =e 时，g(x)=e x (x ?1)+1 2ex 2?2ex ， g′(x)=e x (x ?1)+e x +ex ?2e ， g′(1)=e +e ?2e =0， g(1)=e 2 ?2e =?3 2 e ， 所以g(x)在(1,g(1))处的切线方程为y + 3e 2 =0，即y =?3e 2 ． (2)F′(x)=f′(x)+g′(x)=2a(x ?1)?e x +e +e x +ax ?(a +e)=(x ?1)(e x +3a)， ①当a ≥0时，e x +3a >0，所以当x >1时，F′(x)>0， ②当a <0时，F′(x)=0，得x =1，x =ln(?3a)， 若ln(?3a)=1，即a =?e