长方体和正方体的体积_典型例题八
典型例题
例.一个长方体沙坑得长是8米，宽是4.2米，深是0.6米，每立方米沙土重 1.75吨，填平
这个沙坑共要用沙土多少吨？分析：已知每立方米沙土重 1.75吨，求共要用沙土多少吨，必须先求出共要沙土多少立方
米，即先求出沙坑得容积.
解: 1.75X( 8X 4.2X 0.6)
=1.75 X 20.16
=35.28 (吨)
答: 共要沙土35.28吨.
典型例题
例?一个正方体得铁皮油箱，从里面量得棱长为6分米，里面装满汽油?如果把这箱汽油全部倒入一个长10分米、宽8分米、高5分米得长方体铁皮油箱中，那么，油面离箱口还有多少分米？
分析：根据题意，可先求得正方体铁皮油箱得汽油体积为： 6 X 6X 6= 216 （立方分米）而长方体油箱底面积是10X 8= 80 （平方分米），
所以，汽油在长方体铁皮油箱里得高度是216- 80= 2.7 （分米）.
因此，油面离油箱口得高度就是： 5 —2.7= 2.3 （分米）
答：油面离油箱口还有 2.3分米.
典型例题
例.一个正方体木头得棱长为3米，从每个面得正中挖出一个边长为1米得正方形洞直至其对面，洞得边分别平行于正方形得边.
（1）求剩下得木头得整个表面积（包括内部表面积）（2 ）求剩下得木头得体积.
分析：（1）首先，挖去三个孔之后，原正方体得六个面上还剩下得面积为
方米，现在得问题是挖去孔之后内部得表面积如何求？而难点再这三个孔在正方体得
中心交汇，怎么计算内部得表面积呢？实际上三个孔交汇得得方是一个棱长为1米得
正方体，相当于每个孔在中间挖去了一个棱长为1米得正方体,
剩下得上下部分（或前后、左右部分）得侧面积属于所求得表面积得一部分，
这上、下部分（或前后、左右部分）得侧面积为 4 X 2X 1平方米，三个孔共为
3X 4 X 2X 1平方米.
（2）由原正方体得体积减去三个孔得体积加上两个棱长为1米得正方体得体积即可.
解：（1）32X 6- 12X 6+ 3X 4X 2X 1
=54 - 6 + 24
=72 （平方米）
（2）33—3X 12X 3 + 2X 13
=27 —9+ 2
=20 （立方米）
答：（1）剩下木头得整个表面积为72平方米.
（2）剩下得木头得体积是20立方米.
典型例题
例.一个正方体木块，表面积是16平方米，如果把它截成体积相等得8个正方体小木块, 每个小木块得表面积是多少？
分析1:观察上图，可以发现，要把一个正方体木块截成体积相等得8个小正方体木块，只要沿着每条棱与对棱得中点切下去即得. 再观察，可以进一步发现，切成得每一小块
正方体得表面积恰有三个面是属于原正方体得表面，另三个面是新增加得.所以8个小正方体得表面积之和就是原正方体表面积得两倍.
解法1：16X 2- 8
=4 （平方分
2
分析2：设原正方体木块得棱长为x分米，则6x = 16 （这里得x目前无法求出，要到中学才能求出来）把木块截成体积相等得8个正方体小木块，则正方体小木块得棱长为X - 2分米，所
以正方体得表面积为： 6 X（X - 2）X（X - 2）.
解法2：设原正方体得棱长为X分米.
6X（X 十2）X（X 十2）
=6x x x x -（2x 2）
2 2
=6x 十4 （因为6 x = 16）
=16 —4
=4 （平方分米）
答：每个小正方体得表面积是4平方分米.
典型例题
例.长方体货仓1个，长50米，宽30米，高5米，这个货仓可以容纳8立方米得正方体货箱多少个？
分析：已知正方体货箱得体积是8立方米，可以知道正方体货箱得棱长为2米.货仓得长是50米，所以一排可以摆放50+ 2 = 25个，宽是30米，可以摆放30+ 2 = 15排，高是5
米，可以摆放5+ 2= 2层……1米，所以一共可以摆放25x 15X 2 = 750个.（如图）
解：50 + 2= 25 （个）
30 + 2= 15 （排）
5+ 2 = 2层……1米
25x 15X 2= 750 （个）
答：可以容纳8立方米得正方体货箱750个. 25个
说明：如果此题先计算长方体货仓得体积（50 X 30 X 5= 7500立方米），然后再除以立方体得体积8立方米（7500 + 8= 937.5个）是不对得.因为货仓得高是5米，立方体得棱长2米，只能摆放2层，上面得1米实际上是空得，没有摆放货箱.
典型例题
例?在长为12厘米、宽为10厘米、8厘米深得玻璃缸中放入一石块并没入水中，这时水面上升2厘米?石块得体积是多少？
分析：把石块浸没在装水得长方体玻璃缸中，石块占有一定得空间，从而使水得体积增大，它得具体表现就是水面上升，不管石块得形状如何，只要求出增加得体积就可以了（即石块得体积）.
解：12X 10X 2= 240 （立方厘米）
答：石块得体积是240立方厘米.
例．把棱长 6 厘米得正方体铁块锻造成宽和高都是 4 厘米得长方体铁条，能锻造出多长？
分析：我们不难看出，棱长 6 厘米得正方体和要锻造得长方体得体积相等，只不过形状不一样，这类题叫等积变形题．只要求出正方体得体积就是长方体得体积了．
解：6X 6X 6- 4- 4= 13.5 （厘米）
答：能锻造13.5 厘米长．
典型例题
例．一段方钢长3 米，横截面是一个边长为0.4 分米得正方形．如果 1 立方分米得钢重7.8 千克，那么这段方钢有多重？
分析：题目中得长度单位不统一，为计算得方便，可都化成以分米为单位来进行计算．
解：3米= 30 分米
0.4 X 0.4 X 30= 4.8 （立方分米）
7.8X 4.8= 37.44 （千克）
答：这段方钢得重量是37.44千克．
典型例题
例．把一根长6米得方木（底面是正方形）锯成三段，表面积增加了9平方分米，原来这根方木得体积是多少立方米?
分析：把方木锯成三段，要锯两次，锯一次表面积增加底面面积得 2 倍，锯两次表面积增加底面面积得4倍，所以底面面积为9十4 （平方分米），已知长和底面面积，方木得体积可求．
解： 6 米= 60 分米
9-4 X 60= 135 （立方分米）=0.135 （立方米）
答：原来这根方木得体积是0.135 立方米．
典型例题
例．一根长方体形状得木料，把它截成两段后，正好是两个完全一样得立方体，表面积增加了32 平方分米，这根长方体木料得体积是多少？
分析：木料截成两段增加了两个底面，木料得底面积是32- 2= 16平方分米.因为截得了两个一样得正方体，可知原木料得高是底面边长得2倍，而16= 42，底面边长是4.
典型例题
解: 32 + 2 = 16 （平方分米）=42
16X（4X 2）= 128 （立方分
米）
答: 这根木料得体积是128立方分米.
典型例题
例.有一个空得长方体容器A和一个水深24厘米得长方体容器B，将容器B得水倒一部分到A，使两容器水得高度相同，这时两容器相同得水深为几厘米？
分析1:容器A得底面积是40 X 30,容器B得底面积是30 X 20, 40 X 30+( 30 X 20)= 2, 即A得底面积是B得底面积得2倍，B中得水倒一部分到A使A、B两容器水得高度相同，所
以这个水深为24+( 2 + 1)= 8厘米.
解法1: 24 + [40 X 30+( 30X 20)+ 1 ]
=24 + 3
=8 (厘米)
分析2:设这个相同得水深为X厘米，则B中倒出得水深为(24- X )厘米，倒出得水为30 X 20X( 24- x )立方厘米，这些水就全部在A中，A中得水有40X 30X x立方
厘米，故可得方程.
解法2:设这个相同得水深为X厘米.
40 X 30 X X = 30 X 20 X( 24 —X )
24- X = 40 X 30 X X +( 30 X 20)
24 —X = 2X
3X = 24
=8
答：这个相同得水深是8厘米.
例．有沙土12立方米，要铺在长 5 米，宽4米得房间里，可以铺多厚？
分析：此题要把12立方米得沙土铺在房间里，也就是铺成一个长5米、宽4米、厚x 米得长方体，我们就可以用方程法求出所求问题了．这题是一道利用体积计算公式逆解得题．遇到此
类题用方程法解即可．
解：设可铺x 米厚．
4X 5X x = 12
=0.6
答：可以铺0.6 米厚．
典型例题
例．一个长方体得底面长 6 厘米，长是宽得 1.2 倍，宽比高少0.5 厘米，这个长方体得体积是多少立方厘米？
分析：这道题要求得是长方体得体积，求体积就必须知道长方形得长、宽、高．此题只直接给出了长，宽和高是间接给出得，因此应先用求一倍量得方法求出宽，再根据“求比一个数多几得数是多少”得题型算出高，最后用公式V= abh算出体积就可以了.
解：6- 1.2= 5 （厘米）
5+ 0.5= 5.5 （厘米）
6X 5X 5.5= 165 （平方厘米）
答：这个长方体得体积是165 平方厘米
典型例题
例．把一个棱长 6 分米得正方体钢坯，锻造成一个宽 3 分米，高 2 分米得长方体钢件，这个钢件长多少分米？
分析：把正方体钢坯锻造成长方体钢件，形状改变了，但是体积没有改变，即正方体得体积和长方体得体积相等．已知长方体得宽和高，用体积除以宽，再除以高，就可以求出长．
解：6X 6X 6-3-2
=216- 3-2
= 36（分米）
答：这个钢件得长是36 分米．
典型例题