高三C专题(二项式定理3星)

专题：二项式定理 ★★★

教学目标

1. 掌握二项式定理.

掌握组合数的性质，具有一定的观察、分析、归纳能力.

【包括求二项展开式的指定项、二项式系数与展开式系数，研究二项展开式系数的性质，利用二项式定理比较多项式与指数式的大小，证明整除性问题等.】

知识梳理

5 min.

1. 二项式展开：

2()n

n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a

b C a b C b ---+=++++++L L

通项公式：1C 0,1,2,,k n k k

k n T a b k n -+=??=，

L 2. 二项展开式的结构与特征（1）项数：共1n +项

（2）系数：()0,1,2,,r

n C r n =L 为第1r +项的二项式系数.

（3）指数：a 的次数从n 起逐项减1直到0；b 的次数从0起逐项加1直到n .a 与b 的次数之和等于n . 3. 二项式系数的性质

（1）等距性：与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等即：r n r n n C C -=.

（2）所有二项式系数之和等于2n

，即：0

n n n n C C C C ++++=L .

（3）奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于1

n -.

即：0241351

C C C C C C 2.n n n n n n n -+++=+++=L L

4. 二项式定理的应用

赋值法：()()n

F x ax b =+展开式的各项系数和为()1f ；

典例精讲

33 min.

例1.

（★★）若7

01234567(12)x a a x a x a x a x a x a x a x +=+++++++，求

（1）展开式中各项系数和；（2）求0246a a a a +++的值.

解：（1）利用赋值法，令1x =，得77

01234567(12)32187a a a a a a a a +=+++++++==①，

所以展开式中各项系数和是2187.

（2）令1x =-，7

01234567(12)31a a a a a a a a -=-+-+-+-==-②，①+②，得

02462222218712186a a a a +++=-=，即02461093a a a a +++=.

例2.

（★★）求证1

211124223.n n n n

n n

n n n C C C C --+++++=L

证明：在二项展开式0

2()n

n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a

b C a b C b ---+=++++++L L 中，

令1,2,a b ==得1

(12)12223n

n n n C C C +=+?+?++?=L ，即1

(12)12423n

n n n C C C +=++++=L .

巩固练习：

（★★）求证：()()1

212421.n n

n n C C C -+-+-=-L

证明：由0

2()n n

n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a

b C a b C b ---+=++++++L L 可知，

()

()112n

-=-=()()()2

012222n

n n n n n C C C C +-+-++-L ()121242.n

n n C C C =-+-+-L 例3.

（★★）求证：

()

a b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.

证明：在二项展开式0

2()n

n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a

b C a b C b ---+=++++++L L 中，

令1,1a b ==-，得()0

(11)1n

n n n n n C C C C C -=-+-++-L ，

即()()

2021

2130r n n r n n n n C C C C C C +=++++-++++L L L L ()0,1,2,r =L ，由此得，0212231

r n r n n n n

n C C C C C C +++++=++++L L L L ()0,1,2,r =L ，

即在()n

a b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 例4.

（★★）利用二项式定理证明：()2215,*.n n n n n N >++≥∈

证明：()211n

=+()0

2212 1.n n

n n n n n C C C C C n n n n n n n -=+++++=++-+>++>++L L

所以，()2215,*.n n n n n N >++≥∈

【结论可用于判断指数式与多项式的大小关系，类似地，我们还可以利用二项式定理进行近似计算.】

巩固练习:

求证：)2,(2

)2(3*1

>∈+>-n N n n n n 且

解：0

2203(21)2222n

n n n n n n n C C C C --=+=++++L 11221(2)2n n n n n --=+?++>+?L

课堂检测

1. （★★）在5

x ?

+ ?

的展开式的各项中随机取两项，其系数和为奇数的概率是．解：

2. （★★）若()22213222132102,*n

n n n n x a x a x a x a x a x a n N --+=++++++∈L ，则13521...n a a a a -++++的

值为．解：

21(31)2

- 3. （★★）已知二项式8

1x a ?

?+ ??

?展开式的前三项系数成等差数列，则a = .

解：2或14

4. （★★）若3

(2)2(,3)n

x x ax bx cx n N n +=+++++∈≥L 且:3:2a b =，则_______________.n = 解：11

5. （★★）若()12n

x +的二项展开式中含4

x 项的系数与含5

x 项的系数之比是

，则n =_________. 解：10

6. （★★★）若454233241)1()1()1()1(x a x a x a x a x a =+-+-+-+-，则234a a a ++的值为．解：14

7. （★★★）式子 1 2 3248(2)n n n n n n C C C C -+-++-L 等于（）．

A ．(1)n -

B ．(1)1n --

C ．3n

D ．31n - 解：B

8. （★★★）设2

1()2n

x x

+的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为______________. 解：3

9. （★★★）在()6

1x -的二项展开式中，中间项的系数是__________．解：

10. （★★★）在二项式10

(1)x +的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是．

解：

411

11. （★★★）（选）对于二项式51n

x x ??+ ???

的展开式*

n N ∈，四位同学做出了四种判断:

①存在*

n N ∈，展开式中有常数项；

②对任意*

n N ∈，展开式中没有常数项；

③对任意*

n N ∈，展开式中没有x 的一次项；

④存在*

n N ∈，展开式中有x 的一次项.

上述判断中正确的是 ( ) A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④

解：C

12. （★★★）（选）已知232012(1)(1)(1)(1)n n

n x x x x a a x a x a x ++++++++=++++L L ，若

12129n a a a n -+++=-L ，则自然数n = ．

解：4

13. （★★★）若()

2a b +=+（,a b 为有理数）

，则a b += （） A ．33

B ． 29

C ．23

D ．19

解：本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. ()

()

()()

()

()2

12344

22222C

C C

+=++++Q

1421282417122=++++=+，由已知，得171222a b +=+， ∴171229a b +=+=.故选B .

14.（★★★）在（1＋x ）＋（1＋x ）2＋……＋（1＋x ）6的展开式中，x 2项的系数是 .（用数字作答）.

【答案】35

【解析】C 22+ C 23+ C 24+ C 25+ C 26= C 33+ C 23+ C 24+ C 25+ C 26= C 3

7,这里需要用到组合数公式C m n 1+=C m n +C 1

-m n

回顾总结

：2 min.

二项式系数与系数的区别是什么？

答：在一个n 次的二项展开式中称k n C 为第1k +项的二项式系数，二项展开式项的系数是指不含变量的部分.例如：二项式33

x x 的展开式的通项：23

112k n k

k k n T C x -+??=-?? ???，k n C 为第1k +项的二项式系数，12k

k n C ??-? ???为第1k +项的系数.

高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计二

二项式定理（第1课时）一、内容和内容解析内容：二项式定理的发现与证明．内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合计数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视．二、目标和目标解析目标：（1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项式定理．（2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式定理的简单应用．（3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养．目标解析：（1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法．（2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利

二项式定理高考题(带答案)

年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 【答案】C 【解析】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得，令,则，所以故选C. 2.【2018年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________．【答案】7 【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果. 详解：二项式的展开式的通项公式为, % 令得，故所求的常数项为 3.【2018年理数天津卷】在的展开式中，的系数为____________.【答案】决问题的关键． 4．【山西省两市2018届第二次联考】若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（） A. 2 B. C. D.

【答案】B 5．【安徽省宿州市2018届三模】的展开式中项的系数为 __________． ' 【答案】-132 【解析】分析：由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，然后结合展开式整理计算即可求得最终结果. 详解：的展开式为：，当，时，，当，时，，据此可得：展开式中项的系数为 . 6.【2017课标1，理6】621 (1)(1)x x + +展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 【答案】C 【解析】试题分析：因为666 22 11(1)(1)1(1)(1)x x x x x + +=?++?+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ?=，621(1)x x ?+展开式中含2x 的项为44 262115C x x x ?=，故2x 前系数为 151530+=，选C. 情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同. 7.【2017课标3，理4】()()5 2x y x y +-的展开式中x 3y 3的系数为￥ A ．80- B ．40- C ．40 D ．80 【答案】C

(完整word)高中数学二项式定理练习题

选修2-3 1.3.1 二项式定理一、选择题 1．二项式(a ＋b )2n 的展开式的项数是( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1 D ．2(n ＋1) 2．(x －y )n 的二项展开式中，第r 项的系数是( ) A ．C r n B ． C r ＋1n C ．C r －1n D ．(－1)r －1C r －1n 3．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( ) A ．－27C 610 B ．27 C 410 C ．－9C 610 D ．9C 410 4．(2010·全国Ⅰ理，5)(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．4 5．在? ?? ??2x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是( ) A ．3 B ．5 C ．8 D ．10 6．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中x 5的系数是( ) A ．－297 B ．－252 C ．297 D ．207 7．(2009·北京)在? ?? ??x 2－1x n 的展开式中，常数项为15，则n 的一个值可以是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8．(2010·陕西理，4)(x ＋a x )5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于 ( ) A ．－1 B.12 C ．1 D ．2

9．若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是 ( ) A.112＜x ＜15 B.16＜x ＜15 C.112＜x ＜23 D.16＜x ＜25 10．在? ????32x －1220的展开式中，系数是有理数的项共有( ) A ．4项 B ．5项 C ．6项 D ．7项二、填空题 11．(1＋x ＋x 2)·(1－x )10的展开式中，x 5的系数为____________． 12．(1＋x )2(1－x )5的展开式中x 3的系数为________． 13．若? ?? ??x 2＋1ax 6的二项展开式中x 3的系数为52，则a ＝________(用数字作答)． 14．(2010·辽宁理，13)(1＋x ＋x 2)(x －1x )6的展开式中的常数项为________．三、解答题 15．求二项式(a ＋2b )4的展开式． 16．m 、n ∈N *，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 展开式中x 的系数为19，求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数． 17．已知在(3x －123x )n 的展开式中，第6项为常数项．

高三数学二项式定理

二项式定理 1．知识精讲：（1）二项式定理：()n n n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110（* ∈N n ）其通项是=+1r T r r n r n b a C - （r=0,1,2,……,n ），知4求1，如：555 156b a C T T n n -+== 亦可写成：=+1r T r n r n a b a C )( ()()()n n n n r r n r n r n n n n n b C b a C b a C a C b a 11110-++-++-=---ΛΛ（*∈N n ）特别地：()n n n r n r n n n n n x C x C x C x C x +++++=+-ΛΛ101（* ∈N n ）其中，r n C ——二项式系数。而系数是字母前的常数。例1．n n n n n n C C C C 13 21393-++++Λ等于（） A ．n 4 B 。n 43? C 。134-n D.3 1 4-n 解：设n n n n n n n C C C C S 13 21393-++++=Λ，于是： n n n n n n n C C C C S 333333 3221++++=Λ=133333 32210 -+++++n n n n n n n C C C C C Λ 故选D 例2．（1）求7 (12)x +的展开式的第四项的系数；（2）求91 ()x x -的展开式中3 x 的系数及二项式系数解：（1）7 (12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==， ∴7 (12)x +的展开式的第四项的系数是280．（2）∵9 1()x x -的展开式的通项是9921991 ()(1)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-， ∴923r -=，3r =， ∴3x 的系数339(1)84C -=-，3 x 的二项式系数3984C =．（2）二项展开式系数的性质：①对称性,在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即ΛΛ,,,,22110k n n k n n n n n n n n n n C C C C C C C C ---==== ②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果

二项式定理-高考题(含答案)

二项式定理高考真题一、选择题 1.（2012·四川高考理科·Ｔ1）相同7(1)x 的展开式中2x 的系数是（ D ）（A ）42（B ）35（C ）28（D ）21 2.（2011·福建卷理科·Ｔ6）(1+2x )5的展开式中，x 2的系数等于（ B ）（A ）80 （B ）40 （C ）20 （D ）10 3.（2012·天津高考理科·Ｔ5）在5 212x x 的二项展开式中，x 的系数为（ D ） (A)10 (B)-10 (C)40 (D)-40 4.（2011.天津高考理科.T5）在62() 2x x 的二项展开式中，2x 的系数为（ C ）（A ）15 4（B ）15 4（C ）3 8（D ）3 8 5.（2012·重庆高考理科·Ｔ4）8 21x x 的展开式中常数项为( B ) (A)1635 (B)835 (C)435 (D)105 6.（2012·重庆高考文科·Ｔ4）5)31(x 的展开式中3x 的系数为( A ) (A)270 (B)90 (C)90 (D)270 7. (2013·大纲版全国卷高考理科·T7)8411+x y 的展开式中22x y 的系数是( D ) A.56 B.84 C.112 D.168

8.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ8）51 2a x x x x 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ D ）（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40 9. (2011·重庆高考理科·T4)n x)31((其中n N 且6n )的展开式中5x 与6x 的系数相等,则n ( B ) (A)6 (B) 7 (C)8 (D)910．（2011·陕西高考理科·T4）6(42)x x （x R ）展开式中的常数项是（C ）（A ）20（B ）15（C ）15 （D ）20 二、填空题 11. （2013·天津高考理科·Ｔ10）61 x x 的二项展开式中的常数项为 15 . 12.（2011·湖北高考理科·T11）181 3x x 的展开式中含15x 的项的系数为 17 . 13.（2011·全国高考理科·Ｔ13）(1-x )20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为 0 . 14.（2011·四川高考文科·Ｔ13）91)x （的展开式中3x 的系数是 84 （用数字作答）. 15.(2011·重庆高考文科·T11)6)21(x 的展开式中4x 的系数是 240 . 16.（2011·安徽高考理科·Ｔ12）设2121221021)1x a x a x a a x （，则 1110a a = 0 . 17.（2011·广东高考理科·Ｔ10）72()x x x 的展开式中，4x 的系数是___84___ (用数字作答) 18.（2011·山东高考理科·Ｔ14）若62a x x 的展开式的常数项为60，则常数a 的值为 4 .

二项式定理高考题含答案

二项式定理高考真题一、选择题 1.（2012·四川高考理科·Ｔ1）相同7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ D ）（A ）42 （B ）35 （C ）28 （D ）21 2.（2011·福建卷理科·Ｔ6）(1+2x )5的展开式中，x 2的系数等于（ B ）（A ）80 （B ）40 （C ）20 （D ）10 3.（2012·天津高考理科·Ｔ5）在的二项展开式中，的系数为（ D ） (A)10 (B)-10 (C)40 (D)-40 4.（2011.天津高考理科.T5）在6 的二项展开式中，2 x 的系数为（ C ）（A ）15 4- （B ）15 4 （C ）38- （D ）3 8 5.（2012·重庆高考理科·Ｔ4）821?? ? ??+x x 的展开式中常数项为( B ) (A)1635 (B)835 (C)435 (D)105 6.（2012·重庆高考文科·Ｔ4）5)31(x -的展开式中3x 的系数为( A ) (A)270- (B)90- (C)90 (D)270 7. (2013·大纲版全国卷高考理科·T7)()()8411++x y 的展开式中22x y 的系数是 ( D ) 8.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ8）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ D ）（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40

9. (2011·重庆高考理科·T4)n x )31(+(其中n N ∈且6≥n )的展开式中5x 与6x 的系数相等,则=n ( B ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 10．（2011·陕西高考理科·T4）6(42)x x --（x ∈R ）展开式中的常数项是（C ）（A ）20- （B ）15- （C ）15 （D ）20 二、填空题 11. （2013·天津高考理科·Ｔ10）6x ? ? 的二项展开式中的常数项为 15 . 12.（2011·湖北高考理科·T11）的展开式中含的项的系数为 17 . 13.（2011·全国高考理科·Ｔ13）)20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为 0 . 14.（2011·四川高考文科·Ｔ13） 91)x +（的展开式中3x 的系数是 84 （用数字作答）. 15.(2011·重庆高考文科·T11)6)21(x +的展开式中4x 的系数是 240 . 16.（2011·安徽高考理科·Ｔ12）设2121221021)1x a x a x a a x ++++=-Λ（，则 1110a a += 0 . 17.（2011·广东高考理科·Ｔ10）的展开式中，的系数是___84___ (用数字作答) 18.（2011·山东高考理科·Ｔ14）若6 x ? ??的展开式的常数项为60，则常数a 的值为 4 . 19.（2012·大纲版全国卷高考理科·Ｔ15）若n x x )1 (+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中2 1x 的系数为__56_____.

高中数学 2二项式定理(带答案)

二项式定理一．二项式定理 1.右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式 2.各项的系数r n C 叫做二项式系数 3.式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第1r +项，即 1(0,1,2, ,).r n r r r n T C a b r n -+== 4.二项展开式特点：共1r +项；按字母a 的降幂排列，次数从n 到0递减；二项式系数r n C 中r 从0到 n 递增，与b 的次数相同；每项的次数都是.n 二．二项式系数的性质性质1 ()n a b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即m n m n n C C -= 性质2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即11m m m n n n C C C -++= 性质3 ()n a b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n ，即012.n n n n n C C C ++ += （令1a b ==即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释）性质4 ()n a b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 02 213 21 12.r r n n n n n n n C C C C C C +-++ ++ =++ ++ = （令1,1a b ==-即得）性质5 ()n a b +的二项展开式中，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数1 2,n n C -1 2n n C +相等，且同时取得最大值.（即中间项的二项式系数最大）

(推荐)高中数学二项式定理

二项式定理【2011?新课标全国理，8】51()(2)a x x x x +-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )． A ．－40 B ．－20 C ．20 D ．40 【答案】D 【最新考纲解读】二项式定理 (1)能用计数原理证明二项式定理． (2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．【回归课本整合】 1.二项式定理的展开式 011()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++，其中组合数r n C 叫做第r +1项的二项式系数；展开式共有n +1项. 注意：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1 时，系数就是二项式系数。如在()n ax b +的展开式中，第ｒ＋１项的二项式系数为r n C ，第

3.项的系数和二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（ m n m n n C C- = ）．【方法技巧提炼】

(2)()()n m a b c d ++结构:①若n 、m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个；②观察()()a b c d ++是否可以合并；③分别得到()()n m a b c d ++、的通项公式，综合考虑. 例2 61034(1)(1)x x 展开式中的常数项为（） A ．1 B ．46 C ．4245 D ．4246

答案： D 例3 5 )2 1 2 (+ + x x 的展开式中整理后的常数项为 .

答案： 632 例5 若对于任意实数x，有 323 0123 (2)(2)(2) x a a x a x a x =+-+-+- ，则2 a的值为（）

(完整版)二项式定理高考题(带答案)

1.2018年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 【答案】C 【解析】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得，令,则，所以故选C. 2.【2018年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________．【答案】7 【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果. 详解：二项式的展开式的通项公式为 , 令得，故所求的常数项为 3.【2018年理数天津卷】在的展开式中，的系数为____________. 【答案】

决问题的关键． 4．【山西省两市2018届第二次联考】若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（） A. 2 B. C. D. 【答案】B 5．【安徽省宿州市2018届三模】的展开式中项的系数为__________．【答案】-132 【解析】分析：由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，然后结合展开式整理计算即可求得最终结果. 详解：的展开式为：，当，时，，当，时，

，据此可得：展开式中项的系数为 . 6.【2017课标1，理6】621 (1)(1)x x + +展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 【答案】C 【解析】试题分析：因为666 22 11(1)(1)1(1)(1)x x x x x + +=?++?+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ?=，621(1)x x ?+展开式中含2x 的项为44 262115C x x x ?=，故2x 前系数为 151530+=，选C. 情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同. 7.【2017课标3，理4】()()5 2x y x y +-的展开式中x 3y 3的系数为 A ．80- B ．40- C ．40 D ．80 【答案】C 【解析】 8.【2017浙江，13】已知多项式() 1x +3 ()2x +2=5432112345x a x a x a x a x a +++++，则 4a =________，5a =________．

高考数学《二项式定理》

二项式定理主标题：二项式定理副标题：为学生详细的分析二项式定理的高考考点、命题方向以及规律总结。关键词：二项式定理，二项式系数，项系数难度：2 重要程度：4 考点剖析： 1．能用计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 命题方向： 1．二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题． 2．高考对二项式定理的考查主要有以下几个命题角度： (1)求二项展开式中的第n项； (2)求二项展开式中的特定项； (3)已知二项展开式的某项，求特定项的系数．规律总结： 1个公式——二项展开式的通项公式通项公式主要用于求二项式的特定项问题，在运用时，应明确以下几点： (1)C r n a n－r b r是第r＋1项，而不是第r项； (2)通项公式中a，b的位置不能颠倒； (3)通项公式中含有a，b，n，r，T r＋1五个元素，只要知道其中的四个，就可以求出第五个，即“知四求一”． 3个注意点——二项式系数的三个注意点 (1)求二项式所有系数的和，可采用“赋值法”； (2)关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； (3)展开式中第r＋1项的二项式系数与第r＋1项的系数一般是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出错．

知识梳理 1．二项式定理二项式定理 (a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *) 二项展开式的通项公式 T r ＋1＝C r n a n －r b r ，它表示第r ＋1项二项式系数二项展开式中各项的系数C 0 n ，C 1n ，…，C n n 2.二项式系数的性质 (1)0≤k ≤n 时，C k n 与C n －k n 的关系是C k n ＝C n －k n . (2)二项式系数先增后减中间项最大当n 为偶数时，第n 2 ＋1项的二项式系数最大，最大值为2n n C ；当n 为奇数时，第n ＋1 2项和n ＋3 2项的二项式系数最大，最大值为21 -n n C 或21 +n n C . (3)各二项式系数和：C 0 n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ， C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2 n －1.

(完整word版)二项式定理历年高考试题荟萃

圆梦教育中心二项式定理历年高考试题一、填空题 ( 本大题共 24 题, 共计 120 分) 1、 (1+2x)5的展开式中x2的系数是。（用数字作答） 2、的展开式中的第5项为常数项，那么正整数的值是 . 3、已知,则(的值等于。 4、（1+2x2）(1+)8的展开式中常数项为。（用数字作答） 5、展开式中含的整数次幂的项的系数之和为。（用数字作答） 6、（1+2x2）(x-)8的展开式中常数项为。（用数字作答） 7、的二项展开式中常数项是。(用数字作答). 8、 (x2+)6的展开式中常数项是。(用数字作答) 9、若的二项展开式中的系数为，则。（用数字作答） 10、若(2x3+)n的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于。 11、（x+）9展开式中x3的系数是。（用数字作答）

12、若展开式的各项系数之和为32，则n= 。其展开式中的常数项为。（用数字作答） 13、的展开式中的系数为。(用数字作答) 14、若(x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a1+a2+a3+a4+a5= 。 15、（1+2x）3(1-x)4展开式中x2的系数为 . 16、的展开式中常数项为 ; 各项系数之和为.（用数字作答） 17、 (x)5的二项展开式中x2的系数是____________.(用数字作答) 18、 (1+x3)(x+)6展开式中的常数项为_____________. 19、若x＞0,则(2+)(2-)-4(x-)=______________. 20、已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k=______________. 21、记(2x+)n的展开式中第m项的系数为b m，若b3＝2b4，则n＝ . 22、 (x+)5的二项展开式中x3的系数为_____________.(用数字作答) 23、已知(1+x+x2)(x+)n的展开式中没有常数项,n∈N*且2≤n≤8,则n=_____________. 24、展开式中x的系数为.

二项式定理高考试题及其答案总

二项式定理历年高考试题荟萃(一) 一、选择题 ( 本大题共 58 题) 1、二项式的展开式中系数为有理数的项共有………（） A.6项 B.7项 C.8项 D.9项 2、对于二项式（＋x3）n（n∈N），四位同学作出了四种判断：…（） ①存在n∈N，展开式中有常数项； ②对任意n∈N，展开式中没有常数项； ③对任意n∈N，展开式中没有x的一次项； ④存在n∈N，展开式中有x的一次项. 上述判断中正确的是（A）①与③（B）②与③（C）②与④（D）④与① 3、在（+x2）6的展开式中，x3的系数和常数项依次是…………（）（A）20，20 （B）15，20（C）20，15 （D）15，15 4、（2x3－）7的展开式中常数项是……………………………………………………… （） A.14 B.－ 14 C.42 D.－42 5、已知(x－)8展开式中常数项为1120,其中实数a是常数,则展开式中各项系数的和是……………………………………………………………() (A)28 (B)38 (C)1或 38 (D)1或28

6．若（+）n展开式中存在常数项,则n的值可以是…………（） A.8 B.9 C.10 D.12 7 .(2x+)4的展开式中x3的系数是……………………………………() A.6 B.12 C.24 D.48 8、（－）6的展开式中的常数项为…………………………………（） A.15 B.－ 15 C.20 D.－20 9、（2x3－）7的展开式中常数项是…………………………………………（） A.14 B.－ 14 C.42 D.－42 10、若（+）n展开式中存在常数项,则n的值可以是………………（） A.8 B.9 C.10 D.12 11、若展开式中含项的系数与含项的系数之比为－5，则n等于 A．4 B．6 C．8 D．10 12、的展开式中，含x的正整数次幂的项共有（） A.4项 B.3项 C.2项 D.1项

2018年高考二项式定理十大典型问题及例题

学科教师辅导讲义 1．二项式定理： 011 ()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++ ++ +∈， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+- ++ +-∈ 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C +++++ +=，变形式1221r n n n n n n C C C C ++ ++ +=-。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123 (1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=，从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++ ++???= ?= ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

(完整word版)高考数学二项式定理专题复习专题训练)

二项式定理 1.二项式定理：)*()(011111100N n b a C b a C b a C b a C b a n n n n n n n n n n n ∈++???++=+---. 2.二项式定理的说明：（1）()n a b +的二项展开式是严格按照a 的降次幂（指数从n 逐项减到0）、 b 的升次幂（数从0逐项减到n ）排列的，其顺序不能更改，且各项关于a 、b 的指数之和等于n 。所以()n a b +与()n b a +的二项展开式是不同的。（3）二项式项数共有(1)n +项，是关于a 与b 的齐次多项式。（4）二项式系数：展开式中各项的系数为1-r n C ，1,...,3,2,1+=n r . （5）二项式通项：展开式中的第r 项记作r T ，）（1,...,3,2,11 11+==--+-n r b a C T r r n r n r ，共有(1)n +项。（6）正确区分二项式系数与项的系数：二项式系数依次是 012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ?????? 项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。如：n n r r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ）（）（）（）（）（----n r 2221110+???++???+++=---的第2项的二次项系数为1n C ，而第2项的系数为1 n C -. （7）常见二项式：令1,,a b x ==)*()1(111100N n x C x C x C x C x n n n n n n n n n ∈++???++=+--；令1,,a b x ==-)*()1()1(221100N n x C x C x C x C x n n n n n n n n ∈-+???++-=-. 3.二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等：即k n n k n n n n n n n C C C C C C --=???==,,,110 .

高三数学-二项式定理

10.3二项式定理强化训练【基础精练】 1．在二项式(x 2－1 x )5的展开式中，含x 4的项的系数是 ( ) A ．－10 B ．10 C ．－5 D ．5 2．(2009·北京高考)若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝ ( ) A ．45 B ．55 C ．70 D ．80 3．在( 1x ＋ 51 x 3 )n 的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 024，则中间项系数是 ( ) A ．330 B ．462 C ．682 D ．792 4．如果? ?? ?? 3x 2－2x 3n 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为 ( ) A ．10 B ．6 C ．5 D ．3 5．在? ? ??? 2x －y 25的展开式中，系数大于－1的项共有 ( ) A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．6项 6．二项式41(1)n x +-的展开式中，系数最大的项是 ( ) A ．第2n ＋1项 B ．第2n ＋2项 C ．第2n 项 D ．第2n ＋1项和第2n ＋2项 7．若(x 2＋1 x 3)n 展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________． 8．（ x ＋2 x 2)5的展开式中x 2的系数是________；其展开式中各项系数之和为________．(用数字作答) 9．若? ? ? ??2x － 229 的展开式的第7项为214，则x ＝________. 10．已知(x － 124 x )n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．

(1)证明：展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有有理项． 11．设(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，求： (1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4； (2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|； (3)a1＋a3＋a5； (4)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3＋a5)2. 【拓展提高】 1．在(3x－2y)20的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数绝对值最大的项； (3)系数最大的项．

二项式定理的十一种考题解法

二项式定理的十一种考题解法 1．二项式定理： 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用 1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是 012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L

令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈L L 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =，···1k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为 0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L ，变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ，从而得到：02421321 11 222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???=?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和： ⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值。如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数1 2n n C -,12n n C +同时取得最大值。 ⑥系数的最大项：求()n a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +???，设第1r +项系数最大，应有112 r r r r A A A A +++≥??≥?，

2020年高考理科数学《二项式定理》题型归纳与训练及参考答案

2020年高考理科数学《二项式定理》题型归纳与训练【题型归纳】题型一二项式定理展开的特殊项例在二项式5 21??? ??-x x 的展开式中，含4x 的项的系数是( ) A ．10- B ．10 C ．5- D ．5 【答案】B 【解析】对于()()r r r r r r r x C x x C T 3105525111--+-=??? ??-=，对于2,4310=∴=-r r ，则4x 的项的系数是()101225=-C 【易错点】公式记错，计算错误。【思维点拨】本题主要考查二项式定理的展开公式，知道什么是系数，会求每一项的系数．题型二求参数的值例若二项式n x x ??? ? ?+21的展开式中,第4项与第7项的二项式系数相等,则展开式6x 的系数为________.(用数字作答) 【答案】9 【解析】根据已知条件可得: 96363=+=?=n C C n n , 所以n x x ??? ? ?+21的展开式的通项为23999912121C r r r r r x C x x T --+??? ??=??? ??=,令26239=?=-r r ,所以所求系数为921292=??? ??C . 【易错点】分数指数幂的计算【思维点拨】本题主要考查二项式定理的展开公式，并用其公式求参数的值．题型三展开项的系数和例已知()()()()10 102210101...111x a x a x a a x -++-+-+=+，则8a 等于( ) A ．180- B ．180 C ．45 D ．45- 【答案】B

【解析】由于()()[]1010121x x --=+，又()[]10 12x --的展开式的通项公式为： ()[]()()r r r r r r r r x C x C T -???-=--??=--+12112101010101，在展开式中8a 是()81x -的系数，所以应取8=r ， ∴()1802128108 8=??-=C a . 【易错点】对二项式的整体理解【思维点拨】本题主要对二项式定理展开式的综合考查，学会构建模型题型四二项式定理中的赋值二项式()932y x -的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和．【答案】（1）9 2 （2）-1 （3）2 159- 【解析】设()9927281909...32y a y x a y x a x a y x ++++=+ (1)二项式系数之和为9992919 092...=++++C C C C . (2)各项系数之和为()132 (9) 9210-=-=++++a a a a (3)由(2)知1...9210-=++++a a a a ，令1,1-==y x ，得992105...=++++a a a a ，将两式相加，得2 15986420-=++++a a a a a ，即为所有奇数项系数之和．【思维点拨】本题主要学会赋值法求二项式系数和、系数和，难点在于赋值【巩固训练】题型一二项式定理展开的特殊项 1.在 ()10 2-x 的展开式中，6x 的系数为（） A ．41016C B ．41032C C ．6108C - D ．61016C - 【答案】A

高中数学知识点总结---二项式定理

高中数学知识点总结---二项式定理 1. ⑴二项式定理：n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- . 展开式具有以下特点： ① 项数：共有1+n 项； ② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C ③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开. ⑵二项展开式的通项. n b a ) +（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a C T r r n r n r ∈≤≤=-+. ⑶二项式系数的性质. ①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大. I. 当n 是偶数时，中间项是第 12 +n 项，它的二项式系数2 n n C 最大； II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第2 1+n 项和第 12 1++n 项，它们的二项式系数212 1+-=n n n n C C 最大. ③系数和： 1 314 201 2 2-=+ +=+++=+++n n n n n n n n n n n C C C C C C C C 附：一般来说b a by ax n ,()(+为常数）在求系数最大的项或最小的项．．．．．．．．．．．时均可直接根据性质二求解. 当11≠≠b a 或时，一般采用解不等式组1 111 1(,+-+-+???≤≤???≥≥k k k k k k k k k k T A A A A A A A A A 为或的系数或系数的绝对值）的办法来求解. ⑷如何来求n c b a )(++展开式中含r q p c b a 的系数呢？其中 , ,,N r q p ∈且 n r q p =++把 n n c b a c b a ] )[()(++=++视为二项式，先找出含有r C 的项r r n r n C b a C -+)(，另一方面在r n b a -+) (中含有q b 的项为 q p q r n q q r n q r n b a C b a C ----=，故在n c b a )(++中含r q p c b a 的项为 r q p q r n r n c b a C C -.其系数为r r q p n p n q r n r n C C C p q r n q r n q r n r n r n C C --== ---?-= ! !!!)! (!)! ()!(!! . 2. 近似计算的处理方法.

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