(完整版)中值定理与导数的应用导数、微分习题及答案
第三章 中值定理与导数的应用
(A)
1．在下列四个函数中,在[]1,1-上满足罗尔定理条件的函数是( ) A ．18+=x y B ．142+=x y C ．21
x
y = D ．x y sin = 2．函数()x
x f 1
=
满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( ) A ．[]2,2- B ． []0,2- C ．[]2,1 D ．[]1,0 3．方程0155=+-x x 在()1,1-内根的个数是 ( ) A ．没有实根 B ．有且仅有一个实根 C ．有两个相异的实根 D ．有五个实根 4．若对任意()b a x ,∈，有()()x g x f '='，则 ( ) A ．对任意()b a x ,∈，有()()x g x f = B ．存在()b a x ,0∈，使()()00x g x f =
C ．对任意()b a x ,∈，有()()0C x g x f +=(0C 是某个常数)
D ．对任意()b a x ,∈，有()()C x g x f +=(C 是任意常数) 5．函数()3553x x x f -=在R 上有 ( )
A ．四个极值点；
B ．三个极值点
C ．二个极值点
D ． 一个极值点 6．函数()7186223+--=x x x x f 的极大值是 ( ) A ．17 B ．11 C ．10 D ．9
7．设()x f 在闭区间[]1,1-上连续，在开区间()1,1-上可导，且()M x f ≤'，
()00=f ，则必有 ( )
A ．()M x f ≥
B ．()M x f >
C ．()M x f ≤
D ．()M x f < 8．若函数()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,可导，则 ( ) A ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b f a f b f --'=-θ B ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b a f b f a f --+'=-θ
C ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f b f a f -'=-θ
D ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f a f b f -'=-θ
9．若032<-b a ，则方程()023=+++=c bx ax x x f ( )
A ．无实根
B ．有唯一的实根
C ．有三个实根
D ．有重实根
10．求极限x
x x x sin 1
sin
lim
20
→时，下列各种解法正确的是 ( )
A ．用洛必塔法则后，求得极限为0
B ．因为x
x 1
lim
0→不存在，所以上述极限不存在 C ．原式01
sin sin lim 0=?=→x x x x x
D ．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在 11．设函数2
12x x
y +=
，在 ( ) A ．()+∞∞-,单调增加 B ．()+∞∞-,单调减少 C ．()1,1-单调增加，其余区间单调减少 D ．()1,1-单调减少，其余区间单调增加
12．曲线x
e y x
+=1 ( )
A ．有一个拐点
B ．有二个拐点
C ．有三个拐点
D ． 无拐点 13．指出曲线2
3x x
y -=
的渐近线 ( ) A ．没有水平渐近线，也没有斜渐近线 B ．3=x 为其垂直渐近线，但无水平渐近线 C ．即有垂直渐近线，又有水平渐近线 D ． 只有水平渐近线
14．函数()()3
12
3
21--=x x x f 在区间()2,0上最小值为 ( )
A ．
4
729
B ．0
C ．1
D ．无最小值 15．求()201ln lim x x x x +-→
16．求()????
??-+→x x x 11ln 1lim 0 17．求x x
x 3cos sin 21lim
6
-→
π
18．求(
)
x
x x
1
20
1lim +→
19．求x
x arctgx ln 12lim ?
?
?
??-+∞→π
20．求函数149323+--=x x x y 的单调区间。 21．求函数x x e e y -+=2的极值。 22．若0≠x ，证明x e x +>1/
23．设0>x ，证明()x x x x <+<-1ln 2
2
。 24．求函数x
x
y 2ln =的单调区间与极值。
25．当a 为何值时，x x a y 3sin 31sin +=在3π
=x 处有极值？求此极值，并说
明是极大值还是极小值。
26．求内接于椭圆122
22=+b
y a x ，而面积最大的矩形的边长。
27．函数d cx bx ax y +++=23()0>a 的系数满足什么关系时，这个函数没有极值。
28．试证x x y sin =的拐点在曲线2
2
2
44x x y +=上。
29．试证明曲线1
1
2+-=
x x y 有三个拐点位于同一直线上。 30．试决定()
2
23-=x k y 中的k 的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。
(B)
1．函数()328x x x f -=，则 ( )
A ．在任意闭区间[]b a ,上罗尔定理一定成立
B ．在[]8,0上罗尔定理不成立
C ．在[]8,0上罗尔定理成立
D ． 在任意闭区间上，罗尔定理都不成立
2．下列函数中在[]e ,1上满足拉格朗日定理条件的是( ) A ．()x ln ln B ．x ln C ．
x
ln 1
D ．()x -2ln 3．若()x f 为可导函数，ξ为开区间()b a ,内一定点，而且有()0>ξf ，
()()0≥'-x f x ξ，则在闭区间[]b a ,上必有 ( )
A ．()0 B ． ()0≤x f C ．()0≥x f D ． ()0>x f 4．若()x f 在开区间()b a ,内可导，且对()b a ,内任意两点1x ，2x 恒有 ()()()2 1212x x x f x f -≤-则必有( ) A ．()0≠'x f B ．()x x f =' C ．()x x f = D ．()C x f =(常数) 5．设()() x g x f x x 0 lim →为未定型，则()()x g x f x x ''→0lim 存在是()()x g x f x x 0lim →也存在的 ( ) A ．必要条件 B ．充分条件 C ．充分必要条件 D ． 既非充分也非必要条件 6．已知()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，且当()b a x ,∈时，有()0>'x f ，又已知()0 A ．()x f 在[]b a ,上单调增加，且()0>b f B ．()x f 在[]b a ,上单调减少，且()0 C ．()x f 在[]b a ,上单调增加，且()0 D ．()x f 在[]b a ,上单调增加，但()b f 正负号无法确定 7．函数xarctgx y =的图形，在 ( ) A ．()+∞∞-,处处是凸的 B ．()+∞∞-,处处是凹的 C ．()0,∞-为凸的，在()+∞,0为凹的 D ．()0,∞-为凹的，在()+∞,0为凸的 8．若在区间()b a ,内，函数()x f 的一阶导数()0>'x f ，二阶导数()0<''x f ，则函数()x f 在此区间内是( ) A ．单调减少，曲线上凹 B ．单调增加，曲线上凹 C ．单调减少，曲线下凹 D ．单调增加，曲线下凹 9．曲线()253 5+-=x y ( ) A ．有极值点5=x ，但无拐点 B ．有拐点()2,5，但无极值点 C ．5=x 有极值点且()2,5是拐点 D ． 既无极值点，又无拐点 10．设函数()x f 在a x =的某个邻域内连续，且()a f 为其极大值，则存在 0>δ，当()δδ+-∈a a x ,时，必有( ) A ．()()()[]0≥--a f x f a x B ．()()()[]0≤--a f x f a x C ．()() () 0lim 2 ≥--→x t x f t f a t ()a x ≠ D ．()() () 0lim 2 ≤--→x t x f t f a t ()a x ≠ 11．抛物线342+-=x x y 在顶点处的曲率及曲率半径为多少？正确的答案是 ( ) A ．顶点()1,2-处的曲率为 2 1 ，曲率半径为2 B ．顶点()1,2-处的曲率为2，曲率半径为21 C ．顶点()2,1-处的曲率为1，曲率半径为1 D ．顶点()2,1-处的曲率为 2 1 ，曲率半径为2 12．设函数()x f y =在0x x =处有()00='x f ，在1x x =处()1x f '不存在，则 ( ) A ．0x x =及1x x =一定都是极值点 B ．只有0x x =是极值点 C ．0x x =与1x x =都可能不是极值点 D ．0x x =与1x x =至少有一个点是极值点 13．求极限x x x +→0 lim 。 14．求x x e e x x x sin lim sin 0--→ 15．求1 11111lim +- +-∞ →n n n arctg n arctg n 16．试证当01>++b a 时，()1 2-++=x b ax x x f 取得极值。 17．求由y 轴上的一个给定点()b ,0到抛物线y x 42=上的点的最短距离。 18．设()x f 在[]1,0上可导，且()10< 19．设()x f 在[]2,1上具有二阶导数()x f ''，且()()012==f f ，如果 ()()()x f x x F 1-=，证明至少存在一点()2,1∈ξ，使()0=''ξF 。 20．设()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内二阶可导且()()0==b f a f ，且存在点()b a c ,∈，使得()0>c f ，试证至少存在一点()b a ,∈ξ，使得()0<''ξf 。 (C) 1．函数()???? ?? ? ≤<+≤≤-=3 11111 ln 2x x x e x x f 当当它在??? ??3,1e 内 ( ) A ．不满足拉格朗日中值定理的条件 B ．满足拉格朗日中值定理的条件，且e e 53 9-= ξ C ．满足中值定理条件，但无法求出ξ的表达式 D ．不满足中值定理条件，但有e e 53 9-= ξ满足中值定理结论 2．若()x f 在区间[)+∞,a 上二次可微，且()0>=A a f ，()0<'a f ， ()0≤''x f (a x >)，则方程()0=x f 在[)+∞,a 上 ( ) A ．没有实根 B ．有重实根 C ．有无穷多个实根 D ． 有且仅有一个实根 3．设()x f 有二阶连续导数，且()00='f ，()1lim =''→x x f x 则 ( ) A ．()0f 是()x f 的极大值 B ．()0f 是()x f 的极小值 C ．()()0,0f 是曲线()x f y =的拐点 D ．()0f 不是()x f 的极值，()()0,0f 也不是曲线()x f y =的拐点 4．求() () () 3 2 31 112sin lim ----→x x x x x x 5．求() x e x x x -+→10 1lim 6．设函数()x f 二次可微，有()0>''x f ，()00=f ，证明函数 ()()()??? ??=≠=0 ,00,x f x x x f x F 是单调增函数。 7．研究函数()1 --=x e x x f 的极值。 8．若()x f 在[]b a ,上有二阶导数()x f ''，且()()0='='b f a f ，试证在()b a ,内至少存在一点ξ，满足()()()()a f b f a b f --≥ ''2 4 ξ。 9．设()x f 在[]1,0上具有二阶导数，且()()010==f f ，()1min 1 0-=< 存在一点()1,0∈ξ使()8≥''ξf 。 10．设()x y y =是一向上凸的连续曲线，其上任意一点()y x ,处的曲率为 2 11y ' +，且此曲线上点()1,0处的切线方程为1+=x y ，求该曲线方程，并求函 数()x y y =的极值。 第三章 中值定理与导数的应用 (A) 1．在下列四个函数中,在[]1,1-上满足罗尔定理条件的函数是( B ) A ．18+=x y B ．142+=x y C ．2 1 x y = D ．x y sin = 2．函数()x x f 1 = 满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( C ) A ．[]2,2- B ． []0,2- C ．[]2,1 D ．[]1,0 3．方程0155=+-x x 在()1,1-内根的个数是 ( B ) A ．没有实根 B ．有且仅有一个实根 C ．有两个相异的实根 D ．有五个实根 4．若对任意()b a x ,∈，有()()x g x f '='，则 ( D ) A ．对任意()b a x ,∈，有()()x g x f = B ．存在()b a x ,0∈，使()()00x g x f = C ．对任意()b a x ,∈，有()()0C x g x f +=(0C 是某个常数) D ．对任意()b a x ,∈，有()()C x g x f +=(C 是任意常数) 5．函数()3553x x x f -=在R 上有 ( C ) A ．四个极值点； B ．三个极值点 C ．二个极值点 D ． 一个极值点 6．函数()7186223+--=x x x x f 的极大值是 ( A ) A ．17 B ．11 C ．10 D ．9 7．设()x f 在闭区间[]1,1-上连续，在开区间()1,1-上可导，且()M x f ≤'， ()00=f ，则必有 ( C ) A ．()M x f ≥ B ．()M x f > C ．()M x f ≤ D ．()M x f < 8．若函数()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,可导，则 ( B ) A ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b f a f b f --'=-θ B ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b a f b f a f --+'=-θ C ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f b f a f -'=-θ D ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f a f b f -'=-θ 9．若032<-b a ，则方程()023=+++=c bx ax x x f ( B ) A ．无实根 B ．有唯一的实根 C ．有三个实根 D ．有重实根 10．求极限x x x x sin 1 sin lim 20 →时，下列各种解法正确的是 ( C ) A ．用洛必塔法则后，求得极限为0 B ．因为x x 1 lim 0→不存在，所以上述极限不存在 C ．原式01 sin sin lim 0=?=→x x x x x D ．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在 11．设函数2 12x x y += ，在 ( C ) A ．()+∞∞-,单调增加 B ．()+∞∞-,单调减少 C ．()1,1-单调增加，其余区间单调减少 D ．()1,1-单调减少，其余区间单调增加 12．曲线x e y x +=1 ( D ) A ．有一个拐点 B ．有二个拐点 C ．有三个拐点 D ． 无拐点 13．指出曲线2 3x x y -= 的渐近线 ( C ) A ．没有水平渐近线，也没有斜渐近线 B ．3=x 为其垂直渐近线，但无水平渐近线 C ．即有垂直渐近线，又有水平渐近线 D ． 只有水平渐近线 14．函数()()3 12 3 21--=x x x f 在区间()2,0上最小值为 ( D ) A ． 4 729 B ．0 C ．1 D ．无最小值 15．求()201ln lim x x x x +-→ 解：原式 ()2 1121lim 211 1lim 00 0=+=+-→→x x x x x 型 16．求()???? ??-+→x x x 11ln 1lim 0 解：原式() () ()x x x x x x x x x x ++ ++-++-=→→11ln 111lim 1ln 1ln lim 00 型 ()()()2 1 21ln 1lim 1ln 1lim 00 00=+++++=→→x x x x x x x 型 17．求x x x 3cos sin 21lim 6-→ π 解：原式3 3 3sin 3cos 2lim 00 0=--→x x x 型 18．求() x x x 1 20 1lim +→ 解：令() x x y 121+=，则() x x y 2 1ln ln += ∵() 012lim 1ln lim 2 00 2 0=++→→x x x x x x 型 ∴原式10==e 19．求x x arctgx ln 1 2lim ? ? ? ??-+∞→π 解：令 t arctgx =-2 π ，则ctgt x = 故原式ctgt t t ln 10 lim +→= 令ctgt t y ln 1=，则ctgt t y ln ln ln = ∵() ??? ??-=-?++ +→→∞ ∞→t t t t ctgt t y t t t cos sin lim csc 11lim ln lim 020 型 ()t t t t t cos lim sin lim 0 -?=++ →→ 1-= ∴原式1-=e 20．求函数149323+--=x x x y 的单调区间。 解：()()3139632-+=--='x x x x y 当1- 故y 在(]1,-∞-及[)+∞,3单增，在[]3,1-单减。 21．求函数x x e e y -+=2的极值。 解：x x e e y --='2 令0='y 得2ln 2 1 -=x 当2ln 21 - 当2ln 21 ->x 时，0>'y ，从而y 单增 故2ln 21 -=x 时，y 取极小值0 22．若0>x ，证明x e x +>1 证明：令()x e x F x --=1，则()1-='x e x F 当0>x 时，()0>'x F ，从而()x F 在()+∞,0单增 因为()00=F ，故()0>x F ，即 x e x +>1 23．设0>x ，证明()x x x x <+<-1ln 2 2 。 证明： 10 ：令()()x x x x f +--=1ln 22，则()x x x x x f +-=+--='11112 因0>x ，则()0<'x f ，从而()x f 在()+∞,0单减。 故()()00= 2 20：令()()x x x g -+=1ln ，则()111 -+= 'x x g 当0>x 时，()0<'x g ，从而()x g 在()+∞,0单减 故()()00= 由10 、20 知，()x x x x <+<-1ln 2 2 24．求函数x x y 2ln =的单调区间与极值。 解：()2 ln ln 2x x x y -= ' 令0='y ，得1=x 或2e 故可疑极值点1，2e 25．当a 为何值时，x x a y 3sin 3sin +=在3 =x 处有极值？求此极值，并说 明是极大值还是极小值。 解：x x a y 3cos cos +=' 由于y 在3π = x 处有极值，则03=?? ? ??'πy ，从而2=a 当3 π π> x 时，0<'y ，从而y 单减 故y 在3 π= x 处取得极大值。 26．求内接于椭圆122 22=+b y a x ，而面积最大的矩形的边长。 解：设矩形在第一象限的顶点坐标为()y x ,，则 ???==θ θ sin cos b y a x ??? ? ? <<20πθ 故矩形面积为θθθ2sin 2cos sin 44ab ab xy S === 当4 π θ= 时，S 取最大值ab 2， 矩形边长分别为a x 22=和a y 22=。 27．函数d cx bx ax y +++=23()0>a 的系数满足什么关系时，这个函数没有极值。 解：c bx ax y ++='232，因0>a ，则y '是开口向上的抛物线 要使y 没有极值，则必须使y 在()+∞∞-,是单增或单减 即必须满足0>'y 或0<'y 故只有()03422 'y 成立 即ac b 32<时，y 没有极值。 28．试证x x y sin =的拐点在曲线2 2 2 44x x y +=上。 证：x x x y cos sin +='，x x x y sin cos 2-='' 设()b a ,是x x y sin =的拐点，则???==-a a b a a a sin 0 sin cos 2 即? ??==a b ctga a cos 22 ∵()() 2 22 2 22cos 4242444b a ctga ctga a a ==+=+ ∴x x y sin =的拐点在曲线2 22 44x x y +=上。 29．试证明曲线11 2 +-=x x y 有三个拐点位于同一直线上。 证：() 2 2 21 1 2+++-= 'x x x y ，()( )() 3 2 21 1 41++-+-= ''x x x x y 令0=''y 得：11-=x ，322+=x ，323-=x ∴()11-=-y ，()53332-=+y ，( )53332--=-y 故三个拐点()1,1--A ，( )33 5,32+-+B ，() 335,32--- C 容易验证：A 、B 、C 在同一直线上。 30．试决定() 2 23-=x k y 中的k 的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。 解：()342-='x kx y ，()1122-=''x k y 令0=''y ，得1=x 或-1 则拐点为()k 4,1及()k 4,1- 10．在拐点()k 4,1处切线斜率为()k y 81-=' 从而在拐点()k 4,1处法线斜率为 k 81 ，这样法线方程为()181 4-= -x k k y ，因法线过原点，所以82±=k 20．在拐点()k 4,1-处切线斜率为()k y 81=-'，这样法线方程为 ()181 4+- =-x k k y ，因法线过原点，所以82±=k 。 故8 2 ± =k 时，曲线的拐点处的法线通过原点。 (B) 1．函数()328x x x f -=，则 ( C ) A ．在任意闭区间[]b a ,上罗尔定理一定成立 B ．在[]8,0上罗尔定理不成立 C ．在[]8,0上罗尔定理成立 D ． 在任意闭区间上，罗尔定理都不成立 2．下列函数中在[]e ,1上满足拉格朗日定理条件的是( B ) A ．()x ln ln B ．x ln C ． x ln 1 D ．()x -2ln 3．若()x f 为可导函数，ξ为开区间()b a ,内一定点，而且有()0>ξf ， ()()0≥'-x f x ξ，则在闭区间[]b a ,上必有 ( D ) A ．()0 B ． ()0≤x f C ．()0≥x f D ． ()0>x f 4．若()x f 在开区间()b a ,内可导，且对()b a ,内任意两点1x ，2x 恒有 ()()()2 1212x x x f x f -≤-则必有( D ) A ．()0≠'x f B ．()x x f =' C ．()x x f = D ．()C x f =(常数) 5．设()()x g x f x x 0 lim →为未定型，则()() x g x f x x ''→0lim 存在是()()x g x f x x 0lim →也存在的 ( B ) A ．必要条件 B ．充分条件 C ．充分必要条件 D ． 既非充分也非必要条件 6．已知()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，且当()b a x ,∈时，有()0>'x f ，又已知()0 A ．()x f 在[]b a ,上单调增加，且()0>b f B ．()x f 在[]b a ,上单调减少，且()0 C ．()x f 在[]b a ,上单调增加，且()0 D ．()x f 在[]b a ,上单调增加，但()b f 正负号无法确定 7．函数xarctgx y =的图形，在 ( B ) A ．()+∞∞-,处处是凸的 B ．()+∞∞-,处处是凹的 C ．()0,∞-为凸的，在()+∞,0为凹的 D ．()0,∞-为凹的，在()+∞,0为凸的 8．若在区间()b a ,内，函数()x f 的一阶导数()0>'x f ，二阶导数()0<''x f ，则函数()x f 在此区间内是( D ) A ．单调减少，曲线上凹 B ．单调增加，曲线上凹 C ．单调减少，曲线下凹 D ．单调增加，曲线下凹 9．曲线()253 5+-=x y ( D ) A ．有极值点5=x ，但无拐点 B ．有拐点()2,5，但无极值点 C ．5=x 有极值点且()2,5是拐点 D ． 既无极值点，又无拐点 10．设函数()x f 在a x =的某个邻域内连续，且()a f 为其极大值，则存在 0>δ，当()δδ+-∈a a x ,时，必有( C ) A ．()()()[]0≥--a f x f a x B ．()()()[]0≤--a f x f a x C ．()() () 0lim 2 ≥--→x t x f t f a t ()a x ≠ D ．()() () 0lim 2 ≤--→x t x f t f a t ()a x ≠ 11．抛物线342+-=x x y 在顶点处的曲率及曲率半径为多少？正确的答案是 ( B ) A ．顶点()1,2-处的曲率为 2 1 ，曲率半径为2 B ．顶点()1,2-处的曲率为2，曲率半径为21 C ．顶点()2,1-处的曲率为1，曲率半径为1 D ．顶点()2,1-处的曲率为 2 1 ，曲率半径为2 12．设函数()x f y =在0x x =处有()00='x f ，在1x x =处()1x f '不存在，则 ( C ) A ．0x x =及1x x =一定都是极值点 B ．只有0x x =是极值点 C ．0x x =与1x x =都可能不是极值点 D ．0x x =与1x x =至少有一个点是极值点 13．求极限x x x +→0 lim 。 解：令x x y =，则x x y ln ln = ∵01 1 lim 1ln lim ln lim 2 00 =-=++ +→∞ ∞→→x x x x x x x x x 型 ∴原式10==e 14．求x x e e x x x sin lim sin 0--→ 解：原式 x x e x e e x x e e x x x x x x x sin sin cos lim cos 1cos lim sin 2sin 00 sin 00 0+---→→型型 1cos cos cos sin 3cos lim sin sin 3sin 00 -=---→x x e x x e x e e x x x x x 型 15．求1 1111 1lim +- +-∞ →n n n arctg n arctg n 解：令()arctgx x F =，则()x F 在???? ??+n n 1,11上连续，在?? ? ??+n n 1,11可导，故由拉格朗日定理知，存在一点ξ，使()1 1111 1+- +-= 'n n n arctg n arctg f ξ 当∞→n 时，则0→ξ 故原式()111 lim lim 2 00 =+='=→→ξξξξf 16．试证当01>++b a 时，()1 2-++=x b ax x x f 取得极值。 证：()() () 2 2 211 112-++- =----= 'x b a x b a x x x f 故01>++b a 时，()0='x f 有解11++±=b a x 当11++-'x f ，从而()x f 单增 当1111+++<<++-b a x b a 时，()0<'x f ，则()x f 单减 当11+++>b a x 时，()0>'x f ，则()x f 单增 故()x f 在11++-=b a x 处取得极大值 ()x f 在11+++=b a x 处取得极小值 17．求由y 轴上的一个给定点()b ,0到抛物线y x 42=上的点的最短距离。 解：设?? ? ??241,x x M 是抛物线上任一点，则()b ,0到M 的距离为 2 22241?? ? ??-+=b x x d 从而??? ?? -+? ? ? ??-+= 'x b x x b x x d 281411 3222 令0='d ，得0=x 或842-=b x 10．当2 当0 故0=x 是d 的极小值点，极小值为||b 2．当2≥b 时，有三个驻点0=x ，22--b ，22-b 当22--'d ，从而d 单增 当220-<b x 时，0>'d ，从而d 单增 故22-±=b x 是极小点，极小值为22-b 18．设()x f 在[]1,0上可导，且()10< 证：令()()x x f x F -=，因为()x F 在[]1,0上连续，且()()000>=f F ， ()()0111<-=f F ，则由零点存在定理在()1,0内至少存在一点x ，使()()0=-=x x f x F ，即()x x f =。 下证唯一性。设在()1,0内存在两个点1x 与2x ，且21x x <，使()11x x f =， ()22x x f =，在[]21,x x 上运用拉格朗日中值定理，则有()21,x x ∈ξ，使 得 ()()()11 21 21212=--=--= 'x x x x x x x f x f f ξ 这与题设()1≠'x f 矛盾，故只有一个x 使()x x f =。 19．设()x f 在[]2,1上具有二阶导数()x f ''，且()()012==f f ，如果 ()()()x f x x F 1-=，证明至少存在一点()2,1∈ξ，使()0=''ξF 。 证明：由题设知()x F 在[]2,1上满足洛尔定理条件，则至少存在一点()2,1∈a ，使得()0='a f 。 因为()()()()x f x x f x F '-+='1，则由题设知()x F '在[]a ,1上连续，在()a ,1内可导，且()()011=='f F ，故()x F '在[]a ,1上满足洛尔定理条件，则至少存在一点 ξ，使()0=''ξF ， 20．设()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内二阶可导且()()0==b f a f ，且存在点()b a c ,∈，使得()0>c f ，试证至少存在一点()b a ,∈ξ，使得()0<''ξf 。 证：()x f 在[]c a ,及[]b c ,上都满足拉格朗日定理条件，则存在()c a ,∈α， ()b c ,∈β，使得 ()()()()a c c f a c a f c f f -=--= 'α ()()()()c b c f c b c f b f f --=--='β 因为()0>c f ，则()0>'αf ，()0<'βf 因()x f 在()b a ,内二阶可导，则()x f '在[]βα,上满足拉格朗日定理条件，故 至少存在一点()βαξ,∈，使()()()0<-'-'= ''α βαβξf f f 。 (C) 1．函数()???? ?? ? ≤<+≤≤-=3 11111 ln 2x x x e x x f 当当它在??? ??3,1e 内 ( B ) A ．不满足拉格朗日中值定理的条件 B ．满足拉格朗日中值定理的条件，且e e 53 9-= ξ C ．满足中值定理条件，但无法求出ξ的表达式 D ．不满足中值定理条件，但有e e 53 9-= ξ满足中值定理结论 2．若()x f 在区间[)+∞,a 上二次可微，且()0>=A a f ，()0<'a f ， ()0≤''x f (a x >)，则方程()0=x f 在[)+∞,a 上 ( D ) A ．没有实根 B ．有重实根 C ．有无穷多个实根 D ． 有且仅有一个实根 3．设()x f 有二阶连续导数，且()00='f ，()1lim =''→x x f x 则 ( C ) A ．()0f 是()x f 的极大值 B ．()0f 是()x f 的极小值 C ．()()0,0f 是曲线()x f y =的拐点 D ．()0f 不是()x f 的极值，()()0,0f 也不是曲线()x f y =的拐点 4．求() () () 3 2 31 112sin lim ----→x x x x x x 解：令23-=x x y ，则()x x y ln 23ln -=，从而?? ? ??+-='-x x x y x ln 32323 ??? ???????? ??++??? ??+-=''-x x x x x y x 32ln 32322 2 3 微分中值定理与导数 的应用 第三章微分中值定理与导数的应用 本章内容是上一章的延续，主要是利用导数与微分这一方法来分析和研究函数的性质及其图形和各种形态，这一切的理论基础即为在微分学中占有重要地位的几个微分中值定理。在分析、论证过程中，中值定理有着广泛的应用。 一、教学目标与基本要求 （一）知识 1.记住罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的条件和结论； 2.记住泰勒公式及其拉格朗日余项的表达式； 3.记住e x,sin(x),cos(x),ln(1+x),1/1+x的N阶麦克劳林公式； 4.知道极限的末定式及其常见的几种类型的求法； 5.知道函数的极值点、驻点的定义以及它们之间的关系； 6.知道曲线的凹凸性与拐点的定义； 7.知道弧微分的定义与弧微分公式； 8.知道光滑曲线、曲率和曲率半径的定义； 9.知道求方程的近似解的基本方法。 （二）领会 1.领会罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，领会罗尔定理、拉格朗日中值定理的几何意义； 2.领会罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理之间的联系； 3.领会洛必达法则； 4.领会函数的单调性与一阶导数之间的联系； 5.领会函数的极值与一、二阶导数之间的联系； 6.领会函数的极值和最值的定义以及它们之间的区别和联系； 7.领会曲线的凹凸性与二阶导数之间的联系。 （三）运用 1.会用中值定理证明等式和不等式； 2.会用洛必达法则求末定式的极限； 3.会求一些函数的泰勒公式和利用泰勒公式求函数的极限及一些函数的近似值； 4.会用导数求函数的单调区间和极值； 5.会用函数的单调性证明不等式； 6.会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点； 7.会求曲线的水平渐近线和铅直渐近线，会描绘函数的图形； 8.会求一些最值应用问题； 9.会求曲率和曲率半径； 10.会用二分法和切线法求一些方程实根的近似值。 （四）分析综合 1.综合运用中值定理、介值定理和函数的单调性等证明方程实根的存在性和惟一性； 第三章 微分中值定理与导数的应用 一、判断题 1. 若()f x 定义在[,]a b 上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（ ） 2. 若()f x 在[,]a b 上连续且()()f a f b =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。 （ ） 3. 若函数()f x 在[,]a b 内可导且lim ()lim ()x a x b f x f x →+→- =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（ ） 4. 若()f x 在[,]a b 内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()f b f f b a ξ-=-。（ ） 5. 因为函数()f x x =在[1,1]-上连续，且(1)(1)f f -=，所以至少存在一点()1,1ξ∈-使 '()0f ξ=。 （ ） 6. 若对任意(,)x a b ∈，都有'()0f x =，则在(,)a b 内()f x 恒为常数。 （ ） 7. 若对任意(,)x a b ∈，都有''()()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x =。 （ ） 8. arcsin arccos ,[1,1]2 x x x π +=∈-。 （ ） 9. arctan arctan ,(,)2 x x x π += ∈-∞+∞。 （ ） 10. 若()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则导函数'()f x 有3个不同的实根。 （ ） 11. 若22()(1)(4)f x x x =--，则导函数'()f x 有3个不同的实根。 （ ） 12. ' ' 222(2)lim lim 21(21)x x x x x x →→=-- （ ） 13. 22' 0011lim lim()sin sin x x x x e e x x →→--= （ ） 14. 若'()0f x >则()0f x >。 （ ） 15. 若在(,)a b 内()f x ，()g x 都可导，且''()()f x g x >，则在(,)a b 内必有()()f x g x >。（ ） 16. 函数()arctan f x x x =-在R 上是严格单调递减函数。 （ ） 17. 因为函数()f x x =在0x =处不可导，所以0x =不是()f x 的极值点。 （ ） 18. 函数()f x x =在0x =的领域内有()(0)f x f ≥，所以()f x 在0x =处取得极小值。（ ） 19. 函数sin y x x =-在[0,2]π严格单调增加。 （ ） 20. 函数1x y e x =+-在(,0]-∞严格单调增加。 （ ） 21. 方程32210x x x ++-=在()0,1内只有一个实数根。 （ ） 22. 函数y [0,)+∞严格单调增加。 （ ） 23. 函数y (,0]-∞严格单调减少。 （ ） 24. 若'0()0f x =则0x 必为'0()f x 的极值点。 （ ） 25. 若0x 为()f x 极值点则必有'(0)0f =。 （ ） 1基础知识详解 先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的 关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论： 闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。 第三章 微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。 罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同， 第三章 中值定理与导数的应用 §3. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)), 那么f '(x 0)=0. 罗尔定理 如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点 )(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即0)('=ξf . 例:设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)1(=f ，证明：在(0,1)内存在ξ，使得ξ ξξ) ()(f f - ='． 【分析】本题的难点是构造辅助函数，可如下分析： ()0)(0)()(0)()() ()(=' →='+→='+→- ='x xf x f x x f f f f f ξξξξ ξξ 【证明】令)()(x xf x G =，则)(x G 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且 0)1(1G (1 )0,0)(0)0(====f f G ,)()()(x f x x f x G '+=' 由罗尔中值定理知，存在)1,0(∈ξ，使得)()()(ξξξξf f G '+='．即ξ ξξ) ()(f f - =' 例：设函数f (x ), g (x )在[a , b ]上连续，在(a , b )内具有二阶导数且存在相等的最大值，f (a )=g (a ), f (b )=g (b ), 证明：存在(,)a b ξ∈，使得()().f g ξξ''''= 【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令 ()()()F x f x g x =-，则问题转化为证明()0F ξ''=, 只需对()F x '用罗尔定理，关键是 理工大学 微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理 ()()1.()0,(0)0,f x f f f ?ξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２ １２１２１２１２２１１１２１１１２１ １２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）． 解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ） ＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０） ＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζ?''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。 12n 12n 12n 11221122n 001 1 000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n n n i i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >???∈<<1++?+=++?+≤?=<=>α. '''=+-+ ∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 00 1 1 1 1 0000111() ()()()().x 2! ()()()()()(()()().) n n n i i i i i i i n n i n n i i i i i i i i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======?? ''-'-≥+-<<'≥+-===- ??? ∑∑∑∑∑∑∑注：x ()3.)tan . 2 F ,F 2 (0)0,(0)0,((cos 2 F f x f F F f ππξ ξπξξπππ πππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈Q 设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续， 在（，）内可导， 且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cos sin F cos sin 0222222 cos 0)tan 2 2 x x x f f f πξξξ ξξξξ ξ ξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。 第三章 微分中值定理与导数的应用 一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ） 是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ） 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（ ） ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ） (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ） (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ） (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x )π=+ =（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ） ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ） 的极值 必定不是的极值点为必定为曲线的驻点 ， 必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 二、填空题 1、__________________e y 82 x 的凸区间是曲线-=． 2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 第六节 定积分的近似计算 1. 分别用梯形法和抛物线法近似计算 ?21x dx (将积分区间十等份) 解 (1)梯形法 ?21x dx ≈412.111.1121(1012+??+++-)6938.0≈ (2)抛物线法 ?21x dx =???++-(42 113012])8.116.114.112.11(2)9.117.115.113.111.11++++++++6932.0≈ 2. 用抛物线法近似计算dx x x ?π0sin 解 当n=2时，dx x x ?π 0sin ≈12π?? ?????+++πππ22)32222(41≈1.8524. 当n=4时，dx x x ?π 0sin ≈ 24π ??? ????????? ??+++??? ??++++πππππππππππ322222287sin 7885sin 5883sin 388sin 841 ≈1.8520. 当n=6时，dx x x ?π 0sin ≈ ??? ? ??+++++???? ??+?+++++πππππππππππππππ54332233321211sin 11122234127sin 712125sin 5122212sin 124136≈1.8517. 3..图10-27所示为河道某一截面图。试由测得数据用抛物线法求截面面积。 解 由图可知n=5，b-a=8. ? b a x f )(dx ≈()()[]864297531100245*68y y y y y y y y y y y ++++++++++ =()()[]85.075.165.185.0255.02.10.230.15.0400154++++++++++ =()2.102.2215 4+=8.64（m 2） （1）按积分平均 ?-b a t d t f a b )(求这一天的平均气温，其中定积分值由三种近视法分别计算； 第三章 微分中值定理与导数应用 第一节 微分中值定理 教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒 中值定理。 教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。 教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。 教学内容： 一、罗尔定理 1. 罗尔定理 几何意义：对于在],[b a 上每一点都有不垂直于x 轴的切线，且两端点的连线与x 轴平行的不间断的曲线 )(x f 来说，至少存在一点C ，使得其切线平行于x 轴。 从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat ）引理 费马引理 设函数 )(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义, 并且在0x 处可导, 如果对任 意)(0x U x ∈, 有)()(0x f x f ≤ (或)()(0x f x f ≥), 那么0)(0'=x f . 证明：不妨设)(0x U x ∈时，)()(0x f x f ≤（若)()(0x f x f ≥，可以类似地证明）. 于是对于)(00x U x x ∈?+,有)()(00x f x x f ≤?+, 从而当0>?x 时, 0 ) ()(00≤?-?+x x f x x f ; 而当0 根据函数 )(x f 在0x 处可导及极限的保号性的得 ==+)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≤?-?++ →?x x f x x f x ==-)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≥?-?+- →?x x f x x f x 所以0)(0'=x f , 证毕. 定义 导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点). 罗尔定理 如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点)(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即 0)('=ξf . 证明：由于)(x f 在],[b a 上连续，因此必有最大值M 和最小值m ，于是有两种可能的情形： （1）m M =，此时)(x f 在],[b a 上必然取相同的数值M ，即.)(M x f = 由此得.0)(='x f 因此，任取),(b a ∈ξ，有.0)(='ξf （2）m M >，由于)()(b f a f =，所以M 和m 至少与一个不等于)(x f 在区间],[b a 端点处 的函数值.不妨设)(a f M ≠(若)(a f m ≠,可类似证明),则必定在),(b a 有一点ξ使M f =)(ξ. 因此任取],[b a x ∈有)()(ξf x f ≤, 从而由费马引理有0)(='ξf . 证毕 例1 验证罗尔定理对32)(2--=x x x f 在区间]3,1[-上的正确性 解 显然 32)(2--=x x x f )1)(3(+-=x x 在]3,1[-上连续，在)3,1(-上可导，且 0)3()1(==-f f , 又)1(2)(-='x x f , 取))3,1(1(,1-∈=ξ,有0)(='ξf . 说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立; 2 使得定理成立的ξ可能多于一个，也可能只有一个. 例如 ]2,2[,-∈=x x y 在]2,2[-上除)0(f '不存在外，满足罗尔定理的一切条件， 但在区间]2,2[-内找不到一点能使0)(='x f . 例如 ?? ?=∈-=0 ,0]1,0(,1x x x y 除了0=x 点不连续外，在]1,0[上满足罗尔定理的一切条 微分中值定理的证明题 1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0f f ξλξ'+=。 。 2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。 。 3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。 证 4. 设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)0(=f ，1)1(=f .证明： (1)在(0,1)内存在ξ，使得ξξ-=1)(f ． (2) 在(0,1)内存在两个不同的点ζ，1)()(//=ηζηf f 使得 5. 设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+. 6. 若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0< 9. 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导(0),a b ≤<()(),f a f b ≠ 证明: ,(,)a b ξη?∈使得 ()().2a b f f ξηη +''= (1) 10. 已知函数)(x f 在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，b a <<0，证明存在),(,b a ∈ηξ， 使)()()(3/22/2ηξηf b ab a f ++= 略） 11. 设)(x f 在a x ≥时连续，0)(时，0)(/>>k x f ，则在))(,(k a f a a -内0)(=x f 有唯一的实根 根 12. 试问如下推论过程是否正确。对函数21sin 0()0 0t t f t t t ?≠?=??=?在[0,]x 上应用拉格朗日中值定理得： 21s i n 0()(0)111s i n ()2s i n c o s 00x f x f x x f x x x ξξξξ --'====--- (0)x ξ<< 即：1 1 1cos 2sin sin x x ξξξ=- (0)x ξ<< 因0x ξ<<，故当0x →时，0ξ→，由01l i m 2s i n 0ξξξ+→= 01lim sin 0x x x +→= 得：0lim x +→1cos 0ξ=，即01lim cos 0ξξ+→= 出 13. 证明：02x π?<<成立2cos x x tgx x <<。 习题3 一、填空题 1．设，则有_________个根，它们分别位于_ _______ 区间； 2．函数在上满足拉格朗日定理条件的； ３．函数与在区间上满足柯西定理条件的 ； 4．函数在上满足拉格朗日中值定理条件的； ５．； 6．； 7．; 8．函数的单调减区间是； 9．设在可导，则是在点处取得极值的条件； 10．函数在及取得极值，则； 11. 函数的极小值是; 12．函数的单调增区间为； 13. 函数的极小值点是； 14. 函数在上的最大值为，最小值为； 14. 函数在的最小值为; 15. 设点是曲线的拐点,则; 16. 曲线的下凹区间为,曲线的拐点为; 17. 曲线的上凹区间为; 18. 曲线的拐点为; 19. 若是的四次多项式函数,它有两个拐点,并且在点 处的切线平行于轴,那么函数的表达式是; 20. 曲线的拐点为; 21. 曲线的水平渐近线的方程是,垂直渐近线的方程是; 22. 的垂直渐近线为; 水平渐近线为; 23. 曲线在的曲率; 24. 曲线的曲率计算公式为; 25. 抛物线在顶点处的曲率为; 二. 单项选择题 1. 罗尔定理中的三个条件;在上连续,在可导,且 是在至少存在一点,使得成立的( ). 必要条件充分条件充要条件既非充分也非必要 2. 函数，则（）. 在任意闭区间上罗尔定理一定成立；在上罗尔定理不成立； 在上罗尔定理成立；在任意闭区间上，罗尔定理都不成立； 3. 设函数在区间上连续,在开区间上可导,且, ,则必有( ). ; ; 4. 下列函数在上满足拉格朗日中值定理条件的是( ). ; ; ; 5. 函数,它在( ). 不满足拉格朗日中值定理的条件; 满足拉格朗日中值定理的条件,且; 满足中值定理的条件,但无法求出的表达式; 不满足中值定理条件,但有满足中值定理的结论. 6. 若在开区间可导,且是任意两点,则至少存在一点使得下式成立( ). ; 7. 设是的可导函数,是的任意两点,则( ) . 第三章 中值定理与导数的应用 一、 基本内容 （一） 中值定理 1.罗尔定理 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且)()(b f a f =，那么在),(b a 内存在一点ξ，使得0)(='ξf . For personal use only in study and research; not for commercial use 2.拉格朗日中值定理 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，那么在),(b a 内至少有一点ξ，使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ 其微分形式为 x f x f x x f ??'=-?+)()()(ξ 这里10,< (2)在点a 的某去心邻域内，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3)) () (l i m x g x f a x ''→存在（或为无穷大），那么 ) () (lim )()(lim x g x f x g x f a x a x ''=→→ 2.法则2 如果函数)(x f 及)(x g 满足条件： (1)0)(lim =∞ →x f x , 0)(lim =∞ →x g x ； (2)当N x >时，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3) ) () (lim x g x f x ''∞ →存在（或为无穷大）； 那么 ) ()(lim )()(lim x g x f x g x f x x ''=∞→∞ → 以上两个法则是针对00型未定式. 对∞ ∞ 型未定式，也有相应的两个法则. 对∞?0、∞-∞、00、∞1、0∞型未定式，可以通过变形将其转化成00或∞ ∞ 型来求. （三） 泰勒公式 1.带拉格朗日余项的泰勒公式 设函数)(x f y =在0x 的某邻域),(0δx U 内有1+n 阶导数，那么在此邻域内有 +-''+ -'+=200000)(2) ())(()()(x x x f x x x f x f x f ！ )()(!) (00)(x R x x n x f n n n +-+ 10)1()()! 1() ()(++-+=n n n x x n f x R ξ 其中ξ在0x 和x 之间，)(x R n 是拉格朗日余项. （四） 函数的单调性 函数单调性的判别法 设函数)(x f y =在],[b a 上连续，在),(b a 内可导. (1)如果在),(b a 内0)(>'x f ，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调增加； 第三 微分中值定理习题课 教学目的 通过对所学知识的归纳总结及典型题的分析讲解，使学生对所学的知识有一个更深刻的理解和认识． 教学重点 对知识的归纳总结． 教学难点 典型题的剖析． 教学过程 一、知识要点回顾 1．费马引理． 2．微分中值定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理． 3．微分中值定理的本质是:如果连续曲线弧AB 上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线，则这段弧上至少有一点C ，使曲线在点C 处的切线平行于弦AB ． 4．罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值的条件是充分的，但不是必要的．即当条件满足时，结论一定成立；而当条件不满足时，结论有可能成立，有可能不成立． 如，函数 (){ 2 ,01,0 , 1 x x f x x ≤<== 在[]1,0上不满足罗尔定理的第一个条件，并且定理的结论对其也是不成立的．而函数 (){ 2 1,11,1, 1 x x f x x --≤<= = 在[]1,1-上不满足罗尔定理的第一和第三个条件，但是定理的结论对其却是成立的． 5．泰勒中值定理和麦克劳林公式． 6．常用函数x e 、x sin 、x cos 、)1ln(x +、α )1(x +的麦克劳林公式． 7．罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理间的关系． 8．00、∞∞ 、∞?0、∞-∞、00、∞1、0 ∞型未定式． 9．洛必达法则． 10．∞?0、00、∞1、0 ∞型未定式向00或∞∞ 型未定式的转化． 二、练习 1. 下面的柯西中值定理的证明方法对吗？错在什么地方？ 由于()x f 、()x F 在[]b a ,上都满足拉格朗日中值定理的条件，故存在点()b a ,∈ξ，使得 ()()()()a b f a f b f -=-ξ', ()1 ()()()()a b F a F b F -'=-ξ. ()2 又对任一 (),,()0 x a b F x '∈≠，所以上述两式相除即得 ()()()()()()ξξF f a F b F a f b f ''= --. 答 上述证明方法是错误的．因为对于两个不同的函数()x f 和()x F ，拉格朗日中值定理公式中的ξ未必相同．也就是说在()b a ,内不一定存在同一个ξ，使得()1式和()2式同时成立． 例如，对于()2 x x f =，在[]1,0上使拉格朗日中值定理成立的 21 = ξ；对()3 x x F =， 在[]1,0上使拉格朗日中值定理成立的 33 = ξ，两者不等． 2. 设函数()x f y =在区间[]1,0上存在二阶导数，且 ()()()()x f x x F f f 2 ,010===.试证明在()1,0内至少存在一点ξ，使()0='ξF ．还至少存在一点η,使()0F η''= 分析 单纯从所要证明的结果来看，首先应想到用罗尔定理．由题设知， ()()010==F F ，且()x F 在[]1,0上满足罗尔定理的前两个条件，故在()1,0内至少存在一 点ξ，使()0='ξF ．至于后一问，首先得求出()x F '，然后再考虑问题． ()()()x f x x xf x F '+='22，且()00='F ．这样根据题设，我们只要在[]ξ,0上对函数 ()x F '再应用一次罗尔定理，即可得到所要的结论． 证 由于()y f x =在[]1,0上存在二阶导数，且()()10F F =，()x F 在[]1,0上满足罗尔定理的条件，故在()1,0内至少存在一点ξ，使()0='ξF ． 由于 ()()()x f x x xf x F '+='2 2， 且()00='F ，()x F '在[]ξ,0上满足罗尔定理的条件，故在 ()ξ,0内至少存在一点η，使 第三单元微分中值定理与导数应用 一、填空题 1、 lim xln x x 0 。 2、 函数f x 2x cos x 在区间 单调增 3 、 函数f x 4 8x 3 3x 4的极大值是 。 4 、 曲线y x 4 6x 2 3x 在区间 是凸的。 5 、 函数f x cosx 在x 0处的2m 1阶泰勒多项式是 6 、 曲线y xe 3x 的拐点坐标是 。 7、若fx 在含X 。的a,b (其中a b )内恒有二阶负的导数，且 则f X 。是f x 在a,b 上的最大值。 & y X 3 2x 1 在 内有 个零点。 1 1 9、 lim cot x( ) 。 sin x x 1 i 10、 lim (~2 ------------ ) __________ 。 x 0 x xta n x 11、 曲线y e"的上凸区间是 _____________ 。 12、 函数y e x x 1的单调增区间是 _______________ 。 二、单项选择 1、 函数f(x)有连续二阶导数且f(0) 0, f (0) 1,f (0) 2,则lim x 0 () (A) 不存在；(E) 0 ; (C) -1 ; (D) -2 2、 设 f(x) (x 1)(2x 1),x (,),则在(丄,1)内曲线 f(x)( f(x) x 2 x 2 (A)单调增凹的；(E)单调减凹的； (A)不可导; (B)可导，且f'(0) 0 ； (C)单调增凸的; (D)单调减凸的 3、f(x)在(a,b)内连续，X 。 (a,b), f (X 。) f (x °) 0，则 f (x)在 x x 。处 ( ) (A)取得极大值； (E)取得极小值； (C) 一定有拐点(x o ，f(x 。)); (D)可能取得极值，也可能有 拐点。 4、设f(x)在a,b 上连续，在(a,b)内可导，则I:在(a,b)内f (x) 0与 在(a,b)上f (x) f (a)之间关系是( ) (A)无实根； (B)有唯一实根； (C) 有两个实根； (D)有三个 实根。 7、已知f(x)在x 0的某个邻域内连续，且f(0) 0 , lim f(x) 2 , x 01 cosx 则在点x 0处f(x)( ) (A) I 是H 的充分但非必要条件 分条件； (C) I 是H 的充分必要条件； 也不是必要条件。 5、 设f(x)、g(x)在a,b 连续可导, 则当a x b 时，则有( (A) f(x)g(x) f(a)g(a)； (C)他他； g(x) g(a) 6、 方程x 3 3x 1 0在区间(， (B) I 是H 的必要但非充 (D) I 不是H 的充分条件， f (x)g(x) 0，且 f (x)g(x) f(x)g (x), ) (B) f(x)g(x) f (b)g(b)； (D)喪起。 f(x) f(a) )内( ) 第四章 中值定理与导数的应用 一、填空 1、若()x x x f -=3在[0，3]上满足罗尔定理的ξ值为 。 2、若2 1 cos 1sin lim 20=-→kx x x ，则k = 。 3、=a ，=b 时，点（1，3）为2 3bx ax y +=的拐点。 4、3+=x e x 在),(+∞-∞内的实根的个数为 。 5、函数)1ln(2 x x y +-=的单调递增区间 ，在[-1，1]中最大值为 ，最小值为 。 6、函数23 )5()(-=x x x f 的驻点为 ，其极大值为 ，极小值为 。 7、若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则=a ，=b 。 8、x x x y )1 1(-+=的水平渐近线为 。 二、选择 1、设R x x x x f ∈+-='),12)(1()(，则在)4 1 ,21(- 内)(x f 是（ ） A 、单调增加，图形上凹 B 、单调减少，图形上凹 C 、单调增加，图形下凹 D 、单调减少，图形下凹 2、设函数)(x f 在[0，1]上可导，0)(>'x f 并且0)1(,0)0(> 题型 1.利用极限、函数、导数、积分综合性的使用微分中值定理写出证明题 2.根据极限，利用洛比达法则，进行计算 3.根据函数，计算导数，求函数的单调性以及极值、最值 4.根据函数，进行二阶求导，求函数的凹凸区间以及拐点 5.根据函数，利用极限的性质，求渐近线的方程 内容 一．中值定理 1.罗尔定理 2.拉格朗日中值定理 二．洛比达法则 一些类型（00、∞ ∞、∞?0、∞-∞、0 ∞、0 0、∞ 1等） 三．函数的单调性与极值 1.单调性 2.极值 四．函数的凹凸性与拐点 1.凹凸性 2.拐点 五．函数的渐近线 水平渐近线、垂直渐近线 典型例题 题型I 方程根的证明 题型II 不等式（或等式）的证明 题型III 利用导数确定函数的单调区间与极值 题型IV 求函数的凹凸区间及拐点 自测题三 一．填空题 二．选择题 三．解答题 4月13日微分中值定理与导数应用练习题 基础题： 一．填空题 1．函数12 -=x y 在[]1,1-上满足罗尔定理条件的=ξ 。 3．1)(2 -+=x x x f 在区间[]1,1-上满足拉格朗日中值定理的中值ξ= 。 4．函数()1ln +=x y 在区间[]1,0上满足拉格朗日中值定理的=ξ 。 5.函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是 ． 6.设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 个实根，分别位于区间 中． 7. =→ x x x 3cos 5cos lim 2 π35- 8.=++∞→x x x arctan ) 1 1ln(lim (A) 一选择 1—5 BCBDB 二计算与证明 1 .若 x 0，证明 e x 1 x 。 证明：令 F x =e x _1_x ，则 F x =e x -1 当x 0时，F'x ?0,从而Fx 在0单增 因为F0=0，故Fx ?0,即 e x 1 x 2 2 .设 x 0，证明 x - x In 1 x :: x 。 2 证明： -In 1 X ，贝u f x =1 —X-丄二二 2 因x ? 0，贝U f x ：：： 0，从而f x 在0, ?::单减。 2 x 故 f x :: f 0 =0，即卩 x In 1 x 2 20：令 g x ；=ln 1 x -x ，则 g x 1 ——1 1 + x 当x 0时，g x ：：： 0，从而g x 在0「：：单减 故 g x : g 0 = 0，即 In 1 x < x 2 由 1°、20 知，x —亠：：：l n 1 ? x :: x 2 (B ) 一选择 1— 4 CBDD 习题3.1 1°:令 f x R x - 计算与证明 arcta n arcta n — n n +1 1 1 解：令F x "「如x ，则Fx 在GJ 上连续，在占*可导，故 1 1 arctan arcta n — ，使 f n LJ v f 1 1 当n 时，贝厂＞ 0 1 故原式二 lim f = lim 2 = 1 2.设f x 在0,1 1上可导，且0 ：：： f x ：：： 1，对于任何x ?0,1 ，都有f x - 1， 试证：在0,1内，有且仅有一个数X ，使f x = x 。 证：令Fx 二fx-x ，因为Fx 在0,1上连续，且F0二f0 0， F 1二f 1 -1 ：：：0，则由零点存在定理在 0,1内至少存在一点 x ，使 F x 二 f x = 0，即 f x 二 x 。 下证唯一性。设在0,1内存在两个点X 1与X 2，且X 1 ::： X 2，使f X 1 = x 1， f X 2 1=X 2，在〔X 1,X 2 1上运用拉格朗日中值定理，则有 ：5 1X1, X 2 ，使 得 f = f X 2 - f X 1 二 X 2 -X 1 二 1 x 2 _捲 x 2 _捲 这与题设f X =1矛盾，故只有一个X 使f X 二X 。 3 .设fx 在1,2 1上具有二阶导数f x ，且f2二f1=0，如果 F x -1 f x ，证明至少存在一点 1,2，使F 」=0。 求lim n _L ：i 由拉格朗日定理知，存在一点 第四章微分中值定理与导数得应用习题 §４、1 微分中值定理 1. 填空题 (1）函数在上使拉格朗日中值定理结论成立得ξ就是. （2)设,则有３个实根，分别位于区间中. 2.选择题 (1)罗尔定理中得三个条件:在上连续,在内可导,且,就是在内至少存在一点,使成立得（B ). A．必要条件 B.充分条件 C. 充要条件D．既非充分也非必要条件 （2)下列函数在上满足罗尔定理条件得就是( C ）． A、B、C、Ｄ、 (3)若在内可导，且就是内任意两点,则至少存在一点,使下式成立(Ｂ). A. B. 在之间 C. Ｄ. 3.证明恒等式：. 证明: 令，则,所以为一常数. 设，又因为, 故． ４．若函数在内具有二阶导数，且,其中,证明：在内至少有一点，使得. 证明:由于在上连续,在可导,且,根据罗尔定理知,存在, 使. 同理存在，使. 又在上 符合罗尔定理得条件,故有,使得． 5. 证明方程有且仅有一个实根. 证明:设, 则,根据零点存在定理至少存在一个,使得.另一方面，假设有,且，使,根据罗尔定理,存在使,即,这与矛盾.故方程只有一个实根. 6. 设函数得导函数在上连续,且,其中就是介于之间得一个实数. 证明: 存在,使成立、 证明: 由于在内可导,从而在闭区间内连续,在开区间内可导.又因为,根据零点存在定理,必存在点，使得. 同理,存在点,使得．因此在上满足罗尔定理得条件,故存在，使成立． 7、设函数在上连续，在内可导、试证：至少存在一点, 使 证明：只需令,利用柯西中值定理即可证明、 ８．证明下列不等式 (1)当时，. 证明：设,函数在区间上满足拉格朗日中值定理得条件,且, 故, 即 (） 因此, 当时,. (2)当时,. 证明:设,则函数在区间上满足拉格朗日中值定理得条件,有 因为,所以,又因为，所以，从而 . §4、2 洛毕达法则 １. 填空题 (１) (２)０ （3）= (4)１ 2.选择题最新微分中值定理与导数的应用
高等数学第三章微分中值定理与导数的应用的习题库
微分中值定理与导数的应用总结
中值定理与导数的应用
微分中值定理例题
高等数学第三章微分中值定理与导数的应用题库(附带答案)
微分中值定理及其应用习题解析2
第三章 微分中值定理与导数应用教案教学设计
微分中值定理的证明题(题目)
中值定理与导数习题
中值定理与导数的应用(包括题)
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微分中值定理与导数应用
第四章----中值定理与导数的应用--习题及答案(1)
微分中值定理与导数的应用练习题
第三章中值定理与导数的应用答案
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