中国古代数学名题

數學名題欣賞中国古代数学名题

1、雞兔同籠：

今有雞兔同籠，上有35個頭，下有94只腳。雞兔各幾隻？

想：假設把35只全看作雞，每只雞2只腳，共有70只腳。比已知的總腳數94只少了24只，少的原因是把每只兔的腳少算了2只。看看24只裏面少算了多少個2只，便可求出兔的只數，進而求出雞的只數。

解決這樣的問題，我國古代有人想出更特殊的假設方法。假設一聲令下，籠子裏的雞都表演“金雞獨立”，兔子都表演“雙腿拱月”。那麼雞和兔著地的腳數就是總腳數的一半，而頭數仍是35。這時雞著地的腳數與頭數相等，每只兔著地的腳數比頭數多1，那麼雞兔著地的腳數與總頭數的差等於兔的頭數。我國古代名著《孫子算經》對這種解法就有記載：“上署頭，下置足。半其足，以頭除足，以足除頭，即得。”具體解法：兔的只數是94÷2-35=12（只），雞的只數是35-12= 23（只）。

2.韓信點兵：

今有物，不知其數。三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。問物幾何？這是我國古代名著《孫子算經》中的一道題。意思是：一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2。求適合這些條件的最小自然數。

想：此題可用枚舉法進行推算。先順序排出適合其中兩個條件的數，再在其中選擇適合另一個條件的數。

3.三階幻方：

把1—9這九個自然數填在九空格裏，使橫、豎和對角線上三個數的和都等於15。

想：1+9=10，2+8=10，3+7=10，4+6=10。這每對數的和再加上5都等於15，可確定中心格應填5，這四組數應分別填在橫、豎和對角線的位置上。先填四個角，若填兩對奇數，那麼因三個奇數的和才可能得奇數，四邊上的格裏已不可再填奇數，不行。若四個角分別填一對偶數，一對奇數，也行不通。因此，判定四個角上必須填兩對偶數。對角線上的數填好後，其餘格裏再填奇數就很容易了。

4.兔子問題：

十三世紀，義大利數學家倫納德提出下面一道有趣的問題：如果每對大兔每月生一對小兔，而每對小兔生長一個月就成為大兔，並且所有的兔子全部存活，那麼有人養了初生的一對小兔，一年後共有多少對兔子？

想：第一個月初，有1對兔子；第二個月初，仍有一對兔子；第三個月初，有2對兔子；第四個月初，有3對兔子；第五個月初，有5對兔子；第六個月初，有8對兔子……。把這此對數順序排列起來，可得到下面的數列：

1，1，2，3，5，8，13，……

觀察這一數列，可以看出：從第三個月起，每月兔子的對數都等於前兩個月對數的和。根據這個規律，推算出第十三個月初的兔子對數，也就是一年後養兔人有兔子的總對數。

我國古代《孫子算經》中有一道著名的“河上蕩杯”題（注：蕩杯即洗碗）。題目意思是：一位農婦在河邊洗碗。鄰居問：“你家裏來了多少客人，要用這麼多碗？”她答道：“客人每兩位合用一隻飯碗，每三位合用一隻湯碗，每四位合用一隻菜碗，共用65只碗。”她家裏究竟來了多少位客人？

想：若設客人是x人，可用各種碗的個數合起來等於碗的總數的關系列方程解答。此題《孫子算經》中的解法是這樣記載的：“置六十五隻杯，以一十二乘之，得七百八十，以一十三除之，即得。”可見《孫子算經》的作者就是用求方程解的方法解這道題的。

6.三女歸家：

今有三女，長女五日一歸，中女四日一歸，少女三日一歸。問三女何日相會？這道題也是我國古代名著《孫子算經》中為計算最小公倍數而設計的題目。意思是：一家有三個女兒都已出嫁。大女兒五天回一次娘家，二女兒四天回一次娘家，小女兒三天回一次娘家。三個女兒從娘家同一天走後，至少再隔多少天三人再次相會？

想：從剛相會到最近的再一次相會的天數，是三個女兒間隔回家天數的最小公倍數。

7.有女善織：

有一位善於織布的婦女，每天織的布都比上一天翻一番。五天共織了5丈（50尺）布，她每天各織布多少尺？

想：若把第一天織的布看作1份，可知她第二、三、四、五織的布分別是2、4、8、16份。根據織布的總尺數和總份數，能先求出第一天織的尺數，再求出以後幾天織布的尺數。

8.蝸牛爬井問題：

德國數學家裏斯曾出過這樣一道數學題：井深20尺，蝸牛在井底，白天爬7尺，夜裏降2尺，幾天可以到達井頂？

想：解這道題的關鍵是把最後一天爬行的情況與前面幾天爬行的情況區別考慮。

9.巧分銀子：

10個兄弟分100兩銀子，從小到大，每兩人相差的數量都一樣。又知第八個兄弟分到6兩銀子，每兩個人相差的銀子是多少？

想：因為每兩個人相差的數量相等，第一與第十、第二與第九、第三與第八，……每兩個兄弟分到銀子的數量和都是20兩，這樣可求出第三個兄弟分到銀子的數量。又可推想出，從第三個兄弟到第八個兄弟包含5個兩人的差。由此便可求出兩人相差的銀子是多少。

10.泊松問題：

法國數學家泊松少年時被一道數學題深深地吸引住了，從此便迷上了數學。這道題是：某人有8公升酒，想把一半贈給別人，但沒有4公升的容器，只有一個3公升和一個5公升的容器。利用這兩個容器，怎樣才能用最少的次數把8公升酒分成相等的兩份？

想：利用兩次小容器盛酒比大容器多1公升，和本身盛3公升的關係，可以湊出4公升的酒。

英國大數學家牛頓曾編過這樣一道數學題：牧場上有一片青草，每天都生長得一樣快。這片青草供給10頭牛吃，可以吃22天，或者供給16頭牛吃，可以吃10天，如果供給25頭牛吃，可以吃幾天？

想：這片草地天天以同樣的速度生長是分析問題的難點。把10頭牛22天吃的總量與16頭牛10天吃的總量相比較，得到的10×22-16×10=60，是60頭牛一天吃的草，平均分到（22-10）天裏，便知是5頭牛一天吃的草，也就是每天新長出的草。求出了這個條件，把25頭牛分成兩部分來研究，用5頭吃掉新長出的草，用20頭吃掉原有的草，即可求出25頭牛吃的天數。

12.托爾斯泰問題：

俄國大文學家托爾斯泰對數學很感興趣，曾經編過這樣一道題：一組割草人要把兩塊草地的草割掉，大的一塊草地比小的一塊大一倍。全體組員用半天時間割大的一塊，下午他們便對半分開，一半組員仍留在大塊草地上，到傍晚時把草割完了。另外一半組員到小草地上割草，到傍晚時還剩下一塊，這塊由一個割草人又用了一天時間才割完。假若每人割草的進度都相同，這組割草人共有多少？

13.墓碑上的年齡問題：

丟番圖是古希臘傑出的數學家，在他的墓碑上刻著一首謎語式的短詩，內容是一道有趣的數學問題。

這裏埋葬著丟番圖，他的生命的是歡樂的童年，再度過，他長出了鬍鬚，又度過了，他結了婚，5年之後生子，子先其父4年而死，壽命是他父親的一半，問丟番圖活了多少歲？

14.百雞問題：

古代《張邱建算經》中的“百雞問題”是一道很有名的算題。題目內容是：用100元買100只雞，大公雞5元1只，母雞3元1只，小雞1元3只。問各能買多少只？

想：把三種雞的只數分別設為未知數x、y、z，然後利用總只數、總錢數兩個條件，列出兩個方程，根據雞的只數必須取整數的要求，一步一步推出各種雞的只數。

15.土耳其商人和帽子：

有一個土耳其商人，想找一個助手。有兩個人前來報名，商人想測驗一下這兩人中誰更聰明。他把兩人帶進一間既沒有鏡子，也沒有窗戶，全靠燈來照明的房子裏。然後商人打開一個盒子說：“這裏面有五頂帽子，兩頂紅的，三頂黑的，現在我把燈熄掉，我們三人每人摸一頂戴在自己的頭上，然後我把盒子蓋上，點亮燈後，你們要儘快說出自己頭上戴的什麼顏色的帽子。”說畢，就照著做了。當燈亮之後，兩個人都看見商人戴著一頂紅帽子。過了一瞬間，其中一個人說：“我戴的是黑色的帽子！”這個人猜對了。想一想，他是怎麼猜對的？

想：應首先排除不可能的情況，然後一步步推出必然出現的情況。

16.蘇步青爺爺做過的題目：

甲和乙分別從東西兩地同時出發，相對而行，兩地相距100裏，甲每小時走6裏，乙每小時走4裏。如果甲帶一隻狗，和甲同時出發，狗以每小時10裏的速度向乙奔去，遇到乙後即回頭向甲奔去，遇到甲後又回頭向乙奔去，直到甲乙兩人相遇時狗才停住。這只狗共跑了多少裏路？

想：只從狗本身考慮，光知道速度，無法確定跑的時間。但轉個角度，狗在甲乙之間來回奔跑，狗從開始到停止跑的時間與甲乙二人相遇時間相同。由此便能求出答案。

17.哥德巴赫猜想：

二百多年前，有一位德國數學家名叫哥德巴赫。他發現，每一個不小於6的偶數，都可以寫成兩個素數（也叫質數）的和，簡稱“1+1”。例如：

6=3+3 100=3+97 1000=3+997

8=3+5 102=5+97 1002=5+997……

12=5+7 104=7+97 1004=7+997

哥德巴赫對許多偶數進行了檢驗，都說明這個推斷是正確的。以後有人對偶數進行了大量的驗算，從6開始一個一個地一直驗算到三億三千萬個數，都表明哥德巴赫的發現是正確的。

但是，自然數是無限的，是不是這個論斷對所有的自然數都正確呢？還必須從理論上加以證明，哥德巴赫自己無法證明。1742年，他寫信給當時有名的數學家歐拉，請他幫忙作出證明。後來歐拉回信說：“他認為哥德巴赫提出的問題是對的，不過他沒有辦法證明。因為沒能證明，不能成為一條規律，所以只能說是一個猜想，人們就把哥德巴赫提出的那個問題稱為“哥德巴赫猜想”。

從此，哥德巴赫猜想成了一道世界有名的難題。有人稱它為“皇冠上的明珠”，它好比是數學上的一座高峰。誰能攀登上這座高峰呢？二百多年來，許許多多數學家都企圖給這個猜想作出證明。我國數學家陳景潤在對“哥德巴赫猜想”的研究上取得突破性進展，居於世界領先地位。他的著名論文《大素數表為一個素數及不超過兩個素數乘積之和》中的成果被國際數學界稱為“陳氏定理”。