量子计算及其应用
1 绪 论
1.1 引言
随着时代的推进，量子计算的字眼代替了传统计算，越来越多地出现在我们日常所见的新闻中，报告中，研究中。
2015年7月，阿里云联合中科院成立“中国科学院-阿里巴巴量子计算实验室”，宣布共同开展在量子信息科学领域的前瞻性研究，研制量子计算机。2016年8月，中科大首次研制出非局域量子模拟器。2017年5月，中国科学院-阿里巴巴量子计算实验室等参与研发的中国首个光量子计算机面世。2018年10月12日，华为公布了在量子计算领域的最新进展：量子计算模拟器HiQ云服务平台问世，平台包括HiQ量子计算模拟器与基于模拟器开发的HiQ量子编程框架两个部分，这是这家公司在量子计算基础研究层面迈出的第一步。[1]
在量子计算领域，中国已经行动起来了，研究机构以及站在技术领先地位的企业都已经在奋力在量子计算领域展开研究。为什么在不久的将来量子规律在计算中会变得如此重要？小型化给了我们一个直觉的理解，计算机电子工业随着集成电路尺寸的减小而发展，为了提高这个能力，也就是说，提高计算机每秒所能执行的浮点运算数目，小型化是必须的。经验告诉我们，计算机的小型化发展可以用摩尔定律来定量描述，该定律来自摩尔在1965年的非凡观察：在单个集成电路芯片上所能放置的晶体管数目大约在一年半到两年翻一番。目前，单个集成电路芯片上所能放置的晶体管数目大约是100亿个，电路元件尺寸已经达到了7~10nm。如果将这个定律继续外推，2025年，为储存单个比特的信息，那么硅片上的集成电路最终将会缩小到一点， 那些独立的晶体管不会比几个原子更大，这就导致了新的问题出现．因为在原子级别支配着电路的行为和性质的物理规律是量子力学，而不是经典物理定律，这引起人们思考是否能设计一台新的建立在量子物理规律基础上的计算机。
量子计算代表了与传统计算机根本不同的挑战：其目的是建立一台基于量子逻辑的机器，也就是说，该机器利用量子力学的规律来进行信息处理和逻辑操作。
量子计算机可以在单次运行中处理大量的经典输入，这可能意味着有可能有大量的输出。在1994年，Shor提出了一个量子算法，利用它可以非常有效的解决素数因子分解问题。这是计算科学中的一个重要难题，尽管还没有证明，有人推测，素数因子分解对于经典计算机而言是困难的。所以量子计算机可能存在许多优于传统计算机的地方。学习，了解量子计算，并提出自己的观点是我论文的目的。[2]
1.2 量子计算
1.2.1 量子计算的起源与背景
量子计算起源于上世纪80年代，是由一位著名物理学家费恩曼提
出了量子计算的概念，而到上世纪90年代美国科学家Shor提出了Shor算法，该算法解决了整数分解问题，是至今为止量子计算领域最重要，最有名的算法。
量子计算是使用量子计算机代替经典计算机来实现图灵机的功能，而量子计算机在构造与原理上与经典计算机有许多的不同，这也就导致了量子计算要使用量子计算机特有的特性与功能来设计算法并且使这个算法发挥量子计算机的长处，从而提高解决问题的效率。[3]
经典计算机可以描述为一个物理的信号序列变换控制机器，该机器通过算法与计算机的内部逻辑电路控制系统来实现解决问题的功能。
量子计算是新型的满足量子力学数学原理来控制量子比特进行计算的模式。量子计算机与经典计算机相比较，后者是以传统的图灵机模型为基础的；而通用量子计算机，它通过使用量子力学的新的理论模型，重新构造了新的量子计算机。尽管量子计算机只可以解决传统计算机已经能够解决的任务，但是量子计算机由于叠加态的存在而使得并行计算的可能，所以计算效率是能够远超传统计算机的，这也是我将在下文着重说明的部分。
目前，许多量子算法已经被证明效率远远高于传统的经典计算机算法，如Deutsch算法，Shor算法等。这些量子计算算法可以大大减少解决问题所需的步数，Deustch算法很具有代表性的使用了量子的叠加态原理，从而进行了并行计算，并且使用量子相干性的有效地提取出了量子叠加态中的信息。Shor算法是量子计算中最重要的算法，就是因为这个算法对传统难题：整数的素因数分解是非常高效的，从而引起了学术界对量子计算的极大关注。这个算法可以将整数分解素因数问题的计算复杂度由超多项式性的降为多项式性的，把整数分解问题有传统计算机上困难的，转变为量子计算上可行的，容易的。这个结果是令人震惊的，如果量子计算得以发展，那么分解素因数问题的解决将对现有的主流密码学体系产生巨大的冲击。
由此可见，量子计算对于未来发展的的意义是非凡的，是巨大的。本文就量子计算的知识作梳理综述，从介绍量子计算的基本概念入手，从而阐述量子叠加态与量子并行计算的原理，并且介绍主流的量子Deutsch算法与Shor算法进行介绍，研究评论目前的一些研究成果，最后介绍量子计算的应用且对量子计算的发展提出自己的观点。[4]
1.3 量子计算的发展现状与未来
量子计算与量子计算机的研究现如今还是面对重重困难的，无论是在物理工程学方面还是算法方面，人们还是在一片漆黑中向前摸索。
相较于量子计算与算法理论的相对成熟，量子计算机的工程实现还是
非常落后的。最前端的研究也只能对个位数的量子比特进行有效的控制。而学术界对于量子的有效控制与对于量子计算机的扩展研究都还在缓慢前行。
在实现通用量子计算机的制造上，实现方法主要有五个流派：加拿大的DW公司使用“量子退火”的技术，使每个量子比特只与相邻的量子比特发生纠缠，并不能建立起所有量子比特一组的并行计算。但是对于一些计算如最优计算，这项技术非常有价值与潜力。英特尔使用的是“硅量子点”技术，该技术使用硅代替原子与离子实现量子比特的功能。微软则开发拓扑量子系统，该系统已经不再是物体，而是概念性的存在。谷歌则是使用超导的物理态来实现量子计算机。而ionQ则是使用囚禁离子技术。 我们未来可能见到的量子计算机更可能是各种想法与技术的结合体。
2017年11月3日，中国科学技术大学潘建伟、朱晓波团队，已经利用超导技术实现了10个量子比特的量子纠缠。这个成果突破了之前9个量子比特的记录。并且计划于年底完成对20个量子比特的操纵。2017年11月11日美国IBM公司宣布20个量子比特的计算机问世。[5]
量子计算机的实现中还要克服一些相当大的困难，例如量子的退相干问题。在工程实验中是很难做到一个理想的状态的，那么在一个系统的运行过程中一定会受到来自外界的干扰，这种干扰这边考虑为外界的一种噪音。而量子的状态量子态是一种非常复杂的状态，量子态在一次观测之后所有的量子纠缠态就会发生坍缩，而外界的扰动对于量子系统的运行是会产生巨大影响的。外界的扰动被量子系统视为一次观测后，量子系统的叠加性就被破坏了，从而使量子并行计算退化为传统的经典概率计算。这个退化对于量子计算来说是毁灭性的。这使得量子计算的优势不复存在。对于量子退相干过程，除去在物理上尽量想办法减少干扰的发生，现在最有可能实现的就是通过纠错算法，对退化的量子比特进行筛选，从而提高算法的准确度。但是光靠纠错算法可能会大大的降低量子算法的计算效率，提高失败计算的出现次数。而这些矛盾，仍是现在量子计算所面的重要问题。
量子计算机仍存在着相当多的问题。尽管现在已经能做到每个量子门的准确率都在９０％以上，而当综合使计算机用时，计算机的整体准确率却会下降。只有提高芯片的运行准确率与稳定性，只有准确率提升到９９.９９％时，该芯片才能作为量子计算芯片的主要部件，最终实现通用编程量子计算机的实际应用。
量子计算机中的实验还很初步。现在的实验只制备出单个的量子逻辑门，远未达到实现计算所需要的逻辑门网络。
实验物理学家正在寻找更有效的制备途径，以克服退相干并实现逻辑门的级联。
1.4 量子计算的应用前景
量子计算机在理论上可以模拟任意图灵机可以解决的系统，量子计算的强大计算能力和模拟能力在处理大数据方面有着巨大的应用潜力。
现如今很多拥有大数据但是处理困难的课题在量子计算的帮助下可以更加快速的发展：
1，比如对于自然变化的预测，例如天气预报，更加准确的天气预报有助于提高人们工作效率，提高生活质量。而对于泥石流，地震等自然灾害的预测，可以有效减少人们在自然灾难终遇难，同时也可以避免大量经济损失。
2，生命科学领域，量子计算的极大计算力可以在药物研制，人类基因组计划破解基因密码中有巨大作用。
3，保密通信，量子的纠缠于相干性，在理论上可以提供具有远远超越现有加密方式安全性的加密方法，从而极大程度上改善网络安全，保护隐私。
4，交通调度，使用量子计算机的极强计算能力，可以真正意义上完成自动驾驶的交通调度，保证交通的安全。[6]-[9]
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2 量子计算[2]
2.1 量子计算的基本概念
2.1.1 量子比特
不同于传统计算机，这种计算机并不是二进制位，而是按照性质４个一组组成 的单元．量子计算机是以量子态作为信息的载体，运算对象是昆比特序列。量子比特是两个正交量子态的 任意叠加态，从而实现了信息的量子化。
一个量子比特是一个可以在二维西伯尔特空间中描述的两能级量子体系，在其中我们可以选择一对正交的量子态：
e ?_0≡[■(1@0)] (2.1)
e ?_1≡[■(0@1)] (2.2)
来代表经典比特0与1，这两个态构成了正交基，根据正交基的性质，量子比特的任何态都能表示成：
ψ ?=αe ?_0+βe ?_1 (2.3)
其中α与β是复数且满足单位圆条件：
〖|α|〗^2+〖|β|〗^2=1 (2.4)
如此一般的量子比特可写成：
ψ ?=cos θ/2 e ?_0+e^iφ sin θ/2 e ?_1
=[■(cos θ/2@e^i sin θ/2)]
所以与经典比特不同，量子比特属于由连续变量α与β所构成的矢量空间。
为了方便研究量子比特，我们引入Bloch球，该球为量子比特以及量子比特的状态变化提供了几何图像。将这个球放入3维笛卡尔坐标中（x=cosφsinθ,y=sinφsinθ,z=cosθ）这样量子位可表示成：
ψ ?=[■(√(1+z)/2@(x+iy)/(√2(1+z)))]
2.1.2 量子计算的叠加态
量子计算的叠加原理基于量子力学理论，在量子计算中是最重要的一个原理，该原理使量子计算的能力远超于经典计算机。一个系统的运动方式与状况被称为态，而在宏观物理学中，物体运动的方式是确定的，给定初始状态和运动描述，宏观物体的运动方式是唯一的。而在微观世界，经典物理学被颠覆了，微观系统的运动
是统计性的，量子态被用来描述微观系统的状态。举一个通俗易懂的例子，一个人在行走时要绕开正前方的一棵树，在宏观系统中，人只能从一边绕开这棵树，或左或右。要是用多台摄像机对准人，所有的摄像机都会记录到人是从树的某一边过去的。而如果把人放到微观世界中，同时用很多摄像机记录人的运动，则会有一半摄像机记录人是从左边绕过大树的，而另一半则记录人是从右边绕过去的，人绕过树的方式变成统计性的了。这就是微观世界的叠加原理．态叠加原说明了：一个量子系统的量子态是几种可能的量子态中的任意一种， 它们的线性组合仍是这个系统的量子态，而这个量子态我们称其为“叠加态”。
与现有计算机类似，量子计算机同样主要由存储元件和逻辑门构成，但是它们又同现在计算机上使用的这两类元件大不一样．现有计算机上，数据用二进制位存储，每位只能存储一个数据，非０即１．而在量子计算机中采用量子位存储，由于量子叠加效应，一个量子位可以是０或１，也可以既存储０又存储１．这就是说量子位存储的内容可以是０和１的叠加．由于一个二进制位只能存储一个数据，所以几个二进制位就只能存储几个数据．而一个量子位可以 存储２个数据，所以ｎ个量子位就可以存储２ｎ个数据。这样，便大大提高了存储能力。
量子计算及可以看成一个由n个量子比特所组成的有限集合，即尺寸为n的量子寄存器。一个n比特的经典计算机的状态可由一个二进制整数表示：
i=i_(n-1) 2^(n-1)+?+i_1 2+i_0
其中，ii_0,i_1,……，i_(n-1)是二进制数，一个n量子比特的量子计算机的状态是：
ψ ?=∑_(i=0)^(2^n-1)?〖c_i i ? 〗
由上式可以显而易见地看出量子比特具有叠加原理。
量子计算的叠加态基于张量积的概念：一个量子比特与另一个量子比特的叠加态满足张量积原理，也就是说两个二维量子系统的叠加态是一个四维的量子系统，且其基向量即为单个量子系统基向量的张量积。
假设两个量子系统的基向量为e ?_0与e ?_1，则两个量子系统叠加态的基向量为e ?_0?e ?_0,e ?_0?e ?_1,e ?_1?e ?_0,e ?_1?e ?_1,下文中简单记为(00) ?,(01) ?,(10) ?,(11) ?，并且省略张量积符号记张量积为：ψ ?=α ?β ?。
2.1.3 单量子比特门
传统计算机中基本的逻辑门是“与”门和“非”门，对量子计算机来说，所有操作必须是可逆的，就是说由输出可以反推出输入。因此现有的逻辑门多不能用，而需要使用能实现可逆操作的逻辑门，这是 “控制非”门，又叫“量子异或”门．有了存储信息的量子位，又有了用以进行运算的量子逻辑门，便可以
建造量子计算机了。再介绍最重要的控制非门之前，我们先来介绍量子比特中两个最重要的单量子比特门。
我们定义Hadamard门为：
H=1/√2 [■(1&1@1&-1)]
该门把e0，e1转换成新的基e+，e-，后者是先前基的叠加态。
我们定义相移门为：
R_z (δ)=[■(1&0@0&e^iδ )]
量子相移门的作用就是使一个量子比特在单位复坐标球上进行变换。
2.1.4量子纠缠
量子纠缠是量子计算用到的另一个至关重要的量子力学原理，有两个或多个量子互相影响形成纠缠态时，是无法独立描述其中任何一个量子的状态的。这一点后面会在数学上进行表示。即使两个量子相距很远，它们仍然是纠缠的，仍然是互相影响的。
纠缠量子的状态依赖于对其中一个量子进行的观测，举个通俗的例子，微观系统中灯A与灯B的关系是A亮B不亮，或者A不亮B亮，这个状态是纠缠的。虽然A与B灯亮的状态是概率的，但是一旦对其中的一个灯进行观测，假设观察了A灯是亮的，B灯的状态就会坍缩，B灯一定处于不亮的状态。
量子计算学最重要也是最复杂的特性就是量子纠缠特性，量子纠缠的发生是由于微观界中不同于宏观经典物理规律的量子力学规律。两个量子比特之间可以产生互相作用，出现量子纠缠。两个量子比特的一般态在基向量上可以写成如下形式：
ψ ?=α(00) ?+β(01) ?+γ(10) ?+δ(11) ?
基于双量子系统态的分离条件ψ ?=(ψ_1 ) ??(ψ_2 ) ?，显然上式在一般情况下是不可分离的，不可分离就导致了量子纠缠的产生。
显然，一个量子比特在量子比特系统中不会发生纠缠。而两个可分离的量子比特，通过单量子比特门的作用而形成的新量子系统依然是可分离的。也就是通过单量子比特门是无法制造量子纠缠的。
下面我们来介绍一个最典型也是最重要的双量子比特门，被称作是量子“受控非”门或者是量子“异或”门，记为NOT。通过受控非门作用的第一个量子比特为控制量子比特，第二个为目标量子比特。当第一个量子比特（控制量子比特）处于状态e1，则受控非门将第二个量子比特（目标量子比特）翻转，如果第一个量子比特（控制量子比特）处于状态e0，受控非门则不进行任何操作。
量子系统叠加态的基向量可以这样表示：
(00) ?=[■(■(1@0)@■(0@0))],(01) ?=[■(■(0@1)@■(0@0))],(10) ?=[■(■(0@0)@■(1@0))],(11) ?=[■(■(0@0)@■(0@1))]
那么量子“异或”门则可以表示为：
CNOT=[■(1&0&■(0&0)@0&1&■(0&0)@■(0@0)&■(0@0)&■(■(0@1)&■(1@0)))]
显然NOT矩阵对于基向量的变换符合上述描述。同时，我们引入量子逻辑门的线路图示。
上图中有四个受控非门，其中除了第一个都称之为广义受控非门。广义受控非