一元二次方程教材分析

一.本章主要内容分析

本章的主要内容包括：一元二次方程及其有关概念,一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法）,运用一元二次方程分析和解决实际问题。其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容。

方程是科学研究中重要的数学思想方法,也是后续内容学习的基础和工具,本章是对一元一次方程知识的延续和深化,同时为二次函数的学习作好准备.

数学建模思想的教学在本章得到进一步渗透和巩固.

二.课时安排： 22.1 一元二次方程 2课时

22.2 降次——解一元二次方程 7课时

*22.2.4 一元二次方程根与系数的关系 1课时

22.3 实际问题与一元二次方程 3课时

小结 2课时

三、本章知识结构图

四、教学重难点

22.1 教学重点:一元二次方程及有关概念的理解.

教学难点:准确的化为一元二次方程的一般式.

学法点拨：

◆ 理解一元二次方程的定义关键注意三点：整式、一个未知数、最高次

数为2。

◆ 对一元二次方程理解时，一定注意“a ≠0”这一条件。

◆ 把一个方程化为一般形式时应用了解一元一次方程的变形方法：去分

母---去括号---移项---合并同类项。 ◆ 注意:①当a 是负值时，一般转化为正数；

②多给出b=0或c=0或b 、c 同时为0的例子。如：

03,01,0222=+=-=x x x x 。

◆ 会用“代入检验”的方法判断简单的一元二次方程得根。易错点：

1) 判断方程是否为一元二次方程时，忽略二次项系数不为“0”. 如：下列关于x 的方程中，是一元二次方程的有。 ① 02=++c bx ax ② 053

2=-+

x ③ 0322=--x x ④ 0232=+-x x

2) 注意本单元在学习概念时，注意联系实际，加深对概念的理解与应用，避免就概念理解概念。

如：已知关于x 的方程（m-n ）x 2 + mx+n=0,你认为：

①当m 和n 满足什么关系时，该方程为一元二次方程？

②当m 和n 满足什么关系时，该方程为一元一次方程？

3) 没有化成一般形式，混淆a 、b 、c.

22.2 降次——— 解一元二次方程

直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法是一元二次方的基本解法，解二次方程的基本策略是将其转化为一元一次方程——降次。本单元首先通过简单的一元二次方程，引导学生认识直接开平方法解方程；然后讨论比较复杂的一元二次方程，通过对比已变为完全平方式的方程，使学生认识配方法的基本原理并掌握其具体方法；以配方法为基础推导一元二次方程的求根公式，于是得到公式法。最后讨论因式分解法。本节知识学习时，注意对相关知识的复习、联系，多鼓励学生应用不同的解法发表自己的意见，体会数学思想方法的作用，逐步养

成主动探究和应用的习惯。

教学重点：一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。

教学难点：选择合适的解法。

课时安排：本单元是本章的重点，书中安排是5课时，可以适当的增加课时或利用加课时间，我在本次分析时按8课时分析的。

（1）直接开平方法（1课时）：初一已学过平方根和算术平方根，学生见过此类型，当时只是求值，没有提到过一元二次方程，现在变成正规解法。教学时，计划由浅入深的安排一下类型题：

① x2=a (a＞0)

②bx2=a (a、b同号，b≠0)

③（x-b）2=a (a＞0)

④ m(x-b)2=a (a、m同号,m≠0)

⑤ m(nx-b)2=a (a、m同号,m、n≠0)

（2）配方法（2课时）：配方法不仅是解一元二次方程的一种基本方法，而且在以后讨论二次函数等其他数学概念时也离不开配方法。因此，配方法在数学中成为一种很重要的式子变形。它的背后隐含了创造条件实现化归的思想，这种思想对培养学生的数学能力影响很大。教学中对配方法及化归思想应充分重视。引导学生理解这种方法的道理，结合道理去记忆配方的具体步骤。

第一课时：安排a=1的情况,主要掌握配方的方法：方程两边加一次项系数一半的平方。

注意：如x2-4x-1=0中，一次项系数为负数时易出错。

第二课时：安排a≠1的情况，总结出配方法的步骤：

①方程两边除以二次项系数，把方程化为二次项系数为1的类型；

②方程两边加一次项系数一半的平方，配成完全平方式；③直接开

平方；

④写出结果。

（3）公式法（2课时）

由配方法引出求根公式。推导求根公式时，特别给出条件“当b 2-4ac ≥0时”。教学中应当使学生认识到这一条件是根据2)2(a

b x +非负而产生的，如果b 2

-4ac ＜0,就有2

)2(a

b x +

＜0.这在实数范围是不可能的。

因此，这里要约定b 2-4ac ≥0.得出求根公式后，可知方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)根是由系数a 、b 、c 所确定的。教科书中没有提出判别式的名称，但在公式法之后进行了归纳，总结了b 2-4ac 值的三种情况和他们对应的一元二次方程根的三种情况：①有两个不等的实数根；②有两个相等的实数根；①②合称为有实数根，③没有实数根，但不能说没有根，这时方程的根是虚根。

教学时总结出公式法解题的一般步骤： ① 化为一般式；

② 指出a 、b 、c ，带符号； ③ 写出求根公式； ④ 代入求解。

（4）因式分解法（1课时）：教科书中所用的因式分解法包括提公因式和公式法，这与以前学过的因式分解方法是一致的。对于某些一元二次方程，虽然用配方法和公式法可以解，但是用因式分解的方法解起来更简便。（5）习题课（1课时）

选择适当的方法解一元二次方程。

22.2.4一元二次方程根与系数的关系（1课时）：本节内容为选学内容，进一步加深对一元二次方程及其根的认识。利用一元二次方程根与系数的关系，可以灵活地解决许多问题，建议讲授本节内容为以后的学习做准备。但是在难度上要有所控制。

学法点拨：

● 公式法、配方法是对于任何一元二次方程都适用的方法，每个学生必须

掌握，但解题时应先考虑因式分解法，当方程符合ax 2=c(a 、c 同号，a ≠0)时，可用直接开平方法解方程。

● 解一元二次方程时，要根据方程实际，灵活选择适当的方法。

●对于一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时，可用

公式法，一定要注意b2-4ac的取值问题。

●配方法要先配方再降次；“配方法”不仅应用在一元二次方程中，注意配

方在其他方面的应用。

●因式分解法要先使方程的一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式为0。配方法和公式法适用于所有的一元二次方程，因式分解法应用时要观察方程的特点，灵活选择方法。

易错点

（1）用因式分解法没有注意方程是否写成A*B=0形式。

如，解方程（x-1）(x-3)=8, 误解为 x

1=1, x

=3.

(2) 用公式法解方程时，没有化为一般式，造成符号错误或混淆a、b、c。

如，解方程x2-4x=2，误认为a=1,b=—4,c=2.

(3)丢根。如，解方程3(x+2)=x2+2x,两边同时除以(x+2),只解得x=3.

22.3 实际问题与一元二次方程

结合实际问题，分别讨论传播问题、增长率问题、几何图形面积问题。本节的重点是分析实际问题中的数量关系并以方程的形式进行表示。体现了数学建模思想的“螺旋式上升，不断深化”的理念。

教学重点：进一步反映一元二次方程与实际问题的密切联系，再次体现数学建模思想，加强培养运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力。

教学难点：在探究过程中正确地建立一元二次方程。

突破难点的关键：弄清问题背景，把有关数量关系分析透彻，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系。

学法点拨：

●列一元二次方程解应用题的一般步骤为：审、设、列、解、验、答。

具体过程：（1）审题，找等量关系； ------- 关键

（2）设未知数； ------- 注意单位

（3）列方程；

（4）解方程；

（5）检验； -------注意是否符合实际意义

（6）写出答案；

（7）答话。

增长率问题常用公式 a(1±x)2=b ，a为原数，b为增长或降低后的数（即现在的数），x为增长率或降低率，2表示两次增长或降低。

易错点

①审题不清，误解题意，不能正确地找出等量关系；

②解方程后未经检验就盲目作答。

③检查方程两根是否符合实际意义，尤其当两根都是正数的情况。如教材P46：探究2问题中，方程两根都是正数，但他们并不都适合问题的解。必须根据它们的值的大小来确定哪个合乎实际。这种取舍更多的要考虑问题的实际意义，教学中应注意培养学生将数学知识与实际问题相结合的能力。

五．本章在中考中的权重分析、考点要求

从教材结构看，在六册初中教材29章当中，《一元二次方程》大约占总课时的3%，也就意味着在满分150分的中考试卷中，《一元二次方程》的权重只能在4分左右。但是一元二次方程在初中数学中仍占有重要的地位，因为它和二次函数的联系非常密切.这部分内容是各地考试热点和同学们容易出错的地方，是历年各地中考的必考内容之一，在试卷中占有较大的分值比例.考试中不仅基础题会考查，更重要的是后面的综合题也会重点考查，一般以函数等知识为背景进行综合考查，因此教师、同学们应对这部分内容予以高度重视.

中考中对于一元二次方程的要求主要包括一元二次方程的概念，会用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，以及用一元二次方程的知识解决实际问题。中考中对于这部分的考查形式多样，注重学生对于方程思想、转化思想等思想方法的考查，对于学生分析问题和解决问题的能力要求也比较高。

附1：

近三年广州市中考题

x x+=的根是（）

1.(2008广州、第5题、3分)、方程(2)0

A 2x =

B 0x =

C 120,2x x ==-

D 120,2x x ==

【答案】：C

2．（2010广东广州，第19题，10分）已知关于x 的一元二次方程)0(012

≠=++a bx ax 有

两个相等的实数根，求4

)2(222-+-b a ab 的值。

【分析】本题需要综合运用分式和一元二次方程根的判别式来解决问题，考查学生综合运用多个知识点解决问题的能力，属于中等难度的试题，具有一定的区分度．

由于这个方程有两个相等的实数根，因此⊿＝240b a -=，可得出a 、b 之间的关系，

然后将4

)2(2

-+-b a ab 化简后，用含b 的代数式表示a ，即可求出这个分式的值．【答案】解：∵)0(012

≠=++a bx ax 有两个相等的实数根， ∴⊿＝240b ac -=，即240b a -=．

∵22

2222222244444)2(a

ab b a a ab b a a ab b a ab =+-=-++-=-+- ∵0a ≠，∴42

22==

a b a ab

3.（2009年第25题，14分）

如图13，二次函数2

y x px q =++（0p <）的图象与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于点(01)C -，，ABC △的面积为54

．（1）求该二次函数的关系式；

（2）过y 轴上的一点(0)M m ，作y 轴的垂线，若该垂线与ABC △的外接圆有公共点，求m 的取值范围；

（3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形ACBD 为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】

25. 本小题主要考查二次函数、解直角三角形、一元二次方程（韦达定理或求根公式）等基础知识，考查运算能力、推理能力和空间观念．满分14分．

解：（1）设点1(0)A x ，

，2(0)B x ，，其中12x x <． ∵抛物线2

y x px q =++过点(01)C -，， ∴2

100P q -=+?+． ∴1q =-． ∴21y x px =+-．

∵抛物线2

y x px q =++与x 轴交于A B 、两点， ∴12x x ，是方程210x px +-=的两个实根．求p 的值给出以下两种方法：

方法1：由韦达定理得：12121x x p x x +=-=-，．

∵ABC △的面积为

， ∴1524OC AB =·，即21151()24

x x ??-=． ∴215

2x x -=．

∴2

2125()4

x x -=．

∵22

212112()()4x x x x x x -=+-，

∴2

211225()44

x x x x +-=． ∴2

25()44

p -+=．解得32

p =±

． ∵0p <，

∴32

p =-

． ∴所求二次函数的关系式为2

y x x =-

-．方法2：

由求根公式得1x =

，2x =

21AB x x =-==

∵ABC △的面积为54

， ∴1524OC AB =·，即21151()24x x ??-=．

∴15124

?=． ∴2

2544p +=．

解得3

p =±．

∵0p <， ∴32

p =-

． ∴所求二次函数的关系式为2

y x x =-

-．（2）令2

3102x x --=，解得12122

x x =-=，．

∴1

02A ??- ???

，，(20)B ，．

在Rt AOC △中，2

215124AC AO OC ??

=+=+= ???

，

在Rt BOC △中，22222

215BC BO OC =+=+=，

∵15

222

AB ??=--= ???，

∴2

2525544

AC BC AB +=

+==． ∴90ACB ∠=°．

∴ABC △是直角三角形．

∴Rt ABC △的外接圆的圆心是斜边AB 的中点．

∴Rt ABC △的外接圆的半径5

AB r =

=． ∵垂线与ABC △的外接圆有公共点， ∴55

m -

≤≤．（3）假设在二次函数2

y x x =-

-的图象上存在点D ，使得四边形ACBD 是直角梯形．

①若AD BC ∥，设点D 的坐标为2

000312x x x ??

- ??

，，00x >，过D 作DE x ⊥轴，垂足为E ，如图1所示．

求点D 的坐标给出以下两种方法：方法1：在Rt AED △中，

20003

2tan 12x x DE DAE AE x -

-∠==??

-- ?

，在Rt BOC △中，1

tan 2

OC CBO OB ∠==，

∵DAE CBO ∠=∠，

∴tan tan DAE CBO ∠=∠．

∴

00031

12122x x x --=??-- ?

． 2004850x x --=．

解得052x =

或01

x =-． ∵00x >， ∴052x =

，此时点D 的坐标为5322?? ???

，．而2

2454AD AE ED BC =+=

≠，因此当AD BC ∥时在抛物线23

y x x =--上存在点5322D ?? ???

，，使得四边形DACB 是直角梯形．

方法2：在Rt AED △与Rt BOC △中，DAE CBO ∠=∠

∴Rt Rt AED BOC △∽△．

∴

DE OC

AE OB

． ∴

00031

12122x x x --=??-- ?

．以下同方法1．

②若AC BD ∥，设点D 的坐标为2

000312x x x ??

- ??

，，00x <，过D 作DF x ⊥轴，垂足为F ，如图2所示．

在Rt DFB △中，2000

12tan 2x x DE

DBF FB

x -

-∠=

=-，在Rt COA △中，1

tan 21

OC CAO OA ∠===， ∵DBF CAO ∠=∠，

∴tan tan DBF CAO ∠=∠．

∴

000

222x x x --=-． 2002100x x +-=．

解得05

x =-

或02x =． ∵00x <， ∴052x =-

，此时D 点的坐标为592??

- ???

，．此时BD AC ≠，因此当AC BD ∥时，在抛物线2

312y x x =--上存在点592D ??

- ???

，

，使得四边形DACB 是直角梯形．综上所述，在抛物线2

y x x =-

-上存在点D ，使得四边形DACB 是直角梯形，并且点D 的坐标为5322?? ???，或592??

- ???

，

．

附2：

部分地区近年中考题选

知识点1、一元二次方程的概念例1：（2009山西）请你写出一个有一根为1的一元二次方程：．答案：答案不唯一，如2

1x =

例2：（2009威海）若关于x 的一元二次方程2

(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______．答案：1

知识点2、解一元二次方程

例3：（2009武汉）解方程：2

310x x --=．答案：解：

131a b c ==-=-，，，

224(3)41(1)13b ac ∴-=--??-=，

123322

x x -∴=

=．例4：（2009山西）解方程：2

230x x --=

答案：解：移项，得2

23x x -=，配方，得()2

14x -=，

∴12x -=±，∴1213x x =-=，．

（注：此题还可用公式法，分解因式法求解）

知识点3、根的判别式

例5：（2007芜湖）已知关于x 的一元二次方程2

2x m x -= 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( )

A ． m ＞－1

B ． m ＜－2

C ．m ≥0

D ．m ＜0 答案：A

知识点4、一元二次方程与二次函数

例6：（2007南昌）已知二次函数2

2y x x m =-++关于x 的一元二次方程2

20x x m -++=的解为．

答案：11x =-，23x =；

知识点5、一元二次方程的应用例7：（2008河北）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，预计2009年投入5 000万元．设教育经费的年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（） A ．2

3000(1)5000x +=

B ．2

30005000x =

C ．23000(1)5000x +=％

D ．2

3000(1)3000(1)5000x x +++= 答案：A 例8：（2008南京）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2:1．在温室内，沿前侧内墙保留3m 宽的空地，其它三侧内墙各保留1m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是2

288m ？答案：解法一：设矩形温室的宽为m x ，则长为2m x ．根据题意，得

(2)(24)288x x --=．

解这个方程，得

110x =-（不合题意，舍去），214x =．

所以14x =，221428x =?=．

答：当矩形温室的长为28m ，宽为14m 时，蔬菜种植区域的面积是2

288m ．解法二：设矩形温室的长为m x ，则宽为

m 2

x ．根据题意，得 12(4)2882x x ??--= ???

．解这个方程，得

120x =-（不合题意，舍去），228x =．

所以28x =，

281422

x =?=．答：当矩形温室的长为28m ，宽为14m 时，蔬菜种植区域的面积是2

288m ．