点线面关系测习题(有答案)

//a α

//a b

点线面位置关系

总复习 知识梳理

一、直线与平面平行

1.判定方法

（1）定义法：直线与平面无公共点。

（2）判定定理： （3）其他方法：//a αβ

β? 2.性质定理：//a a b

α

βαβ??= 二、平面与平面平行

1.判定方法

（1）定义法：两平面无公共点。

（2）判定定理：////a b a b a b P

β

β

αα

???=//αβ

（3）其他方法：a a αβ⊥⊥//αβ;////a

γ

βγ//αβ

2.性质定理：//a b

αβ

γαγβ?=?= 三、直线与平面垂直

（1）定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。

（2）判定方法 //a α

//a b

//a b

① 用定义.

② 判定定理:a b a

c b c A b c αα⊥⊥?=??a α⊥

③ 推论://a a b α

⊥b α⊥

（3）性质

①a b α

α⊥?a b ⊥②a b α

α⊥⊥ 四、平面与平面垂直

（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。

（2）判定定理a a α

β?⊥αβ⊥

（3）性质

①性质定理l

a a l

αβ

αβα⊥?=?⊥αβ⊥

②l

P PA A

αβ

αβαβ⊥?=∈⊥垂足为A l ∈

3l

P PA αβ

αβαβ

⊥?=∈⊥PA α?

“转化思想”

面面平行线面平行线线平行

面面垂直线面垂直线线垂直

●求二面角

1.找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面

角的平面角.

2.在二面角的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角的平面角

例1．如图，在三棱锥S-ABC中，SA?底面ABC，AB?BC，DE垂直平分SC，且分别交AC于D，交SC于E，又SA=AB，SB=BC，求以BD为棱，以BDE和BDC为面的二面角的度数。

●求线面夹角

定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）

方法：作直线上任意一点到面的垂线，与交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。

例1：在棱长都为1的正三棱锥S－ABC中，侧棱SA与底面ABC所成的角是________．例2：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

①BC1与平面AB1所成的角的大小是___________；

②BD1与平面AB1所成的角的大小是___________；

③CC1与平面BC1D所成的角的大小是___________；

④BC1与平面A1BCD1所成的角的大小是___________；

⑤ BD1与平面BC1D所成的角的大小是___________；

例3：已知空间内一点O出发的三条射线OA、OB、OC两两夹角为60°，试求OA与平面BOC所成的角的大小．

●求线线距离

说明：求异面直线距离的方法有：

1111ABCD A B C D -111//B AD BC D

平面平面(1)（直接法）当公垂线段能直接作出时，直接求．此时，作出并证明异面直线的公垂线段，是求异面直线距离的关键．

(2)（转化法）把线线距离转化为线面距离，如求异面直线a 、b 距离，先作出过a 且平行于b 的平面α，则b 与α距离就是a 、b 距离．（线面转化法）．

也可以转化为过a 平行b 的平面和过b 平行于a 的平面，两平行平面的距离就是两条异面直线距离．（面面转化法）．

(3)（体积桥法）利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求．

(4)（构造函数法）常常利用距离最短原理构造二次函数，利用求二次函数最值来解．

两条异面直线间距离问题，教科书要求不高（要求会计算已给出公垂线时的距离），这方面的问题的其他解法，要适度接触，以开阔思路，供学有余力的同学探求．

例：在棱长为a 的正方体中，求异面直线BD 和C B 1之间的距离。

● 线面平行（包括线面距离）

例：已知点S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SC SB SA ==，SG 为SAB ?上的高，D 、E 、F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断SG 与平面DEF 内的位置关系，并给予证明

● 面面平行（包括面面距离）

例1：已知正方体，求证 间的例2：在棱长为a 的正方体中，求异面直线BD 和C B 1之

距离．

● 面面垂直

例1：已知直线PA 垂直正方形ABCD 所在的平面，A 为

垂

足。求证：平面PAC ?平面PBD 。

例2：已知直线PA垂直于?O所在的平面，A为垂足，AB为?O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。求证：平面PAC 平面PBC。

课后作业：

一、选择题

1.教室内任意放一支笔直的铅笔，则在教室的地面上必存在直线与铅笔所在的直线()

A.平行

B.相交

C.异面

D.垂直

2.若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是()

A.若m?β，α⊥β，则m⊥α

B.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β

C.若m⊥β，m∥α，则α⊥β

D.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ

3.(改编题)设P是△ABC所在平面外一点，P到△ABC各顶点的距离相等，而且P到△ABC各边的距离也相等，那么△ABC()

A.是非等腰的直角三角形

B.是等腰直角三角形

C.是等边三角形

D.不是A、B、C所述的三角形

4.把等腰直角△ABC沿斜边上的高AD折成直二面角B—AD—C，则BD与平面ABC所成角的正切值为()

A. B.C.1 D.

5.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ACB所在平面，那么()

A.P A＝PB>PC

B.P A＝PB

C.P A＝PB＝PC

D.P A≠PB≠PC

二、填空题：

6.正四棱锥S—ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，

则动点P的轨迹的周长为.

7.α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；

④m⊥α.

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：.

三、解答题

11.如图(1)，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，如图(2)，将△ABE沿AE 折起，使二面角B—AE—C成直二面角，连接BC，BD，F是CD的中点，P是棱BC的中点.

,,12345,O PA ABCD M N AB PC MN PAD MN CD PDA MN PCD ⊥⊥⊥∠=⊥如图，已知矩形所在平面。分别是的中点。

（）求证：面（）求证：（）若求证：面(1)求证：AE ⊥BD ；

(2)求证：平面PEF ⊥平面AECD ；

(3)判断DE 能否垂直于平面ABC ？并说明理由.

12. 12.如图所示，已知△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E 、F 分别是AC 、AD

上的动点，且＝＝λ(0<λ<1).

(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；

(2)当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？

13.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2BC ，P 、Q 分别为线段AB 、CD 的中点，

EP ⊥平面ABCD .

(1)求证：DP ⊥平面EPC ；

(2)问在EP 上是否存在点F 使平面AFD ⊥平面BFC ？若存在，求出的值.

参考答案

● 求二面角

分析:找二面角的平面角,有一种方法是找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角.

解：

在RtΔSAC 中，SA=1，SC=2，

∴∠ECA=30?，

在RtΔDEC 中，∠DEC=90?，

∴∠EDC=60?，

∴所求的二面角为60?。

● 求线线距离

解法1：（直接法）如图：

取BC 的中点P ，连结PD 、1PB 分别交AC 、1BC 于M 、N 两点，

易证：MN DB //1，AC DB ⊥1，11BC DB ⊥．

∴MN 为异面直线AC 与1BC 的公垂线段，易证：a DB MN 33311==．

小结：此法也称定义法，这种解法是作出异面直线的公垂线段来解．但通常寻找公垂线段时，难度较大．

解法2：（转化法）如图：

∵//AC 平面B C A 11，

∴AC 与1BC 的距离等于AC 与平面B C A 11的距离，

在1OBO Rt ?中，作斜边上的高OE ，则OE 长为所求距离， ∵

a OB 22=，a OO =1， ∴a B O 231=，∴a B O OB OO OE 3311=?=．

小结：这种解法是将线线距离转化为线面距离．

解法3：（转化法）如图：

∵平面1ACD //平面B C A 11，

∴AC 与1BC 的距离等于平面1ACD 与平面B C A 11的距离．

∵⊥1DB 平面1ACD ，且被平面1ACD 和平面B C A 11三等分； ∴所求距离为a D B 33311=．

小结：这种解法是线线距离转化为面面距离．

解法4：（构造函数法）如图：

任取点1BC Q ∈，作BC QR ⊥于R 点，作AC PK ⊥于K 点，设x RC =，

则x a QR BR -==，KR CK =，且222CR CK KR =+ ∴

2

222121x CR KR ==． 则

2

22)(21x a x QK -+= 2

223131)32(23a a a x ≥+-=，

故QK 的最小值，即AC 与1BC 的距离等于a 33．

小结：这种解法是恰当的选择未知量，构造一个目标函数，通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距离．

解法5：（体积桥法）如图：

当求AC 与1BC 的距离转化为求AC 与平面B C A 11的距离后，设C 点到平面B C A 11的距离为h ，

则1111BCC A B C A C V V --=． ∵2

22131)2(4

331a a a h ??=?， ∴

a h 33．即AC 与1BC 的距离等于a 33． 小结：本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体化为锥体的高，然后用体积公式求之．这种方法在后面将要学到．

线面平行

例：

分析1：如图，观察图形，即可判定//SG 平面DEF ，要证明结论成立，只需证明SG 与平面DEF 内的一条直线平行．

观察图形可以看出：连结CG 与DE 相交于H ，连结FH ，FH 就是适合题意的直线． 怎样证明FH SG //？只需证明H 是CG 的中点．

证法1：连结CG 交DE 于点H ，

∵DE 是ABC ?的中位线，

∴AB DE //．

在ACG ?中，D 是AC 的中点，且AG DH //，

∴H 为CG 的中点．

∵FH 是SCG ?的中位线，∴SG FH //．

又SG ?平面DEF ，FH ?平面DEF ，

∴//SG 平面DEF ．

分析2：要证明//SG 平面DEF ，只需证明平面SAB //平面DEF ，要证明平面DEF //平面SAB ，只需证明DF SA //，EF SB //而DF SA //，EF SB //可由题设直接推出． 证法2：∵EF 为SBC ?的中位线，

∴SB EF //．

∵?EF 平面SAB ，?SB 平面SAB ，

∴//EF 平面SAB ．

同理：//DF 平面SAB ，F DF EF =I ，

∴平面SAB //平面DEF ，又∵?SG 平面SAB ，

∴//SG 平面DEF ．

面面平行

例一：

证明：∵1111-D C B A ABCD 为正方体，

∴B C A D 11//，?

又?B C 1平面BD C 1，

故?//1A D 平面BD C 1．

同理?//11B D 平面BD C 1．

又?1111D B D A D =I ，

∴平面//11D AB 平面BD C 1．

例二：

根据正方体的性质，易证：

连结1AC ，分别交平面BD A 1和平面11D CB 于M 和N

因为1CC 和1AC 分别是平面ABCD 的垂线和斜线，AC 在平面ABCD 内，BD AC ⊥ 由三垂线定理：BD AC ⊥1，同理：D A AC 11⊥

∴⊥1AC 平面BD A 1，同理可证：⊥1AC 平面11D CB

∴平面BD A 1和平面11D CB 间的距离为线段MN 长度．

如图所示：

在对角面1AC 中，1O 为11C A 的中点，O 为AC 的中点 ∴a AC NC MN AM 333111====．

∴BD 和C B 1的距离等于两平行平面BD A 1和11D CB 的距离为a 33．

面

面垂直 例1：

例2：

作业：

一、选

择题：

1.D

2.C

3.C

4.B

5.C

6.解析：如图，取CD 的中点F 、SC 的中点G ，连接EF ，EG ，FG ，EF 交AC 于点H ，易知AC ⊥EF ，又GH ∥SO ，

∴GH ⊥平面ABCD ，

∴AC ⊥GH ，∴AC ⊥平面EFG ，

故点P 的轨迹是△EFG ，

其周长为＋.

答案：＋

7.①③④?②；②③④?① C 是圆周上异于A 、B 的一点