含绝对值不等式的解法(含答案)
含绝对值的不等式的解法
一、 基本解法与思想
解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化,即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解,常用的方法有公式法、定义法、平方法。
(一)、公式法:即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识:
1、绝对值的几何意义:x 是指数轴上点x 到原点的距离;21x x -是指数轴上1x ,2x 两点间的距离.。
2、a x >与a x <型的不等式的解法。
当0>a 时,不等式>x 的解集是{}
a x a x x -<>或,
不等式a x <的解集是}
a x a x <<-;
不等式a x <的解集是?;
3.c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。
把 b ax + 看作一个整体时,可化为a x <与a x >型的不等式来求解。
当0>c 时,不等式c b ax >+的解集是{
}
c b ax c b ax x -<+>+或,
不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-;
当0
不等式c bx a <+的解集是?;
例1 解不等式32<-x
分析:这类题可直接利用上面的公式求解,这种解法还运用了整体思想,如把“2-x ” 看着一个整体。答案为{}
51<<-x x 。(解略)
(二)、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >??
==??-
去掉绝对值再解。
例2。解不等式
22
x x
x x >
++。 分析:由绝对值的意义知,a a =?a ≥0,a a =-?a ≤0。 解:原不等式等价于2
x
x +<0?x(x+2)<0?-2<x <0。
(三)、平方法:解()()f x g x >型不等式。 例3、解不等式123x x ->-。
解:原不等式?22(1)(23)x x ->-?22(23)(1)0x x ---<
?(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0?(3x-4)(x-2)<0 ?
4
23
x <<。 说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。 二、分类讨论法:即通过合理分类去绝对值后再求解。 例4 解不等式125x x -++<。
分析:由01=-x ,02=+x ,得1=x 和2=x 。2-和1把实数集合分成三个区间,即2-
解:当x <-2时,得2
(1)(2)5x x x <-??---+,
解得:23-<<-x 当-2≤x ≤1时,得21,
(1)(2)5x x x -≤≤??--++
,
解得:12≤≤-x
当1>x 时,得1,
(1)(2) 5.x x x >??-++ 解得:21< 综上,原不等式的解集为{} 23<<-x x 。 说明:(1)原不等式的解集应为各种情况的并集; (2)这种解法又叫“零点分区间法”,即通过令每一个绝对值为零求得零点,求解应注意边界值。 三、几何法:即转化为几何知识求解。 例5 对任何实数x ,若不等式12x x k +-->恒成立,则实数k 的取值范围为 ( ) (A)k<3 (B)k<-3 (C)k ≤3 (D) k ≤-3 分析:设12y x x =+--,则原式对任意实数x 恒成立的充要条件是min k y <,于是题转化为求y 的最小值。 解:1x +、2x -的几何意义分别为数轴上点x 到-1和2的距离1x +-2x -的几何意义为数轴上点x 到-1与2的距离之差,如图可得其最小值为-3,故选(B )。 四、典型题型 1、解关于x 的不等式10832 <-+x x 解:原不等式等价于1083102<-+<-x x , 即???<-+->-+10 8310 832 2x x x x ?? ??<<--<->3 62 1x x x 或 ∴ 原不等式的解集为)3,1()2,6(--- 2、解关于x 的不等式 23 21 >-x 解:原不等式等价于??? ??<-≠-2 132032x x ? ????? <<≠4 7 452 3x x 3、解关于x 的不等式212+<-x x 解:原不等式可化为22)2()12(+<-x x ∴ 0)2()12(22<+--x x 即 0)13)(3(<+-x x 解得:331 <<-x ∴ 原不等式的解集为)3,3 1 (- 4、解关于x 的不等式1212-<-m x )(R m ∈ 解:⑴ 当012≤-m 时,即2 1 ≤ m ,因012≥-x ,故原不等式的解集是空集。 ⑵ 当012>-m 时,即2 1 > m ,原不等式等价于1212)12(-<-<--m x m 解得:m x m <<-1 综上,当21≤m 时,原不等式解集为空集;当2 1 >m 时,不等式解集为 {}m x m x <<-1 5、解关于x 的不等式1312++<--x x x 解:当3- ??++-<----<1)3()12(3 x x x x ,无解 当213≤≤-x ,得?? ???++<---≤ ≤-13)12(2 13x x x x ,解得:2143≤<-x 当21>x 时,得?????++<--> 1 3122 1x x x x ,解得:21>x 综上所述,原不等式的解集为43(-,)2 1 6、解关于x 的不等式521≥++-x x (答案:),2[]3,(+∞--∞ ) 解: 五、巩固练习 1、设函数)2(,312)(-++-=f x x x f 则= ;若2)(≤x f ,则x 的取值范围 是 . 2、已知a ∈R ,若关于x 的方程21 04 x x a a ++- +=有实根,则a 的取值范围 是 . 3、不等式 12 1 ≥++x x 的实数解为 . 4、解下列不等式 ⑴ 4321x x ->+; ⑵ |2||1|x x -<+; ⑶ |21||2|4x x ++->; ⑷ 4|23|7x <-≤ ; ⑸ 241<--x ; ⑹ a a x <-2 (a R ∈) 5、若不等式62<+ax 的解集为()1,2-,则实数a 等于 ( ) .A 8 .B 2 .C 4- .D 8- 6、若x R ∈,则()()110x x -+>的解集是( ) .A {}01x x ≤<.B {0x x <且1}x ≠-.C {}11x x -<< .D {1x x <且1}x ≠- 7、()1对任意实数x ,|1||2|x x a ++->恒成立,则a 的取值范围是 ; ()2对任意实数x ,|1||3|x x a --+<恒成立,则a 的取值范围是 ; ()3若关于x 的不等式|4||3|x x a -++<的解集不是空集,则a 的取值范围是 ; 8、不等式x x 3102 ≤-的解集为( ) .A {|2x x ≤≤ .B {}|25x x -≤≤ .C {}|25x x ≤≤ .D {} | 5x x ≤≤ 9、解不等式:221>-+-x x 10、方程 x x x x x x 32322 2++=++的解集为 ,不等式x x x x ->-22的解集是 ; 12、不等式x 0)21(>-x 的解集是( ) .A )21,(-∞ .B )21,0()0,( -∞ .C ),21(+∞ .D )2 1,0( 11、不等式3529x ≤-<的解集是 .A ()(),27,-∞-+∞ .B []1,4 .C [][]2,14,7- .D (][)2,14,7- 12、 已知不等式a x ≤-2)0(>a 的解集为{}c x R x <<-∈1|,求c a 2+的值 13、解关于x 的不等式:①解关于x 的不等式31<-mx ;②a x <-+132)(R a ∈ 14、不等式1|1|3x <+<的解集为( ). .A (0,2) .B (2,0) (- .C (4,0)- .D (4,2)(0,2)-- 15、 设集合{} 22,A x x x R =-≤∈,{ } 21,2 ≤≤--==x x y y B ,则()R C A B 等于 ( ) .A R .B {},0x x R x ∈≠ .C {}0 .D ? 16、不等式211x x --<的解集是 . 17、设全集U R =,解关于x 的不等式: 110x a -+->()x R ∈ (参考答案) 1、 6 ; ? ; 2、 ]4,0[ 3、)2 3,2()2,(----∞ 4、⑴ ???? ??><23 1x x x 或 ⑵ ???? ??> 21x x ⑶ ? ?? ???>-<121x x x 或 ⑷ ? ?? ? ?? ≤<-<≤-5272 12x x x 或 ⑸ {}7315<<-<<-x x x 或 ⑹ 当0>a 时,{ } a x a x 22<<- ;当0≤a 时,不等式的解集为? 5、C 6、D 7、⑴ 3a ; ⑶ 7>a ; 8、C 9、? ?? ? ?? >< 2521x a x x 或 10、{}023>≤<-x x x 或;{}02<>x x x 或 11、D 12、 15 13、① 当0=m 时,R x ∈;当0>m 时,m x m 42<<-;当0 x m 2 4-<< ② 当01>+a ,即1->a 时,不等式的解集为???? ?? -<<-122a x a x ; 当01≤+a ,即1-≤a 时,不等式的解集为?; 14、D 15、B 16、0(,)2 17、当01>-a ,即1<2或; 当01=-a ,即1=a 时,不等式的解集为{}1≠x x ; 当01<-a ,即1>a 时,不等式的解集为R ;