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第六章 管系静应力分析

管道力学是压力管道技术的又一重要分支，它是研究管道系统元件在受力情况下强度可靠性的一门技术。工程上在研究管道强度可靠性的同时，尚应符合工程特点，并应做到经济合理。根据管道所受的外力是否随时间变化可将管道力学研究分为管道系统静应力分析和管道系统动应力分析两大类。根据工程上实用的内容和专业上的分工，又常将管道力学研究的内容分为管道及其元件强度计算、管道系统应力分析（包括静应力分析和动应力分析）和管道支撑三部分。管道及其元件的强度计算按惯例归属管道材料专业，并已在第四章中进行了介绍。管道的支撑设计一般由管道设计专业完成（个别大型管道支撑除外），并将在第八章中介绍。管道系统应力分析一般由管道机械专业来完成，并将在本章和第七章中介绍。本章介绍管道系统的静应力分析，并着重从有关的基础知识、计算方法以及设计方法等方面进行介绍。

其实，有关管道力学方面的知识在一些手册和专著中都有不失为详细的介绍。但对于目前众多的压力管道设计人员来说，这些手册和专著对管道力学基础知识方面的介绍显得不够，而工程应用方面又介绍的较为琐碎，既不便于他们对有关知识的掌握，又不便于对有关的工程规定进行更深的理解。本书则试图在克服上述两个不足方面做些工作，力求给读者一个简单明了又便于理解的介绍。对于不太常用的内容或在常用手册和专著中已经有详细介绍的内容，本书则进行了简略，有兴趣深入研究的读者可参阅有关专著和手册。

第一节 静力分析的基础知识

静力是指不随时间而变化的力。在压力管道所承受的众多载荷中，大多数都属于静载荷（即静力）。工程上实际应用的压力管道所承受的静载荷种类是比较多的，常见的有介质的内压、管道元件的自重、管道内的介质重量、管道外的隔热材料重量、管道的热胀和位移载荷等。这些载荷作用于管道上的特点和方式是不同的，因此它们对管道强度的影响特点也不同，由此也导致了管道力学研究的复杂性。为了便于理解，本节中在介绍几个力学基本概念之后，先从简单情况下的受力变形及强度计算开始介绍，然后再切入复杂应力状况下的受力变形及强度计算的介绍。

一、基本概念

管子及其元件若受到外部载荷的作用，当外部载荷较小时，它能够正常工作，但若受到的外部载荷较大且超出某一极限值时，管子及其元件可能发生断裂、爆破或较大的变形而不能正常工作。管子及其元件因受载荷过大而导致的断裂、爆破等损坏称之为强度破坏。换句话说管子及其元件的强度是指它在载荷的作用下抵抗断裂、爆破的能力。同理，管子及其元件因受载荷过大而导致的过度变形使其不能正常工作，通常称之为刚度破坏。换句话说，管子及其元件的刚度是指它在载荷的作用下抵抗变形的能力。管道力学研究的任务就是寻找使管子及其元件不发生强度破坏或刚度破坏时能承受的最大载荷，并在保证满足强度和刚度要求的前提下，以最经济为原则来选择合适的管子元件材料、壁厚、空间结构等。在实际的工程设计中，管子及其元件因刚度不够而破坏（失效）的情况较少，故这里不作重点介绍。

众所周知，管道及其元件能够承受的最大载荷除与材料本身的物理性能（如材料的强度和刚度）有关外，还与其规格尺寸、壁厚、结构形状、空间布置等有关。而管道及其元件的破坏实质上是反映了材料物理性能的破坏，即受力超出了材料的强度或刚度指标。那么如何将管道元件的受力与材料的物理性能指标挂上钩呢？即如何来消除管道元件的规格尺寸、壁厚、结构形状等因素的影响而直接以材料的性能指标（σb 、σs 、Φ、δ、A k 等）作为设计判据呢？为此我们引入应力的概念。应力是指材料单位面积上的力。它避开了管子及其元件规格尺寸、壁厚等因素的影响，只要外部载荷使材料产生的应力超出材料本身的强度指标，即认为管子及其元件将发生强度破坏。

对于一个平面或空间管道来说，在载荷的作用下，其各点的应力是不相同的，即使在管道的同一个截面上，不同的点其应力值也有差别。这些概念在下面的介绍中将会看到。为了求解出各点的应力，不妨假想用一个截面将管子及其元件剖开，那么剖切截面上所受的力称之为内力。内力是反映材料内部各部分因相对位置改变而引起的相互作用力。根据力学的基本原理，对于理想弹性体，其内力与外力是平衡的。根据这个平衡关系，可以求解管子及其元件（以下为了简化叙述，仅以管子为例）各截面上的内力。求解出这个内力后，应力则随之可以求出，即：

σ平= F/A

式中：σ平----管子中某截面上的平均应力，MPa ；

F ----管子某截面上所承受的内力，N ；

A ----管子某截面的受力面积，mm 2。

为了进一步消除面积的影响，将所取面积无限缩小，当面积A 趋于零时，即可得到某点的应力σ： dA

dF A F A =??=→?0lim σ

通常所说的应力一般是指某点的应力。

因为力F 是一个矢量，故应力σ也是一个矢量。常将垂直于截面的应力叫做正应力，用σ表示。平行于截面的应力叫剪应力，用τ表示。正应力和剪应力引起材料破坏的形式是不相同的。

为了便于研究，假想从管子上的任一部分取出一个边长为△X 的正方体，当△X 趋于零时，可认为在单元体上各点的力和应力是均匀分布的，通常将这样的几何体叫做微型单元体（简称微元）。微元在应力的作用下，会发生变形。通常将微元各边的单位变形量叫做线应变（简称应变），即有：

dx

du X U o X =??=→?lim ε

式中：ε----管子中某微元上在某一方向上的线应变；

ΔU----管子中某微元上在某一方向上的总变形量，mm ；

ΔX----管子中某微元的边长，mm ；

同理，通常将微元某角度的改变量γ

叫做剪应变或角应变。一般情况下，正应力引起微元的线应变，剪应力引起微元的角

应变。

如果微元仅发生弹性变形，即将微元上的应力控制在材料的比例极限内，那么根据虎克定律可以得到应力与应变的关系为：

σ=E .ε， τ=G .r

式中：σ和τ分别表示微元的正应力和剪应力，MPa ；

ε和r 分别表示微元的线应变和角应变；

E 和G 分别表示材料的拉伸弹性模量（简称弹性模量）和剪切弹性模量，MPa ；。

对一般的弹性材料来说，在它受拉伸变形的同时，往往会伴随着横向收缩变形。以一根园棒为例，当它受拉伸长时，模截面会缩小。试验证明，园棒的拉伸伸长量和横向收缩量在材料的比例极限内成正比，而且二者的比值是一常数，通常称这个常数为材料的泊松比。即：

ε

εμ'

=

式中：μ----材料的泊松比。对于工程上常用的材料，其μ≈0.33；

ε’----微元的横向应变；

ε----微元的轴向应变；

对于各向同性材料来说，可以证明（证明略）E 、G 、μ三个弹性常数之间存在如下关系：

)

1(2μ+=E

G 在建立了内力、应力、应变的概念之后，可以这样设想：如果能找到管子中哪一点的应力或应变值最大，并能够求出这个最大值的话，就可以拿它与材料的相应物理指标作比较，并由此来判断材料的强度是不是足够的，或者说管子是不是安全的。

多年的实践经验告诉我们，管道力学的一般求解步骤如下：

a 、在管子上选择几个有代表性的截面（一般为受力较苛刻的截面）；

b 、剖开所选截面，标识其内力、应力、应变，并描述其横截面几何形状；

c 、根据截面形状尺寸和应变的定义建立几何方程；

du=ε.dx ， du=r.dx

d 、根据虎克定律建立物理方程；

σ=E.ε, τ=G.r

e 、根据力的平衡关系建立静力平衡方程；

dA X M dA X M dA F dA F A

O A o A o A

O ..,..,.,.τστσ????='=='=

式中X 为微面积dA 上所受内力引起弯矩的力臂；

f 、联合上述方程并解方程可求得截面上的最大应力（σmax 和τmax ）、内力和位移；

g 、如果σmax 和τmax 小于管道材料的强度极限或屈服极限，即管子是安全的。

一般情况下，工程上并不是直接拿管道材料的强度极限或屈服极限作为强度判据，而是常常给出一定的强度裕量，即将材料的强度极限或屈服极限除以一个大于等于1的数（常称之为安全系数）作为强度判据。通常将这样的强度判据称作许用应力。关于材料许用应力的选取方法见第四章第二节所述。根据这样的原则，管子中的最大正应力σmax 和最大剪应力τmax 就应分别不大于材料的许用正应力[σ]和许用剪应力[τ]。

二、管道元件变形的几种基本形式

管道元件变形的基本形式有拉伸（压缩）、剪切、扭转和弯曲共四种，受多种载荷作用的管子变形都可视为这四种基本变形形式的组合。因此可以说，管道元件的基本变形形式是解决复杂应力状态问题的基础。在了解复杂应力状态下的管道应力分析之前，有必要先了解一下四种基本变形形式。

（一）拉伸和压缩

管子的拉伸和压缩是由大小相等、方向相反、作用线与管道中心轴线重合的一对外力引起的管子变形形式。其变形特点是管子沿中心轴线方向被拉伸或被压缩，如图6-1所示：

图6-1 管子的拉伸与压缩变形

根据圣维南原理可知，管子的两端部沿截面上的力不一定均匀分布，但远离端部的任一横截面上的内力是均匀分布的。假想将管道元件在m-m 处切开，那么m-m 截面上的内力是均匀的。根据力的平衡法则可知此时N =F 。根据应力的定义可以得到m-m 截面上内力N 与应力的关系为：

dA N A

O ?=.σ平面假设认为，对于各向同性材料，此时截面上的应力是均匀分布的，实验证明也如此。故有：

N=σ.A

由于此时N=F ，故有：

F=σ.A ， 或者 ][σσ≤=A

F ……………………………………………（a ）

一般情况下，管道元件受拉时，其外力F 和应力σ为正，受压时，F 和σ为负。

对管子来说，设管子外径为D ，内径为d ，故其横截面积为：

)(4

)44(2222d D d D -=-=A ππ…………………………………………（b ）

将式（b ）代入式（a ）可得：

[]σπσ≤-=)

(422d D F ……………………………………………………（6－1）

式6-1即为管道元件受拉压时的强度校核公式。求解该式的过程称做管道元件的强度校核过程。

在已知力F 和材料许用应力的情况下，可以通过式6-1变换求解管道元件需要的截面积大小，即

]

[σF

A =。

这一过程称为管子的设计过程。

同理，在已知管道元件尺寸和材料许用应力的情况下，也可以通过式6-1变换求解最大允许载荷，即F=[σ].A 。这一过程称为管道元件的载荷条件限制过程。

值得一提的是，管道元件受压缩时，在不考虑失稳的情况下，其弹性模量E 和屈服极限σs 与拉伸时相同，但材料屈服后，管子横截面积会不断增加，其抗压能力也将不断提高。因此，研究弹性材料的压缩强度破坏无太大工程意义，而此时较多研究的是其刚度破坏。

对于单纯拉压变形，无须用物理方程和几何方程即可求解，故它是比较简单的变形形式。

（二）剪切

管子的剪切变形是由大小相等、方向相反、作用线垂直于管轴且距离很近的一对力引起的管子变形形式。其变形特点表现为受剪管子的两部分沿力的作用方向发生相对错动，见图6-2所示。

图6-2 管子的剪切变形

与管道的拉伸和压缩相似，可以近似地认为在管子远离端部的任一截面上的剪力（内力）是沿截面均匀分布的，且其内（剪）力与外力大小相等、方向相反，即F=N 。同理，可认为其剪应力沿截面也均匀分布，且有：

A dA N A

O ..ττ==?

或者写成：

[]ττ≤==A

F A N ………………………………………………………（6－1）

式6-2即为管道元件受剪切时的强度校核公式。

同样，对式6-2进行变换，可以进行管子受剪情况下的截面积计算和确定许可载荷。

一般情况下，材料的许用剪切应力很难查到，但试验证明材料的许用剪切应力与许用拉伸应力存在下列近似关系： 对塑性材料：[τ]=(0.6~0.8)[σ]

对脆性材料：[τ]=(0.6~1.0)[σ]

纯剪切变形也无须用几何方程和物理方程即可求解。

（三）扭转

管子的扭转变形是由大小相等、方面相反、作用面垂直于管子轴线的两个力矩引起的管子变形形式。其变形特点表现为管道元件的任意两个横载面绕管子的中心轴线发生相对转动，见图6-3所示：

图6-3 管子的扭转变形

根据圣维南原理可知，在管子的任一截面上的内力（矩）M n 是均匀分布的，且根据力的平衡法则可知，M n =M 。 M n 也是一个矢量，且规定：按右手螺旋法则，当矢量方向与截面的外法线方向一致时，M n 为正，反之为负。

对于管子的扭转变形，其应力在管子各横截面上

的分布已不再是均匀的。从图6-4中可以看出，距轴

线中心O 越近，变形量越小。

图6-4所示的为一从受扭转变形的管子上截取的

微元，微元沿轴线长度为dx 。在扭转力矩的作用下，

位于半径R i 上的a 点因发生微小错动到达a’点，此时

也相当于oa’线相对于oa 线转动了一个d ?角度。那么

由其几何关系可知：aa’=R i d ?。而ba 线发生的角度改

变（即剪应变）?i 应为：

dx

d R ba aa i i ?γ=='…………………（a ） 图6－4 扭转变形微元

式(a)即为管道元件扭转变形时的几何方程。由公式可以看出，横截面上任意点的剪应变与该点到管子轴中心线的距离成正比，而到轴中心线距离相同的点（即在同一园周上的点），其剪应变相同。

由虎克定律知道，在半径R i 上任意点的剪应力τi =G.r i ，将(a)式代入可得：

dx

d R G i i ?

τ??=…………………………………………………………（b ）

式(b)即为管子扭转变形时的物理方程。由式中可以看出，横截面上任意点的剪力与该点到管中心的距离成正比，且同一园周上的应力相等。由此也可以看出，此时的剪应力在管子横截面上已非均匀分布。

式(b)中由于有d ?/dx 这一未知条件，故仍无法计算剪应力，此时须借助于静力平衡方程。

图6-5表示了管子某一横截面上的内力微

元，微元的宽度为dR i ，周长为2πR i ，面积为

dA i =2πR i .dR i 。

由于dR i 非常小，可认为在微元中的剪应

力是均匀分布的，即此时面积dA i 上的剪力为：

N i =τi dA i

扭矩为：

M i =N i R I ＝τi R I dA i

对整个管道横截面积积分可得：

i i A

i n dA R M ?=0τ…………………（c ）

将式（b ）代入式（c ）可得：

i i i A n dA R dx d R G M ??=0=i i A

dA R dx

d G 20?? 图6-5 扭转变形内力微元

在该积分方程中，只有R i 是变量，故可将常量

dx

d G ?

?移出积分外。设i A

i P dA R J ?=?02，代入上式可以得到：

dx d J G dA R dx d G M P i i A n ????=?

=?20………………………………（d ）

将式(b)代入式(d)可得：

i P i i i P n R J R G GJ M ?=??

=ττ

对上式进行公式变换得：

P

i

n i J R M ?=τ……………………………………………………………（e ）

由式(e)可以看出，当R i =D/2时，τi 最大，即最大剪应力发生在管子横截面的最外园上，此时有： P

n J D

M 2m ax ?=τ

设D

J W P

n 2=并代入上式可得：

n

n

W M =max τ………………………………………………………………(6-3)

式6-3即为管子受扭转载荷时的强度校核公式。同样，通过式子变换可以进行管子受扭转载荷时的截面参数计算和确定许可扭转载荷。

通常将J p 叫做管道元件的扭转惯性矩，将W n 叫做管道元件的抗扭截面模量。通过J p 和W n 的定义式很容易求出图6-5所示管子的表达式：

()442/2/202322d D dR R R dA R J i i D d i i A i P -=

???=?=??ππ

)(16244d D D

D J W P n -==π 同样，一般很难查到材料的扭转许用剪应力[τ]。试验证明，扭转许用剪应力[τ]与拉伸许用应力[σ]存在如下近似关系：

]

)[6.0~5.0(][στ=

（三）弯曲

在这里仅研究纯弯曲的情况，即管子各横截面上只有正应力而无剪应力，管道元件中心轴线变形后为一平面曲线。此时管子的弯曲变形是由大小相等、方向相反、作用面为沿管子中心轴线的纵向平面并包含轴线在内的两个力矩引起的管子变形形式。其变形特点表现为管子的中心轴线由直线变为平面曲线，如图6-6所示。

图6-6 管子的平面纯弯曲变形

在管子上用两个横截面截取得到一个微元。在弯矩的作用下，两个横截面都绕截面内的某一轴线转了一个角度，那么此时微元中两个截面形成一个夹角d θ，见图6-6(b)所示。在微元中，靠近弯曲内侧的金属受压缩，靠近弯曲外侧的金属受拉伸。那么在每个截面上，金属由压缩变为拉伸时，肯定会存在一层金属不发生变形，并称这层金属为中性层。中性层的曲率半径为R ，那么距中性层为y 的金属在变形后的长度为aa’=(R +|y |)d θ。

由于中性层金属的长度不变，且oo’=R .d θ，那么距中性层为y 的金属变形量（即线应变）则为：

R

y

d R Rd d y R =?-+=θθ

θε)(………………………………………………(a)

式(a)即为管道元件受平面纯弯曲的几何方程。公式表示，距中性层越远，其线应变越大。y 的正负号分别表示金属受拉或受压，当直观能判断金属受拉还是受压时，其绝对值符号可以取消。

根据虎克定律，可得其物理方程为：

R

y

E E ?==εσ……………………………………………………………(b)

从式(b)中可以看出，管子在受平面纯弯曲时，其正应力在横截面上的分布是不均匀的，应力的大小与其距中性层的距离成正比。

为了建立管子受平面纯弯曲的静力方程，可取一个内力微元，见图6-7所示。微元的面积为dA y 。可以证明，中性层一定通过管子横截面的形心。由于管子

受纯弯曲，故其静力方程为：

y A

y dA y M M ??==?0σ………………(c)

将(b)式代入(c)式可得：

y A y A dA y R E dA R y E y M ?=??=??0

20

设y A

z dA y J ?=?02，代入上式并进行式子变换得：

z

J E M R ?=1………………………………(d)

将式(d)代入式(b)可得： 图6-7 平面纯弯曲内力微元

z

z J y M J E M y E ?=??=σ……………………………………………………(e)

由式(e)可知，当y 最大时，此时的应力也最大，即有：

z J y M max max ?=

σ…………………………………………………………… (f)

设 m ax

y J W z

Z =，代入式（f ）可得：

[]σσ≤=z

W M max ……………………………………………………………（6－4） 式6-4即为管子受平面纯弯曲时的强度校核公式。同样，通过式子变换，可以进行管子受纯弯曲荷载时的截面参数计算和确定许可弯曲载荷。

通常将J z 叫做管子横截面对Z 轴的惯性矩，将W z 叫做管子的抗弯截面模量。通过J z 和W z 的定义公式，很容易求出图6-7所示管子的表达式为：

)

(644402d D dA y J y A z -=?=?π

)

(3244d D D W z -=π

在工程上，有时不仅要核算管子在弯曲载荷作用下的强度，还要核算其挠度。所谓挠度，是指在弯曲载荷作用下，管子上各点（一般以形心为代表）上下的垂直位移，见图6-8所示的y 坐标。由图中可知，管子在弯曲载荷的作用下，其形心直线变为平面曲线，并可用y=f(x)表示，常称之为挠曲线。

对非纯弯曲情况，弯矩M 和曲率半径R 已不在是一个常数，而是x 的函数，即：

M=M （x ），R=R （x ）

在跨度l 远大于管子直径的情况下，尤其是受

均布载荷的情况下，可忽略剪力对挠度的影响，

那么可有下列近似公式：

221dx

y d R =…………………………(g)

将式(g)代入式(d)可以得到：

z

J E M dx y d ?=22……………………(h)

式(h)即为挠曲线的微分方程。

对式(h)进行两次积分可以得到： 图6-8 弯曲情况下的管子挠度

?

+?=?C dx M dx dy J E z

??++??=??D

Cx dx dx M y J E z ………………………………………(6－5)

式6-5即为求解管子挠度的方程式。其中C 、D 为积分常数，它与管子两端的支撑条件等有关。

按式6-5求得的挠度y 值，应满足工程上规定的刚度条件，即：y max ≤[f]，式中[f]为工程上规定的许用挠度值。有关这方面的问题将在第八章中进一步介绍。

三、强度理论

实际工程中，很少有管子仅承受单一的拉压、剪切、扭转或弯曲载荷，而多是两种或多种载荷同时作用，这样就使得应力的求解变得复杂起来。与简单的拉压、剪切、扭转和弯曲相比，它的难点主要是表现在以下两个方面：其一是管子中各点的应力求解困难。此时因涉及的未知变量较多，建立的相应静力平衡方程、物理方程和几何方程较多，求解这些方程的计算工作十分浩繁；其二是管子中的各点可能同时承受三个方向的主应力和六个面上的剪应力，这些应力对材料的强度都将产生影响。此时如何建立与许多应力有关的强度校核公式是十分棘手的，它既不能象简单变形形式那样用单一的强度指标进行判断，又不能对各个应力分别施以判断，这样做也是不现实的。

下面就针对上述两个问题的解决方法进行介绍。

（一）复杂应力状态下的应力求解

对于几何形状比较规则的管子，无论它受力多么复杂，都可以按前面所介绍的步骤和方法进行求解。即首先从管子中取一微元，然后根据受力情况、几何形状、边界条件等分别建立其静力平衡方程、物理方程和几何方程，然后联解方程。 复杂应力状态下的静力平衡方程、物理方程和几何方程型式如下：

1、静力平衡方程： ΣF x =0; ΣF y =0; ΣF z =0

ΣM x =0; Σm y =o; ΣM z =0

2、物理方程：)]([1z y x x E

σσμσε+-=

)]([1z x y y E σσμσε+-=

)]([1x y z z E σσμσε+-=

zx zx yz yz xy xy G G G τγτγτγ1;1;1===

3、几何方程：dz

du dy du dx du z

z y y x x ===εεε;;

dx

du dz du dz du dy du dy du dx du x

z zx z y yz y x xy +=+=+=γγγ;;

很显然，对于空间几何形状、受力和边界条件复杂的管道系统，要想对每个管道元件建立并求解上面的联合方程确实不是一件容易的事。但随着电子计算机的应用，这样的计算就不再是难事了。事实上，目前计算机已广泛应用于这类问题的计算。

对于形状不规则的管道元件，尤其是管道元件局部形状不规则时（如三通分支的根部、对焊法兰颈部弯曲过渡处等），有时很难通过其平衡方程、物理方程和几何方程求出能满足边界条件的方程解，也就是说其应力将无法通过方程进行求解，此时往往作出一些假设，或根据试验找出一些修正系数来简化计算，从而求出一些工程上尚可使用的近似解。值得一提的是，随着有限元技术的发展，它在求解复杂情况下的应力分析计算中得到了应用。有限元法是借助于固体变形力学（主要是结构力学和弹性力学）的一些基本原理，通过对被研究体的离散化，将弹性力学的微分（偏微分）求解问题转化为求解大量线性代数方程组的问题，从而得出各点应力的近似解。由于电子计算机的广泛应用，使得大量的线性代数方程组的求解已变得十分容易，故有限元法在工程上的应用正日趋广泛，并且目前已经出现了许多相关的应用程序，有兴趣的读者可查阅有关文献或专著，在此不再赘述。

（二）直管元件受内压情况下的应力求解

工程上，大多数压力管道都是在承受介质的内压下工作的，因此研究直管受内压作用的应力问题在工程上具有实际意义。

首先介绍厚壁管子的受力情况。所谓厚壁管是指外径与内径之比大于等于 1.2?的管道，反之，若外径与内径之比小于

1.2时，则称之为薄壁管。

注?：关于厚壁管的定义在GB150《钢制压力容器》的1998年版中已进行了调整，因相应的管道设计规范（如SH3059

）尚未调整，因此这里仍沿用旧的定义。调整后的定义参见GB150－1998。

设直管的内、外半径分别为R i 和R o ，沿壁厚任意处的半径为r ，管道承受均匀的介质压力（内压力）为P ，那么直管中各点的应力计算表达式如下（推导过程略）：

)

(22222222i o i o i i o i i r R R r P R R R R P R -??--?=σ

)

(22222222i o i o i i o i i R R r P R R R R P R -??+-?=θσ

2

22i o i i z R R P R -?=σ

式中：σr ----径向应力

σa ----周向应力，或环向应力；

σz ----轴向应力。 引入径比i

o

R R k =，代入上面的公式可以得到：

)1(1222r

R k P o i r --=σ………………………………………………………(6-6a)

)1(1222r

R k P o i +-=θσ…………………………………….…………………(6-6b)

1

2-=k P i

z σ…………………………………………….……………………(6-6c)

从式6-6a~c 中可以看出以下规律：

a 、径向应力σr 和周向应力σθ沿管道壁厚分布是不均匀的，且内壁上的值最大。轴向应力σz 沿管道壁厚均匀分布。各应力沿壁厚的分布示意图，见图6-9所示；

b 、在管道内壁上的各应力值中以周应向力σθ

的值最大，且大于操作压力；

c 、周向应力σθ和径向应力σr 沿壁厚的分布情

况因径比k 的不同而不同。K 值越大，内外壁的差值

越大，此时内外壁的应力比为：

2

1)()(2+===k Ro r Ri r θθσσ

当K=1.2时，由上式可以求得内外壁的应力比值为

1.22。其物理意义是：若取平均应力作为强度校核

值时，即取σm ≤[σ]=σs /1.5时，那么有：

1.5σm ≤σs

即其最大应力仍然不会超过屈服极限，也就是说此 图6-9 内压作用下管道应力沿壁厚分布图

时管道中各点均处于弹性变形状态，管道是安全的。

此结论对于薄壁管道是非常有用的，因为薄壁管道是以平均应力作为校核值的。由此也可以知道，薄壁管道应力计算公式中常限制R o /R i <1.2或管子壁厚S

图6-10给出了薄壁管道受内压时的受力示意图。设管道内径为D i ，壁厚为S ，承受的内压力为P 。假想利用几个截面

将管子剖开以显示其轴向内力N z 和轴向应力σz ，见图6-10（b ）所示。假想利用m －m 、n －n 和o －o 三个截面从管子上剖取一长度为l 的半园，以显示其周向内力N θ和周向应力σθ，见图6-10（C ）所示。因为为薄壁管道，故σr =0。

（a ） （b ）

（c ） （d ）

图6-10 薄壁管道受内压时的受力示意图

从图6-10（b ）可知，其轴向内力为：

P D N i z ?=24

1π……………..…………..…………..…………….….(a)

由前面的讨论可知，轴向应力是沿壁厚均匀分布的。又由于管道沿轴向受拉伸截荷，故其应力为： z

z

z A N =σ，或者写成：N z =σz .A z ……………………………………(b)

根据力的平衡法则将式(a)和(b)合并可以得到：

z z i z A P D N ?=?=σπ24

1

由于A z =πD i S ，将其代入上式可得：

S

PD S D P D i i i z 442=????=ππσ………………………………………………(c)

工程上在求解管道在内压下的应力时，常以管子的平均直径（D ＝D i +S 或D ＝D o -S ，D o 为管子外径）代替上式中的D i 进行计算。即有：

S

PD S D P D z 442=????=ππσ………………………………………………(6－7)

不难看出，以D 代替D i 求得的应力值更大，或计算出的管子壁厚值更保守。

从图6-10（C ）中可知，其周向内力为：

N θ=P .A θ………………………………………………………………(d) 式中A θ为半园在y 方向上的投影面积，即A θ=l.D i ，A θ也可以通过下面的积分求得： i i D l d Sin D l P A ?=?=?θθπθ02

将A θ代入式(d)可得：

N θ=P.l.D i ………………………………………………………………(e) 因为是薄壁管道，故可认为σθ沿壁厚是均匀分布的，根据图6-10（C ）可得：