苏科版八年级数学上 期末测试题(Word版 含答案)
苏科版八年级数学上 期末测试题（Word 版 含答案）
一、选择题
1．一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（ ） A ．一、二、三
B ．二、三、四
C ．一、二、四
D ．一、三、四
2．下列各数中，是无理数的是（ ） A ．38
B ．39
C ．4-
D ．
227
3．甲、乙两人沿相同的路线由A 地到B 地匀速前进，A 、B 两地间的路程为20km ．他们前进的路程为s (km)，甲出发后的时间为t (h)，甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（ ）
A ．甲的速度是4km/h
B ．乙的速度是10km/h
C ．乙比甲晚出发1h
D ．甲比乙晚到B 地3h
4．正比例函数y kx =的图象经过第一、三象限，则一次函数y x k =+的图象大致是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点
()1,1，第2次接着运动到点()2,0，第3次接着运动到点()3,2，···，按这样的运动规律，
经过第2020次运动后，动点P 的坐标是（ ）
A ．()2020,1
B ．()2020,0
C ．()2020,2
D ．()2019,0 6．点（2，-3）关于原点对称的点的坐标是（ ） A ．（-2，3） B ．（2，3） C ．（-3，-2） D ．（2，-3） 7．在下列黑体大写英文字母中，不是轴对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
8．一次函数y ＝﹣2x+3的图象不经过的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，∠A ＝30°，以下说法错误的是（ ） A ．AC ＝2CD
B ．AD ＝2CD
C ．A
D ＝3BD
D ．AB ＝2BC
10．下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
11．若关于x 的分式方程
122x x a x x
--=--有增根，则a 的值_____________. 12．如图，点C 坐标为(0,1)-，直线3
34
y x =+交x 轴，y 轴于点A 、点B ，点D 为直线上一动点，则CD 的最小值为_________.
13．如图，一艘轮船由海平面上的A 地出发向南偏西45o的方向行驶50海里到达B 地，再由B 地向北偏西15o的方向行驶50海里到达C 地，则A 、C 两地相距____海里.
14．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A 、B 为圆心，大于
1
2
AB 的长为半径画弧，两弧交点分别为点P 、Q ，过P 、Q 两点作直线交BC 于点D ，则CD 的长是_____．
15．等腰三角形中有一个角的度数为40°，则底角为_____________. 16．当a =_______时,分式212
3
a a a +--的值为1.
17．点(2,1)P 关于x 轴对称的点P'的坐标是__________．
18．如图，在△ABC 中，∠B=40°，BC 边的垂直平分线交BC 于D ，交AB 于E ，若CE 平分∠ACB，则∠A=______°．
19．等腰三角形的两边长分别为5cm 和2cm ，则它的周长为_____．
20．已知一次函数y ＝mx －3的图像与x 轴的交点坐标为（x 0，0），且2≤x 0≤3，则m 的取值范围是________．
三、解答题
21．解方程：
2
1142
x x
x x --=-+ 22．如图，一次函数y ax b =+与正比例函数y kx =的图像交于点M .
（1）求正比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图像，写出关于x 的不等式kx ax b >+的解集； （3）求MOP ?的面积. 23．已知△ABC ．
（1）在图①中用直尺和圆规作出B 的平分线和BC 边的垂直平分线交于点O （保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下，若点D 、E 分别是边BC 和AB 上的点，且CD BE =，连接
OD OE 、求证：OD OE =；
（3）如图②，在（1）的条件下，点E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且△BEF 的周长等于BC 边的长，试探究ABC ∠与EOF ∠的数量关系，并说明理由．
24．某玉米种子的价格为a 元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折，某科技人员对付款金额和购买量这两个变量的对应关系用列表法做了分析，并绘制出了函数图象，以下是该科技人员绘制的图象和表格的不完整资料，已知点A 的坐标为(2,10)，请你结合表格和图象： 付款金额y a
7.5 10 12 b
购买量x （千克）
1
1.5
2
2.5
3
（1）a = ，b = ；
（2）求出当2x >时，y 关于x 的函数解析式；
25．解方程：
2
1142
x x
x x --=-+ 四、压轴题
26．如图，直线11
2
y x b =-+分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，与直线26y kx =-交于点()C 4,2．
（1）b = ；k = ；点B 坐标为 ；
（2）在线段AB 上有一动点E ，过点E 作y 轴的平行线交直线y 2于点F ，设点E 的横坐标为m ，当m 为何值时，以O 、B 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形；
（3）若点P 为x 轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q ，使得P ，Q ，A ，
B 四个点能构成一个菱形．若存在，直接写出所有符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说
明理由．
27．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P a b 和点(,)Q a b '，给出如下定义：
若1,(2),(2)b a b b a -≥?=
'?当时当时，则称点Q 为点P 的限变点．例如:点(2,3)的限变点的坐标是
(2,2)，点(2,5)--的限变点的坐标是(2,5)-，点(1,3)的限变点的坐标是(1,3)．
（1）①点(3,1)-的限变点的坐标是________；
②如图1，在点(2,1)A -、(2,1)B 中有一个点是直线2y =上某一个点的限变点，这个点是________；（填“A ”或“B ”）
（2）如图2，已知点(2,2)C --，点(2,2)D -，若点P 在射线OC 和OD 上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是b m '≥或b n '≤，其中m n >．令s m n =-，直接写出s 的值． （3）如图3，若点P 在线段EF 上，点(2,5)E --，点(,3)F k k -，其限变点Q 的纵坐标
b '的取值范围是25b '-≤≤，直接写出k 的取值范围．
28．如图1，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，∠1与∠2互补． （1）试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且GH ⊥EG ，求证：PF ∥GH ；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使∠PHK =∠HPK ，作PQ 平分∠EPK ，求∠HPQ 的度数．
29．ABC 是等边三角形，作直线AP ，点C 关于直线AP 的对称点为D ，连接AD ，直线BD 交直线AP 于点E ，连接CE ．
（1）如图①，求证：CE AE BE
+=；（提示：在BE上截取BF DE
=，连接AF．）（2）如图②、图③，请直接写出线段CE，AE，BE之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）、（2）的条件下，若26
BD AE
==，则CE=__________．
30．在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB，垂足为点D，M为线段DB上一动点（不包括端点），点N在直线AC左上方且∠NCM=135°，CN=CM，如图①．
（1）求证：∠ACN=∠AMC；
（2）记△ANC得面积为5，记△ABC得面积为5．求证：1
2
S AC
S AB
=；
（3）延长线段AB到点P，使BP=BM，如图②．探究线段AC与线段DB满足什么数量关系时对于满足条件的任意点M，AN=CP始终成立？（写出探究过程）
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
试题分析：直线y=﹣5x+3与y轴交于点（0，3），因为k=-5，所以直线自左向右呈下降趋势，所以直线过第一、二、四象限．
故选C．
考点：一次函数的图象和性质．
2．B
解析：B
【分析】
根据无理数的定义结合算术平方根和立方根逐一判断即可得． 【详解】
2=，为有理数，故该选项错误；
D.
2-，为有理数，故该选项错误；
D.
22
7，为有理数，故该选项错误. 故选B. 【点睛】
本题考查无理数的定义，立方根，算术平方根. 初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
3．C
解析：C 【解析】
甲的速度是：20÷4=5km/h ； 乙的速度是：20÷1=20km/h ；
由图象知，甲出发1小时后乙才出发，乙到2小时后甲才到， 故选C ．
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据正比例函数的图象及性质即可求出k 的取值范围,然后根据一次函数的图象及性质即可判断． 【详解】
解:∵正比例函数y kx =的图象经过第一、三象限， ∴0k >
∵一次函数y x k =+中,1＞0, 0k > ∴一次函数y x k =+经过一、二、三象限 故选A ． 【点睛】
此题考查的是正比例函数的图象及性质和一次函数的图象及性质，掌握一次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键．
5．B
解析：B 【解析】
观察可得点P 的变化规律，
“()()()()44 1 4243 4, 041
, 1 42, 0 43, 2n n n n P n P n P n P n ++++++，，， (n 为自然数)”，由此即可得出结论. 【详解】
观察， ()()()()()()0123450,01,12,0,3,2,4,0,5,1....P P P P P P ，，，
， 发现规律:()()()()44 1 4243 4, 041
, 1 42, 0 43, 2n n n n P n P n P n P n ++++++，，， (n 为自然数) .
∵20204505=?
∴2020P 点的坐标为()2020,0. 故选: B. 【点睛】
本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出规律
“()()()()44 1 4243 4, 041, 1 42, 0 43, 2n n n n P n P n P n P n ++++++，，， (n 为自然
数)”，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点P 的变化罗列出部分点的坐标，再根据坐标的变化找出规律是关键.
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据关于原点对称点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案． 【详解】 解：
在平面直角坐标系中，关于原点对称的两点横坐标和纵坐标均满足互为相反数，
∴点（2，-3）关于原点对称的点的坐标是（-2，3）．
故选A ． 【点睛】
本题考查了关于原点对称点的坐标，熟练掌握坐标特征是解题的关键．
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据轴对称图形的概念对各个大写字母判断即可得解． 【详解】
A ．“E ”是轴对称图形，故本选项不合题意；
B ．“M ”是轴对称图形，故本选项不合题意；
C ．“N ”不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D．“H”是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
8．C
解析：C
【解析】
试题解析：∵k=-2＜0，
∴一次函数经过二四象限；
∵b=3＞0，
∴一次函数又经过第一象限，
∴一次函数y=-x+3的图象不经过第三象限，
故选C．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
在Rt△ABC中，由∠A的度数求出∠B的度数，在Rt△BCD中，可得出∠BCD度数为30°，根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，得到BC=2BD，由BD的长求出BC 的长，在Rt△ABC中，同理得到AB=2BC，于是得到结论．
【详解】
解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC；
∵CD⊥AB，
∴AC＝2CD，
∴∠B＝60°，又CD⊥AB，
∴∠BCD＝30°，
在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，CD3，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，AD3＝3BD，
故选：B．
【点睛】
此题考查了含30°角直角三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握性质是解本题的关键．
10．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
A 图形中三角形和三角形内部图案的对称轴不一致，所以不是轴对称图形；
B 为轴对称图形，对称轴为过长方形两宽中点的直线；
C 外圈的正方形是轴对称图形，但是内部图案不是轴对称图形，所以也不是；
D 图形中圆内的两个箭头不是轴对称图象，而是中心对称图形，所以也不是轴对称图形.故选B.
二、填空题 11．4 【解析】 【分析】
方程第二个分母提取-1变形后，去分母转化为整式方程，表示出方程的解，令方程的解为2，即可求出a 的值． 【详解】 方程变形得：， 去分母得：x+x-a=x-2， 解得：x=a-
解析：4 【解析】 【分析】
方程第二个分母提取-1变形后，去分母转化为整式方程，表示出方程的解，令方程的解为2，即可求出a 的值． 【详解】
方程变形得：+122
x x a x x -=--， 去分母得：x+x-a=x-2， 解得：x=a-2，
∵方程
122x x a x x
--=--有增根， ∴x=2，即a-2=2， 解得：a=4， 故答案为：4． 【点睛】
此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增
根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
12．【解析】 【分析】
过点C 作直线AB 的垂线段CD ，利用三角形的面积即可求出CD 的长. 【详解】
连接AC ，过点C 作CD⊥AB，则CD 的长最短，如图，
对于直线令y=0，则，解得x=-4，令x=0 解析：
165
【解析】 【分析】
过点C 作直线AB 的垂线段CD ，利用三角形的面积即可求出CD 的长. 【详解】
连接AC ，过点C 作CD ⊥AB ，则CD 的长最短，如图，
对于直线3
34y x =
+令y=0，则3304
x +=，解得x=-4，令x=0，则y=3，
∴A(-4，0)，B(0，3)， ∴OA=4，OB=3，
在Rt △OAB 中，222AB OA OB =+ ∴22435
∵C （0，-1）， ∴OC=1， ∴BC=3+1=4， ∴1122ABC
S
BC AO AB CD =
=,即11
44=522CD ????， 解得，16
5
CD =. 故答案为：165
. 【点睛】
此题主要考查了一次函数的应用以及三角形面积公式的运用，解答此题的关键是利用三角形面积相等求出CD的长.
13．50
【解析】
【分析】
由已知可得△ABC是等边三角形，从而不难求得AC的距离．
【详解】
解：∵点B在点A的南偏西45°方向上，点C在点B的北偏西15°方向上，
∴∠ABC=45°+15°=60
解析：50
【解析】
【分析】
由已知可得△ABC是等边三角形，从而不难求得AC的距离．
【详解】
解：∵点B在点A的南偏西45°方向上，点C在点B的北偏西15°方向上，
∴∠ABC=45°+15°=60°
∵AB=BC=50，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=50；
故答案为：50.
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形中的方向角问题，能够证明△ABC是等边三角形是解题的关键．
14．【解析】
分析：连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD 中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；
详解：连接AD．
∵PQ垂直平
解析：8 5
【解析】
分析：连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；
详解：连接AD．
∵PQ垂直平分线段AB，
∴DA=DB，设DA=DB=x，
在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，∴x2=32+（5﹣x）2，
解得x=17
5
，
∴CD=BC﹣DB=5﹣17
5
=
8
5
，
故答案为8
5．
点睛：本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
15．40°或70°
【解析】解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数=（180°-40°）÷2=70°；
当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，故它的底角的度数是70°或40°．
故
解析：40°或70°
【解析】解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数=（180°-40°）÷2=70°；
当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，故它的底角的度数是70°或40°．
故答案为：40°或70°．
点睛：此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角，所以要采用分类讨论的思想．
16．-3
【解析】
【分析】
根据题意列出方程，解出a即可.
【详解】
解：根据题意得：=1，
即可得到 解得 ： 根据中 得到 舍弃 所以
故答案为：-3. 【点睛】
此题主要考查了可化为一元
解析：-3 【解析】 【分析】
根据题意列出方程，解出a 即可. 【详解】
解：根据题意得：
212
3
a a a +--=1， 即可得到 2123a a a +-=- 解得 ：3a =±
根据2123
a a a +--中 30a -≠ 得到3a ≠
舍弃3a = 所以3a =- 故答案为：-3. 【点睛】
此题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程，关键是根据题意列出分式方程.
17．（2，-1） 【解析】 【分析】
关于轴对称的点坐标（横坐标不变,纵坐标变为相反数） 【详解】
点关于轴对称的点的坐标是（2，-1） 故答案为：（2，-1） 【点睛】
考核知识点：用坐标表示轴对称.
解析：（2，-1） 【解析】 【分析】
关于x 轴对称的点坐标（横坐标不变,纵坐标变为相反数）
P关于x轴对称的点P'的坐标是（2，-1）
点(2,1)
故答案为：（2，-1）
【点睛】
考核知识点：用坐标表示轴对称. 理解：关于x轴对称的点的坐标的特点是：横坐标不变，纵坐标互为相反数；
18．60
【解析】
∵E在线段BC的垂直平分线上，
∴BE=CE，
∴∠ECB=∠B=40°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACD=2∠ECB=80°，
又∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠A=18
解析：60
【解析】
∵E在线段BC的垂直平分线上，
∴BE=CE，
∴∠ECB=∠B=40°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACD=2∠ECB=80°，
又∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠A=180°?∠B?∠ACB=60°，
故答案为：60.
19．12cm．
【解析】
【分析】
题目给出等腰三角形有两条边长为5cm和2cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】
解：①5cm为腰，2
解析：12cm．
【解析】
【分析】
题目给出等腰三角形有两条边长为5cm和2cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解：①5cm 为腰，2cm 为底，此时周长为12cm ；
②5cm 为底，2cm 为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去． 所以其周长是12cm ． 故答案为12cm ． 【点睛】
此题主要考查等腰三角形的周长，解题的关键熟知等腰三角形的性质及三角形的构成条件.
20．1≤m≤ 【解析】 【分析】
根据题意求得x0，结合已知2≤x0≤3，即可求得m 的取值范围. 【详解】 当时，， ∴， 当时，，， 当时，，，
m 的取值范围为：1≤m≤ 故答案为：1≤m≤ 【点睛】
解析：1≤m ≤32
【解析】 【分析】
根据题意求得x 0，结合已知2≤x 0≤3，即可求得m 的取值范围. 【详解】 当0y =时，3x m
=， ∴03x m
=
， 当03x =时，3
3m
=，1m =， 当02x =时，
32m =，32
m =， m 的取值范围为：1≤m ≤3
2
故答案为：1≤m ≤32
【点睛】
本题考查了一次函数与坐标轴的交点以及不等式的求法，根据与x 轴的交点横坐标的范围求得m 的取值范围是解题的关键.
三、解答题 21．3x =
【解析】 【分析】
将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解. 【详解】
21142
x x
x x --=-+， 方程两边同时乘以(2)(2)x x +-，得2
(1)(2)4x x x x ---=-， 解这个方程，得3x =.
验证：当3x =时，(2)(2)0x x +-≠
∴原方程的解为：3x =.
【点睛】
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.
22．（1）22y x =-，y x =；（2）2x <；（3）1. 【解析】 【分析】
（1）先把P （1，0）,(0,-2)代入y=ax+b,可求出a,b 的值，然后把M 点坐标代入一次函数可求出m 的值；再将点M 的坐标代入y=kx 可得出k 的值.
（2）观察函数图象，写出正比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
（3）作MN 垂直x 轴，然后根据三角形面积求得即可． 【详解】
解：（1）∵y ax b =+经过()1,0和()0,2-
∴02k b b =+??-=?
解得2k =，2b =-
一次函数表达式为：22y x =-
∵点M 在该一次函数上，∴2222m =?-=，M 点坐标为()2,2 又∵M 在函数y kx =上，∴2
122
m k ===. ∴正比例函数为y x =.
（2）由图像可知，2x <时，22x x >-
（3）作MN 垂直x 轴，由M 的纵坐标知2MN =， ∴故1
1212
MOP S ?=
??=.
【点睛】
本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k 值相同．
23．（1）见解析；（2）见解析；（3）ABC ∠与EOF ∠的数量关系是
2180ABC EOF ∠+∠=，理由见解析.
【解析】 【分析】
（1）利用基本作图作∠ABC 的平分线；利用基本作图作BC 的垂直平分线，即可完成； （2）如图，设BC 的垂直平分线交BC 于G ，作OH ⊥AB 于H ，
用角平分线的性质证明OH=OG ，BH=BG ，继而证明EH =DG ，然后可证明OEH ODG ???,于是可得到OE=OD ；
（3）作OH ⊥AB 于H ，OG ⊥CB 于G ，在CB 上取CD=BE ，利用(2)得到 CD=BE ，
OEH ODG ???，OE=OD ，EOH DOG ∠=∠,180ABC HOG ∠+∠=,可证明
EOD HOG ∠=∠,故有180ABC EOD ∠+∠=,由△BEF 的周长=BC 可得到DF=EF,于是可证明OEF OGF ???,所以有EOF DOF ∠=∠,然后可得到ABC ∠与EOF ∠的数量关系. 【详解】
解：（1）如图，就是所要求作的图形；
（2）如图，设BC 的垂直平分线交BC 于G ，作OH ⊥AB 于H ，
∵BO 平分∠ABC ，OH ⊥AB ，OG 垂直平分BC ， ∴OH=OG ，CG=BG ， ∵OB=OB,
∴OBH OBG ???, ∴BH=BG ， ∵BE=CD ，
∴EH=BH-BE=BG-CD=CG-CD=DG ， 在OEH ?和ODG ?中,
90OH OG OHE OGD EH DG =??
∠=∠=??=?
, ∴OEH ODG ???, ∴OE=OD ．
（3）ABC ∠与EOF ∠的数量关系是2180ABC EOF ∠+∠=，理由如下； 如图 ，作OH ⊥AB 于H ，OG ⊥CB 于G ，在CB 上取
CD=BE ，
由(2)可知，因为 CD=BE ，所以OEH ODG ???且OE=OD ， ∴EOH DOG ∠=∠,180ABC HOG ∠+∠=,
∴EOD EOG DOG EOG EOH HOG ∠=∠+∠=∠+∠=∠, ∴180ABC EOD ∠+∠=,
∵△BEF 的周长=BE+BF+EF=CD+BF+EF=BC ∴DF=EF,
在△OEF 和△OGF 中,
OE OD EF FD OF OF =??
=??=?
,