《概率论与随机过程》第1章习题

《概率论与随机过程》第一章习题

1. 写出下列随机试验的样本空间。

（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。

（2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。

（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录

抽取的次数。

（4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。

（5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选

举的结果。

（6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。

（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。

（8） [

（9） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次

品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

（10） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察

装球的情况。

（11） 测量一汽车通过给定点的速度。

（12） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。

2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。

（1） A 发生，B 与C 不发生。

（2） A 与B 都发生，而C 不发生。

（3） A ，B ，C 都发生。

（4） A ，B ，C 中至少有一个发生。

（5） ]

（6） A ，B ，C 都不发生。

（7） A ，B ，C 中至多于一个发生。

（8） A ，B ，C 中至多于二个发生。

（9） A ，B ，C 中至少有二个发生。

3. 设{

}10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） BC A 。 （5）)(C B A ?。

4. 设{}20≤≤=x x S ，??????≤<=121x x A ，?

?????<≤=234

1x x B ，具体写出下列各式。 （1）B A ?。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） B A 。 —

5. 设A ，B ，C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，81)(=AC P ，求A ，B ，

C 至少有一个发生的概率。

6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。

（1） 求恰有90个次品的概率。

（2） 至少有2个次品的概率。

7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算）

（2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少

8. —

9. 一盒子中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只测试，直到4只次品管子都找到为止。求

第4只次品管子在下列情况发现的概率。

（1） 在第5次测试发现。

（2） 在第10次测试发现。

10. 甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。以A ，B 分别表示甲，乙二城市出现雨天这一

事件。根据以往的气象记录已知4.0)()(==B P A P ，28.0)(=AB P ，求)/(B A P ，)/(A B P 及)(B A P ?。

11. 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概

率。

（1） 二只都是正品。

（2） 二只都是次品。

（3） 一只是正品，一只是次品。

（4） ￥

（5） 第二次取出的是次品。

12. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率

是多少如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少

13. 某工厂中，机器321,,B B B 分别生产产品总数的25%，35%和40%。它们生产的产品中分别有5%，4%，

2%的次品，将这些产品混在一起，今随机地取一只产品，发现是次品。问这一次品是机器321,,B B B 生产的概率分别是多少

14. 将二信息分别编码为A 和B 传送出去，接收站接收时，A 被误收作B 的概率为，而B 被误收作A 的概率

为。信息A 与信息B 传送的频繁程度为2:1。若接收站收到的信息是A ，问原发信息是A 的概率是多少

15. 如图所示1，2，3，4，5，6表示继电器接点。假设每一继电器接点闭合的概率为p ，且设各继电器接点

闭合与否相互独立。求L 至R 连通的概率是多少

L R

16. 对飞机进行三次独立的射击，第一次射击的命中率为，第二次为，第三次为。飞机击中一次而被击落的

概率为，击中二次而被击落的概率为，若被击中三次则飞机必然被击落，求射击三次而击落飞机的概率。

17. 一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取三只。以X 表示取出的三只球中的最大号码，

写出随机变量X 的概率质函数。

18. （1）设随机变量X 的概率质函数为!}{k a k X P k

λ==，0,,2,1,0>=λ k 为常数，试确定常数a 。

(2) 设随机变量X 的概率质函数为N

a k X P ==}{，1N ,,2,1,0k -= ，试确定常数a 。

18. 设事件A 在每一次试验中发生的概率为，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号。（1）进行了5次独

立试验，求指示灯发出信号的概率。（2）进行了7次独立试验，求指示灯发出信号的概率。

19. 一电话交换机每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：（1）每分钟恰有8次呼唤的概率。（2）

每分钟的呼唤次数大于10的概率。

20. 设随机变量X 的分布函数为

#

?????<≥-=-.

0,0,

0,1)(x x e x F x

（1） 求}3{},2{>≤X P X P ， （2）求概率密度)(x f 。

21. 一工厂生产的电子管的寿命X （以小时计）服从参数为160=μ，

σ的正态分布，若要求

80.0}200120{≥≤

22.

:

求2X Y =的概率质函数。

23. 设X 的概率密度为

?????<<=其它

,00,2)(2ππx x

x f ，求sinX Y =的概率密度。

24. 设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

?????

≤≤≤≤+=其它.

,0,20,10,3),(2y x xy x y x f

求}1{≥+Y X P 。

25. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为

(

???≤≤=其它.,0,10,1)(x x f X ?????≤>=-.

000

)(y ,,

y ,e y f y Y

试求随机变量Z=X+Y 的概率密度。

26. 设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

),2exp(21

),(22

22σπσy x y x f +-=+∞<<∞-+∞<<-∞y x ,。

求22Y X Z +=的概率密度。

27. 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从)20,160(2N 分布，随机地选取4只，求其中没有一

只寿命小于180 小时的概率。

28. 设随机变量X 的概率质量函数为

求)(),(),(53X E X E X E +。

29. 设X 服从二项分布，其概率质量函数为

{}.10.,,2,1,0,)1(<<=-???

? ??==-p n k p p k n k X P k n k 求)(X E 和)(X D 。 30. 设X 服从泊松分布，其概率质量函数为

{}.0,,2,1,0,!

>===-λλλ

k k e k X P k 求)(X E 和)(X D 。 31. 设X 服从均匀分布，其概率密度函数为

?????<<-=，

其它0,,1)(，b x a a b x f 求)(X E 和)(X D 。

32. '

33. 设X 服从正态分布，其概率密度函数为

()+∞<<∞->????????-=x x f ,02-x exp 21)(22σσμσπ，。 求)(X E 和)(X D 。

33. 有3只球，4只盒子，盒子的编号为1，2，3，4。将球独立地，随机地放入4只盒子中去。以X 表示其

中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X=3表示第1号，第二号盒子是空的，第三只盒子至少有一只球），试求E [X]，D[X]。

34. 对于任意两个随机变量X ，Y ，证明下式成立：

（1） ),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ++=+；

（2） )()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -=。

35. 设随机变量X 的概率密度函数为?????≤>=-000x ,

x ,e f(x)x 。求（1）Y=2X ，（2）x e Y 2-=的数学期望。 36. 设随机变量（X ，Y ）的概率密度函数为

*

?

??<<<<=其它，,x,y ,x K,y)f(x,0010 试确定出常数K ，并求)XY (E 。

37. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700。 利用契比雪夫不等式估计每

毫升含白细胞数在5200~9400之间的概率。

38. 设随机变量X 的概率密度函数为??

???≤>=-000x ,x ,e )x (f x λλ，其中0>λ为常数。求)(X E 和)(X D 。 39. 设随机变量X 的概率密度函数为??

???≤>-=0,00),2exp()(222x x x x x f σσ，其中0>σ为常数。求)(X E 和)(X D 。

40. 设随机变量X 的概率质量函数为{}1-==k pq k X P ， ,,k 21=。其中p q ,p -=<<110为常数，则称X 服

从参数为p 的几何分布。试求)(X E 和)(X D 。

41. 设随机变量(X ，Y)的概率密度函数为.20208

1≤≤≤≤+=y ,x ,)y x ()y ,x (f 。求)(X E 、)Y (E 、)Y ,X (Cov 。 42. 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为接近于它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它

们都在（，）上服从均匀分布。

（1） 若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少

（2） 几个数可加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率为

43. (1)一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率。为

了使整个系统起作用，至少必需有85个部件工作，求整个系统工作的概率。

(2)一个复杂的系统，由n 个相互独立起作用的部件所组成。每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为。且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作，问n 至少为多少才能使系统的可靠性为。

44. 某个单位设置一电话总机，共有200架电话分机。设每个电话分机有5%的时间要使用外线通话，假定每

个分机是否使用外线通话是相互独立的。问总机要多少外线才能以90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。