奇偶函数的性质及其应用

一、知识点总结

奇偶函数的性质

1）若函数f（x）是定义在区间d的奇函数，则具备以下性质：

a.定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0;

b.对于定义域内任意x 都有f（-x）=-f（x）；

c.图像关于原点（0,0）对称；

d.若0∈d则f（0）=0;

e.奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性。

2）若函数是定义在区间d的偶函数，则具备以下性质：

a. 定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0;

b.对于定义域内任意x都有f（-x）=f（x）=f（|x|）；

c.图像关于y轴对称；

d.偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性

二、奇偶函数性质的应用

热点题型一：利用奇偶性求参数的值

例1 已知f（x）=ax2+bx是定义在[a-1,2a]的偶函数，那么a+b 的值为 .

解：∵f（x）是定义在[a-1,2a]的偶函数，∴b=0

a-1+2a=0，解得b=0,a=

故a+b=.

点评：对于多项式型的函数f（x）=a1xn+a2xn-1+…+an，若f（x）

为奇函数，则应只保留x的奇次项，若为偶函数则应只保留x的偶次项.故b=0，又奇偶函数定义域关于原点对称，故a-1+2a=0.

例2 已知函数f（x）=是定义在r上的奇函数，求a的值.

解法一：∵f（x）是定义在r上的奇函数

∴f（x）=0，

即：=0，∴a=1

解法二：∵f（x）是定义r在的奇函数

∴f（-x）=-f（x）

即：=-

整理得（2a-2）（2x+1）=0

∴2a-2=0

解之得a=1

点评：对于奇函数f（x），若0∈f（0）定义域，则此性质可大大减少运算量。故首选f（0）=0，若0?埸定义域，再考虑f（-x）=-f（x），利用恒等式求解。

热点题型二：利用奇偶性求函数解析式

例3 已知函数f（x）是定义在r上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（1+x）求出函数的解析式。

解：当x0

∵当x≥0时，f（x）=x（1+x）

∴f（-x）=-x（1-x）

∵f（x）是r上的奇函数

∴f（x）=-f（-x）=x（1-x）

∴f（x）=x（1+x），（x≥0）x（1-x），（x （2）

综合（1）（2）得

点评：对于偶函数有f（-x）=f（x）=f（|x|），可以避免讨论。真可谓是“巧取绝对值，妙解不等式”。

热点题型四：利用奇偶函数图像解题

例5 已知f（x）是定义在r的偶函数且f（2）=0，在区间[0，+∞)递增，求f（x）的解集 .

分析：做出符合条件的一种图形，偶函数的图像关于 y轴对称.如：

点评：奇偶函数具有对称性，因此作图时，可以先做出y轴右边的图象，在根据对称性画出y轴左边的图像，就可得出整个定义域内的图像.

热点题型五：奇偶性与对称性周期性相结合解综合型题

例6 已知定义在r上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且在区间[0,2]上是增函数，则（）

（-25）

（80）

（11）

（-25）

解：∵f（x）是r上的奇函数

∴f（-x）=-f（x）

∵f（x-4）=-f（x）

∴f（x-4）=f（x）

∴的图像关于直线x=2对称

又f（x）的图像关于点（0,0）对称

∴f（x）是周期函数且最小正周期t=4（2-0）=8

f（-25）=f（-1），f（80）=f（0），f（11）=f（3）=f（1）

∵f（x）在 [0,2]是增函数

∴f（x）在[-2,0] 上是增函数

∴f（-1）

即：f（-25）

故选d.

点评：本题综合的函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性，在知识的交汇处命题，考察了了学生的综合应用能力。关于函数性质的综合应用，常用的结论有：1）若函数f（x）关于直线x=a，x=b 对称，则f（x）为周期函数，且最小正周期t=2b-a.

2）若函数f（x）关于点（a，0），（b，0）对称，则f（x）为周期函数，且最小正周期t=2b-a.

3）若函数f（x）关于点（a，0），直线x=b对称，则f（x）为周期函数，且最小正周期t=4b-a.

4 对数函数及其性质(1)

高中数学教学设计大赛获奖作品汇编 4、对数函数及其性质（1）一、教材分析本小节主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。虽然这个内容十分熟悉，但新教材做了一定的改动，如何设计能够符合新课标理念，是人们十分关注的，正因如此，本人选择这课题立求某些方面有所突破。二、学生学习情况分析刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程。三、设计理念本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。四、教学目标 1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型； 2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生运用函数的观点解决实际问题。五、教学重点与难点重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响．六、教学过程设计

函数的性质之奇偶性

函数的奇偶性知识体系一函数的奇偶性的定义 1．偶函数: 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． 2．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．注意： ○ 1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○ 2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．二具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．三奇偶函数的性质： 1定义域关于原点对称；2()f x 为偶函数()(||) f x f x ?=3若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0 f =4判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；5牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；6判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式： ()()0f x f x ±-=，()1() f x f x =±-7设()f x ，() g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇题型体系一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性（1）()42+=x x f （2）()5x x f =（3）()x x x f +=1

总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○ 2确定f(－x)与f(x)的关系；○ 3作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数．例2已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，（1）求证：()f x 是奇函数；（2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f 二利用函数的奇偶性补全函数的图象例1已知函数y＝f(x)是偶函数，且知道x≥0时的图像，请作出另一半图像.三．函数的奇偶性与单调性的关系例1．已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．例2定义在)1,1(-上的奇函数)(x f 在整个定义域上是减函数，若0)21()1(<-+-a f a f ，求实数a 的取值范围。O x y

知识讲解对数函数及其性质提高

对数函数及其性质【学习目标】 1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型； 2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较； 3．了解反函数的概念，知道指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数()0,1a a >≠．【要点梳理】要点一、对数函数的概念 1．函数y=log a x(a>0，a≠1)叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞，值域为R ． 2．判断一个函数是对数函数是形如log (0,1)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量x ．要点诠释：（1）只有形如y=log a x(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像log (1),2log ,log 3a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数．（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论．要点二、对数函数的图象与性质 a ＞1 0＜a ＜1 图象

性质定义域：（0，+∞）值域：R 过定点（1，0），即x=1时，y=0 在（0，+∞）上增函数在（0，+∞）上是减函数当0＜x＜1时，y＜0，当x≥1时，y≥0 当0＜x＜1时，y＞0，当x≥1时，y≤0 要点诠释：关于对数式log a N的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考. 以1为分界点，当a，N同侧时，log a N>0；当a，N异侧时，log a N<0. 要点三、底数对对数函数图象的影响 1．底数制约着图象的升降．如图要点诠释：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略． 2．底数变化与图象变化的规律

第03讲-函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)

第03讲函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）【考纲解读】 2. 函数概念与基本初等函数I （指数函数、对数函数、幂函数）（1）函数 ④ 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．【知识梳理】 1.单调性定义： ①∈?21,x x 区间M(A M ?定义域), 012>-?x x 若②()()012>-=?x f x f y ，则③()x f 在M 上是增函数(M 称为增区间)；若②()()012<-=?x f x f y ，则③()x f 在M 上是减函数(M 称为增区间). 函数单调性题目类型（1）利用定义的常见单调性题目： ①②?③,判断函数的单调性； ②③?①,判断自变量大小； ①③?②，判断函数值的大小。（2）已知单调性，反求参数范围；（3）利用导数研究函数单调性；（4）利用已知函数的图像研究函数单调性; （5）复合函数的单调性 2.奇偶性定义：（1）若()()x f x f D x =-∈?，,则()x f 是偶函数；若()()000x f x f D x =/-∈?，使得，则()x f 不是偶函数；（2）若()()x f x f D x -=-∈?，,则()x f 是奇函数；若()()000x f x f D x -=/-∈?，使得，则()x f 不是奇函数；注意：定义的否定形式. 3.周期性:定义：若存在非零常数T ，使得()()x f T x f D x =+∈?，, 则()x f 为周期函数，T 是一个周期. 4.对称性（1）偶函数的图像关于y 轴对称；（2）奇函数的图像关于原点对称；（3）指数函数x a y =和对数函数x y a log =是互为反函数，它们的图像关于直线x y =对称；（4）若()x f 满足()()x a f x a f +=-，则()x f 的图像关于直线a x =对称；（5）若()x f 满足()()x a f x a f +-=-，则()x f 的图像关于点()0， a 对称；（6）若()x f 满足()()x b f x a f +=-，则()x f 的图像关于直线2 b a x += 对称；（7）若()x f 满足()()x a f b x a f +-=-2，则()x f 的图像关于点()b a ，对称；【典例精讲】考点一单调性例1.（15湖南理）设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是（） A.奇函数，且在(0,1)上是增函数 B.奇函数，且在(0,1)上是减函数 C.偶函数，且在(0,1)上是增函数 D.偶函数，且在(0,1)上是减函数【答案】A. 【解析】试题分析：显然，)(x f 定义域为)1,1(-，关于原点对称，又∵)()1ln()1ln()(x f x x x f -=+--=-， ∴)(x f 练习（2012山东理）设0a >且1a ≠, 则“函数()x f x a =在R 上是减函数”,是“函数 3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件（2006北京）已知(31)4,1 ()log ,1 a a x a x f x x x -+?是 (,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 (C) （A ）(0,1)（B ）1(0,)3（C ）11[,)73 （D ）1 [,1)7 考点二奇偶性例2. （2013上海春）已知真命题:“函数()y f x =的图像关于点( )P a b 、成中心对称图形”的充要条件为“函数 ()y f x a b =+- 是奇函数”. (1)将函数3 2 ()3g x x x =-的图像向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图像对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数()g x 图像对称中心的坐标; (2)求函数2 2()log 4x h x x =- 图像对称中心的坐标; (3)已知命题:“函数 ()y f x =的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a 和b,使得函数 ()y f x a b =+- 是偶函数” .判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明). 【答案】(1)平移后图像对应的函数解析式为32(1)3(1)2y x x =+-++, 整理得33y x x =-,

数学教案-指数函数与对数函数的性质及其应用.doc

数学教案－指数函数与对数函数的性质及其应用教案课题：指数函数与对数函数的性质及其应用课型：综合课教学目标：在复习指数函数与对数函数的特性之后，通过图像对比使学生较快的学会不求值比较指数函数与对数函数值的大小及提高对复合型函数的定义域与值域的解题技巧。重点：指数函数与对数函数的特性。难点：指导学生如何根据上述特性解决复合型函数的定义域与值域的问题。教学方法：多媒体授课。学法指导：借助列表与图像法。教具：多媒体教学设备。教学过程：一、复习提问。通过找学生分别叙述指数函数与对数函数的公式及特性，加深学生的记忆。二、展示指数函数与对数函数的一览表。并和学生们共同复习这些性质。

指数函数与对数函数关系一览表函数性质指数函数 y=ax （a＞0且a≠1）对数函数 y=logax（a＞0且a≠1）定义域实数集r 正实数集（0，﹢∞）值域正实数集（0，﹢∞）实数集r 共同的点（0，1）（1，0）单调性 a＞1 增函数 a＞1 增函数 0＜a＜1 减函数 0＜a＜1 减函数

函数特性 a＞1 当x＞0,y＞1 当x＞1,y＞0 当x＜0,0＜y＜1 当0＜x＜1, y＜0 0＜a＜1 当x＞0, 0＜y＜1 当x＞1, y＜0 当x＜0,y＞1 当0＜x＜1, y＞0 反函数 y=logax（a＞0且a≠1）y=ax （a＞0且a≠1）图像 y y=(1/2)x y=2x (0,1)

x y y=log2x (1,0) x y=log1/2x 三、同一坐标系中将指数函数与对数函数进行合成，观察其特点，并得出y＝log2x与y＝2x、 y＝log1/2x与y＝（1/2）x 的图像关于直线y＝x对称，互为反函数关系。所以y＝logax与y＝ax互为反函数关系，且y＝logax的定义域与y＝ax的值域相同，y＝logax的值域与y＝ax的定义域相同。 y y＝(1/2)x y＝2x y＝x （0，1） y＝log2x （1，0） x y＝log1/2x

函数的所有性质

函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性) “定义域优先”的思想是研究函数的前提,在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域,离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。 1. 奇偶性奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x ）与f(x ）之间的关系：①f(－x)＝f(x)为偶函数；f （-x)=-f(ｘ)为奇函数； ②f(-x)-f （x ）=０为偶;ｆ(x ）+f(-x)=0为奇; ③f(-x)÷ｆ(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)＝-1为奇函数. （１)若定义域关于原点对称 (２）若定义域不关于原点对称非奇非偶例如：3 x y =在)1,1[-上不是奇函数常用性质: 1．0)(=x f 是既奇又偶函数； 2．奇函数若在0=x 处有定义,则必有0)0(=f ; 3．偶函数满足) ()()(x f x f x f =-=； 4.奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称； 5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满足：（1）奇函数±奇函数=奇函数偶函数±偶函数=偶函数奇函数±偶函数=非奇非偶 (2) 奇函数×奇函数=偶函数偶函数×偶函数=偶函数奇函数×偶函数=奇函数６．任何函数)(x f 可以写成一个奇函数 2) ()()(x f x f x --= ?和一个偶函数 2) ()()(x f x f x -+= ψ的和。 2. 单调性定义:函数定义域为Ａ,区间，若对任意且 ① 总有则称在区间M 上单调递增 ② 总有则称在区间M 上单调递减应用:(一)常用定义法来证明一个函数的单调性一般步骤:(1）设值(２)作差(３)变形（４）定号（5)结论 (二）求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学）注:常用结论（1）奇函数在对称区间上的单调性相同（2）偶函数在对称区间上的单调性相反（3）复合函数单调性-------同增异减

函数的性质——奇偶性、单调性、周期性知识点及题型归纳

函数的性质——奇偶性、单调性、周期性知识点及题型归纳知识点精讲函数奇偶性定义设D D x x f y (),(∈=为关于原点对称的区间），如果对于任意的D x ∈，都有)()(x f x f =-，则称函数 )(x f y =为偶函数；如果对于任意的D x ∈，都有)()(x f x f -=-，则称函数)(x f y =为奇函数. 性质 (1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2)奇偶函数的图象特征. 函数)(x f 是偶函数?函数)(x f 的图象关于y 轴对称；函数)(x f 是奇函数?函数)(x f 的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数)(x f y =在0=x 处有意义，则有0)0(=f ；偶函数)(x f y =必满足|)(|)(x f x f =. (4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. (5)若函数)(x f 的定义域关于原点对称，则函数)(x f 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记 )]()([21)(x f x f x g -+=，)]()([2 1 )(x f x f x h --=，则)()()(x h x g x f +=. (6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如)()(),()(),()(),()(x g x f x g x f x g x f x g x f ÷?-+. 对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇)(÷?奇=偶；奇)(÷?偶=奇；偶)(÷?偶=偶. （7）复合函数)]([x g f y =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. 函数的单调性定义一般地，设函数)(x f 的定义域为D ，区间D M ?，若对于任意的M x x ∈21,，当21x x <时，都有 )()(21x f x f <（或)()(21x f x f >），则称函数)(x f 在区间M 上是单调递增（或单调递减）的，区间M 为函数)(x f 的一个增（减）区间. 注：定义域中的M x x ∈21,具有任意性，证明时应特别指出“对于任意的M x x ∈21,”. 单调性是针对定义域内的某个区间讨论的.

对数函数性质及练习(有答案)

对数函数及其性质 1．对数函数的概念 (1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)对数函数的特征：特征???? ? log a x 的系数：1log a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数 log a x 的真数：仅是自变量x 判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．【例1－1】函数f (x )＝(a 2 －a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________．解析：由a 2 －a ＋1＝1，解得a ＝0,1．又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1．答案：1 【例1－2】下列函数中是对数函数的为__________． (1)y ＝log (a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2； (3)y ＝8log 2(x ＋1)；(4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)； (5)y ＝log 6x ．解析： 2．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象与性质

(1)图象与性质谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y轴右侧，其单调性取决于底数．a＞1时，函数单调递增；0＜a＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用． (2)指数函数与对数函数的性质比较 (3)底数a对对数函数的图象的影响 ①底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上

函数的性质奇偶性

第二章函数（奇偶性） 1．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx （） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数 2．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（） A ．3 1=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 3．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（） A ．y ＝x （x －2） B ．y ＝x （｜x ｜－1） C ．y ＝｜x ｜（x －2） D ．y ＝x （｜x ｜－2） 4．已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（） A ．－26 B ．－18 C ．－10 D ．10 5．函数1111)(22 +++-++=x x x x x f 是（） A ．偶函数 B ．奇函数 C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 6．若)(x ?，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ?在（0，＋∞）上有最大值5，则f （x ）在（－∞，0）上有（） A ．最小值－5 B ．最大值－5 C ．最小值－1 D ．最大值－3 7．函数212 2)(x x x f ---=的奇偶性为________（填奇函数或偶函数）． 8．若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________． 9．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若11 )()(-=+x x g x f ，则f （x ）的解析式为_______． 10．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为________． 11．设定义在［－2，2］上的偶函数f （x ）在区间［0，2］上单调递减，若f （1－m ）＜f （m ），求实数m 的取值范围． 12．已知函数f （x ）满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2f （x ）·f （y ）（x ∈R ，y ∈R ），且f （0）≠0，试证f （x ）是偶函数．

函数的基本性质(教案)

[课题]：第一章集合与函数概念 1.3 函数的基本性质主备人：高一数学备课组陈伟坚编写时间：2013年9月30日使用班级（21）（22）计划上课时间：2013-2014学年第一学期第6 周星期一至三（四至六月考）[课标、大纲、考纲内容]：学生在初中已学过一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质，通过这些基本初等函数引入函数的单调性和最值，学生还是容易接受的，但很多学生的二次函数的性质还不过关，需要加强。学生的阅读理解能力还是较弱，教师需要引导学生对函数的单调性、奇偶性的定义理解透彻。 1、重点：理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；求函数的单调区间和最值；奇偶性的定义，判定函数的奇偶性的方法；运用函数图象理解和研究函数的性质。 2、难点：运用函数图象理解函数单调性和奇偶性的定义，研究基本函数的单调性和奇偶性。第1课时 1.3.1 单调性与最大（小）值（1）【教学目标】 1. 运用已学过的函数特别是二次函数的图象，理解函数的单调性的定义及其几何意义； 2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3. 会用定义证明函数的单调性

【教学重难点】教学重点: 理解函数的单调性的含义及其几何意义. 教学难点: 用定义证明函数的单调性. 【教学过程】一、引入课题 1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： 2． ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增大，f(x)的值随着 ________ ． 2．f(x) = -2x+1 ○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增大，f(x)的值随着 ________ ． 3．f(x) = x 2 ○ 1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x 的增大而 ________ ． ○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x 的增大而 ________ ．二、新课教学（一）函数单调性定义 1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1

《对数函数及其性质》教案及设计说明

对数函数及其性质教学设计三亚市第四中学邓影课题：对数函数及其性质使用教材：人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学（必修1）》第二章第2.2.2节第一课时一、教材分析 1．本节教材的地位和作用基本初等函数是函数的核心内容，而对数函数又是重要的基本初等函数之一。在此之前，学生已经学习了指数函数及对数运算，为本节的学习起着铺垫作用，同时对数函数作为常用数学模型是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，本节课的学习为学生进一步学习、参加生产和实际生活提供必要的基础知识。因此本节课具有承前启后的作用。 2．教学重难点重点：本节课是新授课，,因此我把本节课重点定为对数函数的概念、图象，和性质。难点：学生在探究对数函数性质时可能会遇到障碍，因此我把探究对数函数性质作为本节课的难点。二、教学目标根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生实际情况及其认知结构心理特征制定教学目标如下： 1．知识与技能：（1）理解对数函数的概念；（2）掌握对数函数的图像和性质，并在探索过程中学会运用数形结合的方法研究问题； 2．过程与方法：（1）经历对数函数概念的形成过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，由具体到一般，提高学生归纳概括能力；（2）学生通过自己动手作图，分组讨论对数函数的性质，提高动手能力、合作学习能力以及分析解决问题的能力；（3）通过类比指数函数性质研究对数函数，培养学生运用类比的思想研究数学问题的素养；

3．情感、态度与价值观：在知识形成的过程中，体会成功的乐趣，感受数学图形的美，激发学生学习数学的热情与爱国主义热情，培养学生勇于探索敢于创新的精神。三、教法学法 1.教学方法建构主义学习观，强调以学生为中心，学生在教师指导下对知识的主动建构。它既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用。高中一年级的学生正值身心发展的过渡时期，思维活跃，具有一定的独立性，喜欢新鲜事物，敢于大胆发表自己的见解，不过思维还不是很成熟. 在目标分析的基础上，根据建构主义学习观，及学生的认知特点，我拟采用“探究式．．．”教学方法。将一节课的核心内容通过四个活动的形式引导学生对知识进行主动建构。其理论依据为建构主义学习理论。它很好地体现了“学生为主体，教师为主导，问题为主线，思维为主攻”的“四为主”的教学思想。 2. 学法指导新课程强调“以学生发展为核心”，强调培养学生的自主探索能力与合作学习能力。因此本节课学生将在教师的启发诱导下对教师提供的素材经历创设情境→获得新知→作图察质→问题探究→归纳性质→学以致用→趁热打铁→画龙点睛→自我提升的过程，这一过程将激发学生积极参与到教学活动中来。 3. 教学手段本节课我选择计算机辅助教学。增大课堂容量，提高课堂效率；激发学生的学习兴趣，展示运动变化过程，使信息技术真正为教学服务． 4.教学流程

定积分中奇偶函数和周期函数处理方法

定积分计算中周期函数和奇偶函数的处理方法一、基本方法 (一)、奇偶函数和周期函数的性质在定积分计算中，根据定积分的性质和被积函数的奇偶性，及其周期性，我们有如下结论 1、若()x f 是奇函数（即()()x f x f --=），那么对于任意的常数a ，在闭区间][a a ,-上，()0=?-a a dx x f 。 2、若()x f 是偶函数（即()()x f x f -=），那么对于任意的常数a ，在闭区间][a a ,-上()()??-=a a a dx x f dx x f 02。 3、若()x f 为奇函数时，()x f 在][a a ,-的全体原函数均为偶函数；当()x f 为偶函数时，()x f 只有唯一原函数为奇函数即()?x dt t f 0. 事实上：设()()C dt t f x d x f x +=??0，其中C 为任意常数。当()x f 为奇函数时，()?x dt t f 0为偶函数，任意常数C 也是偶函数?()x f 的全体原函数()C dt t f x +?0为偶函数；当()x f 为偶函数时，()?x dt t f 0为奇函数，任意常数0≠C 时为偶函数? ()C dt t f x +?0 既为非奇函数又为非偶函数，?()x f 的原函数只有唯一的一个原函数即()?x dt t f 0是奇函数。

4、若()x f 是以T 为周期的函数（即()()x f x T f =+），且在闭区间][T ,0上连续可积，那么()()()??? +-==T a a T T T dx x f dx x f dx x f 0 22 。 5、若()x f 是以T 为周期的函数（即()()x f x T f =+），那么()?x dt t f 0以T 为周期的充要条件是 ()00=?T dt t f 事实上：()()()()()??? ??+=+=++T x T x x T x x dt t f dt t f dt t f dt t f dt t f 0 0，由此可得 ()()?? =÷x T x dt t f dt t f 0 ?()?T dt t f 0 。 (二)、定积分中奇偶函数的处理方法 1. 直接法：若果被积函数直接是奇函数或者偶函数，之间按照奇偶函数的性质进行计算即可，但要注意积分区间。 2. 拆项法：观察被积函数，在对称区间如果被积函数复杂但可以拆成奇偶函数和的形式，则分开积分会简化计算。 3. 拼凑法：被积函数在对称区间直接积分比较困难，并且不能拆项，可以按照如下方法处理：设()()()x f x f x p -+= ，()()()x f x f x q --=，则()()()2 x q x p x f +=，从而就转换为了奇函数和偶函数在对称区间的计算。 (三)、定积分中周期函数的处理方法对于周期函数的定积分，最主要是能够确定被积函数的周期（特别是三角函数与复合的三角函数的周期），并熟悉周期函数的积分性

对数函数图像及其性质

《对数函数及其性质》学校：广西师范大学院系：数学科学学院作者：学号：对数函数及其性质一、教学设计理念本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的， GUANGXINOPMAL UNlVEPSITY 人教A版第二章第2.2.2节

针对学生的学习背景，体现新课标要求和“学生是课堂活动的主体，教师是学生活动的引导者、组织者、帮助者”的教学理念。首先，基于“人人有份”的数学教学思想，坚持面向全体学生，引导学生积极主动地参与获取知识的全部过程，体现了学生为中心的教育教学理念。其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。数学课堂教学应该是一个自然的知识发生过程，课堂教学要坚持以学生为主体，教师为主导的“双主”地位，结合学情，让学生参与数学基本活动，探究和挖掘数学知识本质，以恰时恰点的问题引导数学活动，培养学生的问题意识，孕育创新精神。遵循这样的理念，我对此课时进行了如下设计：第一、在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。第二、在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。第三、通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。二、学情分析（一）学习的知识起点学生在前面已经学习了指数函数及其性质，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对对函数的思想方法的理解。（二）学习的经验起点大部分学生已经掌握了一些函数知识，具备一定学习函数的基本能力，如通过类比分析问题的能力；且有一定的自学能力。但由于高一学生思维的逻辑性还不是很严密，所以对于不同底数a 的对数函数的性质不能很好地进行区分。从学生的学习经验出发，让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通过数形结合，让学生感受对数函数中底数a 取不同的值时反映出不同的函数图象，让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规律，从而达到学生对对数函数知识的深刻掌握。三、教材分析（一）教材的地位与作用对数函数是在学生系统地学习了指数函数概念及性质, 掌握了对数与对数的运算性质的基础上展开研究的。作为重要的基本初等函数之一, 对数函数是指数函数知识的拓展和延伸，同时也为学生今后进一步学习对数方程、对数不等式等提供了必要的基础知识，因此对数函数在知识体系中起了承上启下的作用。它的教学过程，体现了数形结合的思想，同时蕴涵丰富的解题技巧，这对培养学生的观察、分析、概括的能力、发展学生严谨的思维能力有重要作

高中数学必修一函数的性质单调性与奇偶性典型精讲精练

1文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑. 函数单调性证明格式： ① 取任意两个数12,x x 属于定义域D ，且令12x x <（反之亦可）； ② 作差12()()f x f x -并因式分解； ③ 判定 12()()f x f x -的正负性，并由此说明函数的增减性；例 1 用定义法判定下列函数的增减性： ① y x =； ②2y x =； ③3y x =； ④y = ⑤1 y x = ；练习：1. 判断函数()f x = 2.证明函数 3()f x x x =+在R 上是增函数；例 2 已知函数 1 ()(0)f x x x x =+>，求证：函数的单调减区间为(0,1]，增区间为[1,)+∞，并画出图像；练习：证明函数 x x x f 2 )(+ =在),2(+∞上是增函数。 3.复合函数的单调性复合函数的单调性判断（同增异减）：构造中间过度函数，按定义比较函数大小并确定函数的单调性；例 3 判断函数的单调性：（1 ） ()f x = （2 ）()f x =；（3） 2 1 ()2 f x x = +；练习：① y = ②2 13y x = -； ③ 2 154y x x = +-； ④ y ； 4.函数的单调性的等价关系设[]1212,,,x x a b x x ∈≠那么 []1212()()()0x x f x f x -->?[]1212()() 0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --时，()1f x >且对任意的,a b 都有()()()f a b f a f b +=? (1)求证： (0)1f = ； (2)求证：对任意的x R ∈恒有 ()0f x > ； (3)求证：f(x)是R 上的增函数； (4)若2()(2)1f x f x x ?->,求x 的取值范围相关练习 1、设 ()f x 的图像关于原点对称，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ?<的解集是………………( ) A {}|303x x x -<<>或 B {}|303x x x <-<<或 C {}|33x x x <->或 D {}|3003x x x -<<<<或 2、若 )(x f 的图像关于y 轴对称，且在[)+∞,0上是减函数，则235()(2)2 2 f f a a -++与的大小关系…( ) A )2 3(-f >)25 2(2++a a f B )23 (-f <)25 2(2++a a f C ) 23 (-f ≥ )2 5 2(2++a a f D 3() 2f -≤25(2)2 f a a ++

函数的基本性质奇偶性教案2

1．3函数的基本性质-----奇偶性（一）教学目标 1．知识与技能：使学生理解奇函数、偶函数的概念，学会运用定义判断函数的奇偶性. 2．过程与方法：通过设置问题情境培养学生判断、推断的能力. 3．情感、态度与价值观：通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操. 通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质. （二）教学重点与难点重点：函数的奇偶性的概念；难点：函数奇偶性的判断. （三）教学方法应用观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，通过设置问题引导学生观察分析归纳，形成概念，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的体验和理解. 对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固. （四）教学过程一．复习与回顾 1、在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义是什么？ 2、要求学生同桌两人分别画出函数f (x) =x3与g (x) = x2的图象. 3、多媒体屏幕上展示函数f (x) =x3和函数g (x) = x2的图象，并让学生分别求出x =±3，x =±2， x=±1 2 ，…的函数值，同时令两个函数图象上对应的点在两个函数图象上闪现，让学生发现两个函数的对称性反映到函数值上具有的特性：f (–x) = –f (x)，g (–x) = g (x). 然后通过解析式给出证明，进一步说明这两个特性对定义域内的任意一个x都成立. 二．新课讲授 1、奇函数、偶函数的定义：奇函数：设函数y = f (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有f (–x) = –f (x)，则这个函数叫奇函数. 偶函数：设函数y = g (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有g (–x) = g (x)，则这个函数叫做偶函数. 问题1：奇函数、偶函数的定义中有“任意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？强调定义中“任意”二字，说明函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性 . 问题2：–x与x在几何上有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？奇函数与偶函数的定义域的特征是关于原点对称. 问题3：结合函数f (x) =x3的图象回答以下问题：（1）对于任意一个奇函数f (x)，图象上的点P (x，f (x))关于原点对称点P′的坐标是什么？点P′是否也在函数f (x)的图象上？由此可得到怎样的结论. （2）如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，能否判断它的奇偶性？ 2、奇函数与偶函数图象的对称性：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象以坐标原点为对称中心的中心对称图形. 反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. 如果一个函数是偶函数，则它的图形是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 3、举例分析

函数的基本性质——奇偶性

函数的基本性质——奇偶性【教学目标】 1．知识与技能：理解函数的奇偶性及其几何意义； 2．过程与方法：学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3．情感、态度与价值观：学会判断函数的奇偶性。【教学重难点】教学重点：函数的奇偶性及其几何意义。教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式。【教学过程】一、引入课题。实践操作：（也可借助计算机演示）取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题： ①以轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，y 然后将纸展开，观察坐标系中的图形；问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什()y f x =么特殊的关系？答案：（1）可以作为某个函数的图象，并且它的图象关于轴对称；（2）若点()y f x =y 在函数图象上，则相应的点也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相()()x f x ，()()x f x -，反数的点，它们的纵坐标一定相等。 ②以轴为折痕将纸对折，然后以轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出y x 第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形：问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什()y f x =么特殊的关系？

答案：（1）可以作为某个函数的图象，并且它的图象关于原点对称；（2）若()y f x =点在函数图象上，则相应的点也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为()()x f x ，()()x f x -，相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数。二、新课教学。函数的奇偶性定义：象上面实践操作①中的图象关于y 轴对称的函数即是偶函数，操作②中的图象关于原点对称的函数即是奇函数。 1．偶函数（even function ）一般地，对于函数的定义域内的任意一个x ，都有，那么就叫做()f x ()()f x f x -=()f x 偶函数。（学生活动）：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义 2．奇函数（odd function ）一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做()f x x ()()f x f x -=()f x 奇函数。注意： ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个，则也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 x x -具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于轴对称； y 奇函数的图象关于原点对称。三、典型例题。 1．判断函数的奇偶性例1．应用函数奇偶性定义说明两个观察思考中的四个函数的奇偶性。（本例由学生讨论，师生共同总结具体方法步骤）解：（略）总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定与的关系； ()f x -()f x