等式约束极值问题-外点罚函数法
重庆科技学院学生实验报告
附录function [x,minf] = minGeneralPF(f,x0,h,c1,p,var,eps) format long;
if nargin == 6
eps = 1.0e-4;
end
k = 0;
FE = 0;
for i=1:length(h)
FE = FE + (h(i))^2;
end
x1 = transpose(x0);
x2 = inf;
while 1
M = c1*p;
FF = M*FE;
SumF = f + FF;
[x2,minf] = minNT(SumF,transpose(x1),var);
if norm(x2 - x1)<=eps
x = x2;
break;
else
c1 = M;
x1 = x2;
end
end
minf = subs(f,var,x);
format short;
%牛顿法求解无约束最优化问题
function [x,minf] = minNT(f,x0,var,eps)
format long;
if nargin == 3
eps = 1.0e-6;
end
tol = 1;
x0 = transpose(x0);
gradf = jacobian(f,var);
jacf = jacobian(gradf,var);
while tol>eps
v = subs(gradf,var,x0);
tol = norm(v);
pv = subs(jacf,var,x0);
p = -inv(pv)*transpose(v);
p = double(p);
x1 = x0 + p;
x0 = x1;
end
x = x1;
minf = subs(f,var,x);
format short;
>> syms x y;
>> minGeneralPF(x^2+y^2,[1,1],y^2-1,1000,10,[x,y],0.0001) ans =
1.0000
第四章 非线性规划1-约束极值问题
第四章 非线性规划 ???? ???? 无约束最优化问题线性规划约束最优化问题非线性规划 ?? ?凸规划约束最优化问题非凸规划 ?? ?直接解法约束最优化问题求解方法间接解法 间接解法是将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题来解的一种方法。由于这类方法可以选用有效的无约束优化方法，且易于处理同时具有不等式约束和等式约束的问题，因而在工程优化中得到了广泛的应用。 直接解法是在满足不等式约束的可行设汁区域内直接按索问题的约束最优解。 第一节 目标函数的约束极值问题 所谓约束优化设计问题的最优性条件．就是指在满足等式和不等式约束条件下，其目标函数值最小的点必须满足的条件，须注意的是，这只是对约束的局部最优解而言。 对于带有约束条件的目标函数，其求最优解的过程可归结为： 一、约束与方向的定义 一）起作用约束与松弛约束 对于一个不等式约束()0g X ≤来说，如果所讨论的设计点() k X 使该约束()0g X =(或 者说() k X 当时正处在该约束的边界上)时，则称这个约束是() k X 点的一个起作用约束或紧约 束，而其他满足()0g X <的约束称为松弛约束。
冗余约束 40g ≤ 当一个设计点同时有几个约束起作用时，即可定义起作用约束集合为 {}()()()|()0,1,2, ,k k u I X u g X u m === 其意义是对() k X 点此时所有起作用约束下标的集合。 二）冗余约束 如果一个不等式约束条件的约束面(即()0g X =)对可行域的大小不发生影 响，或是约束面不与可行域D 相交，即此约束称为冗余约束。 三）可行方向 可行方向：一个设计点()k X 在可行域内，沿某一个方向S 移动，仍可得到一个属于可行域的新点，则称该方向为可行方向。 1）设计点为自由点 设计点() k X 在可行域内是一个自由点，在各个方 向上都可以作出移动得到新点仍属于可行域，如图所示。 2）设计点为约束边界点 当设计点()k X 处于起作用约束i g 上时，它的移动就会受到可行性的限制。此时，()k X 点的可行方向S 必满足条件： ()0T k i S g X ?≤ （解释：()()cos ,()T k k T k i i i S g X S g X S g X ?=??，,()90T k i S g X ?≥?）） 当,()90T k i S g X ?=?时，方向S 是约束函数i g 在()k X 点处的切线方向，即()0T k i S g X ?=。 当某个设计点x 同时有几个约束起作用时(如
极值点偏移问题专题
极值点偏移问题专题（0)——偏移新花样（拐点偏移） 例１已知函数()22ln f x x x x =++，若正实数1x ,2x 满足()()12+=4f x f x , 求证：122x x +≥。 证明：注意到()1=2f ，()()()12+=21f x f x f ()()()12+=21f x f x f ()2 = +210f x x x '+> ()22 =2f x x ''-+,()1=0f '',则（1,2)是()f x 图像的拐点,若拐点(１,２）也是()f x 的对称 中心,则有12=2x x +,证明122x x +≥则说明拐点发生了偏移,作图如下 想到了“极值点偏移”,想到了“对称化构造”,类似地,不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理． 不妨设1201x x <≤≤，要证 ()() 1221212 212x x x x f x f x +≥?≥-≥?≥- ()() ()() 11114242f x f x f x f x ?-≥-?≥+- ()()()2F x f x f x =+-,(]0,1x ∈,则 ()()()()222212212F x f x f x x x x x '''=--????=++-+-+ ? ?-????
() () 1 4110 2 x x x ?? =--≥ ? ? - ?? , 得() F x在(]0,1上单增，有()()() 1214 F x F ≤=+=，得证。 2、极值点偏移PK拐点偏移常规套路 1、极值点偏移(()00 f x '=) 二次函数()() 12120 2 f x f x x x x =?+= 2、拐点偏移() () f x ''= ()()() 120120 22 f x f x f x x x x +=?+= 极值点偏移问题专题(１)——对称化构造（常规套路） 例1（２０１0天津） 已知函数()e x f x x- =． (１）求函数() f x的单调区间和极值； (2)已知函数() g x的图像与() f x的图像关于直线1 x=对称,证明:当1 x> ()() 12201 120 2 2 f x f x x x x x x x =?>- ?+> ()()() 120201 120 22 2 f x f x f x x x x x x x +=?>- ?+>
函数的零点、极值点、驻点与拐点的关系
在日常生活和高中数学学习中有些相近的概念容易混为一谈，例如： 有的经济学家或股评专家分析预测股市（或房市）的发展，根据......，当前股市形势大好，预期股市成交量或指数会出现“拐点”......，意思说成交量或指数会有从下降到上升的反转。但是，这里引用的“拐点”并非数学意义上的“拐点”。还曾经有一位文科教师在讲课中想说明“一个量随着另一个量的增加而增加“的数量关系，就引用了数学中的“正比例关系“，例如： “知识与阅读量成正比例关系。”显然是不准确，甚至错误的。 人们有时为了使自己的论点可信度高，常常会引用一些数学概念或结论作“马甲“，特别是当今“大数据”时代。但是，数学中许多概念相近，不仅是不熟悉数学的人们搞不清楚，就是从教和学习数学的老师与学生也常常搞混。例如： 函数的零点、极值点、驻点和拐点等，下面针对这几个概念，简单地说说它们的定义、几何意义、联系和区别。 函数的零点是使得函数值为零的自变量的值。例如： f(x)=x-1，x=1就是函数f(x)的零点。 函数的极值点是函数的单调性发生变化的点，或是函数的局部极大值或极小值点。当函数存在导数时，函数的极值点是其导函数的变号零点（2014山东高考数学21题的考点）。例如： f(x)=x^2-1，x=0就是函数的f(x)的极小值点。或者说函数在x=0附近的函数值都比x=0时的函数值大。 且x=1和x=-1是函数f(x)的零点。再如： g(x)=|x|，x=0是函数的极小值点，但不是函数的驻点。函数的驻点是函数一阶导数为零的点，即函数的驻点是函数的导函数的零点。但函数的驻点不一定是函数的极值点。当函数存在导数时，极值点一定是驻点，反之不一定正确。例如：
等式约束最小二乘在“北斗”姿态测量中的应用
doi :10.3969/j.issn.1001-893x.2016.07.008引用格式:汪镱林,田增山.等式约束最小二乘在 北斗 姿态测量中的应用[J].电讯技术,2016,56(7):760-764.[WANG Yilin,TIAN Zengshan. Application of equality constrained least squares in BDS attitude determination[J].Telecommunication Engineering,2016,56(7):760-764.] 等式约束最小二乘在 北斗 姿态测量中的应用 * 汪镱林**,田增山 (重庆邮电大学移动通信技术重庆市重点实验室,重庆400065)摘 要:针对传统无约束的姿态测量中整周模糊度求解成功率不高的问题,提出利用等式约束快速求解整周模糊度的算法,并将其应用于 北斗 姿态测量三该算法充分利用基线的先验信息,在整周模糊度的求解过程中加入等式约束,同时利用拉格朗日乘子法求解约束整数最小二乘问题,提高了姿态测量中整周模糊度和姿态角的求解成功率三采用静态测试和动态测试验证该算法,结果表明在 北斗 单历元条件下,整周模糊度及姿态角的求解成功率提升30%左右三 关键词: 北斗 卫星导航定位系统;姿态测量;整周模糊度;等式约束;拉格朗日乘子 中图分类号:TN965;P228 文献标志码:A 文章编号:1001-893X (2016)07-0760-05 Application of Equality Constrained Least Squares in BDS Attitude Determination WANG Yilin,TIAN Zengshan (Chongqing Key Laboratory of Mobile Communications Technology,Chongqing University of Posts and Telecommunications,Chongqing 400065,China)Abstract :For the low success rate problem of ambiguity resolution in traditional unconstrained attitude de-termination,this paper proposes an algorithm that uses quadratic equality constraint to fast determine inte-ger ambiguity,and applies it to Beidou Navigation Satellite System(BDS)attitude determination.This algo-rithm makes full use of a priori information baseline,adds equality constraints in the process of solving the ambiguity,and takes advantage of the Lagrange multiplier method for solving constrained integer least squares problems,thus improving the success rates of integer ambiguity resolution and attitude angle resolu-tion.Static tests and dynamic tests validate that the algorithm can dramatically improve the success rates of integer ambiguity resolution and BDS attitude determination by about 30%under the condition of the BDS single epoch.Key words :Beidou navigation satellite system;attitude determination;integer ambiguity;equality constrain-ed;Lagrange multiplier 1 引 言 在 北斗 卫星导航定位系统中,高精度的载波 相位技术可以应用在高精度定位和姿态测量中,利 用载波相位进行高精度姿态测量的核心问题是整周模糊度的求解,尤其是在单历元的实时应用方面三整周模糊度求解方法有很多种,目前应用最为广泛的是最小二乘模糊度去相关平差(Least Squares Ambiguity Decorrelation Adjustment,LAMBDA )算四067四第56卷第7期2016年7月电讯技术Telecommunication Engineering Vol.56,No.7July,2016***收稿日期:2015-12-03;修回日期:2016-03-03 Received date :2015-12-03;Revised date :2016-03-03基金项目:重庆市基础与前沿研究计划项目(cstc2013jcyjA40032)Foundation Item :The Fundamental and Frontier Research Project of Chongqing (cstc2013jcyjA40032)通信作者:vixylin@https://www.360docs.net/doc/6a16687130.html, Corresponding author :vixylin@https://www.360docs.net/doc/6a16687130.html,
极值点偏移问题
极值点偏移问题总结 一、 判定方法 1、极值点偏移的定义 对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为 21x x 、，且b x x a <<<21， （1）若 02 12x x x ≠+，则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移； （2） 若0212 x x x >+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏，简称极值点0 x 左偏； （3）若02 12 x x x <+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏，简称极值点0 x 右偏。 2、极值点偏移的判定定理 证明：（1）因为可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，又 b x x a <<<21，有 ),(221b a x x ∈+由于0)2('21>+x x f ，故),(2 02 1x a x x ∈+，所以02 1)(2 x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏。
证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，又 b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以 02 1)(2 x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏. 结论（2）证明略。 二、 运用判定定理判定极值点偏移的方法 1.方法概述： （1）求出函数()f x 的极值点； （2）构造一元差函数00()()()F x f x x f x x =+-- （3）确定函数()F x 的单调性； （4）结合(0)0F =，判断()F x 的符号，从而确定00(),()f x x f x x -+的大小关系。 2.抽化模型 答题模板：若已知函数()f x 满足12()()f x f x =，0x 为()f x 的极值点，求证：1202x x x +< （1）讨论函数()f x 的单调性并求出()f x 的极值点0x ； 假设此处()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞ 上单调递增。 （2）构造00()()()F x f x x f x x =+--；
函数极值点偏移问题
函数极值点偏移问题 在近年的高考和各地的质检考试中，经常可以看到与函数的极值点偏移有关的问题，这类问题由于难度大，往往使得考生望而生畏，不知如何下手，本文试提供一种解题策略，期望对考生有所帮助．先看一道试题： 【例1】（2015年蚌埠市高三一质检试题）已知函数f（x）=xe－x． （1）求函数f（x）的单调区间和极值； （2）若x1≠x2，f（x1）=f（x2），求证x1+x2＞2．该题意在考查学生运用导数处理有关函数的单调性及极值问题以及综合运用有关知识分析、解决问题的能力和化归转化的数学思想． 解析1．e 第（2）问： 构造函数F（x）=f（1+x）－f（1－x）=（1+x）e－（1+x）－（1－x）ex－1，则F'（x）=x［ex－1－e－（1+x）］， 当x＞0时，F'（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）单调递增， 又F（0）=0，∴F（x）＞0，即f（1+x）＞f（1－x）． ∵x1≠x2，不妨设x1＜x2，由（1）知x1＜1，x2＞1，所以f（x1）=f（x2）=f［1+（x2－1）］＞f［1－（x2－1）］=f（2－x2），∵x2＞1，∴2－x2＜1，又f（x）在（－∞，1）上单调递增，∴x1＞2－x2，∴x1+x2＞2． 上述解答，通过构造差函数F（x）=f（1+x）－f（1－x），紧接着对F（x）进行求导，判断性质，不需复杂的变形，切入点好，程序清晰，易操作．其解题本质是x1与2－x2的大小关系不易直接比较时，通过化归转化为比较函数值f（x1）与f（2－x2）的大小关系，再结合f（x）的单调性获得解决．这里的1显然是f（x）的极值点，就是直线y=f（x1）=f（x2）=h被函数y=f（x）图象所截线段中点的横坐标，要证x1+x2＞2，只需证f（x1）＞f（2－x2），因此，问题本质是证极值点偏移问题． 若设f（x）的极值点为x0，则可将上述的解题策略程序化如下： ①构造差函数F（x）=f（x0+x）－f（x0－x） ②对F（x）求导，判断F'（x）的符号，确定F（x）的单调性， ③结合F（0）=0，判断F（x）的符号，确定f（x0+x）与f（x0－x）的大小关系
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系_知识点总结
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系_知识点总结 高考数学知识点：函数的极值与导数的关系极值的定义： （1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。 极值的性质： （1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法： 若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。 求函数f（x）的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。 对函数极值概念的理解： 极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点： ①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图 ②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图． ③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值． ④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
极值点偏移问题的两种常见解法之比较
极值点偏移问题的两种常见解法之比较 浅谈部分导数压轴题的解法 在高考导数压轴题中，不断出现极值点偏移问题，那么，什么是极值点偏移问题？参考陈宽宏、邢友宝、赖淑明等老师的文章，极值点偏移问题的表述是：已知函数()y f x =是连续函数，在区间12(,)x x 内有且只有一个极值点0x ，且 12()()f x f x =，若极值点左右的“增减速度”相同，常常有极值点12 02 x x x += ，我们称这种状态为极值点不偏移；若极值点左右的“增减速度”不同，函数的图象不具有对称性，常常有极值点12 02 x x x +≠的情况，我们称这种状态为“极值点偏移”. 极值点偏移问题常用两种方法证明：一是函数的单调性，若函数()f x 在区间(,)a b 内单调递增，则对区间(,)a b 内的任意两个变量12x x 、， 1212()()f x f x x x . 二是利用“对数平均不等式”证明，什么是“对数平均”？什么又是“对数平均不等式”？ 两个正数a 和b 的对数平均数定义：,,(,)ln ln ,, a b a b L a b a b a a b -?≠? =-??=? 对数平均数与算术平均数、 (,)2 a b L a b +≤≤，（此式记为对数平均不等式） 下面给出对数平均不等式的证明： i ）当0a b =>时，显然等号成立 ii ）当0a b ≠>时，不妨设0a b >>， ln ln a b a b --， ln ln a b a b -<-， 只须证：ln a b < 1x =>，只须证：1 2ln ,1x x x x ≤-> 设1 ()2ln ,1f x x x x x =-+>，则222 21(1)()10x f x x x x -'=--=- <，所以()f x
极值点偏移问题专题.(精选)
极值点偏移问题专题（0）——偏移新花样（拐点偏移） 例1已知函数()22ln f x x x x =++，若正实数1x ，2x 满足()()12+=4f x f x ， 求证:122x x +≥。 证明：注意到()1=2f ，()()()12+=21f x f x f ()()()12+=21f x f x f ()2 =+210f x x x '+> ()22 =2f x x ''-+，()1=0f ''，则（1,2）是()f x 图像的拐点，若拐点（1,2）也是()f x 的 对称中心，则有12=2x x +，证明122x x +≥则说明拐点发生了偏移，作图如下 想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理． 不妨设1201x x <≤≤，要证 ()() 1221212 212x x x x f x f x +≥?≥-≥?≥- ()() ()() 11114242f x f x f x f x ?-≥-?≥+- ()()()2F x f x f x =+-，(]0,1x ∈，则 ()()()()222212212F x f x f x x x x x '''=--????=++-+-+ ? ?-????
() ( ) 1 4110 2 x x x ?? =--≥ ? ? - ?? ， 得() F x在(]0,1上单增，有()()() 1214 F x F ≤=+=，得证。 2、极值点偏移PK拐点偏移常规套路 1、极值点偏移（()00 f x '=） 二次函数()() 12120 2 f x f x x x x =?+= 2、拐点偏移() () f x ''= ()()() 12 0120 22 f x f x f x x x x +=?+= 极值点偏移问题专题（1）——对称化构造（常规套路） 例1（2010 天津）已知函数()e x f x x- =． （1）求函数() f x的单调区间和极值； （2）已知函数() g x的图像与() f x的图像关于直线1 x=对称，证明：当1 x>时， ()() 12201 120 2 2 f x f x x x x x x x =?>- ?+> ()()() 120201 120 22 2 f x f x f x x x x x x x +=?>- ?+>
matlab 最小二乘最优问题
最小二乘最优问题（转） 默认分类2009-05-21 14:56:33 阅读62 评论1 字号：大中小 1.约束线性最小二乘 有约束线性最小二乘的标准形式为 sub.to 其中：C、A、Aeq 为矩阵；d、b、beq、lb、ub、x 是向量。 在MA TLAB5.x 中，约束线性最小二乘用函数conls 求解。 函数lsqlin 格式x = lsqlin(C,d,A,b) %求在约束条件下，方程Cx = d 的最小二乘解x。 x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq) %Aeq、beq 满足等式约束，若没有不等式约束，则设A=[ ]，b=[ ]。 x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub) %lb、ub 满足，若没有等式约束，则Aeq=[ ]，beq=[ ]。 x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) % x0 为初始解向量，若x 没有界，则lb=[ ]，ub=[ ]。 x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % options 为指定优化参 数 [x,resnorm] = lsqlin(...) % resnorm=norm(C*x-d)^2，即2-范数。 [x,resnorm,residual] = lsqlin(...) %residual=C*x-d，即残差。 [x,resnorm,residual,exitflag] = lsqlin(...) %exitflag 为终止迭代的条 件 [x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqlin(...) % output 表示输出
高中数学极值点偏移问题
极值点偏移问题 沈阳市第十一中学数学组：赵拥权 一：极值点偏移（俗称峰谷偏）问题的定义 对于可导函数在区间（a,b ）上只有一个极大（小）值点,方程(f(x)=m)的解 分别为 且 < 2） 若函数f(x)满足 有下列之一成立： ①f(x)在 递增，在(a,2a)递减,且f(a-x)<（>）f(a+x)(f(x)<(>)f(2a-x)) ②f(x)在(0,a)递减,在(a,2a)递增,且f(a-x)>(<)f(x+a)(f(x)>(<)f(2a-x)) 则函数f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a 偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数)其中① 极大值左偏（或右偏）也称峰偏左（或右）②极小值偏左（或偏右）也称谷偏左（或右）； 性质： 1) )(x f 的图象关于直线a x 对称若 则 <=> ,( =0, ); 2)已知函数是满足条件的极大值左偏（峰偏左）若 则则 ,及 极值点偏移解题步骤： ①求函数f(x)的极值点； ②构造函数F(x)=f(x+)-f( (F(x)=f()-f(, F(x)=f(x+)-f( , F(x)=f(x)-f( )确定F(x)单调性 ③结合F(0)=0（F(-)=0,F(判断F(x)符号从而确定f(x+),f(( f(x+)与f( f(x)与f(的大小关系; 答题模式： 已知函数y=f(x)满足 ,为函数y=f(x)的极值点,求证： ①求函数f(x)的极值点； ②构造函数F(x)=f(x+)-f( 确定F(x)单调性 例1、已知函数()d cx bx x x f +++=23（d c b 、、为常数），当()1,0∈x 时取极大值， 当()2,1∈x 时取极小值，则()2 2132b c ? ?++- ?? ?的取值范围是（ ） A 、2?? ? ??? B 、 ) C 、37,254?? ??? D 、()5,25 【巩固练习】 设函数cx bx x x f 33)(2 3 ++=有两个极值点21,x x ,且[]0,11-∈x ,[]2,12∈x ,则（ ） A.21)(101- ≤≤-x f B.0)(2 1 1≤≤-x f C.27)(01≤≤x f D.10)(2 7 1≤≤x f 例2、已知函数())1ln(2 ++=x a x x f 有两个极值点21,x x ，21x x <。 （1）求a 的取值范围； （2）求证：()4 2 ln 212->x f 【巩固练习】已知函数()x e mx x f 22 -=有两个极值点21x x <，21,x x 。 （1）求m 的取值范围；（2）求证：()21-<<-x f e 例3、已知函数()()R a ax x x f x x g ∈-==,,ln 2 。 （1） 若()()x g x f ≥对于定义域内的x 恒成立，求a 的取值范围； （2） 设()()()x g x f x h +=函数有两个极值点21,x x ，且?? ? ?? ∈21,01x ，求证： ()()2ln 4 3 21-> -x h x h 【巩固练习】已知. （1）若对于公共定义域内的任意恒成立,求实数的取值范围; （2）设有两个极值点,且,若恒成立,求实数的最大值. )()()(,ln )(,)(2 x g x f x h x x g ax x x f +==-=)()(x g x f ≥x a )(x h 21,x x )2 1,0(1∈x m x h x h >-)()(21m 【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试卷难度考查较大. 【方法点评】 类型一利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解读】 试卷分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞ 【答案】B 【解读】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解读】 试卷分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为 等式约束优化问题的极值条件 求解等式约束优化问题 )(m i n x f ..t s ()0=x h k ()m k ,,2,1???= 需要导出极值存在的条件，对这一问题有两种处理方法：消元法和拉格朗日乘子法（升维法） 一、消元法（降维法） 1.对于二元函数 ),(min 21x x f ..t s ()0,21=x x h ， 根据等式约束条件，将一个变量1x 表示成另一个变量2x 的函数关系()21x x ?=，然后将这一函数关系代入到目标函数()21,x x f 中消去1x 变成一元函数()2x F 2.对于n 维情况 ()n x x x f ,,,min 21???..t s ()0,,,21=???n k x x x h ),,2,1(l k ???= 由l 个约束方程将n 个变量中的前l 个变量用其余的l n -个变量表示： ()n l l x x x x ,,,2111???=++? ()n l l x x x x ,,,2122???=++? ... ()n l l l l x x x x ,,,21???=++? 将这些函数关系代入到目标函数中，得到()n l l x x x F ,,,21???++ 二、拉格朗日乘子法（升维法） 设T n x x x x ),,,(21???=，目标函数是()x f ，约束条件()0=x h k ),,2,1(l k ???=的l 个等式约束方程。为了求出()x f 的可能极值点T n x x x x ),,,(**2*1*???=，引入拉格朗日乘子k λ),,2,1(l k ???=，并构成一个新的目标函数 ()()x h x f x F l k k k ∑=+=1),(λλ 把()λ,x F 作为新的无约束条件的目标函数来求解它的极值点，满足约束条件 ()0=x h k ),,2,1(l k ???=的原目标函数()x f 的极值点。 ()λ,x F 具有极值的必要条件 ),,2,1(0n i x F i ???==?? ，),,2,1(0l k F k ???==??λ可得n l + 3不含参数的极值点偏移问题 函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数. 例1：已知函数()()x f x xe x R -=∈ ，如果12x x ≠，且12()()f x f x =. 证明：12 2.x x +> 构造函数()(1)(1),(0,1]F x f x f x x =+--∈， 则0)1()1(')1(')('21>-=--+=+x x e e x x f x f x F ， 所以()F x 在(0,1]x ∈上单调递增，()(0)0F x F >=， 也即(1)(1)f x f x +>-对(0,1]x ∈恒成立. 由1201x x <<<，则11(0,1]x -∈， 所以11112(1(1))(2)(1(1))()()f x f x f x f x f x +-=->--==， 即12(2)()f x f x ->，又因为122,(1,)x x -∈+∞，且()f x 在(1,)+∞上单调递减， 所以122x x -<，即证12 2.x x +> 法2：由12()()f x f x =，得1212x x x e x e --=，化简得212 1x x x e x -=， 不妨设21x x >，由法一知，1201x x <<<. 令21t x x =-，则210,t x t x >=+，代入式，得11 t t x e x +=， 反解出11 t t x e =-， 则121221t t x x x t t e +=+= +-，故要证122x x +>， 即证221 t t t e +>-， 又因为10t e ->，等价于证明：2(2)(1)0 t t t e +-->， 构造函数()2(2)(1),(0)t G t t t e t =+-->，则()(1)1,()0t t G t t e G t te '''=-+=>， 故()G t '在(0,)t ∈+∞上单调递增，()(0)0G t G ''>=， 从而()G t 也在(0,)t ∈+∞上单调递增，()(0)0G t G >=， 即证：②式成立，也即原不等式X1+X2＞2成立 极值点偏移问题专题（0 ）——偏移新花样（拐点偏移） 例 1 已知函数f x2ln x x2x ，若正实数x1，x2满足 f x1 +f x2 =4 ，求证 : x1x2 2 。 证明：注意到 f1=2 ， f x1 +f x2=2f 1 f x1 +f x2=2f1 f x =2 10 +2x x f x =2 2 ， f 1 =0 ，则（1,2）是 f x 图像的拐点，若拐点（1,2）也是 f x 的x2 对称中心，则有x1x2 =2 ，证明 x1x2 2 则说明拐点发生了偏移，作图如下 想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理． 不妨设 0 x11x2，要证 x1x22 x22x11 f x2f 2 x1 4f x1f2x1 4f x1f2x1 F x f x f2x， x0,1 ，则 F x f x f2x 2 2x12 2 2x 1 x2x 1 ， 4 1 x 1 0 x 2x 得 F x 在 0,1上单增，有 F x F 1 2 1 4 ，得证。 2 、极值点偏移PK 拐点偏移常规套路 1 、极值点偏移（ f x00 ） 二次函数 f x1 f x2x1x22x0f x 1 f x 2 x 2 2x x 1 x1x22x0 2 、拐点偏移 f x00 f x1 f x2 2 f x0 f x1 f x2 2 f x0x2 2x0 x1 x1 x2 2x0 x2 2x0 x1 极值点偏移问题专题（ 1 ）——对称化构造（常规套路） 例 1 （ 2010 天津）已知函数 f x xe x． （1）求函数f x的单调区间和极值； （2）已知函数g x的图像与f x的图像关于直线x 1对称，证明：当x 1时， 关于极值点与零点的几个题 一．解答题（共7小题） 1．已知函数． （1）若y=f（x）在（0，+∞）恒单调递减，求a的取值围； （2）若函数y=f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求a的取值围并证明x1+x2＞2． 2．已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在定义域有两个不同的极值点 （1）求a的取值围； （2）记两个极值点x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式x1?x2λ＞e1+λ恒成立，求λ的取值围． 3．已知函数f（x）=ln﹣ax2+x， （1）讨论函数f（x）的极值点的个数； （2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3﹣4ln2． 4．已知函数f（x）=（e为自然对数的底数）． （1）若a=，求函数f（x）的单调区间； （2）若f（1）=1，且方程f（x）=1在（0，1）有解，数a的取值围． 5．已知函数f（x）=lnx﹣ax． （Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，数a的取值围； （Ⅱ）当a=1时，函数有两个零点x1，x2，且x1＜x2．求证：x1+x2＞1． 6．已知f（x）=ln（mx+1）﹣2（m≠0）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若m＞0，g（x）=f（x）+存在两个极值点x1，x2，且g（x1）+g（x2）＜0，求m的取值围． 7．已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）（a∈R），g（x）=f′（x）． （1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线3x﹣y﹣1=0平行，数a 的值； （2）若函数F（x）=g（x）+x2有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：f（x2）﹣1＜f（x1） 重庆科技学院学生实验报告 附录function [x,minf] = minGeneralPF(f,x0,h,c1,p,var,eps) format long; if nargin == 6 eps = 1.0e-4; end k = 0; FE = 0; for i=1:length(h) FE = FE + (h(i))^2; end x1 = transpose(x0); x2 = inf; while 1 M = c1*p; FF = M*FE; SumF = f + FF; [x2,minf] = minNT(SumF,transpose(x1),var); if norm(x2 - x1)<=eps x = x2; break; else c1 = M; x1 = x2; end end minf = subs(f,var,x); format short; %牛顿法求解无约束最优化问题 function [x,minf] = minNT(f,x0,var,eps) format long; if nargin == 3 eps = 1.0e-6; end tol = 1; x0 = transpose(x0); gradf = jacobian(f,var); jacf = jacobian(gradf,var); while tol>eps v = subs(gradf,var,x0); tol = norm(v); pv = subs(jacf,var,x0); p = -inv(pv)*transpose(v); p = double(p); x1 = x0 + p; x0 = x1; end x = x1; minf = subs(f,var,x); format short; >> syms x y; >> minGeneralPF(x^2+y^2,[1,1],y^2-1,1000,10,[x,y],0.0001) ans = 1.00006【题组六】函数极值点问题
导数与函数极值、最值问题(解析版)
约束优化问题的极值条件
3.不含参数的极值点偏移问题
(完整版)极值点偏移问题专题.docx
关于极值点的几个题目
等式约束极值问题-外点罚函数法