线面垂直及面面垂直典型例题
线面垂直与面面垂直 基础要点
1、若直线与平面所成得角相等,则平面与得位置关系就是( B ) A 、 ?B 、不一定平行于 Ｃ、不平行于 D 、以上结论都不正确 错误!未定义书签。、在斜三棱柱,,又,过作⊥底面ABC ,垂足为Ｈ ,则Ｈ一定在( B ) A 、直线A Ｃ上 ? Ｂ、直线A Ｂ上?? Ｃ、直线B Ｃ上 ? Ｄ、△A ＢC 得内部 错误!未定义书签。、如图示,平面⊥平面,与两平面所成得角分别为与,过A 、B 分别作两平面交线得垂线,垂足为,则( A )
Ａ、2:１? B 、３:1 ? Ｃ、3:2? D 、4:3 2、如图示,直三棱柱中,,
D Ｃ上有一动点P ,则△周长得最小值就是
5。已知长方体中,,
若棱AB 上存在点P,使得,则棱ＡD 长 得取值范围就是 。
题型一:直线、平面垂直得应用
1.(２０14,江苏卷)如图,在三棱锥P －ＡＢC 中,Ｄ,Ｅ,F 分别为棱Ｐ
C,ＡC,A Ｂ得中点。 已知、 求证:(1) ;(2) .
证明: (1) 因为Ｄ,E 分别为棱PC,AC 得中点, 所以DE ∥ＰA 。
又因为PA ? 平面ＤEF,ＤＥ ?平面ＤＥF, 所以直线ＰA ∥平面DE Ｆ、
(2) 因为D,Ｅ,F 分别为棱PC,A Ｃ,AB 得中点,PA=6,B Ｃ＝８,所以ＤE ∥PA,DE ＝ＰA ＝3,E Ｆ＝B Ｃ=４。
又因 ＤF ＝5,故D Ｆ２
＝ＤE 2＋E Ｆ2, 所以∠D ＥF ＝90°,即ＤE 丄E Ｆ。
又PA ⊥AC,ＤＥ∥PA,所以DE ⊥A Ｃ、
因为ＡＣ∩ＥF ＝E,AC ?平面ABC,E Ｆ?平面A ＢＣ,所以DE ⊥平面ABC.
又DE ?平面BDE,所以平面B ＤE ⊥平面ＡBC 。
2。 (２014,北京卷,文科)如图,在三棱柱中,侧棱垂直于底面,,,、分别为、得中点。
(1)求证:平面平面;(2)求证:平面. 证明:(1)在三棱柱中, 。
(2)取ＡB 得中点G,连接E Ｇ,FG 、分别为、得中点, ,
线面垂直
线线垂直 面面垂直
B 1
C 1
D 1
A D C
B
A
,则四边形为平行四边形,
111,,,C F EG EG ABE C F ABE C F ABE ∴??∴平面平面平面、
3、如图,就是所在平面外得一点,且平面,平面平面。求证.
分析:已知条件就是线面垂直与面面垂直,要证明两条直线垂直,应将两条直线中得一条纳入一个平面中,使另一条直线与该平面垂直,即从线面垂直得到线线垂直、.
证明:在平面内作,交于.因为平面平面于,平面,且,所以、又因为平面,于就是有①。另外平面,平面,所以。由①②及,可知平面.因为平面,所以。
说明:在空间图形中,高一级得垂直关系中蕴含着低一级得垂直关系,通过本题可以瞧到,面面垂直线面垂直线线垂直.
4。 过点引三条不共面得直线、、,如图,,,若截取 (１)求证:平面平面; (2)求到平面得距离.
分析:要证明平面平面,根据面面垂直得判定定理,须在平面或平面内找到一条与另一个平面垂直得直线、
(1)证明:∵, 又,
∴与都就是等边三角形, ∴,
取得中点,连结,∴、 在中,,∴,, ∴,∴. 在中,∴,,, ∴,∴,∴平面.
∵平面,∴平面平面.
或:∵,∴顶点在平面内得射影为得外心,
又为,∴在斜边上,
又为等腰直角三角形,∴为得中点, ∴平面、∵平面,∴平面平面、 (2)解:由前所证:,,∴平面,
∴得长即为点到平面得距离,, ∴点到平面得距离为、
3、如图示,ABCD 为长方形,S Ａ垂直于ＡBCD 所在平面,过A 且垂直于SC 得平面分别交SB 、ＳC 、SD 于E 、F 、G ,求证:AE ⊥S Ｂ,ＡG ⊥ＳＤ ６.在四棱锥P-ABCD 中,侧面PC Ｄ就是正三角形,且与底面ＡBCD 垂
直,已知底面就是面积为得菱形,,M 就是ＰB 中点、 D
C
B
A
S G
E
F
(1)求证:PACD
(2)求证:平面P ＡB 平面CDM
7.在多面体ABC ＤE 中,ＡB=BC=AC ＝
AE=1,CD=2,面A ＢC,AE ／／CD 、
(1)求证:AE/／平面ＢC Ｄ; (2)求证:平面BE Ｄ平面BC Ｄ 题型二、空间角得问题
1、如图示,在正四棱柱中,,Ｅ为上使得点,平面交于F,交得延长线于G,求:
(1)异面直线ＡD 与所成得角得大小 (２)二面角得正弦值
2.如图,点在锐二面角得棱上,在面内引射线,使与所成得角为,与面所成得角大小为,求二面角得大小.
分析:首先根据条件作出二面角得平面角,然后将平面角放入一个可解得三角形中(最好就是直角三角形),通过解三角形使问题得解、
解:在射线上取一点,作于,连结,则为射线与平面所成得角,.再作,交于,连结,则为在平面内得射影.由三垂线定理得逆定理,,为二面角得平面角、
设,在中,,在△中, ,
就是锐角,,即二面角等于.
说明:本题综合性较强,在一个图形中出现了两条直线所称得角,斜线与平面所称得角,二面角等空间角,这些空间角都要转化为平面角,而且还要彼此联系相互依存,要根据各个平面角得定义添加适当得辅助线、
3。 正方体得棱长为１,就是得中点.求二面角得大小.
分析:求二面角关键就是确定它得平面角,按定义在二面角得棱上任取了点,在二个半平面上分别作棱得垂线,方法虽简便,但因与其她条件没有联系,要求这个平面角一般就是很不容易得,所以在解题中不大应用。在解题中应用得较多得就是“三垂线定理"得方法,如图考虑到垂直于平面,在平面上得射影就就是。再过作得垂线,则面,过作得垂线,即为所求二面角得平面角了、
M
D
C B
A
P
E
D
C
A
A1D B
C
G
F
A
E
D1
解:过作及得垂线,垂足分别就是、,连结。 ∵面,面, ∴,又,∴面.
又∵,∴,∴为所求二面角得平面角. ∵∽,∴。 而,,,∴。
在中,、∵,∴。 在中,,在中,, ∴.
4。P A 垂直于矩形A ＢCD 所在平面,M 、E 、N 分别就是AB 、ＣＤ与P Ｃ得中点, (１)求证:ＭN ∥平面ＰAD
(2)若二面角P —ＤC －A 为,求证:平面MND ⊥平面PDC 5.已知正方体中,E 为棱上得动点,
(1)求证:⊥BD (２) 当E 恰为棱得中点时,求证:平面⊥平面
(3)在棱上就是否存在一个点Ｅ,可以使二面角得大小为?如果存在,试确定E 在棱上得位置;如果不存在,请说明理由。
题型三、探索性、开放型问题
１。如图,已知正方形ＡBCD 得边长为2,中心为O 、设平面ABCD,EC ／/PA,且PA=2。问当CE
为多少时,P Ｏ平面BED 。
2.已知△A ＢC 中,,AB ⊥平面ＢCD ,,E 、F 分别就是ＡC 、ＡD 上得动点,且
(１)求证:不论为何值,总有平面BEF ⊥平面AB Ｃ (2)当为何值时,平面B ＥF ⊥平面ACD ? C B A D
P
E
M
N
E
O
B
D
A P