离散数学试卷七试题与标准答案
试卷七试题与答案
一、 填空
1、 n 阶完全图K n 的边数为 。
2、 右图 的邻接矩阵A= 。
3、 完全二叉树中，叶数为
n t ，则边数
m= 。 4、 设< {a,b,c}, * >为代数系统，* 运算如下：
则它的幺元为 a 、b 、c 的逆元分别为 。 5、任何图的点连通度)(G κ，边连通度)(G λ，最小点度)(G δ的关系为
。
6、在具有n 个结点的有向图中，任何基本通路的长度都不超过 。
7、结点数n （3≥n
）的简单连通平面图的边数为m ，则m 与n 的关系为 。
8、若对命题P 赋值1，Q 赋值0，则命题Q P
?的真值为 。
9、命题“如果你不看电影，那么我也不看电影”（P ：你看电影，Q ：我看电影）的符号化为 。 10、若关系R 是等价关系，则R 满足 性质。
二、 选择
1、 左边图的补图为（ ）。
* a b c a a b c b b a c c
c
c
c
2、对左图G，则
)
(
),
(
),
(G
G
G
kδ
λ
分别为（）。
A、2、2、2；
B、1、1、2；
C、2、1、2；
D、1、2、2 。
3、一棵无向树T有8个顶点，4度、3度、2度的分枝点各1个，其余顶点均为树叶，则T中有（）
片树叶。
A、3；
B、4；
C、5；
D、6
4、设
环。
A、
}
,
2
|
{Z
n
n
x
x∈
=
；B、
}
,1
2
|
{Z
n
n
x
x∈
+
=
；
C、
}
,0
|
{Z
x
x
x∈
≥且
；D、
}
,
,5
|
{4R
b
a
b
a
x
x∈
+
=
。
5、设A={1，2，…，10 }，则下面定义的运算*关于A封闭的有（）。
A、x*y=max(x ,y)；
B、x*y=质数p的个数使得
y
p
x≤
≤
；
C、x*y=gcd(x , y)；(gcd (x ,y)表示x和y的最大公约数)；
D、x*y=lcm(x ,y) （lcm(x ,y) 表示x和y的最小公倍数）。
6、如果解释I使公式A为真，且使公式
B
A→也为真，则解释I使公式B为（）。
A、真；
B、假；
C、可满足；
D、与解释I无关。
7、设
{}b a
A,
=
，则P（A）×A = （）。
A、A ；
B、P（A）；
C、{}>
<
>
<
>
<
>
<
>
<
>
<
>
Φ
<
>
Φ
A a A b b a b b a a a b a, , , , }, { , }, { , }, { , }, { , , , , ； D、{}> < > < > < > < > < > < > Φ < > Φ b A a b b b a a b a a b a, , , , } {, , } {, , } {, , } {, , , , , 。 8、设集合A，B是有穷集合，且 n B m A= =, ，则从A到B有（）个不同的双射函 数。 A、 n；B、m；C、!n；D、!m。 9、设K = {e , a , b , c}， > * <,K 是Klein四元群，则元素a的逆元为（）。 A、e ； B、a ； C、b ； D、c。 10、一个割边集与任何生成树之间（）。 A、没有关系； B、割边集诱导子图是生成树； C、有一条公共边； D、至少有一条公共边。 三、 计算 1、通过主合取范式，求出使公式R Q P ∨→??)(的值为F 的成真赋值。 2、设 }9432{，，，=A ，}12,10742{，，，=B ，从A 到B 的关系 } ,,,{b a B b A a b a R 整除且∈∈><=，试给出R 的关系图和关系矩阵，并说明此关系是否 为函数？为什么？ 3、设S = R - {-1}（R 为实数集），ab b a b a ++=*。 （1）说明>*< ,S 是否构成群； （2）在S 中解方程732=**x 。 4、将公式)()((R P R Q P ∧→∧∨） 划为只含有联结词∧?，的等价公式。 5、设 },,,,{54321x x x x x A =，偏序集> 求 ① A 中最小元与最大元； ② },,{543x x x 的上界和上确界，下界和下确界。 四、 证明 1、设G 是（n,m ）简单二部图，则 42 n m ≤ 。 2、设G 为具有n 个结点的简单图，且 )2)(1(21 --> n n m 则G 是连通图。 3、设G 是阶数不小于11的简单图，则G 或G 中至少有一个是非平图。 4、用构造证明法证明)(C B A ∧→，C F E ?→?→)(，)(S A B ?∧→?E B →。 五、 生成树及应用 1、如下图所示的赋权图表示某七个城市 721,,,v v v Λ及预先测 算出它们之间的一些直接通信线路造价，试给出一个设计方案，使得各城市之间既能够通信而且总造价最小。 2、）构造H 、A 、P 、N 、E 、W 、R 、对应的前缀码，并画出与该前缀码对应的二叉树，写出英文短语HAPPY NEW YEAR 的编码信 息。 六、 对于实数集合R ，在下表所列的二元远算是否具有左边一列中的性质，请在相应位上填写“Y ”或“N ”。 Max Min + 可结合性 答案 一、 填空 1、)1(21-n n ； 2、?? ? ?? ?? ? ?01100010 11001010；3、)1(2-t n ；4a ，c ，a 、b 、没有 5、n-1 ； 6、)()()(G G G δλκ≤≤； 7、6 3-≤n m ； 8、0； 9、Q P ?→?；10、5、自反性、对称性、传递性； 二、 选择 三、 1. 解： 010 110100) ()()()() ()()()(M M M R Q P R Q P R Q P R Q P R Q R P R Q P R Q P ∧∧?∨?∨?∧∨?∨∧∨?∨?∧∨∨??∨?∧∨??∨?∧??∨∨??原式 ∴使公式R Q P ∨→??)(的值为F 的成真赋值为： ??? ??0:0:1:R Q P ； ??? ??0:1:1 :R Q P ； ??? ??0:1:0 :R Q P 。 2．解：}12,4,4,4,12,3,12,2,10,2,4,2,2,2{><><><><><><><=R 则 R 的关系图为： R 的关系矩阵为 ?? ? ?? ?? ? ?=000001001 010******** R M 关系R 不是A 到B 的函数，因为 元素2，4的象不唯一（或元素9无象）。 3、解：（1）1）S ab b a b a S b a ∈++=*∈?易证,，即运算*是封闭的。 2） S c b a ∈?,, ,)()()(abc bc ac ab c b a c ab b a c ab b a c ab b a c b a ++++++=++++++=*++=**Θ 而 ,)()()()(abc ac ab bc c b a bc c b a bc c b a bc c b a c b a ++++++=++++++=++*=** )()(c b a c b a **=**∴ ，即*可结合。 3）设S 关于*有幺元e ，则a e a a e S a =*=*∈?,。 而 0, ==++=*=*∴e a ea e a a e e a 。 4）S a ∈?设有逆元1 -a 。则e a a a a =*=*--11 ， 即 011=++--aa a a ， a a a +-= -∴ 11，即 S 中任意元都有逆元，综上得出， >*<,S 构成群。 （2）由7111266323232=+=++++++=**x x x x x x ， 31- =∴ x 。 4、解：原式)()()())((R P R Q P R P R Q P ∧∨?∨?∧??∧∨∧∨?? ))()((R P R Q P ∧?∧∧?∧????。 5、解： ① A 中最大元为1x ，最小元不存在； ② },,{543x x x 上界31,x x ，上确界1 x ；下界无，下确界无。 四、 证明 i. 设G=（V ，E ）， n n n n Y n X Y X V =+==?=2121,,,则 对完全二部图有 4)2()(2 2112 1 1121n n n n n n n n n n n m + --=+-=-=?= 当 21n n = 时，完全二部图),(m n 的边数m 有最大值42n 。 故对任意简单二部图),(m n 有 42 n m ≤ 。 ii. 反证法：若G 不连通，不妨设G 可分成两个连通分支G 1、G 2，假设G 1和G 2的顶点数分别为n 1和n 2，显然 n n n =+21。 11112121-≤-≤∴≥≥n n n n n n Θ 2)2)(1(2)2)(1(2)1(2)1(212211--=-+-≤-+-≤ ∴n n n n n n n n n m 与假设矛盾。所以G 连通。 3、（1）当n=11时， 11K G G =?11K 边数 55210 11'=?= m 条，因而必有G 或G 的边数大于等于 28，不妨设G 的边数28≥m ，设G 有k 个连通分支，则G 中必有回路。（否则G 为k 棵树构成的森林， 每棵树的顶点数为n i ，边数m i ，则 1,1k i n m i i Λ=-=, m m n n k i i k i i ===∑∑==1 1 ,11 ∑∑==-=-=-==≤∴k i i k i i k k n n m m 1 1 11)1(28 矛盾） 下面用反证法证明G 为非平面图。 假设G 为平面图，由于G 中有回路且G 为简单图，因而回路长大于等于3 。于是G 的每个面至少由 g (3≥g )条边围成，由点、边、面数的关系 )1(2---≤ k n g g m ，得： 2723113))11(11(3))1(11(133 )111(228=?-?=+-≤+--≤---≤ ≤k k g g m 而 2728≤矛盾，所以G 为非平面图。 （2）当n>11时，考虑G 的具有11个顶点的子图'G ，则' G 或' G 必为非平面图。 如果' G 为非平面图，则G 为非平面图。 如果' G 为非平面图，则G 为非平面图。 4、证明：（1） B P(附加前提) （2） )(S A B ?∧→ 前提引入 (3) S A ?∧ (1)(2)假言推理 (4) A (3)化简 (5) C B A ∧→ 前提引入 (6) C B ∧ (4)(5)假言推理 (7) C (6)化简 (8) C F E ?→?→)( 前提引入 (9) )(F E ?→? (7)(8)拒取式 (10) F E ∧ (9)置换 (11) E (10)化简 五、 树的应用 1、解： 用库斯克（Kruskal ）算法求产生的最优树。算法略。结果如图： 树权C(T)=23+1+4+9+3+17=57即为总造价 五、 由二叉树知 H、A、P、Y、N、E、W、R对应的编码 分别为 000、001、010、011、100、101、110、111。 显然{000，001，010，011，100，101，110，111}为前缀码。 英文短语HAPPY NEW YEAR 的编码信息为 000 001 010 010 011 100 101 001 001 101 001 111 六、 Max Min + 可结合性Y Y Y 可交换性Y Y Y 存在幺元N N Y 存在零元N N N