五年级奥数.计数综合.排列组合(ABC级).学生版
一、 排列问题
在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．
一般地，从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．
根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．
排列的基本问题是计算排列的总个数．
从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ．
根据排列的定义，做一个m 元素的排列由m 个步骤完成：
步骤1：从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n 种方法；
步骤2：从剩下的(1n -)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n -)种方法；
……
步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有11n m n m --=-+（）(种)
方法；
由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ?-?-??-+（）（）（）
，即121m n P n n n n m =---+（）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘．
二、 排列数
一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =?-?-????（
）（）． 表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，知识结构
排列组合
记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =?-?-????（）（） ．
在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算．
三、 组合问题
日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．
一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．
从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．
从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元
素的组合数．记作m n C ．
一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步：
第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；
第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m P 种排法．
根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =?． 因此，组合数12)112321
m
m n n m m P n n n n m C m m m P ?-?-??-+==?-?-????（）（（）（）（）． 这个公式就是组合数公式．
四、 组合数的重要性质
一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤)
这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n m n C -表示从
n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．
例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =．
规定1n n
C =，01n C =． 五、 插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：
①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1
个物体，不能有没分到物体的组出现．
在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．
六、 使用插板法一般有如下三种类型：
⑴ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的
(1)n -个空隙中放上(1)m -个插板，所以分法的数目为11m n C --．
⑵ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有a 个．这个时候，我们先发给每个人(1)a -个，还剩下
[(1)]n m a --个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为1(1)1m n m a C ----．
⑶ m 个人分n 个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来m 个东西，每个人多发1个，这
样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了()n m +个，因此分法的数目为11m n m C -+-．
【例 1】 4个男生2个女生6人站成一排合影留念，有多少种排法？如果要求2个女生紧挨着排在正中间
有多少种不同的排法？
【巩固】 4男2女6个人站成一排合影留念，要求2个女的紧挨着有多少种不同的排法？
【例 2】 将A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 七位同学在操场排成一列，其中学生B 与C 必须相邻．请问共有多
少种不同的排列方法？
例题精讲
【巩固】6名小朋友、、、、、
A B两人必须相邻，一共有多少种不同的站法？
A B C D E F站成一排，若，
若、
A B两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？
【例 3】书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本不同的故事书，全部竖起排成一排，如果同类型的书不要分开，一共有多少种排法？如果只要求童话书和漫画书不要分开有多少种排
法？
【巩固】四年级三班举行六一儿童节联欢活动．整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成．请问：如果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序？
【例 4】8人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，有几种坐法？
【巩固】a，b，c，d，e五个人排成一排，a与b不相邻，共有多少种不同的排法？
【例 5】一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目．求：
⑴当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？
⑵当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？
【巩固】由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种？
【例 6】有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？
【巩固】小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？
【巩固】有12块糖，小光要6天吃完，每天至少要吃一块，问共有种吃法．
【例 7】10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着．请问一共有多少种不同的放法？
【巩固】将13个相同的苹果放到3个不同的盘子里，允许有盘子空着。一共有种不同的放法。
【例 8】把20个苹果分给3个小朋友，每人最少分3个，可以有多少种不同的分法？
【巩固】三所学校组织一次联欢晚会，共演出14个节目，如果每校至少演出3个节目，那么这三所学校演出节目数的不同情况共有多少种？
【例 9】(1)小明有10块糖，每天至少吃1块，8天吃完，共有多少种不同吃法?
(2)小明有10块糖，每天至少吃1块，8天或8天之吃完，共有多少种吃法?
【巩固】有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完为止，共有多少种不同的吃法？
【例 10】马路上有编号为1，2，3，…，10的十只路灯，为节约用电又能看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但又不能同时关掉相邻的两只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯
方法有多少种？
【巩固】学校新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中2盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的2盏灯，那么熄灯的方法共有多少种？
【例 11】在四位数中，各位数字之和是4的四位数有多少？
【巩固】大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有多少个？
【例 12】所有三位数中，与456相加产生进位的数有多少个？
【巩固】从1到2004这2004个正整数中，共有几个数与四位数8866相加时，至少发生一次进位？
课堂检测
【随练1】某小组有12个同学，其中男少先队员有3人，女少先队员有4人，全组同学站成一排，要求女少先队员都排一起，而男少先队员不排在一起，这样的排法有多少种？
【随练2】把7支完全相同的铅笔分给甲、乙、丙3个人，每人至少1支，问有多少种方法？
【随练3】在三位数中，至少出现一个6的偶数有多少个？
家庭作业
【作业1】将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排，要求三盆红花互不相邻，共有种不同的放法。【作业2】学校合唱团要从6个班中补充8名同学，每个班至少1名，共有多少种抽调方法？
【作业3】能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有个。