§2.3运动方程的解法

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§2?3运动方程的解法

道出几点系统的运动方程，始进行系统分析的第一步，接着是要确定系统在特定激励下的响应和运行性能，为此就要杰出系统的运动方程。

从数学上看。机电系统的运动方程一般不外乎以下三类：

（1）常系数线性微分方程

（2）变系数线性微分方程

（3）非线性微分方程

这三类方程，各有其适用的求解方法。下面分别予以介绍。

（一）线性系统的解法

解析法若系统的运动方程是常系数线性微分方程，则不论外加激励是什莫函数形式，总可以用解析法求出其响应，从而确定系统的运动特性。

常系数线性微分方程，既可以用古典法求解，也可以用拉式变换法求解。

用古典法求解时，先求出奇次方程的通解，然后求出给定驱动函数时的特解，最后初始条件确定解中的任意常数。

拉式变换的特点是：把时域变为复频域，线形微分方程变成代数方程，求出代数方程的解，并用逆变换求出时域解。方法简单。

拉式变换的基本定理

L[cf t ] = cF S 1 C 是常数

L f i t f2 t 丄F i s F2s

L 专-F-f0

常用拉式变换

1

Lit

s

L Sin t 丨= --- 2

s +co

XL丄

s + a

例9-4用拉式变换求解下列微分方程

di i =100 dt

已知i 0 = 0。

解对方程两边进行拉式变换

Si S I S = 100 s

100 100 100 故I s =

s(1+s) s s+1

取拉式反变换，即得Is为i t =100 1-e」

传递函数简单机电系统常有一个输入端口和一个输出端口，

如图9-4

设输入量的拉式变换为X s，输出量的拉式变换为Y s则输出

与输入的拉式变

之比成为系统的传函。用Gs表示。即Gs二工旦，式中初始

X(s)

条件为零。

时域传递函数令P =—，丄二dt，并以微分方程导出系统的dt p 输出与输入之比，则可以得到时域传递函数g P (用于模拟计算

机求解）

例2如下图道出电路传函

鬧4石例9 5的电嘉

根据基式电压定律和电容性质有

u i t A Lpi

Ri 丄i

Cp

u2t

￡

故时域的传递函数g P =計S J

若取u 1

t 和u 2

t 的拉式变换，令初始条件为零，则

故频域传函为Gs 二焉LCs 2 ks 1

g P 和Gs 形式相同，含义不同。g p 为微分算子

的函数，是时

dt

域函数，而Gs 是s 的函数，是频域的传函，需要反变换来求时域解。 框图 框图是方程的图示描述。等效变换的规则：求和点不能与分 离点交叉换位，求和点与求和点可以互换，分离点与分离点可以互换

例

3求例2的方框图

U i s =

R

Cs Is

机电等效电路

用等效的纯电路代表一个机电系统。 根据微分方程的类比关系，可以

用相应的电路元件来表示，这种电路就称为机电等效电路。

例3下图表示一个包含有弹簧，质量，和阻尼的机械系统，弱作用在 质量M 上的外力为f ，弹簧弹性系数为k ，阻力系数为R v ，求该系统 的机电等效电路。

运动方程为

M 筲R v

dX

f

dt 2 dt k

再看下图的运动方程为

L d v - R dq ?丄q =u

dt 2 dt C

对比系数可得机电等效关系f - -u , x--q , R v - -R , M - -L ，-- ~~， k C 即该电路为机电等效电路。

[^9-12 张窝一瓚慌系统的等竝也辭 d ）系嫌示就圉 b ＞系统的容枚电踏

频率特性

线性系统频率特性指系统的输入端口加以随时间正弦变化的驱动力 时，该系统在稳定状态时的频率响应，即不同频率下的输出与输入之 比。 把传函中的s 变为j ■即得到频率特性。仍以例2为例其频率特性为

可画出其幅频特性和相频特性。

对于变系数线性微分方程可以通过坐标变换化为常系数线性微分方 程。 非线性系统的解法

可用数字计算机或模拟计算机求解， 也可以将微增运动线性化。下面 讲微增运动线性化 以下图为例

LC j ■ 2 RC j-

1

1 - 2LC j RC

co

1

一飞

、肌丿

=co

j2——

''0

式中‘0二

L C 是系统的自然频率，

C 是系统的阻尼比

图示为单边激励的电磁铁系统，该电磁铁电源为 u ，线圈电阻为R , 自感为L x ,作用在轭铁上的电磁力为f m 轭铁质量为M ,弹簧弹性系 数为K ，弹簧的初始条件X 0，轭铁运动是机械阻尼为R v ，该电磁铁运 动方程为

d 2x

dx 1 『 f m = M 牙

R v

X - X o dt

dt

K

1.2 dL i 2 dx

现设电磁铁围绕某一平衡点 O 作为小的增量变化

^U o U i ，i =1 ° ? h ， x ? X i 式中U o ， I o ， X o 为平衡点的外加直 流电压，直流电

流，和位移。U i ，i i ， x i 为微增变量。 在平衡点O 处有U 。二RI 。

c i ? x i ,2 'dL "

0 = — （X o_x （）） ------ I o

K 2 idx 丿 X#

上式 ----------------------------- 把A 式与B 式对应相减并考虑到微增运

动时u i ，i i ，x i 很小时，忽略

f m 上式----------------- A

式，为非线性方程组。

J

乏

— ----------

——5] --

閱H 1 6 单边激励的陛型机电系统

u = iR L

其平方项得

X=X o ； L o=LX o 为平衡点的电感。

再用K o = I o !牛X 二X o 和K 二K - S 带入C 式，贝y 得到

u 1

= i 1

R | L o

- K

dt v dt

K o i - =M ^^-

R v dX- K X -

dt 2

dt

式就是围绕平衡点O 作

微增运动时，电磁铁的运动方程。不难看出，由于忽略了为增量的平

方项和乘积项，所以D 式是线性微分方程组。D 式中K o 晋是微增运 动所引起的运动电动势，用U mi 表示则

L (X )“(Xo )+巫 h

X i

dL (dL 、

——I

---- 毎

dx

2 2 i I o

21 oh

X i

X

仝

再忽略i 1

， X -，论匹等微小的项目，可得

dt

u =iR - L o 业 I 。 dt f dL ^ — idx 丿x^o

dt

dx 1

2 d x 1

dx 1 1 o = M

R v

- x 1

dt 2 dt K

dL

dx :

1 i i + S o x

‘X%

式，式中

di 1

dX 1

上式

dx 1

U m1 = K o

dt

上式

E

,则D 式第一式为

状态方程法

用于线性或在运行点线性化的运动方程，以矩阵形式表示

y =Ay ? Bv ，该方程称为机电系统的状态方程。

di 1

u i = ii R i

L o

dt

由E 式可知

i

X i

U mi dt ,

K

o

dx i d x 1 1 dU mi dt K o

dt 2

K o dt

带入D 式第二式，可得

M d

^

RrU mi

dt Ko

Ko U mi dt =C eq

i u

mi

dt

R eq

dU ml i

+—— L

U mi dt 式中C eq

M Ko

Ko R v

L eq^根据上式可画出机电等效电路

两边进行拉式变换

sYs—yO=AYsBVs , y 0是由y的初始值所构成的列向量，y是状态变量。

贝S Y s A bl - A F y0Isl - A F BV s 二G s y0亠尬is BV s

式中门s称为状态转移矩阵，G s - Isl - A F ,

则通过逆变换求出y。

例已知机电系统运动方程为

-2*-^ i t，式中二为角位移，i为外加电源。设系统初始条件为零，it为单位阶跃函数，用状态方程法求解。

解设y i = “ , y2二y i，则上述方程为y i = y2

y2 _ -5y- -2y2 - i

于是^=s|-A^s2 2s ^-5

1

y0"，Vs—故Ys」sBV— ss2 2s 5「5 s_1

2?!

s s2■ 2s '^{s

故Y-^ss2 2s 5

s22s 5 所以y1t = L^Y-j s =-

1

e

5 10

丄 2cos2t sin 2t

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同理可以求出y?t。

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