沪科版数学(导学案)22.1 比例线段(第2课时)

第2课时 比例线段（2）

【学习目标】

1．理解比例的基本性质，知道黄金分割的定义，并会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点．

2．经历探索成比例线段的过程，并利用其解决一些简单的问题．

【学习重点】

比例基本性质．

【学习难点】

比例的基本性质及运用．

旧知回顾：什么叫两个数的比？2与－3的比，－4与6的比，如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成什么？可写成什么形式？

两个数相除的商也叫两个数的比.

2－3＝－23，－46＝－23，2－3＝－46

，比值相等，可以说2，－3，－4，6成比例，写成2∶－3＝－4∶6.

基础知识梳理

知识模块一 比例线段的基本概念

阅读教材P 65～66页的内容，回答以下问题：

什么叫两条线段的比？什么叫成比例线段？什么是比例中项？

两条线段长度的比叫两条线段的比，记作a b

或a ∶b ，在四条线段a 、b 、c 、d 中，如果其中两条线段a 、b 的比等于另外两条线段c 、d 的比，即a b ＝c d

(或a ∶b ＝c ∶d)，那么这四条线段叫做成比例线段．简称比例线段．其中a ，d 叫做比例外项，b ，c 叫做比例内项．如果作为比例内项的两条线段是相等的，即线段a 、b 、c 之间有a ∶b ＝b ∶c ，那么线段b 叫做线段a 、c 的比例中项．

例1：已知四条线段a 、b 、c 、d 满足ad ＝bc ，那么下列比例式不成立的是( C ) A .a b ＝c d B .a c ＝b d C .a d ＝c b D .d b ＝c a

例2：如果线段a ＝32cm ，b ＝8cm ，那么a 和b 的比例中项是( C ) A ．20cm B ．18cm C ．16cm D ．14cm

解： 设比例中项为c ，由比例中项定义得：a ∶c ＝c ∶d ，c 2

＝ab ＝32×8，c ＝16，选C .

知识模块二 比例的基本性质及合比、等比性质

阅读教材P 66～67页的内容，回答以下问题：

1.比例的基本性质是什么？

解：如果a b ＝c d ，那么ad ＝bc(b 、d ≠0)，反之也成立，即如果ad ＝bc ，那么a b ＝c d

(b 、d ≠0)． 2．什么是合比性质？什么是等比性质，如何证明？

解：(1)合比性质，如果a b ＝c d ，那么a ＋b b ＝c ＋d d (b 、d ≠0)，证明方法是在a b ＝c d 两边加上1，得a ＋b b

＝c ＋d d ；(2)等比性质：如果a 1b 1＝a 2b 2＝……＝a n b n ，且b 1＋b 2＋…＋b n ≠0，那么a 1＋a 2＋……a n b 1＋b 2＋……＋b n ＝a 1b 1.证明：

设a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n

＝k ，得a 1＝b 1k ，a 2＝b 2k ，…，a n ＝b n k ，代入待证明的等式左边，提取公因式并约分即得等比性质．

例1：若a b ＝12，则a ＋b b ＝32；若x ∶y ∶z ＝4∶5∶7，则3x －2y ＋z 2x ＋3y －2z

＝1． 解：a b ＝12，由合比性质得a ＋b b ＝1＋22＝32；由x ∶y ∶z ＝4∶5∶7，设x 4＝y 5＝z 7＝k.可得x 4＝k ，y 5

＝k ，z 7＝k ，∴x ＝4k ，y ＝5k ，z ＝7k ，代入求得3x －2y ＋z 2x ＋3y －2x

＝1. 例2：已知k ＝a ＋b c ＝b ＋c a ＝a ＋c b

，则一次函数y ＝kx ＋k 一定经过第三象限． 解：当a ＋b ＋c ≠0时，因为k ＝a ＋b c ＝b ＋c a ＝a ＋c b ，由等比性质得2a ＋2b ＋2c c ＋a ＋b

＝k ，∴k ＝2.当a ＋b ＋c ＝0，此处不可用等比性质，但a ＋b ＝－c ，代入可得k ＝－c c

＝－1，∴k ＝2或－1，直线y ＝2x ＋2或y ＝－x －1都经过第三象限．

知识模块三 黄金分割

阅读教材P 68～69页的内容，回答以下问题：

例3中比例中项是哪一条线段？什么是黄金分割？如何得到黄金分割比值

5－12

，它的近似值是多少？

解：比例中项为线段AP.把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割为黄金分割．设AP ＝x ，则PB ＝a －x ，由题意得：a ∶x ＝x ∶(a －x)，即x 2＋ax －a

2＝0，解得：x ＝－1±52a ，∵x ＞0，AP ＝x ＝－1＋52a ，即AP AB ＝5－12

≈0.618.

例：已知线段AB ＝6，C 为AB 的黄金分割点，则AC －BC

解：分AC ＞BC 或AC ＜BC 两种情况：AC －BC ＝6×

5－12－6×(1－5－12)＝65－12或AC －BC ＝6×(1－5－12)－6×5－12

＝12－6 5. 基础知识训练

1．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20cm ，则它的宽约为( A ) A ．12.36cm B ．13.6cm

C ．32.9cm

D ．7.54cm 2．(1)若x 5＝y 3，则x y ＝53

； (2)已知2a －b a ＋b ＝13，则a b ＝45

．

3．已知a 5＝b 7＝c 8

，且3a －2b ＋c ＝9，则2a ＋4b －3c ＝14． 本课内容反思

1．收获：________________________________________________________________________

2．困惑：________________________________________________________________________