中国石油大学 大物2-1 7章习题解答03--

习题7

7-1. 选择题

1．若理想气体的体积为V ，压强为p ，温度为T ，一个分子的质量为m 0，k 为玻耳兹曼常量，R 为摩尔气体常量，则该理想气体的分子数为( )

(A) pV /m 0 (B) pV / (kT ) (C) pV /(RT ) (D) pV /(m 0T ) 2．关于温度的意义，有下列几种说法 (1) 气体的温度是分子平均动能的量度

(2) 气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义 (3) 温度的高低反映物质内部分子运动剧烈程度的不同 (4) 从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度 上述说法中正确的是( )

(A) (1)、(2)、(4) (B) (1)、(2)、(3) (C) (2)、(3)、(4) (D) (1)、(3)、(4)

3．三个容器A 、B 、C 中装有同种理想气体，其分子数密度n 相同，而方均根速率之比

为21/2()A v ∶21/2

()B v ∶

21/2()C v = 1∶2∶4，则其压强之比p A ∶p B ∶p C 为( ) (A) 1∶2∶4 (B) 4∶2∶1 (C) 1∶4∶16 (D) 1∶4∶8

4．下列各式中表示气体分子的平均平动动能的是( )。(式中，m 为气体的质量，m 0为气体分子质量，M 为气体的摩尔质量；n 为气体分子数密度，N A 为阿伏伽德罗常数，V 为气体的体积)

(A) [3m 0/(2m)] pV (B) [3m /(2M )] pV (C) (3/2)npV (D) [3M /(2m )] N A pV

5．一容器内装有N 1个单原子理想气体分子和N 2个刚性双原子理想气体分子，当该系统处在温度为T 的平衡态时，其内能为( )

(A) (N 1+N 2) [(3/2)kT +(5/2)kT ]

(B) (1 /2 ) (N 1+N 2) [(3/2)kT +(5/2)kT ] (C) (3/2) N 1kT + (5/2) N 2kT (D) (5/2) N 1kT + (3/2) N 2KT

6．已知一定量的某种理想气体，在温度为T 1与T 2时的分子最可几速率分别为v p 1和v p 2，分子速率分布函数的最大值分别为f （v p 1）和f （v p 2）。如果已知T 1>T 2，则( )

(A) v p 1>v p 2 f （v p 1）>f （v p 2） (B) v p 1>v p 2 f （v p 1）

f （v p 1）>f （v p 2） (D) v p 1

7．两种不同的理想气体，若它们的最概然速率相等，则它们的( ) (A) 平均速率相等，方均根速率相等 (B) 平均速率相等，方均根速率不相等 (C) 平均速率不相等，方均根速率相等 (D) 平均速率不相等，方均根速率不相等

8．麦克斯韦速率分布曲线如习题7-1(8) 图所示，图中A 、

B 两部分面积相等，则该图表示 ( )

(A) v 0为最可几速率。

(B) v 0为平均速率。 (C) v 0为方均根速率。

(D) 速率大于和小于 v 0的分子数各占一半。

9．玻尔兹曼分布律表明：在某一温度的平衡态，有 (1) 分布在某一区间(坐标区间和速度区间)的分子数，与该区间粒子的能量成正比

(2) 在同样大小的各区间(坐标区间和速度区间)中，能量较大的分子数较少；能量较小的分子数较多

习题7-1(8)图 0

(3) 大小相等的各区间(坐标区间和速度区间)中比较，分子总是处于低能态的几率大些 (4) 分布在某一坐标区间内、具有各种速度的分子总数只与坐标区间的间隔成正比，与粒子能量无关

以上四种说法中，正确的是( )

(A) 只有(1)、(2) (B) 只有(2)、(3) (C) 只有(1)、(2)、( 3) (D) 全部正确

10．一定量的某种理想气体若体积保持不变，则其平均自由程λ和平均碰撞次数z 与温度的关系是( )

(A) 温度升高，λ减少而z 增大 (B) 温度升高，λ增大而z 减少 (C) 温度升高，λ和z 均增大 (D) 温度升高，λ保持不变而z 增大 7-2．填空题

1．在推导理想气体压强公式中，体现统计意义的两条假设是： (1)_______________________________________________________； (2)_______________________________________________________。 2． 如习题7-2(2)图所示,两个容器容积相等，分别储有

相同质量的N 2和O 2气体，它们用光滑细管相连通，管子

中置一小滴水银，两边的温度差为30K ，当水银滴在正中

不动时，N 2和O 2的温度为2

N T ，

2

O

T = 。( N 2的摩尔质量为31kg mol 2810--??，O 2的摩尔质量为31kg mol 3210--??)

3．自由度为i 的一定量刚性分子理想气体，当其体积为V 、压强为p 时，其内能E = . 4．已知f (v )为麦克斯韦速率分布函数,v p 为分子的最概然速率, 则

()0

d p

v f v v ?

表

示 ；速率v > v p 的分子的平均速率表达式为 。

5． 习题7-2(5) 图所示的曲线为处于同一温度T 时氦（原子量4）、氖（原子量20）和氩（原子量40）三种气体分子

的速率分布曲线，其中曲线(a)是__________________气分子

的速率分布曲线；曲线(c)是__________________气分子的速

率分布曲线。 答案:

7-1．选择题

1．B ；2．B ；3．C ；4．A ；5．C ；6．B ；7．A ；8．D ；

9．B ；10．D 7-2．填空题

1．沿空间各方向运动的分子数相等；v x 2=v y 2=v z 2 2. 210K ，240K 3.

2i pV

4. 速率在0~v p 范围内的分子数占总分子数的比率;()()d d p

p

v v vf v v /f v v ∞

∞

??

5. 氩；氦

7-3．在体积为2.0×10-3m 3 的容器中，有内能为 6.75×102J 的刚性双原子分子理想气体。试求：

（1） 气体的压强；

（2） 分子的平均平动动能及气体的温度（设分子总数为 5.4×1022 个）。

[解] (1)理想气体的内能 kT i

N E 2

?= (1)

习题7-2(5)图

习题7-2(2)图

压强 kT V

N

nkT p =

= (2) 由(1)、(2)两式可得 51035.152?==

V

E

p Pa (2) 由 kT i N E 2?= 则 36252==

kN E

T K

又 2123105.73621038.12

3

23--?=???==kT w J

7-4．容器内储有氧气，其压强为 p = 1.01×10 5 Pa ，温度为 t = 27℃。试求：

(1)单位体积内的分子数； (2)分子的平均平动动能。 解：（1）由nkT p =

525-323

1.0110

2.4410m 1.3810300

p n kT -?===??? （2）J 1021.63001038.12

32321

23--?=???==kT w

7-5．容器内某理想气体的温度T ＝273K 、压强p =1.00 ×10-3atm （1atm=1.013?105Pa ），密度为31.25g m ρ-=?。试求： (1)气体的摩尔质量；

(2)气体分子运动的方均根速率；

(3)气体分子的平均平动动能和转动动能； (4)单位体积内气体分子的总平动动能； (5)0.3mol 该气体的内能。 [解] (1) 气体的摩尔质量

p

kT

N m N M ρ0

0mol ==

1

-5

323323

mol kg 028.010

013.11000.12731038.11025.11002.6?=?????????=--- 所以该气体是2N 或CO (2) 由nkT P = 得 kT

P n = 所以 P

kT

n

m ρρ

=

=

所以 49310

25.110013.11000.133333

332

=?????==?==---ρρυP P kT kT m kT -1

s m ? (3) 气体分子的平均平动动能

J 1065.52731038.12

323

2123--?=???==kT ε

气体分子的转动动能

J 1077.32731038.12

221232--?=??==kT ε

(4) 单位体积内气体分子的总平动动能

-32531m J 1052.110013.11000.12

3

2323??=????==?=

=-p kT kT p n E ε (5) 该气体的内能

J 10701.127331.82

5

3.023.03.03mol ?=???=?==RT i E E

（删除）7-6．设N 个粒子的系统的速率分布函数为:dN v =kdv (V >v >0，k 为常量)，dN v =0

(v > V)，

(1) 画出分布函数图； (2)用N 和v 定出常量k ； (3) 用V 表示出算术平均速率和方均根

速率。

7-7．有N 个质量均为m 0的同种气体分子，f (v )是速率分布函数，N f (v )随速率的分布如习题7-7图所示。试问：

(1)曲线与横坐标所包围面积的含义； (2)由N 和v 0求a 值；

(3)在速率02

v 到032

v 间隔内的分子数；

(4)分子的平均平动动能。 解：（1）曲线下的面积表示总分子数N （2）根据图可得

00

00(0)()(2)

()

a v v v v Nf v a v v v ?>>??=?

>>???其他

总分子数可表示为：

()d Nf v v N ∞

=?

，

0001

(2)2av a v v N +-= 032v a N =, 0

23N a v = （3）在速率02

v 到032

v 间隔内的分子数为：

00

3322

0002

02

317()d d d 8212

v v

v v v v a Nf v v v v a v av av av v =+=+=???

（4）速率分布函数为

00

00(0)()(2)

()

a

v

v v Nv f v a

v v v N ?>>???=?>>????其他

则分子的平均平动动能为：

习题7-7图

0a

0003222233000000000000711131()d d d 2228624v v v m a m a m av a a w m v f v v m v v v m v v v v v N N N N N ∞

==+=+=

???又因为0

23N

a v =，

32000003123124336m v N w m v N v =?=

7-8．设地球大气是等温的，温度为17℃，海平面上的气压为P 0=1.0×105pa ，已知某地的

海拔高度为h =2000 m ，空气的摩尔质量31

kg mol 2910--??，试求该地的气压值。

解：3029101020005

4

8.31(27317)

00 1.01107.9510Pa m gz

Mgz kT

RT

p p e

p e e -???-

-

-

?+===??=?

7-9．试计算空气分子在标准状况下的平均自由程和平均碰撞频率，取分子有效直径为

3.5×10-10m ，空气平均摩尔质量为31

kg mol 2910--??。

解：()m 1085.610

01.1105.314.322731038.1π28

-5

210-23-2?=???????==p d kT λ 1213

s m 1046.4s m 102914.327331.88π8---??=?????==

M RT v 1918

2s 1054.6s 10

85.61046.4---?=??==λv z

7-10．设氮分子的有效直径为10-10m ，试求： (1)氮气在标准状态下的平均碰撞次数； (2)如果温度不变，气压降到1.33×10-4 Pa 时的平均碰撞次数。 解：（1）分子的平均速率

1213

s m 1054.4s m 10

2814.3273

31.88π8---??=?????==

M RT v 由气体的压强公式可求得气体分子的数密度

3

253235m 1069.2m 273

1038.110013.1---?=???==kT p n

平均碰撞次数

()1

-82

2

10-252s

1042.51054.4103.14 1069.222??=??????==次v d n z π

（2）温度不变的情况下，分子的平均速率不变，又因为

kT v d p v d n z 22

22ππ=

=，所以2

121p p

z z =

1-785

4

1122s 1014.71042.510

01.11033.1??=????==次z p p z

7-11．设电子管内温度为300 K ，如果要管内分子的平均自由程大于10cm 时，则应将它抽到多大压强？(分子有效直径约为3.0×10-8 cm)。

解：气体分子的平均自由程为：

p

d kT

n d 2

2

π2π21

==

λ，要使自由程大于=0λ10cm ，则有

02π2λ>p

d kT

，最大气压为

()Pa 1036.01

.0100.314.323001038.1π22

102302=??????==--λd kT p

第二版补充：

1. 一容积为3cm 10的电子管，当温度为300K 时，用真空泵把管内空气抽成压强为

mmHg 1056-?的真空，问此时管内有多少个空气分子?这些分子的总平动动能是多少?总转

动动能是多少?总动能是多少?

[解] 由理想气体状态方程 kT V

N

P =

得 12236561061.1300

1038.1760101010013.1105?=????????==---kT PV N

一个理想气体分子的平均平动动能为： kT kT i e 2

3

21== 所以总的平均动能为：

865

61101100.1760

10013.110523232323---?=?????==?==PV kT kT PV kT N E J

将空气中的分子看成是由双原子刚性分子组成，而每一个双原子分子的平均转动动能为

kT kT kT r e ===

2

2

22 所以总的转动动能为：

865

62210667.01010760

10013.1105---?=?????====PV kT kT PV e N E J

总动能82110667.1-?=+=E E E k J

2. 容积为33m 1010-?的容器以速率s m 200匀速运动,容器中充有质量为50g ，温度为18℃的氢气。设容器突然静止，全部定向运动的动能都转变为气体热运动的动能，若容器与外界

没有热交换，达到平衡时氢气的温度增加了多少?压强增加了多少?氢分子视为刚性分子。

[解] 由能量守恒定律知 k 22

1

E Mv ?= 又因 RT M M RT i M M E 2

5

2mol mol k ==

?

所以 K 9.11038.151041035.35523

4

2722mol =?????===?--k mv v R M T 由 kT V

N p =

Pa 1095.310

101035.39.11038.110504

3

27233?=???????=?=??=?----mV T Mk T k V N p 3. 容积为33m 1030-? 的容器中，贮有kg 10203-?的气体，其压强为Pa 107.503?。求气体分子的最概然速率、平均速率及方均根速率。

[解] 设容器内气体分子总数为N ，则有kT

pV

N = 该气体分子质量为 pV

kT

M

N M m == 最概然速率为

s m 1089.310

201030107.50222223

3

3p ?=?????====--M pV kT pV M kT m kT v 平均速率为

m 1039.410

201030107.5060.160.160.182333?=?????====--M pV m kT m kT v π 方均根速率

s m 1077.410

201030107.5073.173.173.1323

3

32

?=?????====--M pV m kT m kT v