高二数学立体几何专题资料：空间的垂直关系与平行关系

空间的垂直关系

[基础要点]

一、直线与平面垂直

1.定义：若一条直线l 和一个平面α内的 ，则称这条直线l 和平面α互相垂直

2.判定方法：

（1）定义： （2）判定定理： （3）其他方法：

//a b a α???⊥? ；//a αβα???

⊥?

；l a a l

αβαβα⊥???=?

??⊥??⊥?

3.性质定理：

a b αα⊥?

??⊥?

二、两个平面垂直

1.定义：两个平面相交，若 ，则称这两个平面垂直

2.判定定理： αβ?⊥

3.性质定理： a β?⊥； b α?? 图形 三垂线定理 逆定理

文字语言

符号语言 例１、已知ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，AE ⊥PB 于E ，EF ⊥PC 于F （１）求证：AF ⊥PC （２）设平面AEF 交PD 于G ，求证：AG ⊥PD

变式：已知l αβ?=，PA ⊥α，PB ⊥β垂足分别为A 、B ，又AQ ⊥l ，垂足为Q ,连结BQ ，求证:BQ ⊥l

题型二、线面垂直的问题

例２、某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图所示,墩的上半部分 是正四棱锥P －EFGH,下半部分是长方体ABCD －EFGH. 证明：直线BD ⊥平面PEG .

变式：如图示，已知V 是△ABC 所在平面外一点，VN 垂直于平面ABC ，且垂足N 在△ABC 的高CD 上，M 是VC 上的一点，MDC CVN ∠=∠ 求证：VC ⊥平面AMB

题型三、面面垂直问题

例３、如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，

A P O a αA

B

C

D

M

N V A B

C

D

E

F

G

H

P

点E 在棱PB 上,求证：平面AEC PDB ⊥平面；

变式:△ABC 是正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CD ,CE=CA=2BD ,M 是EA 的中点， （１）求证：DE=DA （２）面BDM ⊥面ECA （３）面DEA ⊥面ECA 题型四、垂直问题的转化

例４、如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，o

PAD 90=∠

求证：⊥A P 平面ABCD ； 变式：如图示，在斜边为AB 的Rt △ABC 中，过A 作PA ⊥平面ABC ,AM ⊥PB 于M ,AN ⊥PC 于N

(1)求证:BC ⊥面PAC (2)求证：PB ⊥面AMN

(3)设PA=AB=4,设∠BPC=θ，试用tan θ表示△AMN 的面积，当tan θ取何值时，△AMN 的面积最大最大面积是多少

[自测训练]

1、已知,αβ表示平面，,m n 表示直线，下列命题中正确的是（ ） A 、若//,,m n αβαβ??，则//m n B 、若,,m n αβαβ⊥??，则m n ⊥ C 、若,,//m n m n αβ⊥?，则//αβ

D 、若//,//,m n m n αβ⊥，则αβ⊥

2、已知直线,m n 与平面,αβ，给出下列三个命题：

①若//,//m n αα，则//m n ②若//,m n αα⊥，则n m ⊥

③若,//m m αβ⊥，则//αβ 其中真命题的个数是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3

3、如图示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，现在沿DE 、DF 把△ADE 、△CDF 、△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P ，那么在四面体P-DEF 中，必有（ ）

A 、DM ⊥面PEF

B 、PM ⊥面DEF

C 、面PDE ⊥面PEF

D 、面PD

E ⊥面DE

F 4、直线a 不垂直于平面α，则α内与a 垂直的直线有（ ） A 、0条 B 、1条 C 、无数条 D 、α内所有直线

5、点P 是△ABC 所在平面外一点，且到三边的距离相等，点O 是P 在平面ABC 内的射影，且点O 在三角形内，那么点O 是△ABC 的（ ）

A 、垂心

B 、内心

C 、外心

D 、重心

6、已知,m n 是不重合的两条直线，,αβ是不重合的两个平面，有下列命题： ①若,//m n αα?，则//m n ②若//,//m n αβ，则//αβ

③若,//n m n αβ?=，则//m α且//m β ④若,m n αβ⊥⊥，且//m n ，则//αβ 其中真命题的个数是（ ）

A 、4

B 、3

C 、2

D 、1

A B

C

P M

N

C B A D

F

E M

D F E

M

P(A,B,C)

7、如图，P 为正方体1111ABCD A B C D -的中心，△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是（ ）

A

B

C D A 1

B 1

C 1

D 1P

(1)(2)

(3)

(4)

A 、(1)、(2)、(3)、(4)

B 、(1)、(3)

C 、(1)、(4)

D 、(2)、(4) 8、对于四面体ABCD ，给出下列四个命题：

①若,AB AC BD CD ==，则BC AD ⊥ ②若,AB CD AC BD ==，则BC AD ⊥ ③若,AB AC BC CD ⊥⊥，则BC AD ⊥ ④若,AB CD BD AC ⊥⊥，则BC AD ⊥ 其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）

9、在平面几何里，有勾股定理：“设三角形ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则2

2

2

AB AC BC +=”,拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得出正确结论是：“设三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两垂直，则 ”

10、直三棱柱中，12,90AC BC AA ACB ===∠=,E 为1BB 的中点，190A DE ∠=,求证：CD ⊥平面11A ABB

空间的平行关系

[基础要点]

1.公理4：用符号表示如下：设,,a b c 为直线，//a b 且//b c ，则a c

2.等角定理：空间中若两个角的两边分别对应 ，且方向 ，则这两个角相等

3.直线与平面平行

（1）定义：如果 ，则这条直线和这个平面平行 （2）判定：①用定义

②判定定理： //a α?

?????（3）性质定理：//a a b αβαβ??

?????=?

4.平面与平面平行

（1）定义： ，就说这两个平面平行 （2）判定：①用定义

②判定定理： //αβ???

???????

（3）性质定理：

①//a αβα????? ②//a b αβγαγβ?

??=????=?

③//l αβα???⊥? 题型一、直线与直线平行

例1、如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线平行于这两个平面的交线

设平面l αβ?=，直线//,//a a αβ，如图示，求证：//a l

α

β

l a

变式：如图示，,,a b c αβαγγβ?=?=?=，且//a b ，求证：////a b c

题型二、直线与平面平行

例2、已知A 、B 、C 、D 四点不共面，M 、N 分别是△ABD 和△BCD 的重心，求证： MN // 平面ACD

变式：如图示，两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ,,M AC N FB ∈∈且AM=FN ，求证:MN // 平面BCE

题型三、平面与平面平行

例4、P 是△ABC 所在平面外一点，111,,A B C 分别是△PBC 、△PAC 、△PAB

的重心，（1）求证：平面111,,A B C // 平面ABC (2) 求△111A B C 与△ABC 的面积之比

变式：如图示，在空间六边形（即六个顶点没有任何五点共面）ABCDEF 中，每

相邻的两边互相垂直，边长均等于a ，并且//AF CD ，求证：平面FBD // 平面ACE

题型四、平行关系的转化

例4、已知AB 、CD 是夹在两个平行平面,αβ之间的线段，MN 分别为AB 、CD 的中点，求证：MN // 平面β

变式：已知平面四边形ABCD 在平面α内的正投影是一个平行四边形1111A B C D ，求证：四边形ABCD 是平行四边形

[自测训练]

1、已知下列命题：

① 一条直线和另一直线平行，那么它就和经过另一条直线的任何平面平行

② 一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内的所有直线都没有公共点，因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行

③ 若直线l 与平面α不平行，则l 与α内任一直线都不平行 ④ 与一平面内无数条直线平行的直线必与此平面平行 其中正确的个数是（ ） A 、0个 B 、１个 C 、２个 D 、３个 2、下列命题中，不正确的是（ ）

b c

α

β

γa

E

F

C

A D

M B N

P

A

B

C

1

A 1

B 1

C A

B

C

E F

A 、一条直线和两个平面,αβ所成的角相等，那么//αβ

B 、两个平面,,//αβαβ，则α内的任意直线平行于平面β

C 、一个三角形有两条边所在直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行

D 、分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线 10、若a 是△ABC 两边中点的连线，α为过第三边的一个平面，那么（ ）

A 、//a α

B 、a α?

C 、//a α或a α?

D 、以上都不对 3、,,a b c 为三条不重合的直线，,,αβγ为三个不重合的平面，现给出六个命题：

①

//////a c a b b c ???? ②//////a a b b γγ???? ③//////c c ααββ?

???

④//////αγαββγ???? ⑤//////a c a c αα???? ⑥//////a a γααγ????

其中正确的是（ ） A 、①②③ B 、①④⑤ C 、①④ D 、①④⑤⑥

4、已知平面α∥平面β，P 是,αβ外一点，过点P 的直线m 与,αβ分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与,αβ分别交于B 、D, 且6,9,8PA AC PD ===，则BD 的长为（ ）

A 、16

B 、24或

245

C 、14

D 、20 5、已知平面α⊥平面β，,l P l αβ?=∈，则给出下面四个结论： ①过点P 和l 垂直的直线在α内 ②过P 和β垂直的直线在α内 ③过P 和l 垂直的直线必与β垂直 ④过P 和β垂直的平面必与l 垂直

其中正确的是（ ）

A 、②

B 、③

C 、①④

D 、②③

6、平行四边形的一个顶点A 在平面α内，其余三个顶点在α的同侧，已知其中有两个顶点到α的距离分别为1和2，那么剩下的一个顶点到α的距离可能是：①1，②2，③3，④4 以上结论正确的是 (写出所有正确结论的编号)

7、已知,m n 是不同的直线，,αβ是不重合的平面，给出下列命题：

①若//m α，则m 平行于α内的任意一条直线 ②若//,,m n αβαβ??，则//m n ③若,,//m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥ ④若//,m αβα?，则//m β 上面命题中，真命题的序号是 （写出所有真命题的序号） 8、有以下四个论断：

①平面γ与平面,αβ所成的锐角二面角相等 ②直线//,a b a ⊥平面α，b ⊥平面β ③,a b 是异面直线，,a b αβ??，且//,//a b βα

④平面α内距离为d 的两条平行直线在平面β内的射影仍为两条距离为d 的平行线 其中能推出//αβ的条件有 （填写所有正确条件的代号） 9、若两个平面分别平行于第三个平面，则这两个平面互相平行 已知：//,//αβγβ，求证：//αγ

10、在正方体1111ABCD A B C D -中，，M 、N 分别在其对角线1AD 与BD 上，若AM BN x ==

（1）求证：//MN 平面11CDD C （2）设MN y =，求()y f x =的表达式

（3）求MN 的最小值，并求此时x 的值 （4）求1AD 与BD 所成的角