10．设A 是实对称可逆矩阵，则线性变换x A y =将二次型Ax x f T
=化为
二次型____________________。 11．已知实二次型
3231212
32221321222)1()1()1(),,(x x x x x x x x x x x x f λλλλλλ++++++++=
是正定二次型，则常数λ的取值为 。
12．设????? ??=111111a a a A ，???
?
?
??-=211β，已知线性方程组β=Ax 有解但不唯一。
则常数a ＝ 。
三．解答题 （每题8分，共48分） 13．设实向量()T n
a a a ，，，Λ21=α,n 阶矩阵T E A αα+=，行列式||A D n
=。
（1）计算3D ； （2）证明：1-≥n n D D 。
14．已知非齐次线性方程组 b Ax =为 ???
??=++-=++=-+l
kx x x x kx x x x kx 321
32132134 。 （1）试求行列式||A ；
（2）试问：常数l k ，为何值时，方程组有唯一解、无解、有无穷多解。
当方程组有无穷多解时，求出其通解
15．已知B A ,为3阶矩阵，其中???
?
?
??-=100020011A 。
（1）化简等式 E BA BA A -=*
； （2）求满足（1）中等式的矩阵B 。
16．已知二次型Ax x x x x f T =)(321，，
经正交变换 y Q x =化为标准型 2
322212y y y -+，
且正交矩阵Q 的第三列为T )3
1
3131
(
，，。 （1）试求：正交矩阵Q 和实对称矩阵A ；（2）证明：矩阵E A B 3+=为正定矩阵。
17．已知矩阵??
???
?
?
??=21001
00
00010010
y A 有1个特征值为3。（1）试求：常数y ，以及矩阵)(A A T
的特征值； （2）试求：可逆矩阵P ，使得矩阵)()(AP AP T
为对角阵，并求出此对角阵。
18．已知向量空间3R 的两个基为
)(a ????? ??=0011α，????? ??=0112α，????? ??=1113α。及)(b ????? ??=0111β，????? ??=1122β，???
?
? ??=2223β。
向量32132αααα++=。试求：（1）基)(a 到基)(b 的过渡矩阵A ；（2）α在基)(b 下的坐标y 。
四．论述或证明题 （每题8分，共16分） 19. （1）试叙述实矩阵A 为正交矩阵的定义；
（2）证明：n 阶实矩阵A 是正交矩阵的充分必要条件为，在欧氏空间中对任意n 维列向量α，
内积)()(αααα，，=A A 。
20. 设A ，B 为n 阶方阵，证明：齐次方程组0)(=x AB 与0=Bx 为同解方程的
充分必要条件是秩)()(B r AB r =。
线 性 代 数（B 类）参 考 答 案
一 单项选择题 C B A D C D 二 填空题
7.36； 8.5； 9. 76-； 10. y A y f T 1
-=； 11. 3
1->λ； 12. 2-。 三 解答题
13．（1）2
3222123
2
31
3322
2
123
12
12131111a a a a a a a a a a a a a a a a a a D +++=+++=； (4分)
（2）∑=+=+++=
k
i i k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a a D 1
22
2
1
22
2121212
11111Λ
ΛΛΛΛ
Λ
Λ，2
1n
n n a D D =--， 所以1-≥n n D D 。 (4分)
14．（1）)2()1(||2
++=k k A ； (2分) （2）2,1≠-≠k k ，有唯一解；
1-=k 时无解，2=k 且1-≠l 时无解； (2分) 2=k 且1-=l 时有无穷多解，通解为????
?
??-+???
?? ??=11102531c α。 (4分)
15．（1）2||-=A ，E B E A =+)2(。 （4分）
（2）????
?
??-=+=-1200030014121)2(1
E A B 。 （4分） 16．（1）?????
?
?
?--=3/16/203/16/12
/13/16/12/1Q ，???
?? ??------=011101110A 。 (6分)
（2）B 实对称，且特征值为4,4,1,都大于零，所以正定。 (2分)
17．（1） 因为 0)2(8|3|=-=-y A E ，所以2=y 。
A A T 的特征值为9111，，，
。 (4分)
（2）???????
?
?-=11
011000020000221P ， ?????
?
?
?
?==90
00100
00100001)()()(P A A P AP AP T
T T 。 (4分) 18．（1）???
??
??=????? ??????? ??=-2100010102102112211001101111
A 。 (4分)
（2）???
?
? ??=????? ??????? ??-==-1123212/102/1001010
1x A y 。 (4分)
四 论述与证明题
19．（1）E A A AA t
T
==； (2分)
（2）必要性：因为E A A T =，所以)()()(αααααααα，，
===T
T T A A A A 。 (2分) 充分性：因为 0)()(=-=-ααααααE A A A A T
T
T
T
T
，所以E A A T -为反对称矩阵。
又 E A A T
-为对称矩阵，故0=-E A A T 。得E A A T
=，A 为正交矩阵。 (4分)
20。必要性：它们的基础解系等价，所以)()(B r n AB r n -=-，故)()(B r AB r =。 (4分)
充分性：显然0=Bx 的解都是组0)(=x AB 的解。
若有0)(=x AB 的解不是0=Bx 的解，则它们的基础解系不等价。
得)()(B r AB r ≠。矛盾。 (4分)
