微积分基本知识

微积分基本知识

第一章、 极限与连续

一、 数列的极限 1． 数列 定义：

按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数

1,,,n x x K L 叫数列，记作{}n x ，并吧每个数叫做数列的项，第n 个数叫做数列的第n 项或通项 界的概念：

一个数列{}n x ，若0M ?>，..s t 对*n N ?∈，都有n x M ≤，则称{}n x 是有界的： 若不论M 有多大，总*m N ?∈，..s t m x M >，则称{}n x 是无界的 若n a x b ≤≤，则a 称为n x 的下界，b 称为n x 的上界

{}n x 有界的充要条件：{}n x 既有上界，又有下界

2． 数列极限的概念 定义：

设{}n x 为一个数列，a 为一个常数，若对?0ε>，总?N ,..s t 当n N >时，有

n x a ε-< 则称a 是数列{}n x 的极限，记作lim n n x a →∞

=或()n x a n →→∞

数列有极限时，称该数列为收敛的，否则为发散的 几何意义：

从第1N +项开始，{}n x 的所有项全部落在点a 的ε邻域(,)a a εε-+

3． 数列极限的性质

①唯一性 ②收敛必有界 ③保号性：极限大小关系?数列大小关系（n N >时） 二、 函数的极限 1.定义：两种情形

①0x x →：设()f x 在点0x 处的某去心邻域内有定义，A 为常数，若对0ε?>，

0δ?>，..s t 当00x x δ<-<时，恒有()f x A ε-<成立， 则称()f x 在0x x →时有

极限A

记作0

lim ()x x f x A →=或0()()f x A x x →→

几何意义：对0ε?>，0δ?>，..s t 当00x x δ<-<时，()f x 介于两直线y A ε=± 单侧极限：设()f x 在点0x 处的右侧某邻域内有定义，A 为常数，若对0ε?>，0δ?>，..s t 当00x x δ<-<时，

恒有()f x A ε-<成立，称()f x 在0x 处有右极限A ， 记作0

lim ()x x f x A +

→=或0

()f x A +

= 0

lim ()x x f x A →=的充要条件为：0

0()()f x f x +-==A 垂直渐近线：当0

lim ()x x f x →=∞时，0x x =为()f x 在0x 处的渐近线

②x →∞：设函数()f x 在0x b ≥≥上有定义，A 为常数，若对0ε?>，,..X b s t ?>当x X >时，有()f x A ε-<成立，则称()f x 在x →∞时有极限A ，记作

lim ()x f x A →∞

=或()()f x A x →→∞

lim ()x f x A →∞

=的充要条件为：lim ()lim ()x x f x f x A →+∞

→-∞

==

水平渐进线： 若lim ()x f x A →+∞

=或lim ()x f x A →-∞

=，则y A =是()f x 的水平渐近线

2.函数极限的性质：

①唯一性 ②局部有界性 ③局部保号性（②③在当00x x δ<-<时成立） 三、 极限的运算法则

1． 四则运算法则

设()f x 、()g x 的极限存在，lim (),lim ()f x A g x B ==则 ①lim ()()f x g x A B ±=± ②lim[()()]f x g x AB = ③()lim

()f x A

g x B

= （当0B ≠时） ④lim ()cf x cA = （c 为常数） ⑤lim[()]k k f x A = （k 为正整数） 2． 复合运算法则

设[()]y f x ?=，若0

lim ()x x x a ?→=，则0

lim [()]()x x f x f a ?→=

可以写成0

lim [()][lim ()]x x x x f x f x ??→→= （换元法基础）

四、极限存在准则及两个重要极限 1．极限存在准则 ①夹逼准则

设有三个数列{}n x ，{}n y ，{}n z ，满足

n n n y x z ≤≤ ， lim lim n n n n y z a →∞

→∞

== 则lim n n x a →∞

=

②单调有界准则 有界数列必有极限 3． 重要极限

①0sin lim 1x x x →= ②1lim 1x

x e x →∞??+= ???

或()1

0lim 1x x x e →+= 五、无穷大与无穷小 1．无穷小：

在自变量某个变化过程中lim ()0f x =，则称()f x 为x 在该变化过程中的无穷小 ※ 若()0f x =，则()f x 为x 在所有变化过程中的无穷小

若()f x ε=，则()f x 不是无穷小 性质：1.有限个无穷小的代数和为无穷小 2.常量与无穷小的乘积为无穷小 3.有限个无穷小的乘积为无穷小

4.有极限的量与无穷小的乘积为无穷小

5.有界变量与无穷小的乘积为无穷小

定理：lim ()f x A =的充要条件是()()f x A x α=+，其中()x α为x 在该变化中过程中的无穷小

无穷小的比较：(趋于0的速度的大小比较)

(),()x x ααββ==，为同一变化过程中的无穷小

若lim

c α

β

=（0c ≠常数） 则α是β的同阶无穷小 （当1c =时为等价无穷小） 若lim

k

c α

β=（0c ≠常数） 则α是β的k 阶无穷小 若lim

0α

β

= 则α是β的高阶无穷小 常用等价无穷小：(0x →)sin tan arcsin arctan ln(1)1x x x x x x x e +-::::::；

2

1cos 2x x -:；(1)1x x βααβ+-:；1ln x a x a -:

2．无穷大：

设函数()f x 在0x 的某去心邻域内有定义。若对于0M ?>，0δ?>..s t 当

00x x δ<-<时，恒有()f x M >

称()f x 当0x x →时为无穷大，记作0

lim ()x x f x →=∞

定理：lim ()f x 1lim ()1lim ()f x f x ??

????

????

????

无穷大为无穷小无穷小为无穷大 （下：趋于某点，去心邻域不为0）

※ 无穷大的乘积为无穷大， 其和、差、商不确定

六、连续函数 1．定义

设函数()y f x =在0x 某邻域有定义，若对0ε?>，0δ?>..s t 当00x x δ<-<时，恒有： 0()()f x f x ε-<

也可记作 0

0lim ()()x x f x f x →= 或 0

lim 0x y ?→?=

00()()f x f x -=（或00()()f x f x +=）为左（或右）连续

2．函数的间断点

第一类间断点：左右极限存在???

左右极限相等，该处无定义可去间断点左右极限不等跳跃间断点

第二类间断点：无穷间断点，震荡间断点等

3.连续函数的运算

若函数()f x 与()g x 都在x 处连续，则函数

()()f x g x ±，()()f x g x ，

()

()

f x

g x （()0g x ≠） 定理：[()]y f g x =，00()g x u =，若()g x 在0x 处连续，()f g 在0u 处连续，则

[()]y f g x =在0x 处连续

4． 闭区间连续函数的性质

① 最值定理：()f x 在[,]a b 上连续， 则12,x x ?，对一切[,]x a b ∈有 12()()()f x f x f x ≤≤

②介值定理：()f x 在[,]a b 上连续，对于()f a 与()f b 之间的任何数u ，至少?一点ξ，

..s t ()f u ξ=

第二章、 导数

一、导数的概念

定义：设函数()y f x =在点0x 的某邻域有定义，如果极限 000

()()

lim

x f x x f x x

?→+?-? 存在，则称函数()y f x =在点

0x 可导，极限值为函数()y f x =在点0x 处的导数，记为'0()f x

单侧导数：设函数()y f x =在点0x 处的左侧00(,]x x δ-有定义，若极限 000

()()

lim x f x x f x x

-

?→+?-? 存在，则称此极限为函数

()y f x =在点0x 处的左导数，记为'0()f x -，类似有右导数'0()f x +

导函数：函数()y f x =在某区间上可导，则 '0

()()

()lim

x f x x f x f x x

?→+?-=?

性质：①函数()y f x =在点0x 处可导的充要条件''00()()f x f x -+= ②可导?连续

导数的几何意义： 函数点处的切线斜率 二、求导法则

1．函数的和、差、积、商的求导法则

定理：若(),()u u x v v x ==都在x 处可导，则函数()()u x v x ±在x 处也可导，且 '''[()()]()()u x v x u x v x ±=±

定理：若(),()u u x v v x ==都在x 处可导，则函数()()u x v x 在x 处也可导，且 '''[()()]u x v x u v uv =+

推论：若1,,n u u K 都在x 处可导，则函数12n u u u L 在x 处也可导，且

''''12121212[]n n n n u u u u u u u u u u u u =++L L L L L

定理：若(),()u u x v v x ==都在x 处可导，则函数

()

()

u x v x 在x 处也可导，且 '

''

2

()()u x u v uv v x v ??-=???? 2．反函数的求导法则

定理：设函数()x g y =在y I 上单调可导，它的值域为x I ，而'()0g y ≠，则其反函数

1()()y g x f x -==在区间x I 上可导，并且有

''1

()()

f x

g x = 4． 复合函数的求导法则

定理：若函数()u x ?=在0x 可导，函数()y f u =在点00()u x ?=可导，则复合函数

(())y f x ?=在0x 处可导

'''[(())](())()f x f x x ???= 或 dy dy du

dx du dx

=g （连锁规则） 三、高阶导数

定义：若函数()y f x =的导数''()y f x =仍可导，则''()y f x =导数为()y f x =的二

阶导数，记作2"

"

2,(),d y y f x dx ， 类似的，有n 阶导数()()

,(),n n n n d y y f x dx

四、隐函数求导

对于[,()]0F x y x =,或[,()][,()]F x y x G x y x =，若求dy dx

求导法：方程两侧对x 求导

微分法：方程两侧求微分

公式法：''x y

F dy

dx F =- ，将方程化成[,]F x y =0，将F 看成关于x,y 的二元函数，分

别对x,y 求偏导'',x y F F 五、参数方程所确定的函数求导

()()

x t y t ?ψ=??

=? ，''''()/()t t y dy dy dt dy dx t dx dt dx dt dt t x ψ?====g

导数公式 基本函数：

导数运算法则:

'''()u v u v ±=± ''()Cu Cu =

'

'

'

()uv u v uv =+ ''

'2

()u u v uv v v

-= ()

()

()

()

n n n u v u

v

±=± ()

()()

()

n

n k n k k n k uv C u v -==∑ 高阶导数

()()[()]()n n n Cf ax b Ca f ax b +=+ ()

*(),(),0n m m n m

n x A x n N m n -=∈>=若则 ()

11!(1)n n

n n x x

+??=- ?

??

()()ln x n x n a a a = ()1

(1)!

(log )(1)ln n n a n

n x x a --=- ()(sin )sin()2

n n x x π

=+

()(cos )cos()2

n n x x π

=+

※1.1()()n n o x o x x += 2.'000

()()

lim ()x f x f x f x x x ?→-≠-，需补充条件()f x 在0x 处可导或该极限存在

'0C ='1()x x μμμ-='

()ln x x a a a ='1(log )ln a x x a ='(sin )cos x x ='(cos )sin x x =-'2(cot )csc x x =-'(sec )sec tan x x x ='(csc )csc cot x x x

=

-'(arcsin )x =

'(arccos )x ='21(arctan )1x x =

+'2

1(arccot )1x x =-

+