【精选】人教版七年级数学上册 代数式专题练习(word版

一、初一数学代数式解答题压轴题精选（难）

1．如图所示,在边长为a米的正方形草坪上修建两条宽为b米的道路.

（1）为了求得剩余草坪的面积，小明同学想出了两种办法，结果分别如下：

方法①：________ 方法②：________

请你从小明的两种求面积的方法中，直接写出含有字母a，b代数式的等式是：________

（2）根据（1）中的等式，解决如下问题：

①已知：，求的值；

②己知：，求的值.

【答案】（1）（a-b）2；a2-2ab+b2；（a-b）2=a2-2ab+b2

（2）解：①把代入

∴，

∴

②原式可化为：

∴

∴

∴

【解析】【解答】解：（1）方法①：草坪的面积=（a-b）（a-b）= ．

方法②：草坪的面积= ；

等式为：

故答案为：，；

【分析】（1）方法①是根据已知条件先表示出矩形的长和宽，再根据矩形的面积公式即可得出答案；方法②是正方形的面积减去两条道路的面积，即可得出剩余草坪的面积；根据（1）得出的结论可得出；（2）①分别把的值和

的值代入（1）中等式，即可得到答案；②根据题意，把（x-2018）和（x-2020）变成（x-2019）的形式，然后计算完全平方公式，展开后即可得到答案.

2．某校要将一块长为a米，宽为b米的长方形空地设计成花园，现有如下两种方案供选择. 方案一：如图1，在空地上横、竖各铺一条宽为4米的石子路，其余空地种植花草.

方案二：如图2，在长方形空地中留一个四分之一圆和一个半圆区域种植花草，其余空地铺筑成石子路.

（1）分别表示这两种方案中石子路（图中阴影部分）的面积（若结果中含有π，则保留）（2）若a＝30，b＝20，该校希望多种植物美化校园，请通过计算选择其中一种方案（π取3.14）.

【答案】（1）解：方案一：∵石子路宽为4，

∴S石子路面积=4a+4b-16，

方案二：设根据图象可知S石子路面积=S长方形-S四分之一圆-S半圆=ab- πb2- π（ b）2=ab- πb2

（2）解：已知a＝30，b＝20，故方案一：S石子路面积=184m2， S植物=600-184=416m2；

方案二：S石子路面积=129m2，则S植物=600-129=471m2.

故答案为：择方案二，植物面积最大为471m2。

【解析】【分析】（1）方案一：由图形可得S石子路=两条石子路面积-中间重合的正方形的面积；

方案二：由题意可得S石子路= S长方形-S四分之一圆-S半圆；

（2）把a、b的值的代入（1）中的两种方案计算即可判断求解.

3．A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差别：A公司，年薪20000元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪10000元，每半年加工龄工资50元．

（1）第二年的年待遇：A公司为________元，B公司为________元；

（2）若要在两公司工作n年，从经济收入的角度考虑，选择哪家公司有利（不考虑利率等因素的影响）？请通过列式计算说明理由．

【答案】（1）20200；20250

（2）解：A公司：20000+200（n-1）=200n+19800

B公司：10000+50(2n-2)+10000+50（2n-1）=200n+19850，

∴从应聘者的角度考虑的话，选择B家公司有利．

【解析】【解析】（1）解:A公司招聘的工作人员第二年的工资收入是：20000+200=20200元；

B公司招聘的工作人员第二年的工资收入是：1000+50×2+1000+50×3=20250元；

【分析】（1）根据第二年的年待遇等于年薪+工龄工资，即可算出;

(2)分别表示出第n年在A,B两家公司工作的年收入，再比较大小即可。

4．小明是个爱动脑筋的同学，在发现教材中的用方框在月历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数2，4，6，8，…，排成如表，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题：

（1）十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？

（2）设中间的数为x，用代数式表示十字框中的五个数的和；

（3）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其他五个数的和能等于2016吗？如能，写出这五个数，如不能，说明理由．

【答案】（1）解：十字框中的五个数的和为6+14+16+18+26=80=16×5，∴十字框中的五个数的和为中间的数16的5倍

（2）解：设中间的数为x，则另外四个数分别为x﹣10、x﹣2、x+2、x+10，∴十字框中的五个数的和为（x﹣10）+（x+10）+（x﹣2）+（x+2）+x=5x

（3）解：假设能够框出满足条件的五个数，设中间的数为x，根据题意得：5x=2016，解得：x=403.2．∵403.2不是整数，∴假设不成立，∴不能框住五个数，使它们的和等于2016．

【解析】【分析】（1）算出十字框中的五个数的和，即可发现是16的5倍；

（2）设中间的数为x，则另外四个数分别为x﹣10、x﹣2、x+2、x+10 ，利用整式加法法则即可算出十字框中的五个数的和；

（3）假设能够框出满足条件的五个数，设中间的数为x ，根据（2）计算的结果及这五个数的和是2016,，列出方程，求解如解是整数即可，不是整数即不可。

5．已知：a、b、c满足a=-b,|a+1|+（c-4）2=0，请回答问题:

（1）请求出a、b、c的值；

（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，P为数轴上一动点，其对应的数为x，若点P 在线段BC上时，请化简式子：|x+1|-|1-x|+2|x-4|（请写出化简过程）；

（3）若点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，试探究当点P运动多少

秒时，PC=3PB?

【答案】（1）解：因为，所以a+1=0，c-4=0，即a=-1，c=4. 因为

a=-b，a=-1，所以b=-a=-(-1)=1. 综上所述，a=-1，b=1，c=4

（2）解：因为点P在线段BC上，b=1，c=4，所以 . 因为，所以x+1>0，， . 0时，；当时，

；当时， . 因此，当点P在线段BC上(即 )时，=

= = .

（3）解：设点P的运动时间为t秒. 因为点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，所以AP=2t. 因为点A对应的数为-1，点C对应的数为4，所以AC=4-(-1)=5. PB. 故点P不可能在点C的右侧. 因此，PC=AC-AP. 因为AP=2t，AC=5，所以PC=AC-AP=5-2t. 分析本小题的题意，点P与点B的位置关系没有明确的限制，故本小题应该对以下两种情况分

别进行求解. ①点P在点B的左侧，如下图. 因为点A对应的数为-1，点B对应的数为1，所以AB=1-(-1)=2. 因为AP=2t，AB=2，所以PB=AB-AP=2-2t. 因为PC=3PB，PC=5-2t，PB=2-2t，所以5-2t=3(2-2t). 解这个关于t的一元一

次方程，得. ②点P在点B的右侧，如下图.

因为AP=2t，AB=2，所以PB=AP-AB=2t-2. 因为PC=3PB，PC=5-2t，PB=2t-2，所以5-2t=3(2t-2). 解这个关于t的一元一次方程，得 .

综上所述，当点P运动或秒时，PC=3PB.

【解析】【分析】（1）因|a+1|0;(c-4)20,所以由题意得a+1=0,c-4=0,即a=-1，c=4，所以

b=1.

（2）结合（1），由题意得，所以原式去绝对值化简得原式=x+1-(x-1)+2(4-x)=-

2x+10.

（3）结合（1），由题意得AP=2t，PC=5-2t；然后分情况讨论P在B点左右两侧两种情况。

6．已知A，B在数轴上分别表示的数为m、n．

（1）对照数轴完成下表：

m 5﹣3﹣4﹣4

n 2 0 3﹣2

A、B两点间的距离________ 3________________

（2）若A，B两点间的距离为d，试问d与m、n有何数量关系？

（3）已知A，B在数轴上分别表示的数为x和﹣2，则A、B两点的距离d可表示为d=|x+2|，如果d=3，求x的值．

（4）若数轴上表示数m的点位于﹣5和3之间，求|m+5|+|m﹣3|的值．

【答案】（1）3；7；2

（2）解：d=|m﹣n|，文字描述为：数轴上两点间的距离d等于表示两点数之差的绝对值（3）解：d=|x+2|

根据题意得出：d=|x﹣（﹣2）|=|x+2|，

如果d=3，那么3=|x+2|，

解得x=1或﹣5

（4）解：根据题意得出：∵﹣5＜m＜3，

∴|m+5|+|m﹣3|=|5+3|=8

【解析】【解答】解：（1）填表如下：

【分析】（1）结合数轴，得出两点间的距离公式，即可求解。若A，B在数轴上分别表示的数为m、n，A，B两点间的距离为d，则d=|m﹣n|，根据此公式即可求解。

（2）根据（1）可得出结论。

（3）将d=3代入d=|x+2|，建立方程求解。

（4）根据已知可知﹣5＜m＜3，得出m+5＞0，m-3＜0，则|m+5|=m+5，|m﹣3|=-（m-3）,就可得出结果。

7．甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价20元，乒乓球每盒定价5元．现两家商店搞促销活动，甲店的优惠办法是：每买一副乒乓球拍赠一盒乒乓球；乙店的优惠办法是：按定价的9折出售．某班需购买乒乓球拍4副，乒乓球若干盒（不少于4盒）．

（1）用代数式表示（所填式子需化简）：

当购买乒乓球的盒数为x盒时，在甲店购买需付款________元；在乙店购买需付款________元．

（2）当购买乒乓球盒数为10盒时，到哪家商店购买比较合算？说出你的理由．

（3）当购买乒乓球盒数为10盒时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并求出此时需付款几元？

【答案】（1）（5x+60）；（4.5x+72）

（2）解：当x=10时，甲店需付费5×10+60=110元；乙店需付费4.5×10+72=117元，

∴到甲商店比较合算

（3）解：可在甲店购买4副乒乓球拍子，在乙店购买（10﹣4）盒乒乓球，所需费用为：4×20+（10﹣4）×5×0.9=80+27=107元

【解析】【解答】解：（1）甲店需付费：4×20+（x﹣4）×5=80+5x﹣20=（5x+60）元；乙店需付费：（4×20+x×5）×0.9=（4.5x+72）元；

故答案为（5x+60）；（4.5x+72）；

【分析】（1）甲店需付费：4副乒乓球拍子费用+（x﹣4）盒乒乓球费用；乙店需付费：（4副乒乓球拍子费用+x盒乒乓球费用）×0.9，把相关数值代入求解即可；（2）把x=10代入（1）得到的式子计算，比较结果即可；（3）可在甲店购买乒乓球拍子，在乙店购买乒乓球．

8．已知：a是﹣1，且a、b、c满足（c﹣6）2+|2a+b|=0，请回答问题：

（1）请直接写出b、c的值：b=________，c=________

（2）在数轴上，a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为易动点，其对应的数为x，

①当点P在AB间运动（不包括A、B），试求出P点与A、B、C三点的距离之和．

②当点P从A点出发，向右运动，请根据运动的不同情况，化简式子：|x+1|﹣|x﹣2|+2|x﹣6|（请写出化简过程）

【答案】（1）2；6

（2）解：①∵PA=x﹣（﹣1）=x+1，PB=2﹣x，PC=6﹣x，

∴PA+PB+PC=x+1+2﹣x+6﹣x=9﹣x；|x+1|﹣|x﹣2|+2|x﹣6|

②当﹣1≤x＜2时，原式=x+1+x﹣2﹣2（x﹣6）=11；

当2≤x＜6时，原式=x+1﹣（x﹣2）﹣2（x﹣6）=﹣2x+15；

当x≥6时，原式=x+1﹣（x﹣2）+2（x﹣6）=2x﹣9

【解析】【解答】解：（1）∵（c﹣6）2+|2a+b|=0，

∴c=6，2a+b=0，即b=﹣2a，

又∵a=﹣1，

∴b=2，

故答案为：2，6；

【分析】（1）根据非负数的性质可得；（2）①根据两点间距离公式列出算式，化简可得；②分别根据﹣1≤x＜2、2≤x＜6、x≥6结合绝对值性质，去绝对值符号后化简可得．

9．将大小不一的正方形纸片①、②、③、④放置在如图所示的长方形ABCD内（相同纸片之间不重叠），其中AB=a．

小明发现：通过边长的平移和转化，阴影部分⑤的周长与正方形①的边长有关.

（1）根据小明的发现，用代数式表示阴影部分⑥的周长________．

（2）阴影部分⑥与阴影部分⑤的周长之差与正方形________（填编号）的边长有关，请计算说明.________

【答案】（1）2a

（2）②

；解：设②的边长是m.

∴阴影部分⑤的周长是2(a-m).

∴阴影部分⑥-阴影部分⑤=2a-2(a-m)=2m

【解析】【解答】解（1）设长方形⑥的长为x, 宽为y, 则x+y=a, 周长=2(x+y)=2a.

【分析】（1）设长方形⑥的长为x, 宽为y, 因为这个长方形的长与宽之和为a, 则周长为2a.

（2）设②的边长是m，把⑤的周长用含m和a的代数式表示，再计算阴影部分⑥的周长和阴影部分⑤的周长之差即可，其结果正好等于正方形②的周长.

10．历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）的形式来表示，把x等于某数a时的多项式的值用f（a）来表示，例如x=﹣1时，多项式f（x）=x2+3x﹣5的值记为f（﹣1），则f（﹣1）=﹣7．已知f（x）=ax5+bx3+3x+c，且f（0）=﹣1

（1）c=________．

（2）若f（1）=2，求a+b的值；

（3）若f（2）=9，求f（﹣2）的值．

【答案】（1）-1

（2）解：∵f（1）=2，c=-1

∴a+b+3-1=2，

∴a+b=0

（3）解：∵f（2）=9，c=-1，

∴32a+8b+6-1=9，

∴32a+8b=4，

∴f（-2）=-32a-8b-6-1=-4-6-1=-11．

【解析】【解答】（1）∵f（x）=ax5+bx3+3x+c，且f（0）=-1，

∴c=-1，

故答案为-1．

【分析】（1）把x=0，代入f（x）=ax5+bx3+3x+c，即可解决问题；（2）把x=1，代入f （x）=ax5+bx3+3x+c，即可解决问题；（3）把x=2，代入f（x）=ax5+bx3+3x+c，利用整体代入的思想即可解决问题；

11．某市为鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量与水费的单价如表所示：

①当x不超过24立方米时，应收水费为多少元；

②当x超过24立方米时，应收水费为多少元；

（2）小明家五月份用水23立方米，六月份用水36立方米，请帮小明计算一下他家这两个月共应交多少元水费？

（3）小明家七、八月份共用水64立方米，共交水费232元用水，已知七月份用水不超过24立方米，请帮小明计算一下他家这两个月各用多少立方米的水？

【答案】（1）解：①当x不超过24立方米时，应收水费＝3x元；

②当x超过24立方米时，应收水费＝24×3+5（x﹣24）＝5x﹣48元.

故答案为：①3x；②（5x﹣48）.

（2）解：当x＝23时，3x＝69；

当x＝36时，5x﹣48＝132.

∴69+132＝201（元）.

答：小明家这两个月共应交201元水费.

（3）解：设小明家七月份用水m立方米（0＜m≤24），则八月份用水（64﹣m）立方米，依题意，得：3m+5×（64﹣m）﹣48＝232，

解得：m＝20，

∴64﹣m＝44.

答：小明家七月份用水20立方米，八月份用水44立方米.

【解析】【分析】（1）根据分段计费的收费标准，可用含x的代数式表示出当x不超过24立方米时及当x超过24立方米时的应收水费；（2）将x的值代入（1）中的代数式中求值即可；（3）设七月份用水m立方米（0＜m≤24），则八月份用水（64﹣m）立方米，由（1）的结论结合小明家七、八月份共交水费232元，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论.

12．某单位在十月份准备组织部分员工到北京旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅

行社报价均为4000 元/人，两家旅行社同时又对10 人以上的团体推出了优惠举措：甲旅行社对每位员工七五折优惠；而乙旅行社是免去一位员工的费用，其余员工八折优惠．（1）如果设参加旅游的员工共有n（n＞10）人，则甲旅行社的费用为________元，乙旅行社的费用为________元；（用含 n 的代数式表示）

（2）假如这个单位现组织共30 名员工到旅游，该单位选择哪一家旅行社比较优惠？请通过计算说明理由．

（3）如果计划在十月份外出旅游七天，这七天的日期之和（不包含月份）为105，则他们于十月________号出发.

【答案】（1）3000n；3200(n-1)

（2）解：当n=30时:

甲： (元)，

乙： (元)，

因为90000<92800，所以选择甲旅行社更优惠

（3）12

【解析】【解答】解：(1)甲旅行社的费用为

乙旅行社的费用为

故答案为3000n;3200(n-1)；

( 3 ) 设 x 号出发，则 x+x+1+x+2+x+3+x+4+x+5+x+6=105，

解得 x=12，所以他们于十月 12 号出发.

【分析】（1）按照两个旅行社的优惠方法，分别表示出各自的费用。

（2）将n=30分别代入（1）中的代数式求值，再比较大小即可得出结果。

（3）设 x 号出发，根据这七天的日期之和（不包含月份）为 105，建立关于x的方程，求解即可。