初1数学竞赛教程含例题练习及答案⑾ (5)

初一数学竞赛讲座

第11讲染色和赋值

染色方法和赋值方法是解答数学竞赛问题的两种常用的方法。就其本质而言, 染色方法是一种对题目所研究的对象进行分类的一种形象化的方法。而凡是能用染色方法来解的题, 一般地都可以用赋值方法来解, 只需将染成某一种颜色的对象换成赋于其某一数值就行了。赋值方法的适用范围要更广泛一些, 我们可将题目所研究的对象赋于适当的数值, 然后利用这些数值的大小、正负、奇偶以及相互之间运算结果等来进行推证。

一、染色法

将问题中的对象适当进行染色, 有利于我们观察、分析对象之间的关系。像国际象棋的棋盘那样, 我们可以把被研究的对象染上不同的颜色, 许多隐藏的关系会变得明朗, 再通过对染色图形的处理达到对原问题的解决, 这种解题方法称为染色法。常见的染色方式有：点染色、线段染色、小方格染色和对区域染色。

例1用15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片（如下图所示）, 能否覆盖一个8×8的棋盘？

解：如下图, 将 8×8的棋盘染成黑白相间的形状。如果15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片能够覆盖一个8×8的棋盘, 那么它们覆盖住的白格数和黑格数都应该是32个, 但是每个“T”字形纸片只能覆盖1个或3个白格, 而1和3都是奇数, 因此15个“T”字形纸片覆盖的白格数是一个奇数；又每个“田”字形纸片一定覆盖2个白格, 从而15个“T”字形纸片与1个“田”字形纸片所覆盖的白格数是奇数, 这与32是偶数矛盾, 因此, 用它们不能覆盖整个棋盘。

例2如左下图, 把正方体分割成27个相等的小正方体, 在中心的那个小正方体中有一只甲虫, 甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任何一个中去。如果要求甲虫只能走到每个小正方体一次, 那么甲虫能走遍所有的正方体吗？

解：甲虫不能走遍所有的正方体。我们如右上图将正方体分割成27个小正方体, 涂上黑白相间的两种颜色, 使得中心的小正方体染成白色, 再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色。显然, 在27个小正方体中, 14个是黑的, 13个是白的。甲虫从中间的白色小正方体出发, 每走一步, 方格就改变一种颜色。故它走27步, 应该经过14个白色的小正方体、13个黑色的小正方体。因此在27步中至少有一个小正方体, 甲虫进去过两次。由此可见, 如果要求甲虫到每一个小正方体只去一次, 那么甲虫不能走遍所有的小正方体。

例3 8×8的国际象棋棋盘能不能被剪成7个2×2的正方形和9个4×1的长方形？如果可以, 请给出一种剪法；如果不行, 请说明理由。

解：如下图, 对8×8的棋盘染色, 则每一个4×1的长方形能盖住2白2黑小方格, 每一个2×2的正方形能盖住1白3黑或3白1黑小方格。推知7个正方形盖住的黑格总数是一个奇数, 但图中的黑格数为32, 是一个偶数, 故这种剪法是不存在的。

例4在平面上有一个27×27的方格棋盘, 在棋盘的正中间摆好81枚棋子, 它们被摆成一个9×9的正方形。按下面的规则进行游戏：每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子, 放进紧挨着这枚棋子的空格中, 并把越过的这枚棋子取出来。问：是否存在一种走法, 使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子？

解：如下图, 将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色, 这种染色方式将棋盘按颜色分成了三个部分。按照游戏规则, 每走一步, 有两部分中的棋子数各减少了一个, 而第三部分的棋子数增加了一个。这表明每走一步, 每个部分的棋子数的奇偶性都要改变。

因为一开始时, 81个棋子摆成一个9×9的正方形, 显然三个部分的棋子数是相同的, 故每走一步, 三部分中的棋子数的奇偶性是一致的。

如果在走了若干步以后, 棋盘上恰好剩下一枚棋子, 则两部分上的棋子数为偶数, 而另一部分的棋子数为奇数, 这种结局是不可能的, 即不存在一种走法, 使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子。

例5图1是由数字0, 1交替构成的, 图2是由图1中任选

减1, 如此反复多次形成的。问：图2中的A格上的数字是多少？

解：如左下图所示, 将8×8方格黑白交替地染色。

此题允许右上图所示的6个操作, 这6个操作无论实行在哪个位置上, 白格中的数字之和减去黑格中的数字之和总是常数。所以图1中白格中的数字之和减去黑格中的数字之和, 与图2中白格中的数字之和减去黑格中的数字之和相等, 都等于32, 由（31＋A）-32=32, 得出A=33。

例6有一批商品, 每件都是长方体形状, 尺寸是1×2×4。现在有一批现成的木箱, 内空尺寸是6×6×6。问：能不能用这些商品将木箱填满？

解：我们用染色法来解决这个问题。先将6×6×6的木箱分成216个小正方体, 这216个小正方体, 可以组成27个棱长为2的正方体。我们将这些棱长为2的正方体按黑白相间涂上颜色（如下图）。

容易计算出, 有14个黑色的, 有13个白色的。现在将商品放入木箱内, 不管怎么放, 每件商品要占据8个棱长为1的小正方体的空间, 而且其中黑、白色的必须各占据4个。现在白色的小正方体共有8×13=104（个）, 再配上104个黑色的小正方体, 一共可以放26件商品, 这时木箱余下的是8个黑色小正方体所占据的空间。这8个黑色的小正方体的体积虽然与一件商品的体积相等, 但是容不下这件商品。因此不能用这些商品刚好填满。

例7 6个人参加一个集会, 每两个人或者互相认识或者互相不认识。证明：存在两个“三人组”, 在每一个“三人组”中的三个人, 或者互相认识, 或者互相不认识（这两个“三人组”可以有公共成员）。

证明：将每个人用一个点表示, 如果两人认识就在相应的两个点之间连一条红色线段, 否则就连一条蓝色线段。本题即是要证明在所得的图中存在两个同色的三角形。

设这六个点为A, B, C, D, E, F。我们先证明存在一个同色的三角形：

考虑由A点引出的五条线段AB, AC, AD, AE, AF, 其中必然有三条被染成了相同的颜色, 不妨设AB, AC, AD同为红色。再考虑△BCD的三边：若其中有一条是红色, 则存在一个红色三角形；若这三条都不是红色, 则存在一个蓝色三角形。

下面再来证明有两个同色三角形：不妨设△ABC的三条边都是红色的。若△DEF也是三边同为红色的, 则显然就有两个同色三角形；若△DEF三边中有一条边为蓝色, 设其为DE, 再考虑DA, DB, DC三条线段：若其中有两条为红色, 则显然有一个红色三角形；若其中有两条是蓝色的, 则设其为DA, DB。此时在EA, EB中若有一边为蓝色, 则存在一个蓝色三角形；而若两边都是红色, 则又存在一个红色三角形。

故不论如何涂色, 总可以找到两个同色的三角形。

二、赋值法

将问题中的某些对象用适当的数表示之后, 再进行运算、推理、解题的方法叫做赋值法。许多组合问题和非传统的数论问题常用此法求解。常见的赋值方式有：对点赋值、对线段赋值、对区域赋值及对其他对象赋值。

例8一群旅游者, 从A村走到B村, 路线如下图所示。怎样走才能在最短时间内到达B村？图中的数字表示走这一段路程需要的时间（单位：分）。

解：我们先把从A村到各村的最短时间标注在各村的旁边, 从左到右, 一一标注, 如下图所示。

由此不难看出, 按图中的粗黑线走就能在最短时间（60分钟）内从A村走到B村。

例9把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由。

解：假设题中所设想的染色方案能够实现, 那么每条直线上代表各点的数字之和便应都是奇数。一共有五条直线, 把这五条直线上代表各点的数字之和的这五个奇数再加起来, 得到的总和数仍应是一个奇数。但是, 由观察可见, 图中每个点都恰好同时位于两条直线上, 在求上述总和数时, 代表各点的数字都恰被加过两次, 所以这个总和应是一个偶数。这就导致矛盾, 说明假设不成立, 染色方案不能实现。

例10平面上n（n≥2）个点A1, A2, …, An顺次排在同一条直线上, 每点涂上黑白两色中的某一种颜色。已知A1和An涂上的颜色不同。证明：相邻两点间连接的线段中, 其两端点不同色的线段的条数必为奇数。

证明：赋予黑点以整数值1, 白点以整数值2, 点Ai以整数

值为a i, 当A i为黑点时, a i=1, 当A i为白点时, a i=2。再赋予线段A i A i+1以整数值a i+a i+1, 则两端同色的线段具有的整数值为2或4, 两端异色的线段具有的整数值为3。

所有线段对应的整数值的总和为

（a1＋a2）＋（a2＋a3）＋（a3＋a4）＋…＋（a n-1＋a n）

＝a1＋a n＋2（a2＋a3＋…＋a n-1）

＝2＋1＋2（a2＋a3＋…＋a n-1）＝奇数。

设具有整数值2, 3, 4的线段的条数依次为l, m, n, 则

2l＋m＋4n=奇数。

由上式推知, m必为奇数, 证明完毕。

例11 下面的表1是一个电子显示盘, 每一次操作可以使某一行四个字母同时改变, 或者使某一列四个字母同时改变。改变的规则是按照英文字母的顺序, 每个英文字母变成它的下一个字母（即A变成B, B变成C……Z变成A）。问：能否经过若干次操作, 使表1变为表2？如果能, 请写出变化过程, 如果不能, 请说明理由。

S O B R K B D S

T Z F P H E X G

H O C N R T B S

A D V X C F Y A

表1 表2

解：不能。将表中的英文字母分别用它们在字母表中的序号代替（即A用1, B用2……Z用26代替）。这样表1和表2就分别变成了表3和表4。

每一次操作中字母的置换相当于下面的置换：

1→2, 2→3, …, 25→26, 26→1。

19 15218

20 26616

8 15 314

1 4 2224

表3

112419

8 5247

1820 219

3625 1

表4

容易看出, 每次操作使四个数字改变了奇偶性, 而16个数字的和的奇偶性没有改变。因为表3中16个数字的和为213, 表4中16个数字的和为174, 它们的奇偶性不同, 所以表3不能变成表4, 即表1不能变成表2。

例12如图（1）～（6）所示的六种图形拼成右下图, 如果图（1）必须放在右下图的中间一列, 应如何拼？

解：把右上图黑、白相间染色（见上图）。其中有11个白格和10个黑格, 当图形拼成后, 图形（2）（4）（5）（6）一定是黑、白各2格, 而图形（3）必须有3格是同一种颜色, 另一种颜色1格。因为前四种图形, 黑、白已各占2×4=8（格）, 而黑格总共只有10格, 所以图形（3）只能是3白1黑。由此知道图（1）一定在中间一列的黑格, 而上面的黑格不可能, 所以图（1）在中间一列下面的黑格中。

那么其它图形如何拼呢？为了说明方便, 给每一格编一个数码（见左下图）。

因为图（3）是3白1黑, 所以为使角上不空出一格, 它只能放在（1, 3, 4, 5）或（7, 12, 13, 17）或（11, 15, 16, 21）这三个位置上。

若放在（1, 3, 4, 5）位置上, 则图（6）只能放在（7, 12, 13, 18）或（15, 16, 19, 20）或（2, 7, 8, 13）这三个位置, 但是前两个位置是明显不行的, 否则角上会空出一格。若放在（2, 7, 8, 13）上, 则图（2）只能放在（12, 17, 18, 19）位置上, 此时不能同时放下图（4）和图（5）。

若把图（3）放在（7, 12, 13, 17）位置上, 则方格1这一格只能由图（2）或图（6）来占据。如果图（2）放在（1, 2, 3, 4）, 那么图（6）无论放在何

处都要出现孤立空格；如果把图（6）放在（1, 4, 5, 10）, 那么2, 3这两格放哪一图形都不合适。

因此, 图形（3）只能放在（11, 15, 16, 21）。其余图的拼法如右上图。

练习11

1.中国象棋盘的任意位置有一只马, 它跳了若干步正好回到原来的位置。问：马所跳的步数是奇数还是偶数？

2.右图是某展览大厅的平面图, 每相邻两展览室之间都有门相通。今有人想从进口进去, 从出口出来, 每间展览厅都要走到, 既不能重复也不能遗漏, 应如何走法？

3.能否用下图中各种形状的纸片（不能剪开）拼成一个边长为99的正方形（图中每个小方格的边长为1）？请说明理由。

4.用15个1×4的长方形和1个2×2的正方形, 能否覆盖8×8的棋盘？

5.平面上不共线的五点, 每两点连一条线段, 并将每条线段染成红色或蓝色。如果在这个图形中没有出现三边同色的三角形, 那么这个图形一定可以找到一红一蓝两个“圈”（即封闭回路）, 每个圈恰好由五条线段组成。

6.将正方形ABCD分割成n2个相等的小正方格, 把相对的顶点A, C染成红色, B, D染成蓝色, 其他交点任意染成红、蓝两种颜色之一。试说明：恰有三个顶点同色的小方格的数目是偶数。

7.已知△ABC内有n个点, 连同A, B, C三点一共（n＋3）个点。以这些点为顶点将△ABC分成若干个互不重叠的小三角形。将A, B, C三点分别染成红色、蓝色和黄色。而三角形内的n个点, 每个点任意染成红色、蓝色和黄色三色之一。问：三个顶点颜色都不同的三角形的个数是奇数还是偶数？

8.从10个英文字母A, B, C, D, E, F, G, X, Y, Z中任意选5个字母（字母允许重复）组成一个“词”, 将所有可能的“词”按“字典顺序”（即英汉辞典中英语词汇排列的顺序）排列, 得到一个“词表”：

AAAAA, AAAAB, …, AAAAZ,

AAABA, AAABB, …, ZZZZY, ZZZZZ。

设位于“词”CYZGB与“词”XEFDA之间（这两个词除外）的“词”的个数是k, 试写出“词表”中的第k个“词”。

练习11答案：

1.偶数。

解：把棋盘上各点按黑白色间隔进行染色（图略）。马如从黑点出发, 一步只能跳到白点, 下一步再从白点跳到黑点, 因此, 从原始位置起相继经过：白、黑、白、黑……要想回到黑点, 必须黑、白成对, 即经过偶数步, 回到原来的位置。

2.不能。

解：用白、黑相间的方法对方格进行染色（如图）。若满足题设要求的走法存在, 必定从白色的展室走到黑色的展室, 再从黑色的展室走到白色的展室, 如此循环往复。现共有36间展室, 从白色展室开始, 最后应该是黑色展室。但右图中出口处的展室是白色的, 矛盾。由此可以判定符合要求的走法不存在。

3.不能。

解：我们将99×99的正方形中每个单位正方形方格染上黑色或白色, 使每两个相邻的方格颜色不同, 由于99×99为奇数, 两种颜色的方格数相差为1。而每一种纸片中, 两种颜色的方格数相差数为0或3, 如果它们能拼成一个大正方形, 那么其中两种颜色之差必为3的倍数。矛盾！

4.不能。

解：如图, 给8×8的方格棋盘涂上4种不同的颜色（用数字1, 2, 3, 4表示）。显然标有1, 2, 3, 4的小方格各有16个。每个1×4的长方形恰好盖住标有1, 2, 3, 4的小方格各一个, 但一个2×2的正方形只能盖住有三种数字的方格, 故无法将每个方格盖住, 即不可能有题目要求的覆盖。

5.证：设五点为A, B, C, D, E。考虑从A点引出的四条线段：如果其中有三条是同色的, 如AB, AC, AD同为红色, 那么△BCD的三边中, 若有一条是红色, 则有一个三边同为红色的三角形；若三边都不是红色, 则存在一个三边同为蓝色的三角形。这与已知条件是矛盾的。

所以, 从A点出发的四条线段, 有两条是红色的, 也有两条是蓝色的。当然, 从其余四点引出的四条线段也恰有两条红色、两条蓝色, 整个图中恰有五条红色线段和五条蓝色线段。

下面只看红色线段, 设从A点出发的两条是AB, AE。再考虑从B点出发的另一条红色线段, 它不应是BE, 否则就有一个三边同为红色的三角形。不妨设其为BD。再考虑从D点出发的另一条红色线段, 它不应是DE, 否则从C引

出的两条红色线段就要与另一条红色线段围成一个红色三角形, 故它是DC。最后一条红色线段显然是CE。这样就得到了一个红色的“圈”：

A→B→D→C→E→A。

同理, 五条蓝线也构成一个“圈”。

6.证：将红点赋值为0, 蓝点赋值为1。再将小方格四顶点上的数的和称为这个小方格的值。若恰有三顶点同色, 则该小方格的值为奇数, 否则为偶数。在计算所有n2个小方格之值的和时, 除A, B, C, D只计算一次外, 其余各点都被计算了两次或四次。因为A, B, C, D四个点上的数之和是偶数, 所以n2个小方格之值的和是偶数, 从而这n2个值中有偶数个奇数。

7.奇数。

解：先对所有的小三角形的边赋值：边的两端点同色, 该线段赋值为0, 边的两端点不同色, 该线段赋值为1。

然后计算每个小三角形的三边赋值之和, 有如下三种情况：

（1）三个顶点都不同色的三角形, 赋值和为3；

（2）三个顶点中恰有两个顶点同色的三角形, 赋值和为2；

（3）三个顶点同色的三角形, 赋值和为0。

设所有三角形的边赋值总和为S, 又设（1）（2）（3）三类小三角形的个数分别为a, b, c, 于是有

S=3a+2b+0c=3a+2b。（*）

注意到在所有三角形的边赋值总和中, 除了AB, BC, CA三条边外, 都被计算了两次, 故它们的赋值和是这些边赋值和的2倍, 再加上△ABC的三边赋值和3, 从而S是一个奇数, 由（*）式知a是一个奇数, 即三个顶点颜色都不同的三角形的个数是一个奇数。

8.EFFGY。

解：将A, B, C, D, E, F, G, X, Y, Z分别赋值为0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 则

CYZGB=28961, _XEFDA=74530。

在28961与74530之间共有74530-28961-1=45568（个）数, 词表中第45568个词是EFFGY。