2008-2014历年考研数学一真题及答案详解
2008年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)设函数2
0()ln(2)x f x t dt =+?则()f x '的零点个数
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3
(2)函数(,)arctan x f x y y
=在点(0,1)处的梯度等于
(A)i (B)-i (C)j (D)-j
(3)在下列微分方程中,以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++(123,,C C C 为任意常数)为通解的是
(A)440y y y y ''''''+--= (B)440y y y y ''''''+++= (C)440y y y y ''''''--+= (D)440y y y y ''''''-+-= (4)设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界,{}n x 为数列,下列命题正确的是 (A)若{}n x 收敛,则{}()n f x 收敛 (B)若{}n x 单调,则{}()n f x 收敛 (C)若{}()n f x 收敛,则{}n x 收敛 (D)若{}()n f x 单调,则{}n x 收敛 (5)设A 为n 阶非零矩阵,E 为n 阶单位矩阵. 若30=A ,则
(A)-E A 不可逆,+E A 不可逆 (B)-E A 不可逆,+E A 可逆
(C)-E A 可逆,+E A 可逆 (D)-E A 可逆,+E A 不可逆
(6)设A 为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程
(,,)1x x y z y z ?? ?
= ? ???
A 在正交变换下的标准方程的图形如图,则
A 的正特征值个数为
(A)0 (B)1 (C)2
(D)3
(7)设随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F x ,则{}max ,Z X Y =分布函数为 (A)()2F x (B) ()()F x F y (C) ()2
11F x --???? (D) ()()11F x F y --???????? (8)设随机变量()~0,1X N ,()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=,则 (A){}211P Y X =--= (B){}211P Y X =-= (C){}211P Y X =-+= (D){}211P Y X =+=
二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)微分方程0xy y '+=满足条件()11y =的解是y = . (10)曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 .
(11)已知幂级数()0
2n
n n a x ∞
=+∑在0x =处收敛,在4x =-处发散,则幂级数()0
3n
n n a x ∞
=-∑的
收敛域为 .
(12)设曲面∑是224z x y =--,则2xydydz xdzdx x dxdy ∑
++=?? .
(13)设A 为2阶矩阵,12,αα为线性无关的2维列向量,12120,2==+A αA ααα,则A 的非零特征值为 .
三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分10分)
求极限()4
0sin sin sin sin lim x x x x x →-????.
(16)(本题满分10分)
计算曲线积分()2sin 221L xdx x ydy +-?,其中L 是曲线sin y x =上从点()0,0到点(),0π的一段.
(17)(本题满分10分)
已知曲线22220
:35x y z C x y z ?+-=?++=?
,求曲线C 距离XOY 面最远的点和最近的点.
(18)(本题满分10分) 设()f x 是连续函数,
(1)利用定义证明函数()()0x
F x f t dt =?可导,且()()F x f x '=.
(2)当()f x 是以2为周期的周期函数时,证明函数()2
2()()x
G x f t dt x f t dt =-??也是以2
为周期的周期函数.
(19)(本题满分10分)
()2
1(0)
f x x xπ
=-≤≤,用余弦级数展开,并求
()1
2
1
1n
n
n
-
∞
=
-
∑的和.
(20)(本题满分11分)
T T
=+
Aααββ,Tα为α的转置,Tβ为β的转置.证明:
(1)()2
r≤
A. (2)若,αβ线性相关,则()2
r<
A.
(21)(本题满分11分)
设矩阵2
221212n n
a a a a a ???
? ?= ?
??
?A O O O ,现矩阵A 满足方程=AX B ,其中()1,,T
n x x =X L ,()1,0,,0=B L ,
(1)求证()1n
n a =+A .
(3)a 为何值,方程组有无穷多解,求通解.
(22)(本题满分11分)
设随机变量X 与Y 相互独立,X 的概率分布为{}()11,0,13
P X i i ===-,Y 的概率密度为()101
0Y y f y ≤≤?=?
?其它
,记Z X Y =+,
(1)求102P Z X ?
?
≤
=???
?
. (2)求Z 的概率密度.
(23)(本题满分11分)
设12,,,n X X X L 是总体为2(,)N μσ的简单随机样本.
记11n i i X X n ==∑,2211()1n i
i S X X n ==--∑,2
21T X S n
=- (1)证明T 是2μ的无偏估计量.
(2)当0,1μσ==时 ,求DT .
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有
一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2
ln 1g x x bx =-等价无穷小,则
(A)1
1,6a b ==-
(B)1
1,6a b ==
(C)1
1,6
a b =-=-
(D)1
1,6
a b =-=
(2)如图,正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =,cos k
k D I y xdxdy =??,则{}14
max k k I ≤≤=
(A)1I (B)2I (C)3I (D)4I
(3)设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为
则函数()()0x
F x f t dt =?的图形为
(A) (B)
(C)
(D)
(4)设有两个数列{}{},n n a b ,若lim 0n n a →∞
=,则
(A)当1
n n b ∞=∑收敛时,1
n n n a b ∞=∑收敛. (B)当1
n n b ∞=∑发散时,1
n n n a b ∞
=∑发散.
(C)当1
n n b ∞=∑收敛时,22
1
n n
n a b ∞=∑收敛. (D)当1
n n b ∞=∑发散时,221
n n n a b ∞
=∑发散.
(5)设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基,则由基12311,,23
ααα到基
122331,,+++αααααα的过渡矩阵为
(A)101220033??
?
? ???
(B)120023103??
?
? ???
(C)1
112461
112461112
4
6??- ? ? ?
-
? ? ?- ???
(D)1112221114441116
6
6??-
? ?
?- ? ? ?- ???
(6)设,A B 均为2阶矩阵,**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵,若2,3==A B ,则分块矩阵
()f x
2 3
1 -2
-1
1
()f x
2 3
1 -1 1 ()f x
2 3
1 -2
-1
1
()f x
2 3
1 -2
-1
1
1 ()f x
-2 0 2 3
-1
O
(A)**32O B A
O ?? ???
(B)**
23O
B A
O ??
???
(C)*
*
32O A
B
O ??
???
(D)*
*23O
A B
O
??
???
(7)设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -??
=Φ+Φ ???
,其中()x Φ为标准正态分布函数,则EX =
(A)0 (B)0.3
(C)0.7 (D)1
(8)设随机变量X 与Y 相互独立,且X 服从标准正态分布()0,1N ,Y 的概率分布为
{}{}1
012
P Y P Y ====,记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数,则函数()Z F z 的间断点个
数为
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3
二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)
(9)设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数,(),z f x xy =,则2z
x y
?=?? .
(10)若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12e x y C C x =+,则非齐次方程y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = . (11)
已知曲线(2
:0L y x x =≤≤,则L xds =? .
(12)设(){}2
2
2
,,1x y z x y z Ω=++≤,则2
z dxdydz Ω
=??? .
(13)若3维列向量,αβ满足2T
=αβ,其中T α为α的转置,则矩阵T
βα的非零特征值
为 .
(14)设12,,,m X X X L 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本,X 和2S 分别为样三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分9分)
求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值.
(16)(本题满分9分)
设n a 为曲线n
y x =与()1
1,2,.....n y x n +==所围成区域的面积,记122111
,n n n n S a S a ∞∞
-====∑∑,求
1S 与2S 的值.
(17)(本题满分11分)
椭球面1S 是椭圆22
143x y +=绕x 轴旋转而成,圆锥面2S 是过点()4,0且与椭圆
22
143
x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成. (1)求1S 及2S 的方程. (2)求1S 与2S 之间的立体体积.
(18)(本题满分11分)
(1)证明拉格朗日中值定理:若函数()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 可导,则存在
(),a b ξ∈,使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-.
(2)证明:若函数()f x 在0x =处连续,在()()0,0δδ>内可导,且()0lim x f x A +
→'=,则()
0f +'存在,且()0f A +'=
(19)(本题满分10分) 计算曲面积分()
3
2
222
xdydz ydzdx zdxdy
I x
y z
++=∑
++??
ò,其中∑是曲面222224x y z ++=的外侧.
(20)(本题满分11分)
设111111042--?? ?=- ?
?
--??
A ,1112-??
?= ? ?-??ξ (1)求满足21=A ξξ的2ξ.231=A ξξ的所有向量2ξ,3ξ. (2)对(1)中的任意向量2ξ,3
ξ证明123,,ξξξ无关.
(21)(本题满分11分)
设二次型()()222
1231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-.
(1)求二次型f 的矩阵的所有特征值; (2)若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的
值.
(22)(本题满分11分)
袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.
(1) 求{}10p X Z ==. (2)求二维随机变量(),X Y 概率分布
(23)(本题满分11 分)
2x λ-来自总体X 的简单随机样本.
(1)求参数λ的矩估计量. (2)求参数λ的最大似然估计量.
2010年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有
一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)极限2
lim ()()x
x x x a x b →∞????-+??
= (A)1 (B)e (C)e a b - (D)e b a -
(2)设函数(,)z z x y =由方程(,)0y z
F x x
=确定,其中F 为可微函数,且20,F '≠则
z z x
y x y
??+??= (A)x (B)z
(C)x - (D)z -
(3)设,m n 为正整数,
则反常积分0
?的收敛性
(A)仅与m 取值有关 (B)仅与n 取值有关 (C)与,m n 取值都有关 (D)与,m n 取值都无关
(A)1200
1
(1)(1)
x
dx dy x y ++??
(B)100
1
(1)(1)
x
dx dy x y ++??
(C)11
00
1
(1)(1)
dx dy x y ++??
(D)1
1
2
00
1
(1)(1)
dx dy x y ++?? (5)设A 为m n ?型矩阵,B 为n m ?型矩阵,若,=AB E 则
(A)秩(),m =A 秩()m =B (B)秩(),m =A 秩()n =B (C)秩(),n =A 秩()m =B (D)秩(),n =A 秩()n =B (6)设A 为4阶对称矩阵,且20,+=A A 若A 的秩为3,则A 相似于
(A)1110?? ?
? ? ?
?? (B)1110??
?
? ?- ?
??
(C)1110??
?
- ? ?- ?
??
(D)1110-?? ?
- ? ?- ?
??
(7)设随机变量X
的分布函数()F x = 00
1
01,2
1e 2
x x x x -<≤≤->则{1}P X ==
(A)0 (B)1 (C)11e 2
-- (D)11e --
(8)设1()f x 为标准正态分布的概率密度2,()f x 为[1,3]-上均匀分布的概率密度,
()f x =
12()
()af x bf x
x x ≤> (0,0)a b >>
为概率密度,则,a b 应满足
(A)234a b += (B)324a b +=
(C)1a b += (D)2a b +=
(9)设2
0e ,ln(1),t
t
x y u du -==+?求220
t d y
dx == .
(10)2
π?= .
(11)已知曲线L 的方程为1{[1,1]},y x x =-∈-起点是(1,0),-终点是(1,0),
则曲线积分2L xydx x dy +?= .
(12)设22{(,,)|1},x y z x y z Ω=+≤≤则Ω的形心的竖坐标z = .
(13)设123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,),T T T α=-==ααα若由123,,ααα形成的向量空间的维数是2,则α= .
(14)设随机变量X 概率分布为{}(0,1,2,),!
C
P X k k k ===L 则2EX = .
三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分10分)
求微分方程322e x y y y x '''-+=的通解.
求函数2
21()()e x
t f x x t dt -=-?的单调区间与极值.
(17)(本题满分10分)
(1)比较1
0ln [ln(1)]n t t dt +?与1
0ln (1,2,)n t t dt n =?L 的大小,说明理由 (2) 记1
0ln [ln(1)](1,2,),n
n u t t dt n =+=?L 求极限lim .
n x u →∞
(18)(本题满分10分)
求幂级数121
(1)21n n
n x n -∞
=--∑的收敛域及和函数.
(19)(本题满分10分)
点的轨迹,C
并计算曲面积分,
I dS
∑
=其中∑是椭球面S位于曲线C上方
的部分. 设
11
010,1,
111
a
λ
λ
λ
????
? ?
=-=
? ?
? ?
????
A b已知线性方程组=
A x b存在两个不同的解.
(1)求,.a
λ
(2)求方程组=
A x b的通解.
(21)(本题满分11分)
设二次型123(,,)T f x x x =A x x 在正交变换x y =Q 下的标准形为2212,y y +且Q
的第三列为
(
.22
T (1)求.A
(2)证明+A E 为正定矩阵,其中E 为3阶单位矩阵.
(22)(本题满分11分)
设二维随机变量()X Y +的概率密度为2
2
22(,)e ,,,x xy y f x y A x y -+-=-∞<<∞-∞<<∞求常
数及A 条件概率密度|(|).Y X f y x
(23)(本题满分11 分) 设总体X 的概率分布为
其中(0,1)θ∈未知,以i N 来表示来自总体X 的简单随机样本(样本容量为n )中等于i 的个数(1,2,3),i =试求常数123,,,a a a 使3
1i i i T a N ==∑为θ的无偏估计量,并求T 的方差.
2011年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) 1、
曲线432)4()3()2)(1(----=x x x x x y 的拐点是（ ）
A （1，0）
B （2，0）
C （3，0）
D （4，0）
2、设数列{}n a 单调减少，且0lim =∞
→n n a 。∑==n
i i n a S 1
无界，则幂级数n n n x a )1(1
-∑∞
=的收敛域为
（ ）
A ]11-（
B )11[-
C )20[
D ]20( 3、
设函数)(x f 具有二阶连续的导数，且0)(>x f .0)0(='f 。则函数)()(ln y f x f z =在
点)0,0(处取得极小值的一个充分条件是（ ）
A 0)0(1)0(>''>f f
B 0)0(1)0(<''>f f
C 0)0(1)0(>'' D 0)0(1)0(<'' 4、设?=40sin ln π xdx I ?=40cot ln πxdx J ?=40cos ln π xdx K ，则 K J I 的大小关系是（ ） A K J I << B J K I << C K I J << D I J K << 5、设A 为3阶矩阵，把A 的第二列加到第一列得到矩阵B ，再交换B 的第二行与第 3行得到单位阵E ，记????? ??=1000110011P ，??? ? ? ??=010*******P ，则A=（ ） A 21P P B 211P P - C 12P P D 112P P - 6、设)(4321αααα=A 是4阶矩阵，* A 为A 的伴随矩阵。若T )0,1,0,1(是0=Ax 的一个基础 解系，则0*=x A 的基础解系可为（ ） A 31αα B 21αα C 321ααα D 432ααα 7、设)()(21x F x F 为两个分布函数，且连续函数)()(21x f x f 为相应的概率密度，则必为概率密度的是（ ） A )()(21x f x f B )()(212x F x f C )()(21x F x f D )()(21x F x f +)()(12x F x f 8、设随机变量Y X ,相互独立，且EY EX ,都存在，记{}Y X U ,m ax ={}Y X V ,m in =，则=EUV （ ） A EV EU ? B EY EX ? C EY EU ? D EV EX ? 二、填空题：9—14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定的位置上。 9、曲线)4 0(tan 0π ≤≤=?x tdt y x 的弧长为_____________ 10、微分方程x e y y x cos =+'满足条件0)0(=y 的解为________________ 11、设函数dt t t y x F xy ?+=0 2 1sin ),(，则______________|2022=??==y x x F 12、设L 是柱面方程12 2 =+y x 与平面y x z +=的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆 时针方向，则曲线积分_________2 2 =++?dz y xdy xzdx L 13、若二次曲面的方程42223222=+++++yz xz axy z y x ，经正交变换化为42221=+y y ，则_______=a 14、设二维随机变量)0,,,,(~),(22σσμμN Y X ，则____________)(2=XY E 15、（本题满分10分） 求极限1 1 0) )1ln((lim -→+x e x x x 16、（本题满分9分） 设函数))(,(x yg xy f z =，其中f 具有二阶连续的偏导数，函数)(x g 可导且在1=x 处取得 极值1)1(=g .求11 2|==???y x y x z 17、（本题满分10分） 求方程0arctan =-x x k 的不同实根的个数，其中k 为参数。 18、（本题满分10分） ①证明：对任意的正整数n ，都有 n n n 1 )11ln(11<+<+成立； ②设......)2,1(ln 1 (2) 1 1=-+++=n n n a n ，证明数列{}n a 收敛. 19、（本题满分11分） 已知函数),(y x f 具有二阶连续的偏导数，且??===D a dxdy y x f x f y f ),(,0)1,(),1(，其中 {}10,10|),(≤≤≤≤=y x y x D 计算二重积分??''D xy dxdy y x f xy ),( 20、（本题满分11分） 设向量组T )1,0,1(1=α，T )1,1,0(2=α，T )5,3,1(3=α不能由向量组T )1,1,1(1=β，T )3,2,1(2=β， T a ),4,3(3=β线性表示； （1） 求a 的值； （2） 将321,,βββ用321,,ααα线性表示； A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且??? ? ? ??-=????? ??11001111-0011A 求（1）A 的特征值与特征向量 （2） 矩阵A 22、（本题满分11分） 设随机变量X 与Y 的概率分布分别为 且{}12 2 ==Y X P 求（1）二维随机变量（X ，Y ）的概率分布； （2）XY Z =的概率分布 （3）X 与Y 的相关系数XY ρ 23、（本题满分11分） 设n X X X Λ21,是来自正态总体),(20σμN 的简单随机样本，其中0μ已知，02>σ未知.2,S X 为样本均值和样本方差. 求（1）求参数2 σ的最大似然估计Λ 2 σ (2) 计算E Λ2σ和D Λ2 σ 2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）曲线221 x x y x +=-渐近线的条数为（） （2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---L ，其中n 为正整数，则'(0)f = （A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n - （3）如果(,)f x y 在()0,0处连续，那么下列命题正确的是（ ） （A ）若极限00 (,) lim x y f x y x y →→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微 （B ）若极限22 00 (,) lim x y f x y x y →→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微 （C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限00 (,) lim x y f x y x y →→+存在 （D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限22 00 (,) lim x y f x y x y →→+存在 （4）设2k x k e I e =? sin x d x (k=1,2,3),则有D （A ）I 1< I 2 (B) I 2< I 2< I 3. (C) I 1< I 3 （5）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-???????? ? ? ? ?===-= ? ? ? ? ? ? ? ????????? 其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ） （A ）123,,ααα （B ）124,,ααα （C ）134,,ααα （D ）234,,ααα （6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1112P AP -?? ?= ? ??? ，()123,,P ααα=，()1223,,Q αααα=+则1Q AQ -=（ ） （A ）121?? ? ? ??? （B ）112?? ? ? ??? （C ）212?? ? ? ??? （D ）221?? ? ? ??? （7）设随机变量x 与y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则 {}= 112 4