无穷小的比较
第七节 无穷小的比较
教学目的：使学生掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 教学重点：用等价无穷小求极限 教学过程：
一、讲授新课：
在第三讲中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况，对于其商会出现不同的情
况，例如：???
????>∞<==?
=-→→n
m n m n m b a b a x
x
b x a m
n x m
n x 0lim lim
000
00
000
（00,b a 为常数，n m ,为自然
数）
可见对于n m ,取不同数时，n x a 0与m x b 0趋于0的速度不一样，为此有必要对无穷小进行比较或分类：
定义：设α与β为x 在同一变化过程中的两个无穷小， (i) 若0lim =α
β，就说β
是比α高阶的无穷小，记为)(αβo =；
(ii)
若∞
=αβlim
，，就说β是比α低阶的无穷小；
(iii) 若0
lim ≠=C αβ，，就说β是比α同阶的无穷小；
(iv) 若1lim
=α
β，就说β与α是等价无穷小，记为βα~。
【例1】
当0→x 时，2x 是x 的高阶无穷小，即)(2x o x =；反之x 是2x 的低阶无
穷小；2x 与x cos 1-是同阶无穷小；x 与x sin 是等价无穷小，即x x sin ~。
注 1：高阶无穷小不具有等价代换性，即：)(),(22x o x x o x ==，但)()(x o x o ≠，
因为)(?o 不是一个量，而是高阶无穷小的记号； 2：显然(iv)是(iii)的特殊情况；
3：等价无穷小具有传递性：即γαγββα~~,~?；
4：未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当0→x 时，x
x 1sin
与2x 既非同
阶，又无高低阶可比较，因为2
1sin
lim
x
x
x x →不存在；
5：对于无穷大量也可作类似的比较、分类；
6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：
定理：若βαβα'',,,均为x 的同一变化过程中的无穷小，且ββαα''~,~，及?
'
'αβl
i m ，
那么αβα
β'
'=?lim
lim 。 【例2】
求x
x x 2
sin
cos 1lim
-→。
解：因为当0→x 时，x x ~sin 所以 2
1cos 1lim
sin
cos 1lim
2
2
=
-=-→→x
x
x
x x x 。
【例3】 求x
x x x 22arcsin lim
2
+→
解：因为当0→x 时，x x 2~2arcsin ， 所以 原式12
22
2lim
22lim
2
==
+=+=→→x x
x x
x x 。
7：在目前，常用当0→x 时，等价无穷小有：
2
21~
cos 1,~arctan ,~arcsin ,~tan ,~sin x
x x x x x x x x x -；
8：用等价无穷小代换适用于乘、除，对于加、减须谨慎！ 二、课堂练习： 三、布置作业：
第七节 无穷小的比较
教学目的：使学生掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 教学重点：用等价无穷小求极限 教学过程：
一、讲授新课：
在第三讲中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况，对于其商会出现不同的情
况，例如：???
????>∞<==?
=-→→n
m n m n m b a b a x
x
b x a m
n x m
n x 0lim lim
000
00
000
（00,b a 为常数，n m ,为自然
数）
可见对于n m ,取不同数时，n x a 0与m x b 0趋于0的速度不一样，为此有必要对无穷小
进行比较或分类：
定义：设α与β为x 在同一变化过程中的两个无穷小， (v) 若0lim =α
β，就说β
是比α高阶的无穷小，记为)(αβo =；
(vi)
若∞
=αβlim
，，就说β是比α低阶的无穷小；
(vii) 若0
lim ≠=C αβ，，就说β是比α同阶的无穷小；
(viii) 若1lim =α
β，就说β与α是等价无穷小，记为βα~。
【例1】
当0→x 时，2x 是x 的高阶无穷小，即)(2x o x =；反之x 是2x 的低阶无
穷小；2x 与x cos 1-是同阶无穷小；x 与x sin 是等价无穷小，即x x sin ~。
注 1：高阶无穷小不具有等价代换性，即：)(),(22x o x x o x ==，但)()(x o x o ≠，
因为)(?o 不是一个量，而是高阶无穷小的记号； 2：显然(iv)是(iii)的特殊情况；
3：等价无穷小具有传递性：即γαγββα~~,~?；
4：未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当0→x 时，x
x 1sin
与2x 既非同
阶，又无高低阶可比较，因为2
1sin
lim
x
x
x x →不存在；
5：对于无穷大量也可作类似的比较、分类；
6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：
定理：若βαβα'',,,均为x 的同一变化过程中的无穷小，且ββαα''~,~，及
?
'
'αβl i m ，
那么αβα
β'
'=?lim
lim 。 【例2】
求x
x x 2
sin
cos 1lim
-→。
解：因为当0→x 时，x x ~sin 所以 2
1cos 1lim
sin
cos 1lim
2
2
=
-=-→→x
x
x
x x x 。
【例3】 求x
x x x 22arcsin lim
2
+→
解：因为当0→x 时，x x 2~2arcsin ， 所以 原式12
22
2lim
22lim
2
==
+=+=→→x x
x x
x x 。
7：在目前，常用当0→x 时，等价无穷小有：
2
21~
cos 1,~arctan ,~arcsin ,~tan ,~sin x
x x x x x x x x x -；
8：用等价无穷小代换适用于乘、除，对于加、减须谨慎！ 二、课堂练习： 三、布置作业：
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
教学目的：使学生了解连续函数的性质和初等函数的连续性；并会应用函数的连
续性求函数的极限
教学重点：应用函数的连续性求函数的极限
教学过程：
一、复习函数的连续性定义、间断点的分类 二、讲解新课：
（一）连续函数的运算
定理1(连续函数的四则运算法则)：若)(),(x g x f 均在0x 连续，则
)()(),()(x g x f x g x f ?±及
)
()(x g x f （要求0)(0≠x g ）都在0x 连续。
定理2（反函数的连续性）：如果)(x f y =在区间x I 上单值，单增（减），且连续，那么其反函数)(y x ?=也在对应的区间}),({x y I x x f y y I ∈==上单值，单增（减），且连续。
注1：)(x y ?=亦为)(x f y =的反函数，如上知：)(x y ?=在y I 上有上述性质。 定理3：设)(x u ?=当0x x →时的极限存在且等于a ，即a x x x =→)(lim 0
?，又设)
(u f y =在a u =处连续，那么，当0x x →时，复合函数))((x f y ?=的极限存在，且等于
)(a f ，即)())((lim 0
a f x f x x =→?。
注2：可类似讨论∞→x 时的情形。
定理4：设函数)(x u ?=在点0x x =连续，且00)(u x =?，函数)(u f y =在0u 点连续，那么，复合函数))((x f y ?=在点0x x =处连续。
注3：定理3、4说明lim 与f 的次序可交换。 注4：在定理3中代入)(00x u a ?==，即得定理4。
【例1】 由于m x y =（m 为正整数）在),0[+∞上严格单调且连续，由定理2，其反
函数m x y 1
= 在),0[+∞上也严格单调且连续，进而：对于有理幂函数αx y =（q p p p
q ,,0,≠=α为正整数）在定义上是连续的。
【例2】求x
x x sin 2lim 0
-
→
解：因为1sin lim
=→x
x x ，及u
-2在1=u 点连续，故由定理3，原式
112sin lim
20
=-=
-=→x
x x 。
（二） 初等函数的连续性
我们已知道x y x y cos ,sin ==在其定义域内是连续的，由定理2知x g arcsin =和x y arccos =在其定义域也是连续的。
可证明指数函数)1,0(≠>=a a a y x ，在其定义域),(+∞-∞内是严格单调且连续的，进而有对数函数)1,0(log ≠>=a a x
y a 在其定义域),0(+∞是连续的。
又x a
a x y log μμ==（μ为常数），由定理4知：μx y =在),0(+∞内是连续的，当μ取有理数时，见例1，总之μx y =在定义域内是连续的。
综合以上结果，得：基本初等函数在其定义域内都是连续的，由基本初等函数的连续性，及定理1～4，即得：
结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。
注1：定义区间为包含在定义域内的区间；
2：在§1.9，我们是用极限来证明连续，现在可利用函数的连续来求极限。
【例3】e e
e x x ==→)
1arctan 2sin()
arctan
2sin(1
lim 。
【例4】1ln )1(lim ln )1ln(lim )
1ln(lim
1
1
==+=+=+→→→e x x x
x x x x x x 。
【例5】2
cos
2
2sin
lim
2
cos
2sin 2lim
sin sin lim
a x a x a
x a
x a x a
x a
x a
x a
x a
x a
x +?--=-+-=--→→→
a a t t
t t a x t cos )cos(sin lim
2
=+?=→-=
。
三、课堂练习： 四、布置作业：
大学高等数学等价无穷小教学总结
这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。 1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。 如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。关键要记住道理 lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x) 其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。 2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。 f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看： f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！ 问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。 比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为 ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)， 所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。 但是如果碰到ln(1+x)-x，那么 ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)， 此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。 碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似： ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2) 那么 ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2) 这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x^2)可以忽略。也就是说用x-x^2/2作为ln(1+x)的等价无穷小量得到的结果更好。
第七节 无穷小量的比较
第七节 无穷小的比较 教学目的：使学生掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 教学重点：用等价无穷小求极限 教学过程： 一、讲授新课： 在第三讲中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况，对于其商会出现不同的情况，例如：???????>∞<==?=-→→n m n m n m b a b a x x b x a m n x m n x 0lim lim 00000000 （00,b a 为常数，n m ,为自然数） 可见对于n m ,取不同数时，n x a 0与m x b 0趋于0的速度不一样，为此有必要对无穷小进行比较或分类： 定义：设α与β为x 在同一变化过程中的两个无穷小， (i) 若0lim =α β，就说β是比α高阶的无穷小，记为)(αβo =； (ii) 若∞=α βlim ，，就说β是比α低阶的无穷小； (iii) 若0lim ≠=C α β，，就说β是比α同阶的无穷小； (iv) 若1lim =α β，就说β与α是等价无穷小，记为βα~。 【例1】 当0→x 时，2x 是x 的高阶无穷小，即)(2x o x =；反之x 是2x 的低阶无穷小；2x 与x cos 1-是同阶无穷小；x 与x sin 是等价无穷小，即x x sin ~。 注 1：高阶无穷小不具有等价代换性，即：)(),(22x o x x o x ==，但)()(x o x o ≠， 因为)(?o 不是一个量，而是高阶无穷小的记号； 2：显然(iv)是(iii)的特殊情况； 3：等价无穷小具有传递性：即γαγββα~~,~?；
4：未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当0→x 时，x x 1sin 与2x 既非同阶，又无高低阶可比较，因为2 01sin lim x x x x →不存在； 5：对于无穷大量也可作类似的比较、分类； 6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有： 定理：若βαβα'',,,均为x 的同一变化过程中的无穷小，且ββαα''~,~，及?' 'αβlim ，那么αβαβ '' =?lim lim 。 【例2】 求x x x 20sin cos 1lim -→。 解：因为当0→x 时，x x ~sin 所以 21cos 1lim sin cos 1lim 2020=- =-→→x x x x x x 。 【例3】 求x x x x 22arcsin lim 20+→ 解：因为当0→x 时，x x 2~2arcsin ， 所以 原式122 22 lim 22lim 020==+=+=→→x x x x x x 。 7：在目前，常用当0→x 时，等价无穷小有： 221 ~cos 1,~arctan ,~arcsin ,~tan ,~sin x x x x x x x x x x -； 8：用等价无穷小代换适用于乘、除，对于加、减须谨慎！ 二、课堂练习： 三、布置作业：
高数无穷小比较的教案
第13、14、15、16课时： 【教学目的】 1、 掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限； 2、 熟记一些常见的等价无穷小； 3、 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型； 4、 了解连续函数的性质与初等函数的连续性。 【教学重点】 1、常见的等价无穷小的推导； 2、等价无穷小求极限； 3、函数连续性的概念（含左连续与右连续）及函数间断点的类型。 【教学难点】 判断间断点的类型。 §1. 7 无穷小的比较 1.定义： （1）如果0lim =α β，就说β是比α高阶的无穷小，记作)(αβ =； （2）如果∞=α βlim ，就说β是比α低阶的无穷小， （3）如果0lim ≠=c α β，就说β是比α同阶的无穷小， （4）如果0,0lim >≠=k c k α β，就说β是关于α的k 阶的无穷小， （5）如果1lim =αβ，就说β与α是等价的无穷小，记作βα~ 这些中重要的是等价无穷小，结合例题要让学生特别熟练 的记住一些常见的等价无穷小。 例1.证明：当0→x 时，x n x n 1~ 1+ 2.定理1.β与α是等价无穷小的充分必要条件为)(ααβ += 例2.因为当0→x 时，x x ~sin ，x x ~tan ，x x ~arcsin ，22 1~cos 1x x -， 所以当0→x 时有)(s i n x x x +=，)(tan x x x +=，)(arcsin x x x +=，)(2 1cos 122x x x +=- 定理2 设αα'~，ββ'~，且αβ' 'lim 存在，则 αβαβ' '=lim lim
例3求x x x 3tan 2tan lim 0→，例4求x x x x 3sin lim 30+→，例5求1cos 1)1(lim 3 120--+→x x x 注：求极限过程中，一个无穷小量可以用与其等价的无穷 小量代替，但只能在因式情况下使用，和、差情况不能用。 教学小结与学法建议 学完本节课要理解无穷小比较的定义，要牢记课上总结的常见等价无穷小，等价无穷小替换时求极限的一种重要方法，做题时要注意正确的替换方法，在加减法中千万不能用等价无穷小替换，要结合例题和习题掌握牢固和熟练。 师生活动设计P59：1，2，3，4（1）（2） 作业：P59：4（3）（4）
高等数学等价无穷小替换
无穷小极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用 →x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如,,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。
第六节 极限存在准则 两个重要极限 第七节 无穷小的比较
第六节 极限存在准则 两个重要极限 第七节 无穷小的比较 一、选择题 1. n n n x 2sin 2lim ∞ →= ( ) A . 0; B . 1; C . x ; D . ∞. 2. x ax x ) 1ln(lim 0+→= ( ) A . a ; B . ln a ; C . e a ; D . 1. 3. 当0→x 时, x x cos sin 2 1 是x 的 ( ) A .同阶无穷小量; B . 高阶无穷小量; C . 低阶无穷小量; D . 低阶的无穷小量. 4. =+→)21ln(4sin lim 0x x x ( ) A . 4; B . 1. C . 0; D . 2. 5. 极限=-→x x x 1 )31(lim 0 ( ) A . ∞; B . e － 3; C . 0; D . e 3. 6. 设232)(-+=x x x f , 则当x →0时, 有 ( ) A . f (x )与x 是等价无穷小; B . (x )与x 是同阶但非等价无穷小; C . f (x )是比x 高阶的无穷小; D . f (x )是比x 低阶的无穷小. 二、填空题 1. x x x 21 sin 3lim ?∞→= . 2. 设210 )1(lim e mx x x =-→，则m = . 3. =+→)3 sin 12sin (lim 0 x x x x x _ . 三、解答题 1. 求下列极限: (1) x x x x sin 2cos 1lim 0-→; (2) 2 )2 (lim x x x x +∞→; (3) x x x x x 20sin sin tan lim -→; (4) )1sin 1)(11(sin tan lim 32 0-+-+-→x x x x x . 2. 证明: 1)1 21 11 ( lim 2 2 2 =++ +++ +∞ →n n n n n 3. 设01>x , )1 (211n n n x x x +=+(n = 1, 2, …), 证明数列}{n x 当n →∞时极限存在, 并计算极限值.
试比较和中哪一个是高阶无穷小量
习题2-3 9. 试比较)(x α和)(x β中哪一个是高阶无穷小量? (1) x x x 10)(3+=α, 4)(x x =β, 当0→x 时; 解: 010 lim 10lim )()(lim 23 03400=+=+=→→→x x x x x x x x x x αβ，所以)(x β是)(x α的高阶无穷小量. （4）() x α=1()1x x β=-, 当x →+∞时; 解: ()lim lim lim (1 ()x x x x x αβ→+∞→+∞ ===-∞，所以)(x β是)(x α的高阶无穷小量. 10．当0→x 时求下列无穷小量关于x 的阶： （1）36x x +； 解：36333(1)x x x x x +=+ ，所以36x x +关于x 的阶为3. （3 x = ，所以x x 的阶为1. 11. 用等价无穷小量替代法计算下列极限: (1) x x x x 7tan 5sin lim 2 0+→; 解: 7 575lim )775sin (lim 75sin lim 7tan 5sin lim 002020==+=+=+→→→→x x x x x x x x x x x x x x x . 习题2-4 3.指出下列函数的间断点并说明其类型.若是可去间断点, 则补充定义函数值后使它连续. (7) 2 31)(22+--=x x x x f ; 解: 1=x 是)(x f 的可去间断点，2=x 是)(x f 的第二类间断点. 因为2) 2()1(lim )1)(2()1)(1(lim )(lim 111-=-+=---+=→→→x x x x x x x f x x x . 1=x 是)(x f 的可去间断点, 定
第七节 无穷小量的比较 及 第八节 函数的连续性与间断点
第七节 无穷小量的比较 及 第八节 函数的连续性与间断点 ㈠本课的基本要求 讨论无穷小的比较，会用等价无穷小求极限。理解函数在一点连续的概念，了解函数在区间 上连续的概念。了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 ㈡本课的重点、难点 重点是利用等价无穷小求极限，难点是对连续概念的理解及间断点类型的判断。 ㈢教学内容 第七节 无穷小量的比较 讨论两个无穷小的商的情况 如： 02cos 11sin sin lim lim lim 2 =-=∞=→→→x x x x x x x x x 两个无穷小之比的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋向于0的“快、慢”程度。 差不多与快，而比x x x x sin sin 02→。 另根据常识，当x 很小时（1<
习题1-7 无穷小的比较
1 §1.7无穷小的比较 一、判断题 1、γβα,,是同一极限过程中的无穷小，且,~,~γββα则必有γα~。 [ ] 2、0→x 时330tan sin sin ~,lim lim 0sin x x x x x x x x x x →∞→--∴== [ ] 3、已知11cos lim 0=-→x x x ，由此可断言，当)1(cos ,0x x x -→与时为等价无穷小。[ ] 4．当0→x 时，x 3sin 与1-x e 是同阶无穷小 。 [ ] 5．当1→x 时，31x - 是1-x 的高阶无穷小。 [ ] 二、单项选择题 1、x →0时，1—cos x 是x 2的 。 (A)高阶无穷小 (B)同阶无穷小，但不等价 (C)等价无穷小 (D)低阶无穷小 2、当x →0时，（1—cos x ）2是sin 2x 的 。 (A)高阶无穷小 (B)同阶无穷小，但不等价 (C)等价无穷小 (D)低阶无穷小 3、如果应满足则高阶的无穷小是比时c b a x c bx ax x ,,,11 1 ,2+++∞→ 。 (A)1,1,0===c b a (B) 0,1,a b c ==为任意常数 (C) 为任意常数c b a ,,0≠ (D) 都可以是任意常数c b a ,, 4、1→x 时与无穷小x -1等价的是 。 (A)()3121 x - (B) ()x -121 (C) ()2121 x - (D) x -1 5．下列极限中，值为1的是 。 (A) x x x sin 2lim π∞→ (B) x x x sin 2lim 0π→ (C) x x x sin 2lim 2 ππ→ (D) x x x sin 2lim ππ→
无穷小量与无穷大量的比较
§5 无穷小量与无穷大量的比较 先看数列的情形．设,n n x y 是无穷小量，即：lim n →∞ n x ＝0，lim n →∞ n y ＝0． 考虑n n n y x ∞→lim 可能出现各种情形： 0lim ≠=∞→c y x n n n ， n c x n =，n y ＝1n ； 0lim =∞→n n n y x ， n x ＝21 n ，n y ＝1n ； ∞=∞→n n n y x l i m ， n x n 1=，21 n y n = n n n y x ∞→lim 不存在 n n n y x ∞→lim 是有界量，n x ＝(1)n n -，n y ＝1 n ， n n n y x ∞→lim 是无界量，但非无穷大，n x ＝ [1(1)]n n +-，n y ＝21 n ， 这时 n n x y ＝[1(1)]n n +- 可见，有些无穷小量可以比较，但有些不能。 定义3.10 设l i m n →∞ n x ＝0，lim n →∞ n y ＝0． (1)若存在A >0，B >0及正整数N ，使得当n N >时，有 0 n x 与n y 是同阶无穷小量?若存在A >0，B >0及正整数N ， 使得当n N >时， 有 0?ε，N ?，当N n >时，n n y x ε<|| 这表明n x 趋于0的速度比n y 快得多。 n x 与n y 为等价无穷小量?n x ～n y ?lim n →∞ n n x y ＝1 ? n n n y x α=-1，其中0l i m =∞→n n α ?n n n n y y x α+= ?)(n n n n n y o y y x ==-α， 这表明：1、n 充分大时，n x 于n y 几乎相等。 2、两个等价无穷小量之差是比其自身更 高阶的无穷小量 还要引进一个记号： n x ＝()n O y ? 如果 n n x y 是有界的，即||n n x y ≤M )1(O x n = ? 如果M x n ≤|| 无穷小阶的比较 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 42 / 5 1.6 无穷小阶的比较 1 无穷小的比较 设α,β是自变量的同一变化过程中的两个无穷小.。 (1) 如果0lim 0x x βα →=，则称β是比α高阶的无穷小，记为()o βα=；也说α是比β低阶的无穷小。 (2) 如果0lim x x c βα →=(c 是不为0的常数)，则称β是与α同阶的无穷小。 (3) 如果0lim 1x x βα →=，则称β与α是等价无穷小，记作βα:或αβ:。 (4) 如果0 lim k x x c βα→=(0k >，c 是不为0的常数)，则称β是关于α的k 阶无穷小。 例如 0x →时，2 3()x o x =，sin x x :，1cos x -与2x 是同阶无穷小，同时1cos x - 也是关于x 的二阶无穷小。 注意并不是所有的无穷小都能进行比较，x →∞时，1()f x x =，sin ()x g x x =都是无穷小。由于()1lim lim ()sin x x f x g x x →∞→∞=和()lim lim sin ()x x g x x f x →∞→∞=都不存在，因此，1()f x x =与sin ()x g x x =不能进行阶的比较。 例1 0x →时，比较1cos x -与2x 的阶。 解 2 222000022sin 2sin sin 1cos 111222lim lim lim lim 12224()22x x x x x x x x x x x x →→→→?? ?-====?= ? ??? 。 0x →时，1cos x -与212 x 是等价无穷小。 定理 1.5.1 设α,β是自变量的同一变化过程中的两个无穷小，则βα:()o βαα?=+。 例如 0x →时，211cos 2x x -: ，故 2211cos ()2 x x o x -=+，即221cos 1()2x x o x =-+，于是在0x =的小邻域内可以用2112 x -近似代替cos x 。 定理1.5.2 设,,,ααββ''都是自变量同一变化过程中的无穷小，且αα':，ββ':，无穷小阶的比较