高三数学 1.6微积分基本定理学案 人教A版选修2-2

1．6 微积分基本定理

1．通过实例，了解微积分基本定理的含义．

2．理解并记住牛顿——莱布尼兹公式，即微积分基本定理． 3．会逆用求导公式求原函数F (x )，再求定积分．

基础梳理

1．微积分基本定理：如果函数f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，

那么

?b a

f (x )d x ＝F (b )－F (a )．

定理中的式子称为牛顿—莱布尼茨公式，通常称F (x )是f (x )的一个原函数．在计算定

积分时，常常用记号F (x )|b

a 来表示F (

b )－F (a )，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作

?b

a

f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．

想一想：被积函数f (x )的原函数F (x )唯一吗？

解析：不唯一．因为当F ′(x )＝f (x )时，[F (x )＋C ]′＝f (x )(C 为常数)，所以F (x )＋

C 也是f (x )的一个原函数．实际上，

?b a

f (x )d x ＝[F (b )＋C ]－[F (a )＋C ]＝F (b )－F (a )．

2．定积分和曲边梯形面积的关系．

设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为 S 下，则：

(1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图1

，则

?b a

f (x )d x ＝S

上

．

(2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图2，则

?b a

f (x )d x ＝S

下

．

(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图3，则

?b a

f (x )d x ＝S

上

－S

下

，若S 上＝S 下，则

?b a

f (x )d x ＝0．

想一想：

?

-2

2

ππ (1＋cos x )d x ＝________． 解析：因为(x ＋sin x )′＝1＋cos x ，

所以

?

-22

ππ (1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x ) 2

2

ππ

-＝π＋2. 答案：π＋2

自

测自评

基础巩固

能力提升