古埃及数学与纸草档案

是大自然赐予了我们一切，也包括最早的“纸张”，这使得早先人类的数学成果得以流传。

“尼罗河长流，迤逦千万里，带给埃及永恒的生命……”这是细川知荣子在《尼罗河女儿》中的吟唱。

金字塔的故事是吸引孩子的故事，尤其是金字塔之谜不知道迷住了多少孩子，家长应该知道，这也是给孩子讲古埃及数学的大好时机。

尼罗河发源于非洲大裂谷，纵贯非洲大陆东北部，与我们大多数中国人所熟悉的河流走向相反，它从南向北流淌，途经布隆迪、卢旺达、坦桑尼亚、乌干达、埃塞俄比亚、苏丹、埃及，跨越世界上面积最大的撒哈拉沙漠，最后注入地中海。

了解这些并不难，找一份世界地图，让孩子自己去找是最好的办法。

孩子喜欢这样的活动，找起来也特别的卖劲。

“找到非洲了——啊，您看——”

“我找到埃及了——不，这里——”

“找到尼罗河了——嘻嘻——”

捷报一个个传来，女儿兴奋得手舞足蹈。

“真好，考考你，”我想让女儿知道‘江河东流入大海’只是河流走向的形式之一，“你看看尼罗河水是往那个方向流呀？”

“向东流。”女儿不加思索的回答。这不怪她，因为她只见过向东流的河水，所有的童谣里清一色的也是‘东流奔大海’的说法。

“你在仔细看看。”女儿俯下身，她面前是我给她买的世界地形图，只要仔细看回答这个问题并不难。

“上北下南——左西右东——”女儿伸出一个手指头比划着，嘴里念叨着我以前教给她的分辨地图方向的口诀“是从南向北流。”

“怎么会这样！”女儿有些懊恼，这个发现动摇了她以前形成的河流走向的全部认识。

“其实——”看孩子已经把心静下来了，我继续说到，“除了向上，河流的走向朝着那个方向的都有，这是地球引力的作用。尼罗河流域是南高北低，所以河水就往北流了……”

我用看地图找埃及的方式开头，一方面增加了女儿地理方面的知识，更主要的是让她对我随后要给她讲的古埃及数学感兴趣。

古埃及时代，有一种生长于尼罗河泛滥后所形成的池塘和沼泽地里的草可用来造纸，把这种草从纵面劈成小条，把他摊开平放在光滑的木板上，然后捣碎晒干，就成了黄色的纸页，粘成一个长卷，用来写字，叫做纸草，这是人们用植物做为书写材料的最早记录。

同很流行的说法相反，古代埃及的数学并没有达到巴比伦数学那样的水平。这可能是由于巴比伦经济的发展速度较快。巴比伦处于许多大型商队的必经之地，而埃及则与外界接触

较少。相对比较平静的尼罗河，用不着像更不稳定的底格里斯河和幼发拉底河那样必须施以巨大的工程，加以精心的管理。

尽管如此，直到最近辨认出这么多巴比伦数学黏土书板之前，在很长时期内，埃及曾是古代历史研究的最丰富的实库。其原因就在于埃及人对他们的死者怀着崇敬的心情，以及这个地区的气侯异常干燥。前者使得他们修建了经得起时间考验的坟墓和庙宇，其壁画与雕刻极其丰富多彩，后者则在保存许多纸草片和实物方面起了主要作用，要不然这些东西早就处于分子状态了。

莱登纸草的发现以及1877年艾森劳尔对他所作的解释，对我们了解埃及的数学有相当大的帮助。这个文件上有许多标题，例如《渗入事物的准确计算》、《生活知识》、《玄机释义》、《秘密大全》等。发表日期大约是在公元前1650年。

在这份纸草纸上写书的人，是一位名叫阿摩斯的僧人，据这位僧人说，上面的内容又是从公元前的2200年以前的十二王朝一位国王时代的旧卷子上转录下来的。纸草纸上记有关于分数和普通算术四则运算的一些说明，乘法的积使用屡次相加的方法得到，那时候，他们还没有乘法是加法的简便运算的概念。纸草书上还记载有一些测量的规则。

这个文件表明埃及人已经发明了解决初等代数问题的方法。这些纸草表明，埃及人在几何方面也能解决某些有实用价值的问题。他们提出了计算土地面积、仓库容积、粮食堆的体积、石料和其它建筑材料多寡等的法则。这些内容基本上是现在小学3年级之前教授的内容，在孩子经历过数“苹果”的幼儿阶段之后，把古埃及的数学背景展现给孩子是一个不错的选择。如果在给孩子看一些古埃及的图片那就更好了。

学者康托尔后来对上述莱登草书中的问题做过如下解释：“一份财产包括七间房；每间房子有七只猫；每只猫吃七只老鼠，每只老鼠吃七个麦穗，每个麦穗能生产七赫克特谷物。问在这份财产中，房子、猫、老鼠、麦穗和谷物(以赫克特计)总共有多少？”

然而，历史学家康托尔在1907年对此作了一种似乎更加有趣、更加合理的解释。他把它看作是中世纪民间流行的一个问题的古代先导；而这个问题曾由斐波那契于1202年在他的《算盘书》中作了描述。他写道：

“有七个老妇人在罗马的路上。每个人有七匹骡子；每匹骡子驮七条口袋；每只口袋装七个大面包；每个面包带七把小刀；每把小刀有七层鞘。在去罗马的路上，妇人、骡子、麦包、小刀和刀鞘，一共有多少？”

这个问题，在后来还有一个人们较熟悉的说法，这就是一首古老的英国童谣：

我赴圣地爱弗西，

途遇妇女数有七，

一人七袋手中提，

一袋七猫数整齐，

一猫七子紧相依，

妇与布袋猫与子，

多少同时赴圣地？

这也许就是世界上被保存下来的口传谜语之一。我让女儿读这个歌谣，她显然对这个歌谣比对歌谣的数学内容更感兴趣。一遍遍的还变换着不同的声调。等到孩子玩累了，我借此机会给她讲了阶乘的概念。显然，这是7的阶乘——7!，这在阿默士抄下它之前就是个老问题了，并且比斐波那契把它编入他的《算盘书》的时间要早将近三千年。

大约一年以后，教我女儿五年级的数学黄老师在十一期间给孩子们布置的数学作业有一项是每人用A3纸出一份数学小报，女儿竟然还记得这个古老的英国童谣，她把它连同其它一些内容，写在她的数学小报上“发表”，这期小报后来被贴在宣传栏上展示给其他同学看。

纸草书是保存古埃及数学成就的主要文件。这些文件的图片很容易找到。

公元前1850年。这是莫斯科纸草书书写的大致年代。这个数学原件中包含了25个问题，这些问题在编辑时就早已是老问题了。这份纸草书，于1893年在埃及被俄国收藏家戈兰尼采夫买得，因而又称做戈兰尼采夫纸草书；现在被保存于莫斯科美术博物馆中。该纸草书的内容连同其编辑说明于1930年发表。纸草书大约有18英尺长，1英尺宽。

兰德纸草书——也被称为阿默士纸草书——大约书写于公元前1650年，上面的数学原文带有实用手册的性质，并且包括抄写者阿默士用僧侣字体从更早的著作中抄写下来的85个问题。这一纸草书是苏格兰的埃及学家兰德于1858年在埃及购买的，后来为英国博物馆收藏。

这一纸草书和莫斯科纸草书是我们汲取古代埃及书面数学知识的主要来源。兰德纸草书发表于1927年，大约有18英尺长，1英尺宽。在此纸草书到英国博物馆时，它没有原来那么长而且被分成了两片——实际上中间那片遗失了。在兰德买到纸草书的大约4年以后，美国埃及学家史密斯于1906年在埃及买到一份纸草书——他是把它当作医学纸草书买到手的，后来，史密斯把它交给了纽约历史学会；在那里，古物收藏家们发现：它是东拼西凑的、骗人的东西，并且在那些骗人的东西下面覆盖遗失了的那片阿默士纸草书。该学会于是把该纸卷交给英国博物馆，使阿默士的著作得以完整。

兰德纸草书是研究古代埃及数学的主要来源，内容很丰富。它讲述了：埃及的乘法和除

法，埃及人的单位分数的用法、试位法、求圆面积的问题的解和数学在许多实际问题中的应用。

公元前1350年左右的罗林纸草书，现在保存在卢佛尔博物馆，载有一些精心制作的伙食帐，上面的数字表明当时实际上曾使用过很大的数目。

公元前1167年。这是哈里斯纸草书产生的年代。它是拉美西斯四世为他登基准备的一个文件，其中表彰了他父亲拉美西斯三世的伟大功绩。这份纸草书的其它部分是寺庙财产一览表，为我们提供了古埃及实际帐目的最好例证。

在我们今天的杂志中不时出现的许多难题，有好些与中世纪的相似，其中的一些问题能追溯到多远的历史时代，现在还不能确定。我们对于古埃及的数学成就主要的证据有这样的一些：

在牛津的一个博物馆中陈列着一个公元前3100年埃及王室的权标。这个权标上用埃及象形文字写着几个以百万和十万计的数目，这些数目是记载一次胜仗的战绩。

最早的金字塔建立于公元前2600年左右，显然它必然要涉及一些数学和工程问题。这个建筑物用石头200万块块以上，每块平均重2.6吨，非常仔细地砌在一起。这些石块是从尼罗河对岸的砂岩采石场连过来的。室顶是用54吨重的花岗石做成的，27英尺长，4英尺厚。这些花岗石是从600英里以外的采石场拉回来，又放到离地面200英尺高的地方的。据调查报告称：金字塔正方形底边的相对误差不超过1/14000，四个直角的相对误差不超过1/27000。但是，当我们知道这个工程是由十万劳动大军花三十年时间完成的时侯，上述惊人的统计数字所暗示的工程技巧就大为逊色了。

座落在吉泽沙漠中的三个金字塔中最大的一个金字塔就在今天的埃及首都开罗南面不远。这巨大的建筑物都是王室的坟墓。埃及人相信：只要尸体保存得好，来世就会好。尸体防腐技术因此得以发展；把贵重的珍宝和日常生活用品放进坟墓也是为了来世用。

现在差不多还保存着八十个金字塔。宏伟的金字塔被人们称做古代七大奇绩之一。

公元前1850年。在柏林博物馆收藏的一套铅垂线和标尺为这一时期的遗物，它是现存的最古老的天文仪器，当然，它也可以用来进行一般的测量。

现存最大的方尖塔，它比底比斯的太阳神庙修建得还早，经过考证，大约是公元前1500年的建筑。它有105英尺高，其正方形底的边长为10英尺，重约430吨。

柏林博物馆有一个公元前1500年埃及的日晷，它是这个时期的遗物，也是至今尚存的最早的日晷。

古代埃及还有一些蕴涵工程技巧的伟大建筑：拉美西斯二世的纪念碑在阿布辛比勒，狮身人面像竖立在吉泽宏伟的金字塔附近，太阳神庙在卡纳克(拉美西斯二世完成该庙之大殿于公元前1200年后不久，该大殿的柱子有78英尺高。

比上述年代晚一些的古埃及的原始资料表明，无论在数学知识上或是在数学技巧上都没有多大进展。事实上，有些实例表明确实还存在着退步现象。

我们阅读古埃及象形文字和简化的古埃及象形文字的能力，来自坎波连在十九世纪对罗塞塔石板上的文字的成功的破译。这是块表面光泽的玄武岩石板，是在1799年，拿破伦的不幸的埃及之战时，法国的工程师们在尼罗河三角洲靠近罗塞塔支流处挖炮台地基时发现的。这块石板有3英尺7英寸长，2英尺6英寸宽，并且碑文书写了埃及象形文字、简化的埃及象形文字和希腊文三种文字。因为学者们能读懂希腊文，这块石板就为人们破译古代埃及的文字提供了线索。此石板刻于公元前196年，在法国被英降服时，作为战利品的一部分，被送到英国，现在放在英国博物馆内。

埃及人从未发现过一个实用公式，也没有证据说明他们对日常生活以外的问题感到过什么兴趣。埃及人似乎只要自己的数学知识能应付日常生活中的问题，就已经感到心满意足了。

建筑师和测量员的需要，要求有初步的几何知识，但没有证据说明，埃及人曾对几何图形的性质有过什么兴趣，更不用说有什么东西能促使他们去证明自己所用方法的正确与否。

虽然如此，他们在建筑活动中达到的精确度还是非常高。在基奥普斯王朝时代——公元前2900年左右——建筑起来的金字塔，是由许多巨大的石灰石石块组成。雕刻这些石块的精细度是相当惊人的。金字塔本身建筑在一个非常接近于正方形的基座上，基座每边的平均长度是755.７９英尺，正方程度和水平程度的平均误差微乎其微。塔基每边的取向是一个明显的证据，说明埃及的占星家曾作过非常仔细地观测，其中有两边差不多是指向正北和正南，另两边的设计与垂直线的偏差至多为3厘米，这应当说是非常惊人的成就。

和上古时代的许多其他民族一样，埃及人似乎也已熟悉这样的事实：如果三角形三边的边长是3，4，5三个数成正比，则此三角形是直角三角形。但是，没有可靠的证据说明他们在建筑活动中使用过。

在连小小一块良田国民都不能忽视其耕种的国家里，在一个土地所有权的观念大大关系到所有者切身利益的国家里，测量技术会显得越来越重要。

基于这一事实，埃及人在这个数学分支中必然会得到某些显著结果。尼罗河周期性泛滥之后为了重划地界，需要有高度发达的土地测量技术。希罗多德说道，为了使征收赋税公平合理，萨斯特雷斯曾将埃及的土地划分为相等的矩形小块。然而，由于尼罗河周期性的泛滥，扫除了这些小地块的界限，因此不得不派测量员去重新校对纳税额。莱登纸草上面记载了19个关于土地面积和谷仓容积的问题，这些问题都以惊人的准确被计算出来。纸草的第三片记录了如何去确定正方形和矩形、三角形和梯形、以及能分割成这些形状的土地面积。

关于圆面积的计算，埃及人的结果比上古时代任何其他民族的结果都更准确，这从莱登纸草中的一个例子可以看出。这个例子说明他们知道圆的周长与其直径之比是3.16。

埃及人还知道如何计算圆柱体和直棱拄的体积。许多问题中计算了这些形状的仓库的容积。但是，他们最惊人的成就却在于两端是正方形的截棱柱体体积的计算。莫斯科纸草上清楚地说过这个问题。

土地面积的问题明白地指出这样一个史实：埃及人已经熟悉二次方程。

和所有上古时代的民族一样，埃及人很早就感到有必要建立度量时间的方法了。但是是巴比伦人和亚述人奠定了现代时间度量制度的基础。

虽然埃及天文学几乎毫无疑问是以巴比伦的天文学为基础，但是建立在天体运动基础上的实用历法的引用，则应看成是埃及人的杰出成就之一。太阳年的长短取决于人们对狼星——现在的天狼星和太阳同升——在太阳升起之前天狼星先升起来——现象的观测，这个现象正好与尼罗河的周期性涨落有着密切的对应关系，所以早在公元前4241年，祭司就建立了每年十二个月，每月三十天，另外再加5天节日的制度。

看来，埃及人对数学的主要贡献是：

1、完成了基本的算术四则运算，并且把它们推广到分数上；他们已经有了求近似平方根的方法。

2、他们已经有了算术级数和几何级数的知识。

3、他们已能处理包括一次方程和某些类型的二次方程的问题。

4、他们几何知识的主要内容是关于平面图形和立体图形的求积法。

5、他们在求出圆面积以及把圆分成若干相等部分的问题上已经有了正确的知识。

6、他们已经熟悉比例的基本原理某些人还从其中看到了我们今天应称之为三角函数的那种观念的萌芽。

很早的时候，埃及的文明就达到比较发达的阶段；车轮和帆船的发明便利了交通，天平便利了称量，织布机便利了纺织；而且他们似乎还制定了确定的年历。实用工艺在十八王朝，即公元前1500年左右，所取得的成就最大。不过，当时人们还没有想到知识有长期的和缓慢地向前发展的可能性。他们似乎认为，他们的祖先若是全靠人类自身的智慧，永远也不可能发明语言，文字、建筑和计算的；还需要有神的干预。

不管怎样，几乎可以肯定地说，草片文书中所载的问题是当时的商业人员和行政管理人员应该解决的那类问题，而求解的方法则是从工作经验中得出的实用法则。谁也不会相信埃及人有一种依据可靠公理形式的演绎结构，来证明他们所用的法则是正确的。公理形式的演绎结构还要等好多年才会被人们使用，只有它才能真正奠定数学的科学基础。