七年级数学下册相交线和平行线拔高训练

4.2 相交线和平行线典型例题及强化训练

课标要求

①了解对顶角，知道对项角相等。

②了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。

③知道过一点有且仅有一条直线垂直干已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。

④知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质

⑤知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。

⑥体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。

典型例题

1.判定与性质

例1 判断题：

1)不相交的两条直线叫做平行线。( )

2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。( )

3)两直线平行，同旁内角相等。( )

4)两条直线被第三条直线所截，同位角相等。( )

答案：(1)错，应为“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”。

(2)错，应为“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。

(3)错，应为“两直线平行，同旁内角互补”。

(4)错，应为“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”。

例2 已知：如图，AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED。

分析：可以考虑把∠BED变成两个角的和。如图5，过E点引

一条直线EF∥AB，则有∠B=∠1，再设法证明∠D=∠2，需证

EF∥CD，这可通过已知AB∥CD和EF∥AB得到。

证明：过点E作EF∥AB，则∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）。

∵AB∥CD（已知），

又∵EF∥AB（已作），

∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

∴∠D=∠2（两直线平行，内错角相等）。

又∵∠BED=∠1+∠2，

∴∠BED=∠B+∠D（等量代换）。

变式1已知：如图6，AB∥CD，求证：∠BED=360°-（∠B+∠D）。

分析：此题与例1的区别在于E点的位置及结论。我们通常所说的∠BED都是

指小于平角的角，如果把∠BED看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例1

的结论是一致的。因此，我们模仿例1作辅助线，不难解决此题。

证明：过点E作EF∥AB，则∠B+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）。

∵AB∥CD（已知），

又∵EF∥AB（已作），

∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）。

∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（等式的性质）。

又∵∠BED=∠1+∠2，

∴∠B+∠D+∠BED=360°（等量代换）。

∴∠BED==360°-（∠B+∠D）（等式的性质）。

变式2已知：如图7，AB∥CD，求证：∠BED=∠D-∠B。

分析：此题与例1的区别在于E点的位置不同，从而结论也不同。模仿例1与变式1作辅助线的方法，

可以解决此题。

证明：过点E作EF∥AB，则∠FEB=∠B（两直线平行，内错角相等）。

∵AB∥CD（已知），

又∵EF∥AB（已作），

∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

∴∠FED=∠D（两直线平行，内错角相等）。

∵∠BED=∠FED-∠FEB，

∴∠BED=∠D-∠B（等量代换）。

变式3已知：如图8，AB∥CD，求证：∠BED=∠B-∠D。

分析：此题与变式2类似，只是∠B、∠D的大小发生了变化。

证明：过点E作EF∥AB，则∠1+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）。

∵AB∥CD（已知），

又∵EF∥AB（已作），

∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

∴∠FED+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）。

∴∠1+∠2+∠D=180°。

∴∠1+∠2+∠D-（∠1+∠B）=180°-180°（等式的性质）。

∴∠2=∠B-∠D（等式的性质）。

即∠BED=∠B-∠D。

例3 已知：如图9，AB∥CD，∠ABF=∠DCE。求证：∠BFE=∠FEC。

证法一：过F点作FG∥AB ，则∠ABF=∠1（两直线平行，内错角相等）。

过E点作EH∥CD ，则∠DCE=∠4（两直线平行，内错角相等）。

∵FG∥AB（已作），AB∥CD（已知），

∴FG∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

又∵EH∥CD （已知），

∴FG∥EH（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）。

∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）

即∠BFE=∠FEC。

证法二：如图10，延长BF、DC相交于G点。

∵AB∥CD（已知），

∴∠1=∠ABF（两直线平行，内错角相等）。

又∵∠ABF=∠DCE（已知），

∴∠1=∠DCE（等量代换）。

∴BG∥EC（同位角相等，两直线平行）。

∴∠BFE=∠FEC（两直线平行，内错角相等）。

如果延长CE、AB相交于H点（如图11），也可用同样的方法证明（过程略）。证法三：（如图12）连结BC。

∵AB∥CD（已知），

∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）。

又∵∠ABF=∠DCE（已知），

∴∠ABC-∠ABF =∠BCD-∠DCE（等式的性质）。

即∠FBC=∠BCE。

∴BF∥EC（内错角相等，两直线平行）。

∴∠BFE=∠FEC（两直线平行，内错角相等）。

强化训练

一.填空

1.完成下列推理过程 ①∵∠3= ∠4（已知）， __

∥

___

（ ）

②∵∠5= ∠DAB （已知），

∴____∥______（ ） ③∵∠CDA + =180°（ 已知 ）， ∴AD ∥BC （ ）

2. 如图,已知DE ∥BC,BD 是∠ABC 的平分线，∠EDC ＝109°， ∠ABC ＝50°则∠A 度，∠BDC ＝ 度。

3. 如图，AB ∥CD,BE,CE 分别平分∠ABC ，∠BCD,

则∠AEB ＋∠CED= 。

4、将点P(-3，y)向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q(x ，-1)，则xy=___________ 。

5、已知：如图，直线AB 和CD 相交于O ，OE 平分∠BOC ， 且∠AOC=68°，则∠BOE= 二.选择题

1.在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40度方向，那么这艘船位于这个灯

塔的（ ）

A 南偏西50度方向；

B 南偏西40度方向 ；

C 北偏东50度方向 ；

D 北偏东40度方向

2.如图,AB ∥EF ∥DC ，EG ∥BD, 则图中与∠1相等的角共有( )个 A 6个 B .5个 C .4个 D.2个

A

B

C D

E

F

G

H

1

A

B

E

D

C

5

4

3

C

D A

C

A

B

E

D

3、同一平面内的四条直线若满足a ⊥b,b ⊥c,c ⊥d,则下列式子成立的是（ ）

A 、 a ∥d

B 、b ⊥d

C 、a ⊥d

D 、b ∥c 4、如图,∠1和∠2互补,∠3=130°,那么∠4的度数是( ) A. 50° B. 60° C.70° D.80° 5.已知：AB ∥CD ，且∠ABC=20°，∠CFE=30°, 则∠BCF 的度数是 ( )

A. 160°

B.150°

C.70°

D.50°

6（2003南 通 市）判断题已知，如图，下列条件中不能判断直线l 1∥l 2的是（ ） （A ）∠1＝∠3 （B ）∠2＝∠3 （C ）∠4＝∠5 （D ）∠2＋∠4＝180°

7.（ 北京市海淀区2003年）. 如图，直线c 与直线a 、b 相交，且a//b ，则下列结论：(1)21∠=∠；(2)31∠=∠；(3)23∠=∠中正确的个数为（ ）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

8.（2004年浙江省富阳市）下列命题正确的是（ ）

A 、两直线与第三条直线相交，同位角相等；

B 、两线与第三线相交，内错角相等；

C 、两直线平行，内错角相等；

D 、两直线平行，同旁内角相等。 9.（2003年安徽省）如图，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，图中与∠CAB 互余的角有……（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

10.( 日照市2004年)如图，已知直线AB ∥CD ，当点E 直线AB 与CD 之间时，有∠BED ＝∠ABE ＋∠CDE 成立；而当点E 在直线AB 与CD 之外时，下列关系式成立的是 （ ） A ∠BED ＝∠ABE ＋∠CDE 或∠BED ＝∠ABE －∠CDE; B ∠BED ＝∠ABE －∠CDE

C ∠BE

D ＝∠CD

E －∠ABE 或∠BED ＝∠ABE －∠CDE; D ∠BED ＝∠CDE －∠ABE

三.解下列各题：

1.如图，已知OA ⊥OC ，OB ⊥OD ，∠3=26°，求∠1、∠2的度数。 2、已知AD ∥BC ，∠A= ∠C ，求证：AB ∥CD 。

3.如图,AB ∥CD,求∠BAE ＋∠AEF ＋∠EFC ＋∠FCD 的度数.

4.已知,如图AC ⊥BC,HF ⊥AB,CD ⊥AB, ∠EDC 与∠CHF 互补, 求证：DE ⊥AC.

5.如图，已知AB ∥ED ，∠ABC=135°,∠BCD=80°，求∠CDE 的度数。

6.已知：如图，AD ⊥BC 于D ，EG ⊥BC 于G ，AE =AF.求证：AD 平分∠BAC 。

四、如图A 、B 是两块麦地，P 是一个水库，A 、B 之间有一条水渠，现在要将水库中的水引到A 、B 两地浇灌小麦，你认为怎样修水渠省时省料经济合算？请说

出你的设计方案，

A

B

E F

第3题

D

C

A

B

3

21

D B C A 第1题 第2题

3

2 1 F D

E

A

C

G

E

F

D B A

H

A

B

C

D

E

第4题 第5题

第6题

并说明理由。

相交线与平行线

2. 1略；121°，84°；

3. 90°；

4.-10；5。56° 二.

三.1.解：∵OA ⊥OC ，OB ⊥OD ∴∠1+∠2 =90°，∠3+∠2 =90°

∴∠1=∠3=26°

∴∠2=64°

2证明：∵AD ∥BC ， ∴∠A+∠B=180° ∵∠A= ∠C ， ∴∠C+∠B=180° ∴AB ∥CD.

2. 解：连结AC.

∵AB ∥DC

∴∠CAB+∠ACD=180° ∵∠CAE+∠ACF+∠E+∠F =360°

D

E C