水平面的圆周运动

水平面的圆周运动

1. 如图所示，质量为m的物体A距转盘中心距离为r，物体A与转盘的最大静摩擦力为其重力的μ倍，欲使A物体与转盘相对静止，转盘匀速转动的最大角速度不能超过多少？

1答案：ω＝μg r

解析：物体A所受静摩擦力提供向心力，当静摩擦力最大时，转盘的角速度最大，即μmg＝mrω2所以

ω＝

μg

r.

2. 如图所示，两个用相同材料制成的靠摩擦传动的轮A和B水平放置，两轮半径R A＝2R B，当主动轮

A匀速转动时，在A轮边缘放置的小木块能相对静止在A轮边缘上。若将小木块放在B轮上，欲使木块相对B轮也静止，则木块距B轮转轴的最大距离为( )

A. R B

4

B.

R B

3

C.

R B

2

D. R B

2答案：C

解析：根据A和B靠摩擦传动可知，A和B边缘的线速度相等，即R AωA＝R BωB，又R A＝2R B，得ωB＝2ωA。又根据在A轮边缘放置的小木块恰能相对静止，得μmg＝mR Aω2A，设小木块放在B轮上相对B轮也静止时，

距B轮转轴的最大距离为R′B，则μmg＝mR′Bω2B，解上面式子可得R′B＝R B 2。

3.如图所示，倾斜放置的圆盘绕着过盘心O且垂直于盘面的轴匀速转动，圆盘的倾角为37°，在距转动中心r＝0.1 m处放一个小木块，小木块跟随圆盘一起转动，小木块与圆盘间的动摩擦因数为μ＝0.8，假设木块与圆盘的最大静摩擦力与相同条件下的滑动摩擦力相同。若要保持小木块不相对圆盘滑动，圆盘转动的角速度最大不能超过( )

A. 2 rad/s

B. 8 rad/s

C. 124 rad/s

D. 60 rad/s

3答案：A

解析：只要小木块转过最低点时不发生相对滑动就能始终不发生相对滑动，设其经过最低点时所受静摩擦力为f ，由牛顿第二定律有f －mg sin θ＝m ω2

r ；为保证不发生相对滑动需要满足f ≤μmg cos θ。联立解得ω≤2 rad/s ，选项A 正确。

4.如图所示，水平转盘上放有质量为m 的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r ，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：

(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度； (2)当角速度为

3μg

2r 时，绳子对物体拉力的大小． 4【答案】 (1)

μg

r (2)1

2

μmg 【解析】 (1)当恰由最大静摩擦力提供向心力时，绳子拉力为零且转速达到最大，设转盘转动的角速度为ω0，则μmg ＝m ω2

0r ，得ω0＝

μg

r

.

(2)当ω＝

3μg

2r

时，ω>ω0，所以绳子的拉力F 和最大静摩擦力共同提供向心力，此时，F ＋μmg ＝m ω2r 即F ＋μmg ＝m ·3μg 2r ·r ，得F ＝1

2

μmg .

5.有一水平放置的圆盘，上面放有一劲度系数为k 的轻质弹簧，如右图所示，弹簧的一端固定于轴O

上，另一端挂一质量为m的物体A，物体与圆盘面间的动摩擦因数为μ，开始时弹簧未发生形变，长度为R.

(1)圆盘的转速n0多大时，物体A开始滑动？

(2)分析转速达到2n0时，弹簧的伸长量Δx是多少．

5【答案】(1)1

2πμg

R(2)

3μmgR

kR－4μmg

【解析】若圆盘转速较小，则静摩擦力提供向心力，当圆盘转速较大时，弹力与摩擦力的合力提供向心力．

(1)A刚开始滑动时，A所受最大静摩擦力提供向心力，则有μmg＝mω20R①

又因为ω0＝2πn0②

由①②得n0＝1

2π

μg

R，

即当n0＝1

2π

μg

R时，物体

A开始滑动．

(2)转速增加到2n0时，

有μmg＋kΔx＝mω21r，ω1＝2π·2n0，

r＝R＋Δx，整理得Δx＝

3μmgR kR－4μmg.

6. 如图所示，在光滑水平面内，用轻弹簧拉住一质量为m的小球，轻弹簧的另一端固定在转轴上O

点。轻弹簧的劲度系数为k，原长为l。小球绕O点转动的角速度为ω＝

k

5m

。

(1)弹簧的伸长量为多少？

(2)小球的速度为多少？

6答案：(1)l

4

(2)

l

4

5k

m

解析：(1)小球做匀速圆周运动的向心力由弹簧的弹力提供，则kx＝mω2(l＋x)

解得x＝l

4。

(2)小球的速度v＝ω(l＋x)＝l

4

5k

m。

7. 如图所示，细绳一端系着质量M＝0.6 kg的物体A静止在水平转台上，另一端通过轻质小滑轮O 吊着质量m＝0.3 kg的物体B。A与滑轮O的距离为0.2 m，且与水平面的最大静摩擦力F max＝2 N，为使B 保持静止状态，水平转台做圆周运动的角速度ω应在什么范围内？(g取10 m/s2)

7答案：2.89 rad/s≤ω≤6.45 rad/s

解析：B保持静止状态时，A做圆周运动的半径r不变，根据F向＝mrω2可知，向心力发生变化时角速度将随之改变，A的向心力由细绳拉力mg和静摩擦力的合力提供，由最大静摩擦力与拉力的方向关系分析水平转台角速度的取值范围，当ω最小时，A受的最大静摩擦力F max的方向与拉力方向相反，则有mg

－F max＝Mrω21，ω1＝mg－F max

Mr＝

0.3×10－2

0.6×0.2

rad/s≈2.89 rad/s，当ω最大时，A受的最大静摩擦力

F max的方向与拉力方向相同，则有mg＋F max＝Mrω22，ω2＝mg＋F max

Mr＝

0.3×10＋2

0.6×0.2

rad/s≈6.45 rad/s，

故ω的取值范围为

2．89 rad/s≤ω≤6.45 rad/s。

8如图所示，在固定光滑水平板上有一光滑小孔O，一根轻绳穿过小孔，一端连接质量m＝1 kg的小球A，另一端连接质量M＝4 kg的物体B.当A球沿半径r＝0.1 m的圆周做匀速圆周运动时，要使物体B不离开地面，A球做圆周运动的角速度有何限制？(g＝10 m/s2)

8 答案：A球做圆周运动的角速度应小于等于20 rad/s

解析：小球A做圆周运动的向心力为绳子的拉力，故F T＝mω2r

B恰好不离开地面时F T＝Mg

解上述两个方程得ω＝20 rad/s，

B不离开地面时拉力F T不大于B的重力，故A球做圆周运动的角速度应小于等于20 rad/s.

9. 质量为M的小球用细线通过光滑水平平板中央的光滑小孔与质量为m1、m2的物体相连，如图所示。M做匀速圆周运动的半径为r1，线速度为v1，角速度为ω1。若将m1和m2之间的细线剪断，M仍做匀速圆周运动，其稳定后的运动半径为r2，线速度为v2，角速度为ω2，则以下各量关系正确的是( )

A. r2＝r1，v2

B. r2>r1，ω2<ω1

C. r2

D. r2>r1，v2＝v1

9答案：B

解析：剪断m1、m2间的细线，细线提供给M的向心力减小，原有的匀速圆周运动不能继续，由于M 做离心运动而使r2>r1。当M重新达到稳定的圆周运动状态时，应有m1g＝Mω22r2，与原来(m1＋m2)g＝Mω21r1相比，易知ω2<ω1。又因为M做圆周运动的半径增大，所以在半径增大时，细线的拉力对M是阻力，所以M运动的线速度要减小，即v2

10. A、B两球质量分别为m1与m2，用一劲度系数为k的弹簧相连，一长为l1的细线与m1相连，置于水平光滑桌面上，细线的另一端拴在竖直轴OO′上，如图所示，当m1与m2均以角速度ω绕OO′做匀速圆周运动时，弹簧长度为l2。

求：(1)此时弹簧伸长量多大？绳子张力多大？

(2)将线突然烧断瞬间两球加速度各多大？

10答案：见解析

解析：(1)m2只受弹簧弹力，设弹簧伸长Δl，满足：kΔl＝m2ω2(l1＋l2)，

则弹簧伸长量Δl＝m2ω2(l1＋l2)/k

对m1，受绳拉力T和弹簧弹力f做匀速圆周运动，满足：T－f＝m1ω2l1

绳子拉力T＝m1ω2l1＋m2ω2(l1＋l2)

(2)线烧断瞬间

A球加速度a1＝f/m1＝m2ω2(l1＋l2)/m1。B球加速度a2＝f/m2＝ω2(l1＋l2)。

11. (12分)如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥的顶角为2θ，当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球压紧锥面。求此时细线的张力是多少？若要使小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？

11答案：mg cosθ＋mω2L sin2θ

g L cosθ

解析：对小球进行受力分析，如图所示，在水平方向上，根据牛顿第二定律，有F T sinθ－F N cosθ＝mω2r

在竖直方向上，根据平衡条件，有

F N sinθ＋F T cosθ－mg＝0

又r＝L sinθ

由以上几式可解得

F T＝mg cosθ＋mω2L sin2θ

当小球刚要离开锥面，即F N＝0(临界条件)时，有

F′T sinθ＝mω′2r, F′T cosθ－mg＝0

解得ω′＝

g L cosθ

即小球的角速度至少为

g

L cosθ。

12. 如图所示，两绳系一个质量为m＝0.1 kg的小球。上面绳长l＝2 m，两绳都拉直时与转轴的夹角

分别为30°和45°。问球的角速度满足什么条件，两绳始终张紧？

(g＝10 m/s2)

答案：2.4 rad/s≤ω≤3.16 rad/s

解析：分析两绳始终张紧的临界条件：当ω由零逐渐增大时可能出现两个临界值：

其一：BC恰好拉直，但不受力，此时设AC绳的拉力为

F T1，有：F T1cos30°＝mg，F T1sin30°＝mr1ω21，r1＝l sin30°

联立可得ω1≈2.4 rad/s。

其二：AC仍然拉直，但不受力，此时设BC绳的拉力为

F T2，有：F T2cos45°＝mg，F T2sin45°＝mr

2ω

2

2

r2＝l sin30°

联立解得ω2≈3.16 rad/s

所以要使两绳始终张紧，ω必须满足的条件是：

2．4 rad/s≤ω≤3.16 rad/s。

13.如图(1)所示，小球质量m＝0.8 kg，用两根长均为L＝0.5 m的细绳拴住并系在竖直杆上的A、B两点．已知AB＝0.8 m，当竖直杆转动带动小球在水平面内绕杆以ω＝40 rad/s的角速度匀速转动时，取g＝10 m/s2，求上、下两根绳上的张力．

13【答案】325 N 315 N

【解析】设BC绳刚好伸直无拉力时，小球做圆周运动的角速度为ω0，绳AC与杆夹角为θ，且cosθ＝

0.8

2

0.5

＝0.8，则θ＝37°，如图(2)甲所示，

有mg tanθ＝mω20r，

得ω0＝g tanθ

r＝

g tanθ

L sinθ＝

g

L cosθ＝5 rad/s，

由ω＝40 rad/s>5 rad/s＝ω0，知BC绳已被拉直并有拉力，对小球受力分析建立如图乙所示的坐标系，将F1、F2正交分解，则沿y轴方向有F1cosθ－mg－F2cosθ＝0，

沿x轴方向有F1sinθ＋F2sinθ＝mω2r，

代入有关数据，得F1＝325 N，F2＝315 N.